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Aufgabe 1 (26 Punkte)
a) (10 Punkte) Gegeben ist die folgende Dichtefunktion der stetigen Zufallsvariablen X:
f (x) = 10 · e−^10 ·x^ f¨ur x ≥ 0
Bestimmen Sie die Momenterzeugende Funktion mx(t) f¨ur t < 10.
b) (8 Punkte) Die Momenterzeugende Funktion der Zufallsvariablen Y lautet:
mY (t) =
(1 − 2 t)^2
Berechnen Sie mit Hilfe von mY (t) die Varianz von Y!
c) (8 Punkte) Die diskreten Zufallsvariablen V, Z werden durch die folgende bivariate Wahr- scheinlichkeitsfunktion charakterisiert:
z = 2 z = 5 Randw. v = 3 0. 2 0. 1 0. 3 v = 7 0. 4 0. 3 0. 7 Randw. 0. 6 0. 4 1
Bestimmen Sie den bedingten Erwartungswert E(V |Z = 5).
Aufgabe 2 (16 Punkte)
Gegeben sei die folgende Dichtefunktion der Zufallsvariablen X:
f (x) =
θ √ π
e−θ
(^2) x 2 , θ > 0
Leiten Sie den Maximum-Likelihood Sch¨atzer f¨ur θ auf Basis einer einfachen Zufalls- stichprobe X 1 ,... ,Xn her. Auf die ¨Uberpr¨ufung der hinreichenden Bedingung f¨ur das Maximum ist zu verzichten.
Aufgabe 3 (14 Punkte)
Die stetige Zufallsvariable X besitzt den Erwartungswert μ = 13 und die Varianz σ^2 = 9.
a) (6 Punkte) Treffen Sie eine Wahrscheinlichkeitsaussage dazu, dass X einen Wert außerhalb des Intervalls [9,17] annimmt?
Aus der Grundgesamtheit von X wird eine einfache Zufallsstichprobe vom Umfang n = 40 gezogen. Die Zufallsvariable Y = 1 + 2 · X stellt eine Funktion des Stichprobenmittels dar.
b) (8 Punkte) Berechnen Sie P (25 ≤ Y ≤ 29)!
Aufgabe 4 (16 Punkte)
Die Laufleistung von Autoreifen kann als normalverteilt angesehen werden. Die folgen- den Laufleistungen xi in Tsd. km des Herstellers A stammen aus einer einfachen Zufalls- stichprobe:
i 1 2 3 4 5 xi 50 55 48 62 53
a) (6 Punkte) Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall f¨ur die Varianz der Laufleistung des Herstel- lers A auf einem Konfidenzniveau von 1 − α = 0. 9.
Im Rahmen einer zweiten einfachen Zufallsstichprobe wurde f¨ur den Hersteller B eben- falls die Laufleistung von Autoreifen in Tsd. km erhoben. Es wurden auf Basis der n = 8 Stichprobenrealisierungen, y 1 ,... ,yn, die folgenden Statistiken berechnet:
y ¯ = 56, S y^2 = 40
b) (10 Punkte) Pr¨ufen Sie auf einem Signifikanzniveau von α = 0. 05 , ob sich die Varianzen der Laufleistungen der Hersteller A und B unterscheiden.
