Klausur Statistik III SoSe 2013
Aufgabe 1 (18 Punkte)
a) (9 Punkte)
Ihnen liegen die folgenden Ergebnisse einer einfachen Zufallsstichprobe vom Um-
fang n= 6 vor:
(x1, x2, . . . , x6) = (0,1,1,0,1,1)
Es sei bekannt, dass die zugrundeliegenden Zufallsvariablen Xieiner Bernoulliver-
teilung folgen: Xi∼B(1; p).
Leiten Sie auf Basis des Stichprobenergebnisses den Maximum Likelihood Sch¨
atzer
f¨
ur den unbekannten Verteilungsparameter pher und berechnen Sie die Punktsch¨
atzung
f¨
ur p.
Auf die hinreichende Bedingung f¨
ur das Maximum ist hier zu verzichten.
b) (9 Punkte)
Gegeben ist die folgende Sch¨
atzfunktion f¨
ur den Erwartungswert µauf Basis einer
einfachen Zufallsstichprobe mit E(Xi) = µund V(Xi) = σ2<∞.
ˆ
θ=n·Xn
n+ 1
i. Ist die Sch¨
atzfunktion erwartungstreu? Berechnen Sie gegebenenfalls die Ver-
zerrung (Bias).
ii. Zeigen Sie ganz allgemein, dass: MSE(ˆ
θ) = V(ˆ
θ)+(Bias(ˆ
θ))2
iii. Wie lautet der MSE der vorliegenden Sch¨
atzfunktion?
iv. Pr¨
ufen Sie, ob die gegebene Sch¨
atzfunktion konsistent ist.
Aufgabe 2 (16 Punkte)
a) (10 Punkte)
Eine Verbraucherschutzorganisation untersucht das Gewicht von Schokoladenta-
feln eines bekannten Herstellers. F¨
ur die vom Hersteller mit einem Nettogewicht
von 100 Gramm ausgewiesene Schokolade Lilalecker ermittelte die Verbraucher-
schutzorganisation in einer Stichprobe vom Umfang n= 200 ein durchschnittliches
Nettogewicht von 98 Gramm bei einer Stichprobenvarianz von S2= 196.
i. ¨
Uberpr¨
ufen Sie mit einem geeigneten Test auf einem Signifikanzniveau von
α= 0,05, ob die Vermutung der Verbraucherschutzorganisation zutrifft, dass
die Schokoladentafeln im Durchschnitt weniger wiegen, als vom Hersteller
angegeben wird.
ii. Bestimmen Sie den p-Wert f¨
ur den von Ihnen ermittelten Testfunktionswert.
iii. Bestimmen Sie das Konfidenzintervall f¨
ur den Erwartungswert auf einem Kon-
fidenzniveau von 1−α= 0,9.
Lehrstuhl f¨
ur Quantitative Analyse (Statistik/ ¨
Okonometrie)
