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Aufgabe 1 (22 Punkte)
Gegeben sei die folgende Dichtefunktion der Zufallsvariablen X mit E(X) =
θ·π
f (x) =
x θ
· exp
x^2 2 · θ
mit x ≥ 0 , θ > 0
Es wird mit den Stichprobenvariablen X 1 ,... ,Xn eine einfache Zufallsstichprobe aus der Grundgesamtheit von X gezogen.
a) (16 Punkte) Leiten Sie den Maximum-Likelihood Sch¨atzer f¨ur θ auf Basis der Stichprobe her. Auf die ¨Uberpr¨ufung der hinreichenden Bedingung f¨ur das Maximum ist zu ver- zichten.
b) (6 Punkte) Bestimmen Sie einen Sch¨atzer f¨ur θ mit der Methode der Momente.
Aufgabe 2 (15 Punkte)
Xi ∼ B(1,p) sind die Stichprobenvariablen einer einfachen Zufallsstichprobe vom Um- fang n. F¨ur den Parameter p werden folgende Sch¨atzer vorgeschlagen :
p ˆ =
n
∑^ n
i=
Xi,
p ˙ =
X 1 + Xn 2
a) (10 Punkte) Untersuchen Sie die obigen Sch¨atzer auf Erwartungstreue und MSE-Konsistenz.
b) (5 Punkte) Geben Sie ein Beispiel f¨ur einen Sch¨atzer f¨ur p an, welcher nicht erwartungstreu aber MSE-konsistent ist. Belegen Sie Ihre Behauptung.
Aufgabe 3 (14 Punkte)
In einer Lotterie wird in jeder Runde mit 40% Wahrscheinlichkeit ein Euro ausgezahlt und mit 60% Wahrscheinlichkeit null Euro. Die einzelnen Runden sind unabh¨angig von- einander. Die Lotterie wird nun zweimal hintereinander durchgef¨uhrt. Folgende Zufalls- variablen werden definiert:
X 1 := ” Auszahlung in Runde eins“, X 2 := ” Auszahlung in Runde zwei“, Z := max(X 1 ,X 2 ).
a) (4 Punkte) Wie sind die Zufallsvariablen X 1 und X 2 jeweils verteilt?
b) (5 Punkte) Veranschaulichen Sie f¨ur die Zufallsvariablen X 1 und X 2 die gemeinsame Wahr- scheinlichkeitsfunktion f (x 1 ,x 2 ) in Form einer Kontingenztabelle.
c) (5 Punkte) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von Z an und bestimmen Sie E(Z) und V (Z).
Aufgabe 4 (12 Punkte)
Die Zufallsvariable R 1 steht f¨ur die monatliche Rendite einer Aktie in Prozent. R 1 kann als normalverteilt angesehen werden mit E(R 1 ) = 1% und V (R 1 ) = 4%^2.
a) (4 Punkte) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt ein Anleger, der die Aktie h¨alt, in einem zuf¨allig ausgew¨ahlten Monat einen Verlust?
b) (4 Punkte) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt ein Anleger, der die Aktie h¨alt, in einem zuf¨allig ausgew¨ahlten Monat einen Wertverlust von mehr als 3%?
c) (4 Punkte) Gehen Sie nun davon aus, dass f¨ur die Verteilung von R 1 nur bekannt ist, dass es sich um eine stetige und symmetrische Verteilung handelt, mit E(R 1 ) = 1% und V (R 1 ) = 4%^2. Treffen Sie unter diesen Voraussetzungen erneut eine Wahrscheinlichkeitsaussage f¨ur die Fragestellung aus Aufgabenteil b).
