Lineare Gleichungen mit zwei Variablen - Grundwissensblatt 8. Klasse, Grafiken und Mindmaps von Mathematik

Nur auf Docsity: Lade Lineare Gleichungen mit zwei Variablen - Grundwissensblatt 8. Klasse und mehr Grafiken und Mindmaps als PDF für Mathematik herunter! 1 Grundwissensblatt 8. Klasse IV. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 1. Eigenschaften von linearen Gleichungen mit zwei Variablen Alle linearen Gleichungen der Form ax + by = c (oder auch y = mx + t) erfüllen: Jede Lösung ist ein Zahlenpaar, bestehend aus einer x- und einer y-Koordinate (x|y) Es gibt unendlich viele Lösungen Die Punkte, die der Lösung entsprechen liegen auf einer Geraden Normalfall: Die Geraden zweier Gleichungen schneiden such in einem Punkt, d.h. es gibt genau eine Lösung Lösung (1|1) Sonderfall 1: Die Geraden sind verschieden und parallel, d.h. es gibt keine Lösung Keine Lösung; L = { } (x|y) (1|1) (3|3) 2 Sonderfall 2: Die Geraden fallen zusammen, d.h. es gibt unendlich viele Lösungen L = {(x|y)| y = x + 2} 2. Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen Bei linearen Ungleichungen mit zwei Variablen der Form 2y – 8x < -4 entspricht die Lösungsmenge in einem Koordinatensystem einer Halbebene. Beispiel y > 4x – 2 y = 4x – 2 1 2 3 4 5 1 2 3 -1 -2 5 Additionsverfahren: Addition der beiden Gleichungen 1. Addition beider Gleichungen, sodass eine der beiden Variablen wegfällt (I) -5x + 4y = 56 (II) 5x + 2y = -26 (I) + (II) : -5x + 4y + (5x + 2y) = 56 + (-26) 6y = 30 y = 5 (*) 2. Lösung der durch Addition entstandenen Gleichung wird in eine der ursprünglichen Gleichungen eingesetzt, um die andere Variable zu bestimmen 3. Angabe des Zahlenpaars (*) in (II) einsetzen: 5x + 2·5 = -26 x = 7,2 Lösung: = {(7,2; 5)} 6. LGS in Anwendungssituationen 1. Variablen einführen 2. Gleichungen aufstellen 3. Gleichungssystem lösen 4. Ergebnis überprüfen und formulieren + + = = Häufig muss eine Gleichung mit einer geeigneten Zahl multipliziert werden. z.B. (I) 8x – 6y = 34 (II) -4x – 9y = 12 Hier muss die zweite Gleichung mit 2 multipliziert werden, damit die Variable x rausfällt. 6 VI. Gebrochen rationale Funktionen 1. Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen Funktionsterme der Form f(x) = 1 𝑥 , g(x) = 2 𝑥+4 oder h(x) = 6−𝑎 𝑎2 nennt man Bruchterme oder gebrochen rationale Funktionen. Die Zahlen für die der Nenner des Bruchs Null wird, sind nicht in der Definitionsmenge enthalten (Definitionslücke). Asymptote: - eine Gerade, der sich der Graph einer gebrochen rationalen Funktion beliebig genau annähert - Unterschied zwischen waagrechter und senkrechter Asymptote a) Die senkrechte Asymptote, z.B. x = -4, ist eine Gerade durch die Definitionslücke b) Die waagrechte Asymptote lässt sich leicht durch Einsetzen betragsmäßig hoher x-Werte, wie z.B. 100 oder 1000, feststellen waagrechte Asymptote y = 0 Senkrechte Asymptote x = -2 7 2. Rechnen mit Bruchtermen Damit man einen Bruchterm kürzen kann, müssen Nenner und Zähler zuerst faktorisiert werden. Danach wird durch den gemeinsamen Faktor geteilt. z.B. muss man den Term 4𝑥 𝑥2+2𝑥 erst faktorisieren, da im Nenner eine Summe steht. Nach Faktorisieren und Kürzen mit x erhält man: 4𝑥 𝑥2+2𝑥 = 4𝑥 𝑥(𝑥+2) = 4 𝑥+2 wobei x≠ 0 sein muss Beachte: Für den Ausgangsterm sind 0 und -2 nicht definiert, d.h. nicht in der Definitionsmenge enthalten, für den gekürzten Term aber nur -2 nicht. Die Äquivalenz beider Terme ist deshalb nur für x \ {0;-2} gegeben. Beim Addieren bzw. Subtrahieren von Bruchtermen addiert bzw. subtrahiert man den Zähler und den Nenner behält man bei. z.B. −5 6(𝑥−4) + 6−2𝑥 6(𝑥−4) = −5+6−2𝑥 6(𝑥−4) = 1−2𝑥 6(𝑥−4) Wenn die Bruchterme, die man addieren bzw. subtrahieren will, nicht den gleichen Nenner haben, muss man sie zuerst auf den gleichen Nenner bringen, bevor man sie addiert (subtrahiert). z.B. 3 𝑥 – 2 𝑥−2 = 3(𝑥−2) 𝑥(𝑥−2) – 2𝑥 𝑥(𝑥−2) = 3𝑥−6−2𝑥 𝑥(𝑥−2) = 𝑥−6 𝑥(𝑥−2) Wenn man Bruchterme miteinander multipliziert, wird Nenner mit Nenner multipliziert und Zähler mit Zähler. z.B. 2𝑥 4(3−𝑥) · 3−𝑥 𝑥+5 = 2𝑥(3−𝑥) 4(3−𝑥)(𝑥+5) = 2𝑥 4(𝑥+5) Man dividiert durch Bruchterme, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert. z.B. 3𝑥 ꞉ 6𝑥2 5 = 3𝑥 1 · 5 6𝑥2 = 3𝑥·5 3𝑥·2𝑥 = 5 2𝑥 Man geht beim Rechnen mit Bruchtermen genauso vor wie beim Rechnen mit Brüchen. Erweitern mit (x - 2) bzw. x Kürzen von (3 – x) Kürzen von 3x