1. Kolloquium Statistik III WiSe 2018/2019
Aufgabe 1
Sei Xeine diskrete Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsfunktion fund Verteilungs-
funktion F. Sei ferner der geordnete Wertebereich von Xgleich x1< x2< . . . < xn.
Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch?
a) Unter Umst¨
anden kann f(xi)<0sein.
b) F(x) = Pxi<x f(xi).
c) P(X > x) = 1 −F(x).
d) PxiF(xi) = 1.
e) Ist xi< xjso ist F(xi)≤f(xj).
f) f(xi) = F(xi)−F(xi−2)f¨
ur i= 2, . . . , n.
g) f(xi)< F(xi)f¨
ur alle i= 1, . . . , n.
h) f(x1) = F(x1).
Aufgabe 2
Gegeben sei folgende Dichtefunktion: fX(x) = 3x2f¨
ur 0≤x≤1, 0 sonst.
a) Zeigen Sie, dass es sich hierbei um eine Dichtefunktion handelt!
b) Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion zu der gegebenen Dichte!
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(X=3
4)und P(X > 1
2)!
d) Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen X!
e) Berechnen Sie die Standardabweichung von X!
f) Berechnen Sie E(Z) und Var(Z) f¨
ur Z= 15 + 4X!
g) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X im zweifachen
zentralen Schwankungsintervall liegt!
Aufgabe 3
Sei mXdie momenterzeugende Funktion der Zufallsvariablen X.
a) Zeigen Sie, dass gilt: ∂2mX
∂t2(0) = E(X2).
b) Zeigen Sie, dass allgemein f¨
ur ein beliebiges n∈Ngilt: ∂nmX
∂tn(0) = E(Xn).
c) Leiten Sie die Momenterzeugende Funktion f¨
ur eine Poisson-verteilte ZV her.
Lehrstuhl f¨
ur Quantitative Analyse (Statistik/ ¨
Okonometrie)
