Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen-mit Übungen, Übungen von Mathematik

Nur auf Docsity: Lade Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen-mit Übungen und mehr Übungen als PDF für Mathematik herunter! i i i i i i i i 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen 10.1 Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen Die 4B und die 4C werden zum Abschluss des Schuljahres gemeinsam eine mehrtägi- ge Reise unternehmen. Nach einer langen Planungsphase sind das Reiseziel, die Un- terkunft und die Organisation der Anreise festgelegt. In der Unterkunft werden für die Schülerinnen und Schüler Dreibettzimmer und Vierbettzimmer zur Verfügung stehen. Nun geht die Planerei von neuem los: Wer geht mit wem in ein Zimmer? Schließlich soll niemand überbleiben und kein Zimmer unterbelegt sein. Wie geht sich das für die 24 Mädchen und 23 Burschen der beiden Klassen gut aus? In diesem Kapitel lernst du 1. lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten kennen, 2. wie man ihre Lösungsmenge angibt und grafisch darstellt, 3. dass zwei zusammengehörige lineare Gleichungen ein Glei- chungssystem bilden, 4. wozu man solche Gleichungssysteme brauchen kann und 5. wie man sie sowohl grafisch als auch rechnerisch lösen kann. 901 8 Dreibettzimmer und 0 Vierbettzimmer, 4 Dreibettzimmer und 3 Vierbettzimmer, 0 Dreibettzimmer und 6 Vierbettzimmer 901I2)H1K1 Welche Möglichkeiten der Aufteilung auf Dreibettzimmer und Vierbettzimmer gibt es für die 24 Mädchen? Löse durch Probieren und versuche alle Möglichkeiten anzugeben! In Aufgabe 901 konntest du die Lösungen durch Probieren finden. Werden bei vergleich- baren Aufgabenstellungen die Zahlen größer oder sind auch andere Zahlen als nur natürliche Zahlen im Spiel, wird es schnell schwierig, alle Lösungen durch Probieren zu finden. Probieren, vor allem systematisches Probieren, ist bereits eine wichtige mathemati- sche Tätigkeit. Eine mathematische Darstellung hilft, nun tatsächlich alle Lösungen zu erfassen. Dazu schreiben wir die (unbekannte) Anzahl der Dreibettzimmer mit x an und die (unbekannte) Anzahl der Vierbettzimmer mit y. i i i i i i i i 10.1 Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen 185 Dann ist die Anzahl der in Dreibettzimmern untergebrachten Mädchen 3x , die Anzahl der in Vierbettzimmern untergebrachten Mädchen 4y . Da es insgesamt 24 Mädchen sind, lässt sich der Sachverhalt durch die Gleichung 3x + 4y = 24 darstellen. Eine solche Gleichung heißt eine lineare Gleichung mit zwei Variablen (x und y). Die Lösung einer solchen Gleichung wird als geordnetes Zahlenpaar (x |y) angeschrie- ben. Z. B. ist das Zahlenpaar (4|3) eine Lösung der Gleichung 3x + 4y = 24, weil es die Gleichung erfüllt. Es gilt nämlich 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 3 = 24 und das ist eine wahre Aussage. Die Menge aller Zahlenpaare, die beim Einsetzen in die Gleichung eine wahre Aussage liefern, heißt die Lösungsmenge der Gleichung. Da wir die Mädchen nicht zerteilen können, lassen wir für die Lösungen der Gleichung nur natürliche Zahlen zu, die Grundmenge G besteht daher aus den natürlichen Zahlen: G = ℕ. Für G = ℕ besteht die Lösungsmenge aus den drei Zahlenpaaren: L = {(8|0); (4|3); (0|6)} Denn nur diese drei Zahlenpaare (G = ℕ) liefern eingesetzt in die Gleichung eine wahre Aussage. Damit ist die Aufgabe gelöst. Lässt man aber, losgelöst von der ursprünglichen inhaltlichen Aufgabenstellung, die re- ellen Zahlen als Lösungen der Gleichung zu, also G = ℝ, so hat die Gleichung unendlich viele Lösungen. Denn zu jedem beliebigen Wert für x ∈ ℝ lässt sich der zugehörige y-Wert berechnen: z. B. x = 4,2 eingesetzt in die Gleichung: 3 ⋅ 4,2 + 4y = 24 ⇒ 4y = 11,4 ⇒ y = 2,85 Das Zahlenpaar (4,2|2,85) ist daher eine Lösung der Gleichung (für die Grundmenge G = ℝ). Analog kann man zu jedem anderen x-Wert den zugehörigen y-Wert berechnen bzw. auch umgekehrt zu jedem y-Wert den zugehörigen x-Wert. Allgemein gilt: 4y = −3x + 24 y = − 3 4 x + 6 Die Lösungsmenge für G = ℝ besteht daher aus unendlich vielen Zahlenpaaren. Da man sie nicht alle auflisten kann, wird die Lösungsmenge in folgender Mengenschreibweise angegeben: L = {(x |y) | y = − 3 4 x + 6, x ∈ ℝ, y ∈ ℝ} Das bedeutet ” Die Lösungsmenge L besteht aus allen Zahlenpaaren (x |y), für die der Zusammenhang y = − 3 4 x + 6 besteht. x und y sind reelle Zahlen.“ i i i i i i i i 188 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen 10.2 Grafisches Lösen linearer Gleichungssysteme ?? Zu Beginn des letzten Abschnitts hast du über die geplante Reise der 4B und der 4C erfahren. Die 24Mädchenmussten überlegen, wie sie sich auf die Drei- und Vierbettzimmer aufteilen werden. Endlich haben sie sich geeinigt! ” Wie viele Dreibettzimmer und wie viele Vierbettzimmer soll ich denn nun für euch bestellen?“ , fragt die Lehrerin, die den Schlussausflug leitet. ” Dürfen wir Ihnen ein Rätsel stellen?“ , fragen die Mädchen grinsend zurück. ” Eigent- lich wollte ich ja rasch die Organisation abschließen, aber wenn es ein gutes Rätsel ist, dann her damit“ , antwortet die Lehrerin. ” Wir haben die Zimmer so eingeteilt, dass wir insgesamt 7 Zimmer brauchen“ , sagt Sara. 911 4 Dreibettzimmer und 3 Vierbettzimmer 911 Wie viele Dreibett- und Vierbettzimmer muss die Lehrerin nun tatsächlich für die Mädchen bestellen, wenn es insgesamt 7 Zimmer sein sollen? Wenn du die Ergebnisse aus Aufgabe 901 verwendest, ist die Lösung besonders einfach. Ursprünglich hatten die Mädchen drei Möglichkeiten, die Zimmer einzuteilen. Durch die neue Information, dass die Mädchen insgesamt 7 Zimmer benötigen, bleibt nur eine Möglichkeit als Lösung über. Auch diese neue Information lässt sich als lineare Gleichung anschreiben, man erhält so zwei lineare Gleichungen zu einem Sachverhalt: Ursprüngliche Information: Für 24 Mädchen stehen Dreibett- und Vierbettzimmer zur Verfügung: 3x + 4y = 24 (vgl. mit Seite 185) Neue Information: Die Mädchen benötigen insgesamt 7 Zimmer: x + y = 7 Insgesamt erhält man ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen: I: 3x + 4y = 24 II: x + y = 7 912 Das Zahlenpaar muss beide Gleichungen erfüllen, d. h., eingesetzt muss für beide Gleichungen eine wahre Aussage entstehen. 912I2)H4K3 Überlegt zu zweit: Welche Bedingungen muss ein Zahlenpaar (x|y) erfüllen, damit es Lösung eines Gleichungssystems, also von beiden Gleichungen, eine Lösung ist? Lineares Gleichungssystem Zwei zusammengehörende lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden ein lineares Gleichungssystem: I: a1x + b1y = c1 II: a2x + b2y = c2 Ein Zahlenpaar (x |y) ist Lösung des Gleichungssystems, wenn es beide Gleichungen erfüllt. i i i i i i i i 10.2 Grafisches Lösen linearer Gleichungssysteme 189 913 (−1|2)(1|10) ○ (0,5|8) ○ (−1|2) ○× (5| − 7) ○ 913I2)H3K1 Welches der Zahlenpaare ist Lösung des gegebenen Gleichungs- systems? Kreuze an! 4x – y = -6 3x + 2y = 1 914 I:–10 ⋅ (–1) + 7 ⋅ 3 = 31 w.A. und II: 8 ⋅ (–1)+ 5 ⋅ 3 = 7 w. A. 914I2)H2K1 Zeige durch Einsetzen in die beiden Gleichungen, dass das Zahlenpaar (–1|3) Lö- sung des Gleichungssystems ist: I: –10x + 7y = 31 II: 8x + 5y = 7 915 I: 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 3 = 24 w.A. und II: 4 + 3 = 7 w. A. 915I2)H2K1 Weise durch Einsetzen in die beiden Gleichungen des Gleichungssystems I: 3x + 4y = 24 II: x + y = 7 nach, dass die Lösung, die du in Aufgabe 911 gefunden hast, tatsächlich eine Lösung des Gleichungssystems ist! Grafisches Darstellen von linearen Gleichungssystemen Da sich eine lineare Gleichung als Gerade grafisch darstellen lässt, kann man auch ein lineares Gleichungssystem grafisch darstellen: Im Koordinatensystem werden zwei Geraden eingezeichnet. Schneiden die beiden Geraden einander, dann Erfüllen die Koordinaten des Schnittpunk- tes S(xs |ys) beide Gleichungen. Das Zahlenpaar (xs |ys) ist daher Lösung des Gleichungs- systems. 916 (1) I: k = 2, d = –1, y = 2x – 1 II: k = –1, d = 5, y = –x + 5 (2) I: –2x + y = –1, II: x + y = 5 (3) (xs |ys) = (2|3) 916I2)H1K2 ♦ Welches lineare Gleichungssystem ist hier grafisch dargestellt? (1) Bestimme für beide Geraden die Steigung k und den Achsenabschnitt d und gib die zu- gehörigen Gleichungen in der Form y = kx + d an! (2) Gib beide Gleichungen auch in der Form ax + by = c an! (3) Entnimm der Zeichnung die Koordinaten xs und ys des Schnittpunktes S und überprü- fe durch Einsetzen in beide Gleichungen, ob (xs |ys) eine Lösung des linearen Gleichungssys- tems ist! 917 (1) I: y = 2x + 4, II: y = – 1 2 x + 3 2 (2) – (3) S(–1|2) (4) I: –2 ⋅ (–1) + 2 = 4, II: (–1) + 2 ⋅ 2 = 3 917 Gegeben ist das lineare Gleichungssystem I: –2x + y = 4 II: x + 2y = 3 (1)I2)H2K1 Forme die Gleichungen in die Form y = kx + d um! (2)I2)H1K1 Stelle die beiden Gleichungen im Koordinatensystem grafisch dar! (3)I2)H3K1 Bestimme die Koordinaten xs und ys des Schnittpunktes S der beiden Geraden! (4)I2)H2K1 Zeige, dass die beiden Werte xs und ys die beiden Gleichungen aus der Angabe erfüllen! Setze sie dazu in die Gleichungen ein! i i i i i i i i 190 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen Grafisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme I: x + 2y = 6 II: x – y = 3 1. Forme die beiden Gleichungen um und stelle sie in der Form y = kx + d dar: I: y = − 1 2 x + 3 II: y = x – 3 2. Zeichne die zu den Gleichungen gehören- den Geraden im Koordinatensystem ein! 3. Entnimm aus der Zeichnung die Koordina- ten xs und ys des Schnittpunktes S der bei- den Geraden. Das Zahlenpaar S(xs |ys) ist die Lösung des Gleichungssystems: Schnittpunkt S(4|1) ⇒ L = {(4|1)} Probe: Das Zahlenpaar muss beide Gleichungen erfüllen. Eingesetzt in die beiden Ausgangs- gleichungen liefern xs und ys für beide Gleichungen eine wahre Aussage: I: 4 + 2 ⋅ 1 = 6 6 = 6 w.A. II: 4 – 1 = 3 3 = 3 w.A. 918 a) L = {(4|2)} b) L = {(0|4)} 918I2)H2K2 Bestimme grafisch die Lösung des linearen Gleichungssystems! Führe auch die Probe durch! a) I: y = –x + 6 II: y = 1 4 x + 1 b) I: y = 1 4 x + 4 II: y = –2x + 4 919 a) L = {(1|3)} b) L = {(3|0)} 919I2)H2K2 Löse das lineare Gleichungssystem grafisch und führe rechnerisch die Probe durch! a) I: y = 3x II: y = –3x + 6 b) I: y = 1 3 x – 1 II: y = − 5 3 x + 5 Tipp 10.2 Computerunterstütztes Arbeiten hilft den Zeitaufwand des grafischen Lösungsver- fahrens zu reduzieren. Das kostenlos erhältliche Programm GeoGebra (www.geoge- bra.org) eignet sich dafür besonders (siehe S. 14.5). 920 a) L = {(–2|4)} b) L = {(0|1)} c) L = {(–3|0)} d) L = {(2|5)} 920I2)H2K2 Ermittle die Lösung des linearen Gleichungssystems grafisch! Überprüfe dein Ergebnis durch Einsetzen in die beiden Gleichungen! a) I: − 1 2 x + 2y = 9 II: 3x + 2y = 2 b) I: 3x + y = 1 II: –4x + 2y = 2 c) I: –5x + 3y = 15 II: x + 3y = –3 d) I: – 1 2 x – 2y = –11 II: x – y = –3 i i i i i i i i 10.3 Rechnerisches Lösen linearer Gleichungssysteme 193 10.3 Rechnerisches Lösen linearer Gleichungssysteme Im letzten Abschnitt hast du viele Gleichungssysteme gra- fisch gelöst. Durch dieses Lösungsverfahren kann man sehr viel über lineare Gleichungssysteme lernen, z. B. warum es niemals genau 2 Lösungen haben kann. Wie jedes grafische Verfahren hat es aber den Nachteil, dass man sehr von der eigenen Zeichengenauigkeit abhängig ist. Selbst wenn man sich noch so bemüht, Lösungen wie (0,345| 2,61) wird man einer händischen Zeichnung nur unter großem Aufwand ent- nehmen können. Aber selbst wenn die Lösung ganzzahlig ist, können Schwierigkeiten auftreten. Überlege am Beispiel des Zahlenpaares (1|100)! Beim computerunterstützten Arbeiten können durch Verschieben des Bildschirmaus- schnittes und Zoomen diese Probleme bewältigt werden, aber in Sachen Genauigkeit stößt man auch da an Grenzen. Ein klarer Fall also, dass auch rechnerische Lösungs- möglichkeiten gefragt sind! Wir kommen ein letztes Mal auf die Abschlussreise der 4B und der 4C zurück, die am Anfang dieses Kapitels (siehe S. 184) vorgestellt wurde: Über die Zimmereinteilung für die 24 Mädchen weiß man, dass sie insgesamt 7 Zimmer benötigen und dass diese Zimmer Dreibett- und Vierbettzimmer sind. Daraus ergibt sich das Gleichungssystem: I: 3x + 4y = 24 II: x + y = 7 Ein Zahlenpaar (x|y), das Lösung des Gleichungssystems ist, muss beide Gleichungen erfüllen. Das heißt, der Zusammenhang zwischen den Variablen x und y, der sich aus einer Gleichung ergibt, muss auch für die andere Gleichung gelten! Im Gleichungssystem oben ergibt sich aus Gleichung II x + y = 7 bzw. x = 7 – y Das muss auch für Gleichung I gelten! Daher dürfen wir in Gleichung I für x den Term 7 – y einsetzen: 3 ⋅ (7 – y) + 4y = 24 und erreichen damit, dass wir y aus einer linearen Gleichung mit einer Variable bestim- men können: 21 – 3y + 4y = 24 y = 3 Wegen x = 7 – y erhalten wir für x = 7 – 3 = 4 und damit als Lösung des Gleichungssystems das Zahlenpaar (4|3). Beide Gleichungen sind erfüllt, wie die Probe zeigt: I: 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 3 = 12 + 12 = 24 II: 4 + 3 = 7 i i i i i i i i 194 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen Die beschriebenen Überlegungen begründen das so genannte Einsetzungsverfahren. Im folgenden Musterbeispiel im gelben Kasten sind die einzelnen Durchführungsschritte zusammengefasst. Einsetzungsverfahren (= Substitutionsverfahren) I: 3x + 4y = 24 II: x + y = 7 1. Drücke in einer der beiden Gleichungen x durch y aus! (Du kannst auch umgekehrt y durch x ausdrücken. Mach das, was einfacher ist!) Gleichung II: x = 7 – y 2. Durch Einsetzen des Terms in die andere Gleichung erhältst du eine Gleichung mit einer Variablen: Gleichung I: 3 ⋅ (7 – y) + 4y = 24 3. Löse diese Gleichung! 21 – 3y + 4y = 24 y = 3 4. Setze die Lösung in den Term ein und ermittle die zweite Variable! x = 7 – 3 = 4 ⇒ L = {(4|3)} Probe: I: 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 3 = 12 + 12 = 24 II: 4 + 3 = 7 Es gibt für lineare Gleichungssysteme noch weitere Lösungsverfahren, zwei davon werden in den folgenden beiden Musterbeispielen vorgestellt. Gleichsetzungsverfahren (= Komparationsmethode) I: 3x + 4y = 24 II: x + y = 7 1. Drücke in beiden Gleichungen x durch y aus! (Ebenso könntest du wahlweise auch y durch x ausdrücken.) I: 3x = –4y + 24 x = – 4 3 y + 8 II: x = 7 – y 2. Durch Gleichsetzen der beiden Terme erhältst du eine Gleichung mit einer Va- riablen: – 4 3 y + 8 = 7 – y 3. Löse diese Gleichung! – 1 3 y = –1 y = 3 4. Setze die Lösung in einen der beiden Terme aus 1. ein und ermittle die zweite Variable! x = 7 – 3 = 4 ⇒ L = {(4|3)} Vergiss die Probe nicht! i i i i i i i i 10.3 Rechnerisches Lösen linearer Gleichungssysteme 195 Additionsverfahren 1. Multipliziere die Gleichungen mit geeigneten Faktoren so, dass bei einer Variable entgegengesetzt gleiche Koeffizienten entstehen: I: 3x + 4y = 24 II: x + y = 7 |⋅(–4) 2. Durch Addieren der beiden Gleichungen erhältst du eine Gleichung mit einer Variable: I: 3x + 4y = 24 II: –4x – 4y = –28 –x = –4 3. Löse diese Gleichung! x = 4 4. Setze die Lösung in eine der beiden Gleichungen ein und berechne die zweite Variable! 4 + y = 7 y = 3⇒ L = {(4|3)} Vergiss die Probe nicht (siehe Seite 194)! 930 a) L ={(–1|2)} b) L ={(0|4)} c) L ={(2|5)} d) L ={(10|20)} 930I2)H2K1 Löse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren! Führe auch die Probe durch! a) I: x + 2y = 3 II: –2x + y = 4 b) I: –x + 4y = 16 II: 2x + y = 4 c) I: x – y = –3 II: – 1 2 x – 2y = –11 d) I: 7x + y = 90 II: –12x + 5y = –20 931 a) L ={(4|1)} b) L ={(4|2)} c) L ={(–23|10)} d) L ={(–35|0)} 931I2)H2K1 Löse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren! Führe auch die Probe durch! a) I: x – y = 3 II: x + 2y = 6 b) I: – 1 4 x + y = 1 II: x + y = 6 c) I: x + 2y = –3 II: x – 3y = –53 d) I: x + 3y = –35 II: –5x + 3y = 175 932 a) L ={(17|–103)} b) L ={(10|14)} c) L ={(8|0)} d) L ={(18|21)} 932I2)H2K1 Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren! Führe auch die Probe durch! a) I: 3x + 2y = –155 II: 2x – 5y = 549 b) I: 7x – y = 56 II: –8x + 3y = –38 c) I: 5x + 11y = 40 II: 6x – 12y = 48 d) I: 10x – 3y = 117 II: 20x + 4y = 444 933 a) L ={(0,2|1,8)} b) L ={(1,6|3)} c) L ={(1,7|10)} d) L ={(–0,4|0,5)} 933I2)H2K1 Löse das Gleichungssystem mit jenem Lösungsverfahren, das am besten (für dich) passt! Vergiss die Probe nicht! a) I: x + y = 2 II: x + 6y = 11 b) I: 5x + 2y = 14 II: –5x – 3y = –17 c) I: 6x + y = 20,2 II: 7x – 3y = –18,1 d) I: x + 11y = 5,1 II: x – 10y = –5,4 i i i i i i i i 198 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen 944 (1) Hinflug: 764 km/h, Rückflug: 836 km/h (2) Eigengeschwin- digkeit des Flugzeuges: 800 km/h, Windge- schwindigkeit: 36 km/h 944I2)H2K1 ♦ Die Flugzeit für den Flug Frankfurt – Chicago wird im Internet von einer Fluglinie mit 9:08 h an- gegeben, die Flugzeit für den Rückflug mit dem- selben Flugzeugtyp mit 8:21 h. Die Entfernung zwischen Frankfurt und Chicago beträgt 6978 km. (1) Berechne die durchschnittlichen Fluggeschwin- digkeiten für die angegebenen Flugzeiten für Hin- und Rückflug! (2) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die (durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit, die der Angabe der Flugzeit zu- grunde liegen! Kommen zwei Systeme (z. B. Flüssigkeiten) mit unterschiedlicher Temperatur zusam- men, so gleichen sich ihre Temperaturen durch Wärmeaustausch an. Wärme fließt dabei immer vom wärmeren zum kälteren System, so lange, bis beide Systeme die gleiche Temperatur haben. Mischt man einen Liter Wasser mit einer Temperatur von 10 ℃ mit einem Liter Was- ser mit einer Temperatur von 20 ℃, so entstehen 2 Liter Wasser mit der mittleren Temperatur von 15 ℃. 945 66 Liter aus dem Wasserboiler und 84 Liter aus dem Kaltwasserzufluss. 945I2)H2K1 ⋆ In einem Niedrigenergiehaus steht ein solar- beheizter Wasserboiler zur Verfügung. Nach einem sonnigen Tag wird eine Wassertemperatur von 64℃ angezeigt. Eine Badewanne soll mit 150 Litern Was- ser gefüllt werden, die erwünschte Temperatur ist 37 ℃. Wie viele Liter müssen aus dem solarbeheizten Boiler und wie viele Liter aus einem Kaltwasserzu- fluss (16 ℃) zufließen? Runde auf ganze Liter! 946 12 Liter 946I2)H2K1 ⋆ An einem heißen Sommertag ist die Temperatur in einem 100-Liter-Aquarium auf 27 ℃ angestiegen. Wie viel Liter Wasser muss man entnehmen und durch 10 ℃ kaltes Wasser ersetzen, damit wieder die für die Fische passende Temperatur von 25 ℃ erreicht wird? (Tipp: Wenn von den 100 Litern x Liter entnommen werden, so ist das genau jene Wassermenge mit 10 ℃, die zur verbleibenden Wassermenge (y Liter) hinzukommt.) Zahlenrätsel 947 a) x + y = 131 und x − v = 43 b) x = y + 5 und 2v + x = 83 947I2)H2K1 Übersetze den Text jeweils in zwei lineare Gleichungen und löse das Gleichungs- system, um die beiden gesuchten Zahlen zu ermitteln! Führe auch die Probe durch! a) Die Summe zweier Zahlen ist 131. Ihre Differenz beträgt 43. b) Eine Zahl ist um 5 größer als die andere. Addiert man zum Doppelten der kleineren Zahl die größere Zahl, erhält man 83. i i i i i i i i 10.4 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen 199 948 a) 150 und 50 b) 8 und 28 948I2)H2K1 Wie Aufgabe 947: a) Eine Zahl ist dreimal so groß wie eine zweite Zahl. Die Differenz der beiden Zahlen beträgt 100. b) Die Differenz zweier Zahlen ist 20. Addiert man zum Dreifachen der kleineren Zahl das Doppelte der größeren Zahl, erhält man 80. 949 13 und 9949I2)H2K1 ⋆ Die Differenz zweier Zahlen beträgt 4. Verringert man die größere der beiden Zahlen um 1 und vergrößert die kleinere um 2, so wird das Produkt um 15 größer. Wie lauten die beiden Zahlen? 950 27 und 42950I2)H2K1 ⋆ Die Summe zweier Zahlen ist 69. Vergrößert man eine Zahl um 3 und verringert die andere um 5, so wird das Produkt um 24 kleiner. Berechne die beiden Zahlen! Aufgaben aus der Geometrie 951 a) a = 23 cm, b = 13 cm b) a =24 cm, b = 12 cm ef a b 951I2)H2K1 Die längere Seite eines Parallelogramms ist a) um 10 cm länger als die kürzere Seite. b) doppelt so lang wie die kürzere Seite. Der Umfang des Parallelogramms ist 72 cm. Berechne die Seitenlängen des Parallelogramms! 952 I: α + 54 = γ ; II: 2α + γ = 180; α = β = 42°; γ = 96°b A c a C B 952I2)H2K1 In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswinkel (α = β , vergleiche mit der Skizze) um 54° kleiner als der Winkel γ . Ermittle die Größe der Winkel des gleichschenkligen Dreiecks! Führe auch die Probe durch! 953 Basis: 32 cm; Schenkel: 21 cm 953I2)H2K1 Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist um 11 cm länger als die Schenkel- länge. Der Umfang des Dreiecks ist 7,4 dm. Wie lang sind Basis und Schenkel dieses gleichschenkligen Dreiecks? 954 Basis: 18 cm, Schenkel: 21 cm 954I2)H2K1 Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt 60 cm. Die Basis ist um 3 cm kürzer als eine Schenkellänge. Berechne die Länge der Basis und der Schenkel! 955 b = 2,1 cm, l = 3,5 cm 955I2)H2K1 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 3:5. Der Umfang des Rechtecks ist 11,2 cm. Wie breit und wie lang ist das Rechteck? 956 Erfinde eine ähnliche Aufgabenstellung wie die in 955! Deine Nachbarin/dein Nachbar soll sie lösen! 957 (1) b = 8 cm, l = 18 cm (2) ein Quadrat mit s = 12 cm 957I2)H2K1 ⋆ Die Seiten eines Rechtecks verhalten sich wie 4:9. Verlängert man die kürzere Seite um 4 cm und verkürzt die längere Seite um 6 cm, so bleibt der Flächeninhalt unverändert. (1) Wie lang und wie breit ist das ursprüngliche Rechteck? (2) Wie lang sind die Seiten des veränderten Rechtecks? Welche besondere Form liegt vor? i i i i i i i i 200 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen 958 a) y = –x +3 b) y = 13 5 x + 4 5 958I2)H2K1 Wie lautet die Gleichung jener Geraden g, die durch die beiden gegebenen Punkte geht? A(–2|5), B(3|1) Da beide Punkte auf der Geraden g liegen, erfüllen sie die Gleichung y = kx + d. Wir setzen daher die Koordinaten der Punkte für x und y ein und erhalten ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen k und d: A liegt auf g ⇒ I: 5 = –2k + d | ⋅ (–1) B liegt auf g ⇒ II: 1 = 3k + d ⌉+ (–1) ⋅ I: –5 = 2k – d ⌋ –4 = 5k k = − 4 5 − 4 5 eingesetzt in Gleichung I ergibt: 5 = –2 ⋅ 􏿴− 4 5 􏿷 +d ⇒d = 5 – 8 5 = 17 5 Die Gleichung der Geraden g, die durch die beiden Punkte A und B verläuft, lautet daher: g: y = − 4 5 k + 17 5 a) A(2|1), B(–1|4) b) R(–3|–7), S(2|6) 959 a) y = − 2 5 x + 2 b) y = − 7 4 x + 5 c) y = 10 9 x + 1 9 d) y = 5 6 x – 5 959 Stelle die Gleichung jener Geraden auf, die durch die gegebenen beiden Punkte geht! a) A(–20|10), B(5|0) b) C(0|5), D(4|–2) c) E(8|9), F(–1|–1) d) G(6|0), H(0|–5) 10.5 Ausblick und Exercises 10.5.1 Ausblick 960 (1) a = 10,4 cm, ha = 7,8 cm (2) Es handelt sich nicht um ein lineares Gleichungssystem. Einsetzungsverfah- ren und Gleichsetzungsver- fahren können zur Anwendung kommen. Additionsverfahren und grafisches Lösungsverfahren nicht. 960I2)H2K1 ⋆ In einemDreieck verhalten sich eine Seite und ihre Höhe wie 4:3. Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 40,56 cm2. (1) Berechne die Seitenlänge und die Höhe! (2) Inwiefern unterscheidet sich das Gleichungssystem in (1) von den anderen bis jetzt behandelten? Welche Lösungsverfahren können zur Anwendung kommen, welche nicht? Wie Aufgabe 960 zeigt, gibt es auch andere als nur lineare Gleichungssysteme. Mit dem Einsetzungsverfahren kann man auch diese lösen. Das Additionsverfahren ist dafür nicht geeignet. Bei komplexen Sachverhalten mit hoher Anwendungsrelevanz kommt man in der Regel nicht mit einem Gleichungssystem, das nur zwei Gleichungen enthält, aus. Beispiels- weise führen Messreihen in der Chemie oder Physik häufig auf Gleichungssysteme, die aus mehreren Gleichungen mit mehreren Variablen bestehen. Die Lösungsverfahren, wie du sie kennengelernt hast, sind auch für solche Gleichungs- systeme erweiterbar. In der Praxis wird der oft hohe Rechenaufwand mit geeigneter Software am Computer (siehe Kap. 14.5, S. 265) bewältigt.