Komplette Vorlesungfolien Biostatistik Winter 2019/2020 Prof. Klenke, Slides von Biostatistik

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Biostatistik, Winter 2019/

Folgen, Summen, Exponentialfunktion, Lambert-Beer

Prof. Dr. Achim Klenke

1. Vorlesung: 18.10.

Inhalt

(^1) Organisatorisches Themen Literatur (^2) Folgen Begriffsbildung Grenzwerte (^3) Summen und Produkte Summenzeichen Produktzeichen (^4) Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Logarithmus Lambert-Beer Gesetz

Organisatorisches Literatur

Literaturhinweise (UB Lehrbuchsammlung)

(^1) Steland, Mathematische Grundlagen der empirischen Forschung, Springer 2004 (^2) Bohl, Mathematik in der Biologie, Springer 2001 (^3) H. Vogt, Grundkurs Mathematik f ¨ur Biologen, 2. Aufl., Teubner,

(^4) A. Riede, Mathematik f ¨ur Biologen, Vieweg, 1993. (^5) F. B ¨arlocher, Biostatistik, Thieme, 1999. (^6) W. Timischl, Biostatistik : eine Einf ¨uhrung f ¨ur Biologen und Mediziner, 2. Aufl., Springer, 2000. (^7) W. K ¨ohler, G. Schachtel, P. Voleske, Biostatistik : eine Einf ¨uhrung f ¨ur Biologen und Agrarwissenschaftler, 4. Aufl., Springer, 2007. (Auch als E-Book vorhanden)

Organisatorisches

Quellen

Diese Vorlesung basiert in Teilen auf Material von Brooks Ferebee (Universit ¨at Frankfurt) Gaby Schneider (Universit ¨at Frankfurt) Anton Wakolbinger (Universit ¨at Frankfurt) Martin Hutzenthaler und Dirk Metzler (LMU M ¨unchen) Matthias Birkner (Uni Mainz)

Folgen Grenzwerte

Grenzwerte

Wir schreiben a = limn→∞ an, falls sich an f ¨ur großes n immer weiter an a ann ¨ahert. Beispiele

n^ lim→∞^1 n =^0 n^ lim→∞ n^2 =^ ∞

n^ lim→∞^2 +^1 /n

2 3 + 1 /n =^

2 3 n^ lim→∞(−^1 )n^ existiert nicht n^ lim→∞(^1 +^1 /n)n^ =^2.^71828...^ =^ e^ (Euler’sche Zahl) n^ lim→∞(^1 +^3 /n)−n^ =^ lim^1 m→∞(^1 +^1 /m)

3 m = 1 m^ lim→∞((^1 +^1 /m)m)^3 =^1 /e

(^3) = 0. 04978... (mit 3m = n)

Summen und Produkte Summenzeichen

Summenzeichen

Wir definieren (^) n ∑

i= 1

ai = a 1 + a 2 +... + an.

Summen und Produkte Summenzeichen

Beispiel: Geometrische Summe/Reihe

∑^9

i= 0

2 i^ = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29

= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023 = 210 − 1.

Allgemein ist ∑n

i= 0

ai^ = an+^1 − 1 a − 1

F ¨ur − 1 < a < 1 ist ∑^ ∞

i= 0

ai^ =

1 − a

Summen und Produkte Produktzeichen

Produktzeichen

Wir definieren (^) n ∏

i= 1

ai = a 1 · a 2 · · · an.

Beispiel

1

∏^5

i= 1

( 2 + i) = 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 2520

(^2) n! =

∏^ n

i= 1

i = 1 · 2 · 3 · · · n (sprich: ” n Fakult ¨at“)

Exponentialfunktion Exponentialfunktionen

Definition der Exponentialfunktionen

F ¨ur a > 0 sei fa(x) = ax^ f ¨ur x ∈ R. Nach den Rechenregeln f ¨ur Potenzen ist

fa( 0 ) = 1 fa( 1 ) = a fa(x + y) = fa(x) · fa(y) f ¨ur alle x, y ∈ R.

Diese drei Eigenschaften legen die Funktion fa eindeutig fest.

Exponentialfunktion Exponentialfunktionen

Asymptotik der Exponentialfunktionen

F ¨ur a > 1 gilt a < a^2 < a^3 <... und

n^ lim→∞ an^ =^ ∞. Also x^ lim→∞ fa(x) =^ ∞^ falls^ a^ >^1. Wegen fa(−x) · fa(x) = fa(−x + x) = fa( 0 ) = 1 ist fa(−x) = 1 /fa(x). Also gilt

x→−∞^ lim fa(x) =^0 falls^ a^ >^1.

Exponentialfunktion Exponentialfunktionen

Asymptotik der Exponentialfunktionen

F ¨ur a < 1 gilt a > a^2 > a^3 >... und

lim n→∞ an^ = 0.

Also x^ lim→∞ fa(x) =^0 falls^ a^ <^1. Wie oben gilt

x→−∞^ lim fa(x) =^ ∞^ falls^ a^ <^1. Dies folgt auch aus fa(x) = ax^ = ( 1 /a)−x^ = f 1 /a(−x).

Exponentialfunktion Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen fa mit a < 1

0.2x

0.5x

0.8x

Exponentialfunktion Exponentialfunktionen

Euler’sche Zahl

Die Euler’sche Zahl e ist

e =

∑^ ∞

n= 0

n!

Man pr ¨uft leicht, z.B. mit dem Taschenrechner, dass

∑^5

n= 0

n!

Exponentialfunktion Exponentialfunktionen

Nat ¨urliche Exponentialfunktion

Mit exp(x) = ex bezeichnen wir die nat ¨urliche Exponentialfunktion oder kurz die Exponentialfunktion. Wir werden noch sehen, was an dieser Wahl ”nat ¨urlich“ ist.