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Lineare Algebra (Mathe I) f¨ur Wirtschaftsinformatiker;
Zusammenfassung
v1.0, 26.03.1998 korrigiert 16. Februar 2000
Zusammenfassung Warnung: f¨ur die Richtigkeit der Definitionnen kann ich nicht garantieren. Es wurde verfasst als ein Teil der Dokumatation zum Programm ”Matrix“ und ver¨offentlich in der Hoffnung, daß es auch f¨ur andere n¨utzlich sein k¨onnte. Das Hauptaugenmerkt wurde auf die klare Beschreibung von Algorithmen gelegt. Es kann zugegeben schwer als eine einzige Lernvorlage dienen, weil es nichts erkl¨art und keine mathematische Beweise beinhalten.
Inhaltsverzeichnis
1 Beschreibung der Algorithmen; Mathe Definitionen 2 1.1 Eine Matrix.................................. 2
2 Grundliegende Algorithmen 2 2.1 Treppenform................................. 2 2.2 Treppennormallform............................. 3 2.3 Gauss Algorithmus.............................. 3 2.4 Gauss-Jordan Algorithmus.......................... 3
3 Lineare Gleichungssysteme 3 3.1 Definition................................... 3 3.2 L¨osungstypen von linearen Gleichungsystemen (LGS)........... 4 3.3 L¨osung von LGS............................... 5 3.4 Lineare Abbildungen und Matrizen...................... 6 3.5 Errechnen von Bild von Matrix........................ 7 3.6 Errechnen von Kern von Matrix....................... 8 3.7 L¨osung von (LGS) und lineare Abbildungen................. 8
4 Weitere Operationen auf Matrizen 9 4.1 Matrix-Multiplikation............................. 9 4.2 Matrix-Addition................................ 9 4.3 Matrixsubstraktion.............................. 9
- 4.4 linearer Unterraum
- 4.5 Inverse der Matrix
- 4.6 Determinante der Matrix
- 5 Optimierungsverfahren von linearen Ungleichungssystemen (Simplex)
- 5.1 Pivotieren
- 5.2 Eckenfindung-Algorithmus
- 5.3 Das Suchen nach einer speziellen L¨osung von Ax ≥ b
- 6 Andere Verfahren
- 6.1 N¨ahrungsl¨osung
- 6.2 Trasponente
- 6.3 Determinante Rekursiv
- 6.4 Charakteristisches Polynom
- 6.5 Matrixspiel
- Alle Sprungstellen ci j = 1
- In jeder Sprungstellen Spalte sind alle Elemente bis auf das Sprungstellen Element gleich Null
Treppennormalform ist eindeutig
2.3 Gauss Algorithmus
Benutzt um L¨osung 3.2 des linearen Gleichungsystem 3 zu finden. k-Spaltenzahl. Bringt die Matrix auf Treppenform 2.
- Suche die erste Spalte Matrix c, die nicht nur Nullen erh¨alt. Dies ist die j1-Spalte. Darin sei das Element ci j 1 6 = 0 Dann vertausche die i-te Zeile mit der ersten Zeile.
- F¨ur i=2,... .,k addiere der i-ten Zeilen das − cc 1 i jj 11 fache der 1. Zeile.
- Wende Schritt 1 und 2 auf Matrix c2, das entsteht wenn man aus Matrix c nur die Zeile 2 bis k nimmt und j ersten Stellen abschneidet.
Bemerkung: ci j 1 bedeutet: i.te Zeile j.te Spalte 1. Algorithmus Durchgang
Es gibt viele M¨oglichkeiten eine Matrix auf Treppenform zu bringen (Treppenform ist nicht eindeutig). Man kann, um sich die Rechnungen zu erleichtern, auch Zeilen wechseln oder Zeilen mit verschiedene Faktoren multiplizieren. F¨ur den Rechner ist das aber keine Erleich- terung. Der Algorithmus in dieser Form ¨andern nicht die Determinante 4.6 von Matrix.
2.4 Gauss-Jordan Algorithmus
Benutzt um L¨osung 3.2 des linearen Gleichungsystem 3 zu finden. Weiterentwicklung von Gauss Algorithmus 2.3. Bringt die Matrix auf Treppennormallform 2.2. k-Spaltenzahl
- Suche die erste Spalte Matrix c, die nicht nur Nullen erh¨alt. Dies ist die j1-Spalte. Darin sei das Element ci j 1 6 = 0 Dann vertausche die i-te Zeile mit der ersten Zeile. Dann dividiere die Zeile durch ci j 1
- F¨ur i=2,... .,k addiere der i-ten Zeilen das − ci j 1 fache der 1. Zeile. Mache alle Eintr¨age unterhalb ci j 1 zu Nullen.
- F¨ur alle Zeilen d=1,... ,i bilde 1. Zeile = 1. Zeile − cd j 1 ∗ ( i − teZeile ). Mache alle Eintr¨age oberhalb ci j 1 zu Nullen.
- Wende Schritt 1 und 2 auf Matrix c2, das entsteht wenn man aus Matrix c nur die Zeile 2 bis k nimmt und j ersten Stellen abschneidet.
Bemerkung: Gauss und Gauss-Jordan-Algorithmus unterscheiden sich im 1. Punkt. Beim GaussJordan wird die Zeile durch Sprungstelleneintrag dieser Zeile geteilt. Dadurch erreicht man, daß Sprungstelleneintrag auf 1 skaliert wird. Das “vereinfacht ” die Rechnung im Schritt
3 Lineare Gleichungssysteme
3.1 Definition
Def.: Ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen hat die Form
a 11 ∗ x 1 + a 12 ∗ x 2 + a 13 ∗ x 3 +... + a 1 n ∗ xn = b 1 a 21 ∗ x 1 + a 22 ∗ x 2 + a 23 ∗ x 3 +... + a 2 n ∗ xn = b 2 a 31 ∗ x 1 + a 32 ∗ x 2 + a 33 ∗ x 3 +... + a 3 n ∗ xn = b 3 : = : an 1 ∗ x 1 + an 2 ∗ x 2 + an 3 ∗ x 3 +... + ann ∗ xn = bn
ai j sind die Koeffizienten wenn bi 6 = 0 dann ist das ein homogenes Gleichungssystem, an- dernfalls inhomogenes
2.Die Matrix der Form a 11 a 12... a 1 n b 1 a 21 a 22... a 2 n b 2 : : : : an 1 an 2 an 3 ann bn
heißt erweiterte Koeffizientenmatrix (ohne b i einfach Koeffizientenmatrix)
Man kann mit Hilfe der elementaren Umformungen (sie ¨andern nicht die L¨osungsmenge) die Matrix in die Form bringen, in dem die L¨osung des Gleichungssystem ersichtlich (leicht zu berechnen) ist. Gauss und Gauss-Jordan Algorithmus benutzen nur solche Umformungen. Zu solchen Umformungen geh¨oren:
- Vertauschen zwei Zeilen
- Multiplikation einer Zeile mit Zahl 6 = 0
- Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile
3.2 L¨osungstypen von linearen Gleichungsystemen (LGS)
Es gibt drei m¨oglichen L¨osungstypen von Linearen Gleichungssystemen (LGS)
- LGS hat keine L¨osung, dann Ergebnissmatrix ist leer.
- LGS hat eine L¨osung, wenn Ausgangsmatrix m × n dann Ergebnissmatrix (n-1)*
x 1 x 2 : xn − 1
Suche Basis des L¨osung des homogenen Gleichungssystem (Schritt 6)
1 5 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 0
Setzt man f¨ur x 2 = 1 und x 4 = 0 erh¨alt man
1 ∗ x 1 + 5 ∗ 1 + 0 ∗ x 3 + 0 ∗ x 3 + 0 ∗ x 4 = 0 0 ∗ x 1 + 0 ∗ x 2 + 1 ∗ x 3 + 2 ∗ 0 + 0 ∗ x 4 = 0 0 ∗ x 1 + 0 ∗ x 2 + 0 ∗ x 3 + 0 ∗ x 3 + 0 ∗ x 4 = 0
also x 1 + 5 = 0
Ein Vektor der Basis − 5 0 0 0 0
Den zweiten Vektor erh¨alt man wenn man x 2 =0 und x 4 =1 einsetzt also
x 2 + 2 = 0
Die dazugeh¨orige Ergebnissmatrix w¨are
2 − 5 0 0 0 − 2 4 0 0 0 0 0 5 0 0
was bedeutet x 1 = 2 − 5 ∗ a x 2 = − 2 ∗ b x 3 = 4 x 4 = 0 x 5 = 5
wobei a,b frei w¨ahlbar
3.4 Lineare Abbildungen und Matrizen
Sei A eine m × n Matrix, sei definiert die Abbildung φ
Kn^ → Km
Kn - lineares Unterraum von Dimension n
x → A ∗ x = φ A ( x )
~ x = einVektor ( n × 1 )
~ x =
x 1 x 2 : xn
Die Abbildung φ ist linear 4.
Def.: Die Menge {φ A ( x ) | x ∈ Kn } heißt Bild von φ A. Sie ist Teilmenge von Kn^ und ein linearer Unterraum von Kn.
Das Finden von Bild von A 3.
Def.: Die Menge { x ∈ Kn^ | φ A ( x ) = 0 } heißt Kern von φ A. Sie ist Teilmenge von Kn^ und ein linearer Unterraum von Kn.
Das Finden von Kern von A 3.
Satz: Sei φ AKn^ → Km ( Aeinem × nMatrix )
(A eine m × n Matrix)
Dann gilt: dimKern φ A + dimBild φ A = n
3.5 Errechnen von Bild von Matrix
Man muß die Basis des auf den Spalten Vektoren aufgespannten linearen Unterraums finden. Am einfachsten geht man vor, wenn man die Matrix auf Treppenform 3 bringt und alle Spaltenvektoren aus Ursprungsmatrix zur L¨osung nimmt, die Sprungstellen haben. z.B.
0 1 2 1 2 3 0 1 2 2 3 4 0 1 2
eine L¨osung ist Nullvektor; Kern ist − (^13) − (^1 ) 0
der Kern ist nicht eindeutig (Es gibt viele unterschiedliche Kerne von einer Matrix)
3.7 L¨osung von (LGS) und lineare Abbildungen
Ein LGS kann man als lineare Abbildung betrachten
a 11 ∗ x 1 + a 12 ∗ x 2 + a 13 ∗ x 3 +... + a 1 n ∗ xn = b 1 a 21 ∗ x 1 + a 22 ∗ x 2 + a 23 ∗ x 3 +... + a 2 n ∗ xn = b 2 a 31 ∗ x 1 + a 32 ∗ x 2 + a 33 ∗ x 3 +... + a 3 n ∗ xn = b 3 : = : an 1 ∗ x 1 + an 2 ∗ x 2 + an 3 ∗ x 3 +... + ann ∗ xn = bn
als A ∗~ x =~ b wo A die Koeffizienten Matrix 3
betrachte A: φ A ( x ) = A ∗ x : Kn^ → Km^ dann φ A ( x ) = b
Dann gilt:
- LGS ist genau dann l¨osbar, wenn b in Bild 3.5 von φ A ( x )
- L¨osungsmenge=spezielle L¨osung+Kern 3.6 φ A ( x )
4 Weitere Operationen auf Matrizen
4.1 Matrix-Multiplikation
Sei A eine m × n Matrix
sei B eine n*t Matrix
A =
a 11... a 1 n : : : am 1... amn
B =
b 11... b 1 t : : : bn 1... ant
Dann ist C=A*B eine m × t Matrix mit
C =
c 11... c 1 t : : : cm 1... cmt
ci j - i te Zeile von A; j te Spalte von B
ci j = ai 1 ∗ b 1 j + ai 2 ∗ b 2 j + ai 3 ∗ b 3 j +... + ainbn j
4.2 Matrix-Addition
Sei A eine m × n Matrix sei B eine m × n Matrix
A =
a 11... a 1 n : : : am 1... amn
B =
b 11... b 1 n : : : bm 1... amn
Dann ist C=A+B eine m × n Matrix mit
C =
c 11... c 1 n : : : cm 1... cmn
ci j - i te Zeile von A,B; j te Spalte von A,B
ci j = ai j + bi j
4.3 Matrixsubstraktion
Sei A eine m × n Matrix sei B eine m × n Matrix
A =
a 11... a 1 n : : : am 1... amn
B =
b 11... b 1 n : : : bm 1... amn
Dann ist C=A-B eine m × n Matrix mit
C =
c 11... c 1 n : : : cm 1... cmn
ci j - i te Zeile von A,B; j te Spalte von A,B
ci j = ai j − bi j
4.4 linearer Unterraum
Def.: linearer Unterraum
Eine Teilmenge U von Kn^ heißt linearer Unterraum wenn gilt,
- f¨ur alle a ∈ K (a Element von K) und u ∈ U u Element von U gilt a*u ist ein Element in U
- f¨ur alle u 1 ∈ U ∧ u 2 ∈ U =⇒ u 1 + u 2 ∈ U ;f¨ur alle u 1 Element von U und u 2 Element von U u 1 + u 2 ist wieder in U
- Rekursiv (In dem Programm nicht implementiert), sie ist wegen exponential wachsen- den Aufwand nicht bevorzuziehen.
- Durch Hilfe von Gauss-Algorithmus 2.3. Man benutzt dabei zwei Eigenschaften: - Addiert man das x-Fache einer Zeile zu einer anderen Zeile, dann ¨andert sich die Determinante nicht. - Vertauscht man zwei Zeilen, dann ¨andert sich die Determinante um Faktor -1.
Ist die Matrix in Treppenform 3 bekommt man die Determinante, indem man alle Diagonalen Eintr¨age (mit Index i,i) miteinander multipliziert und gegeben falls um Faktor aus Punkt b) korrigiert.
5 Optimierungsverfahren von linearen Ungleichungs-
systemen (Simplex)
Problem: Suche die beste (optimale) L¨osung eines Ungleicheungssystem bez¨uglich einer zu maximierenden Funktion G (~ x ).
- Bringe alle Ungleichungen in die Form
a 11 ∗ x 1 + a 12 ∗ x 2 + a 13 ∗ x 3 +... + a 1 n ∗ xn ≥ b 1 a 21 ∗ x 1 + a 22 ∗ x 2 + a 23 ∗ x 3 +... + a 2 n ∗ xn ≥ b 2 a 31 ∗ x 1 + a 32 ∗ x 2 + a 33 ∗ x 3 +... + a 3 n ∗ xn ≥ b 3 : : : am 1 ∗ x 1 + am 2 ∗ x 2 + am 3 ∗ x 3 +... + amn ∗ xn ≥ bm
evtl. durch Multiplikation mit -1 und Einsetzen von Gleichungen in die Ungleichungen
- sei gegeben eine zu maximierende Funktion G
G ( x 1 +... + xn ) = G (~ x ) = g 0 + g 1 ∗ x 1 + g 2 ∗ x 2 +... + gn ∗ xn = g 0 +~ g (~ x )
(wenn G zu Minimieren ist, dann durch -1 Multiplizieren)
- Die Ausgangsmatrix zum Simplex Algorithmus hat das Aussehen a 11 a 12 a 13... a 1 n b 1 a 21 a 22 a 23... a 2 n b 2 : : : : : b 3 am 1 am 2 am 2... amn bm g 1 g 2 g 3... gn G
Letzte Spalte heißt Gewinnspalte Allgemein:
A b g G
Bedeutet A (~ x ) ≥~ b und G = g 0
- Finde eine L¨osung des Ungleichungsystems 5.3 sei ~ u diese L¨osung A ∗~ u ≤~ b , dann k = A ~ x −~ b Vektor ~ k hat Eintr¨age nur gr¨oßer oder gleich Null Ausgangsmatrix zum Eckenfindungsalgorithmus (m+1)*(n+1) a 11 a 12 a 13... a 1 n k 1 a 21 a 22 a 23... a 2 n k 2 : : : : : k 3 am 1 am 2 am 2... amn km g 1 g 2 g 3... gn G
G = G (~ u ) = g 0 + g 1 ∗ u 1 + g 2 ∗ u 2 +... + gn ∗ un
- Benutze Ekenfindung-Algorithmus 5.
- Wenn der Eckenfindung Algorithmus beim Maximumkriterium (1. Schritt) abbricht dann gilt. Wir haben l verschiedene Spalten verarbeitet und daher l verschiedene Zeilen erhalten, die jetzt Standartbasis Vektoren sind ( 0 ,.. ., 1 ,.. ., 0 ) mit n+1 Koordinaten und mit “1” an einer der ersten n-Stellen. Es seien i 1 ,.. ., il diese Zeilenindizies. Wir setzen zus¨atzlich voraus, daß die Gewinnzeile g(l) von B(l) nur negative Eintr¨age erh¨alt gi ( l ) ≥ 0
Wenn nicht dann fahre fort mit Schritt 8 Dann gibt es eine optimale L¨osung(en) auf Ax ≥ b diese erh¨alt man folgendermaßen. Man nehme die Zeile i 1... il von A und b der Ausgangsmatirx und betrachtet ( A ) ∗~ x = ( b )
Dies ist l¨osbar und jede L¨osung 3.2 y davon erf¨uhlt A ∗~ y ≥ b und G (~ y ) ist ein Maximum von A ∗ y ≥ b.
- Wenn der Eckenfindung-Algorithmus beim Quotientenkriterium endet (2. Schritt) (zwar Spalte keine Zeile), dann ist die Gewinnfunktion G auf der L¨osung Menge A ∗ x ≥ b nach oben unbeschr¨ankt (kein Maximum)
- Benutze Eckenaustausch-Algorithmus. Beim ihm gelten die Selbe Regel wie beim Eckenfindung-Algorithmus 5.2. Nur die Spalten werden nicht markiert und der Al- gorithmus endet wenn alle Eintr¨age in der Gewinnzeile gi negativ sind. Es kann pas- sieren, daß dieser Algorithmus nicht endet (nicht terminiert). Ich konnte leider keine Abbruchbedingung in der Literatur finden, obwohl solche existiert. Im Programm en- det der Algorithmus nach n Schritten.
5.1 Pivotieren
Spaltenpivotierung an der Stelle (^) i j
b 11 b 12 b 13... b 1 n b 21 b 22 b 23... b 2 n : : : : : bm 1 bm 2 bm 2... bmn
5.3 Das Suchen nach einer speziellen L¨osung von Ax ≥ b
- wenn alle bi ≤ 0 ( i = 1 , .., m ) dann ist ~ u = 0 (Vektor) eine L¨osung von A ∗ x ≥ b sonst,
- Betrachte die Matrix
A ˆ = A
A ˆ ist eine m × ( n + 1 ) Matrix. Man f¨ugt zu Matrix A einfach eine Spalte mit nur “- ” zu
- f¨uge zu x eine neue Koordinate
x ˆ =
x 1 x 2 : xn xn + 1
Betrachte ˆ A ∗ x ˆ ≥ b
- Sei w = max ( bi | 1 ≤ i ≤ m ) dann ist
u ˆ =
− w
eine L¨osung von ˆ A ∗ x ˆ ≥ b
- Ist ˆ v =
v 1 v 2 : vn + 1
eine L¨osung von ˆ A ∗ x ˆ ≥ b ( Suche nach dieser L¨osung mit Eckenfindung
evtl. Eckenaustauschalgorithmus 5) mit vn + 1 ≥ 0 dann ist v =
v 1 v 2 : vn
eine L¨osung von
A ∗ x ≥ b
- Wenn f¨ur alle L¨osungen ˆ v von ˆ A ∗ x ˆ ≥ b immer gilt vn + 1 < 0 dann hat A ∗ x ≥ b keine L¨osung
Anmerkungen: Man kann den Algorithmus verk¨urzen. Es wird nur eine L¨osung von ˆ A ∗ x ˆ ≥ b nicht unbedingt die optimale L¨osung gesucht. Man kann den o.g. Algorithmus abbrechen sobald der Gewinn positiv ist. Es gibt dann eine L¨osung des Gleichungssystem
A ∗ s = k ( l )^ − k k = A ∗ u − b
(k ist der Anfangsvektor) f¨ur die gilt
G ( s + u ) ≥ 0
Jede L¨osung von A ∗ x = k ( l ) + b + G ( l ) ∗ Einheitsvektor erf¨uhlt A ∗ v ≥ b
6 Andere Verfahren
6.1 N¨ahrungsl¨osung
Sei A eine m × n Matrix und b Element Rm dann gilt f¨ur das Gleichungssystem
( At^ ∗ A ) ∗ x = At^ ∗ b
At^ ist eine Trasponente von A
ist immer l¨osbar und die L¨osungen sind die besten L¨osungen von A ∗ x = b
“beste L¨osung ” Das heißt wenn u diese L¨osung ist dann f¨ur alle v
| A ∗ u − b |<| Av − b |
also ist | A ∗ u − b | minimal. | a | ist die L¨ange von a und ist definiert als
| a |=
a 1 + a 2 +... + an
6.2 Trasponente
Die Transponente von A m × n Matrix ist eine At^ n × m Matrix, wo die Spalten von At^ die Zeilen von A sind.
6.3 Determinante Rekursiv
Die Determinante l¨aßt sich auch rekursiv berechnen. Diese Methode wird auch als Standart- methode betrachtet. Im Tkmatrix wird es aber nur verwendet um charakteristisches Polynom zu berechnen. Seit Version 0.5 wird es mit Hilfe von einen Backtracking Algorithmus ver- mieden, daß Determinanten mehrfach von gleichen Matrizen berechnet werden. Das wird aber mit hohen Speicheraufwand bezahlt.
Zuerst Hilfsdefinition:
Def.: Streichungs Matrix Sei A eine [m× n] Matrix ¨uber den K¨orper K. Unter der ij-ten Streichungsmatrix Ai j versteht man die Matrix, die man erh¨alt wenn man aus A die i-te Zeile und j-te Spalte streicht.
