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Klausur Statistik III WiSe 2018/
Aufgabe 1 (20 Punkte)
Es seien x 1 , ..., xn die Realisationen einer einfachen Zufallsstichprobe der Zufallsvaria- blen X, deren Dichtefunktion wie folgt lautet:
f (x) =
0 x < 0 λ^2 x · exp(−λx) 0 ≤ x, λ > 0
a) Geben Sie die Sch¨atzvorschrift f¨ur λ nach der Maximum-Likelihood-Methode an. Auf die ¨Uberpr¨ufung der hinreichenden Bedingung f¨ur ein Maximum kann verzich- tet werden. (15 Pkt.)
b) Bestimmen Sie f¨ur die Varianz eines erwartungstreuen Sch¨atzers f¨ur λ die untere Schranke nach Cram´er-Rao. (5 Pkt.)
Aufgabe 2 (12 Punkte)
Betrachten Sie die i.i.d. Zufallsvariablen Xi ∼ B(1, p).
a) Stellen Sie die momenterzeugende Funktion f¨ur Xi auf. (7 Pkt.)
b) Zeigen Sie, dass die momenterzeugende Funktion einer binomialverteilten Zufalls- variablen Y =
∑n i=1 Xi, mit Parametern^ n^ und^ p, wie folgt lautet:^ (5 Pkt.) mY (t) = (1 − p + pet)n
Aufgabe 3 (14 Punkte)
Die gemeinsame Dichtefunktion der stetigen bivariaten Zufallsvariablen (X, Y ) lautet:
f (x, y) =
1 16 (8^ −^4 y^ −^2 x^ +^ xy)^ f¨ur^0 ≤^ x^ ≤^4 und^0 ≤^ y^ ≤^2
0 sonst
Pr¨ufen Sie, ob die Zufallsvariablen X und Y stochastisch unabh¨angig sind.
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Klausur Statistik III WiSe 2018/
Aufgabe 4 (18 Punkte)
Zwei Unternehmen verkaufen M¨usli in 300g-Packungen. F¨ur die Abf¨ullung des M¨uslis verwenden beide die gleiche Maschine. Das Gewicht einer einzelnen Packung M¨usli Xi liegt herstellungsbedingt allerdings nicht immer bei 300g, sondern kann als stetig und unabh¨angig identisch verteilte Zufallsvariable angesehen werden mit
E(Xi) = 300g, V (Xi) = 4g^2.
a) Unternehmen A ¨uberpr¨uft das Gewicht jeder einzelnen Packung. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gewicht einer M¨uslipackung um mehr als f¨unf Gramm vom Sollwert 300g abweicht? (5 Pkt.)
b) Unternehmen B verwendet einen anderen Ansatz: Es untersucht, ob das Gewicht einer Palette Y (bestehend aus 40 Packungen) um 30g von ihrem Sollwert (12000g) abweicht und somit aussortiert werden muss. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Palette aussortiert werden muss? (7 Pkt.)
c) Berechnen Sie auf Basis Ihrer Ergebnisse aus b) die Wahrscheinlichkeit daf¨ur, dass von 10 Paletten zwei aussortiert werden m¨ussen. (6 Pkt.)
Aufgabe 5 (16 Punkte)
Ein Musikmagazin beklagt, dass die Spieldauer von Pop-Songs immer k¨urzer werde und somit f¨ur Radio und Streamingportale optimiert sei. Es wird behauptet, dass die Median- spieldauer aller Songs in den Charts k¨urzer als 3.5 Minuten ist. Aus den Top 100 ziehen Sie eine einfache Zufallsstichprobe. Die Spieldauer in Minuten, Xi, ist als stetig und symmetrisch verteilt zu betrachten.
i 1 2 3 4 5 6 7 xi 2.5 3.6 2.8 3.0 4.1 3.1 2.
a) L¨asst sich auf Basis dieser Stichprobe die Hypothese des Musikmagazins sichern (α = 0. 1 )? W¨ahlen Sie anhand der Informationen den geeignetsten Test. (12 Pkt.)
b) Wie w¨urden Sie vorgehen, wenn zus¨atzlich bekannt w¨are, dass die Spieldauer nor- malverteilt ist? Begr¨unden Sie Ihre Antwort. (Keine Rechnung erforderlich) (4 Pkt.)
Aufgabe 6 (20 Punkte)
Ein Hustensaft soll auf eine Flaschengr¨oße von 100ml einen Wirkstoff in einer Menge von 5g enthalten. Produktionsbedingt kommt es bei der normalverteilten Wirkstoffmen- ge zu Abweichungen. Im Rahmen einer einfachen Zufallsstichprobe im Umfang von 12 Flaschen wurden ein Stichprobenmittel von ¯x = 5. 3 g und eine Stichprobenvarianz von s^2 = 0. 25 g^2 ermittelt. Bei der Produktion sollte der Sollwert von 5g f¨ur den Wirkstoff im Durchschnitt eingehalten werden. Dar¨uber hinaus wird eine Varianz von h¨ochstens 0.2g^2 als zul¨assig betrachtet. Pr¨ufen Sie jeweils auf einem Signifikanzniveau von α = 0. 05 , ob die beiden Vorgaben verletzt werden.
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