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5.1 Querkraftschub in offenen Profilen
Lösungen
Aufgabe 1
a) Lage des Schwerpunkts Fläche: A= 2 ⋅( a t + 2 a t ) + 2 a t= 8 a t Schwerpunkt: ey= 2 ⋅ 2 a⋅a t + 2 ⋅a⋅ 2 a t 8 a t =a b) Flächenträgheitsmomente I (^) y= (^2) (a 2 ⋅a t + ( 2 a) 3 t 12 ) +a 2 ⋅ 2 a t=
a 3 t I (^) z = 2 ( a 3 t 12 +(
a) 2 ⋅a t +a 2 ⋅ 2 a t )
( 2 a) 3 t 12
a 3 t c) Schubfluss für eine Querkraft in y -Richtung q (^) sx (s)=− Qy I (^) z S (^) z (s) Abschnitt 1 Sz (s 1 )=( 2 a− s 1 2 ) t s 1 = a 2 t 2 (
s 1 a
s 1 2 a (^2) ) Sz (a)=
a 2 t q (^) sx (s 1 )= 3 Qy 28 a 3 t
a 2 t 2 (^ s 1 2 a
2 −^4
s 1 a )
3 Qy 56 a (^ s 1 2 a
2 −^4
s 1 a ) 2 a 2 a a a t ey z y S 2 a 2 a a a t ey z y S s 1
q (^) sx (a)= 3 Qy 56 a
Qy a Größter Schubfluss: dqsx ds 1
s 1 max a
s 1 max a
Der betragsmäßig größte Wert tritt also bei s 1 = a auf. Abschnitt 2 Sz (s 2 )=
a 2 t + a t s 2 =
a 2 t (^) ( 3 + 2 s 2 a ) Sz ( 2 a)=
a 2 t ( 3 + 4 )=
a 2 t q (^) sx (s 2 )=− 3 Qy 28 a 3 t
a 2 t 2 (
s 2 a )
3 Qy 56 a (
s 2 a ) q (^) sx ( 0 )=− 9 Qy 56 a , (^) q (^) sx ( 2 a)=− 3 Qy 56 a
Qy a Der betragsmäßig größte Wert tritt bei s 2 = 2a auf. Abschnitt 3 Sz (s 3 )=
a 2 t +(a− s 3 2 ) t s 3 =
a 2 t (
s 3 a
s 3 2 a (^2) ) Sz ( 2 a)=
a 2 t ( 7 + 4 − 4 )=
a 2 t q (^) sx (s 3 )=− 3 Qy 28 a 3 t
a 2 t 2 (
s 3 a
s 3 2 a (^2) )=−^ 3 Qy 56 a (
s 3 a
s 3 2 a (^2) ) q (^) sx ( 0 )=−
Qy a , q (^) sx ( 2 a)=−
Qy a Größter Schubfluss: dqsx ds 3
s 3 max a
s 3 max a
2 a 2 a a a t ey z y s 2^ S 2 a 2 a a a t ey z y S s 3
Graphische Darstellung Der Querschnitt ist symmetrisch bezüglich der z -Achse, aber die Belastung ist antimetrisch bezüglich der z -Achse. Daher ist der Schubfluss antimetrisch bezüglich der z -Achse. Der Schubfluss hat seinen größten Betrag im Schnitt- punkt mit der z -Achse. d) Schubfluss für eine Querkraft in z -Richtung q (^) sx (s)=− Qz I (^) y S (^) y (s) Abschnitt 1 Sy (s 1 )=a t s 1 Sy (a)=a 2 t q (^) sx (s 1 )=− 3 Qz 16 a 3 t a t s 1 =− 3 Qz 16 a s 1 a q (^) sx (a)=−
Q (^) z a Der betragsmäßig größte Wert tritt bei s 1 = a auf. z y S 2 a 2 a a a t a z y S s 1
Abschnitt 2 Sy (s 2 )=a 2 t +(a− s 2 2 )^ t s 2 = a 2 t 2 (
s 2 a
s 2 2 a (^2) ) Sy ( 2 a)=
a 2 t ( 2 + 4 − 4 ) =a 2 t q (^) sx (s 2 )=− 3 Qz 16 a 3 t
a 2 t 2 (
s 2 a
s 2 2 a (^2) )=−^ 3 Qz 32 a (
s 2 a
s 2 2 a (^2) ) q (^) sx ( 0 )=−
Qz a , q (^) sx ( 2 a)=− 3 Qz 32 a
Qz a Größter Schubfluss: dqsx ds 2
s 2 max a
s 2 max a
q (^) sxmax=qsx (a)=− 3 Qz 32 a
Qz a Abschnitt 3 Sy (s 3 )=a 2 t−a t s 3 =a 2 t (^) ( 1 − s 3 a ) Sy ( 2 a)=a 2 t ( 1 − 2 ) =−a 2 t q (^) sx (s 3 )=− 3 Qz 16 a 3 t ⋅a 2 t (^) ( 1 − s 3 a )
3 Qz 16 a (
s 3 a ) q (^) sx ( 0 )=−
Qz a , (^) q (^) sx ( 2 a)=
Qz a Der betragsmäßig größte Wert tritt an den Stellen s 3 = 0 und s 3 = 2a auf. An der Stelle s 3 = a ist der Schubfluss null. Abschnitt 4 Sy (s 4 )=−a 2 t −(a− s 4 2 ) t s 4 =− a 2 t 2 (
s 4 a
s 4 2 a (^2) ) 2 a 2 a a a t a z y S s 3 2 a 2 a a a t z y S s 4 2 a 2 a a a t z y s 2^ S
Aufgabe 2
a) Querkraft und Biegemoment Gleichgewicht am rechten Teilbalken: Qz ( x )=F M (^) y (x )=−( L−x ) F =F L (^) ( x L − (^1) ) b) Schubfluss q (^) sx (s)=− Qz I (^) y S (^) y (s)=−
F
I (^) y Sy (s ) Schwerpunkt A= 3 b t ey=
b 2 b t 3 b t
b 3 Flächenträgheitsmoment I (^) y= 2 ⋅ ( b 3 t 12 +( b 2 −ey (^) ) 2 b t ) +ey 2 b t =b 3 t (
2 +^
(^2) )=^
b 3 t Schubfluss im linken Steg Sy (s 1 )=(
b− s 1 2 ) t s 1 =
b 2 t (
s 1 b
s 1 2 b (^2) ) Sy (b)=
b 2 t q (^) sx (s 1 )=
3 F
b 3 t
b 2 t 6 (
s 1 2 b
2 −^4
s 1 b )
F
2 b (
s 1 2 b
2 −^4
s 1 b ) q (^) sx (b)=−
F
b x L x z Q^ F z M y ey b b t z y S b/ b b z y s^ S 1
Maximaler Schubfluss: dqsx ds 1
s 1 max b
s 1 max b
q (^) sxmax=qsx (
b )
F
2 b (^
2 3
2 −^
3 )
F
b Schubfluss im oberen Flansch Sy (s 2 )= b 2 t 6
b 3 ⋅t s 2 = b 2 t 6 (
s 2 b ) Sy ( 0 )=
b 2 t (^) , Sy (b)=−
b 2 t q (^) sx (s 1 )=
3 F
b 3 t
b 2 t 6 (
s 2 b − (^1) )=
F
2 b (
s 2 b − (^1) ) q (^) sx ( 0 )=−
F
b , q^ sx (^) ( b 2 ) = (^0) , q (^) sx (b)=
F
b Schubfluss im rechten Steg Sy (s 3 )=− b 2 t 6 +( s 3 2
b 3 ) t s 3 =− b 2 t 6 (
s 3 b
s 3 2 b (^2) ) Sy ( 0 )=−
b 2 t (^) , Sy (b)=−
b 2 t ( 1 + 2 − 3 )= 0 q (^) sx (s 1 )=
3 F
b 3 t
b 2 t 6 (
s 3 b
s 3 2 b (^2) )=^
F
2 b (
s 3 b
s 3 2 b (^2) ) Maximaler Schubfluss: dqsx ds 1
s 3 max b
s 3 max b
q (^) sxmax=qsx (^) (
b)=
F
2 b (
(^2) )=^
F
b b/ b z y S s 2 b/ b z y S^ s 3
Aufgabe 3
Der Querschnitt ist symmetrisch bezüg- lich der z -Achse. Daher gilt: yM = 0 Zur Ermittlung der Koordinate zM wird der Schubfluss zu einer Querkraft Qy benötigt: q (^) sx (s)=− Qy I (^) z S (^) z (s) Für das Moment der Querkraft gilt:
M P (Qy )=( zM −a) Qy
Das Flächenträgheitsmoment berechnet sich zu I (^) z = 2
a 3 t 12
a)
2 ⋅a t +a 2 ⋅ 2 a t
( 2 a) 3 t 12
a 3 t. Für die Berechnung des Moments des Schubflusses um den gewählten Be- zugspunkt P wird nur der Schubfluss in den beiden unteren Flanschen und im linken Steg benötigt. Für den linken unteren Flansch gilt:
Sz (s 1 )=( 2 a−
s 1
t s 1 = a 2 t
s 1 a
s 1 2 a
Sz (a)=
a 2 t q (^) sx (s 1 )= 3 Qy 28 a 3 t
a 2 t
2 (^
s 1 2 a
2 −^4
s 1
a )
3 Qy
56 a (^
s 1 2 a
2 −^4
s 1
a )
M (^) P (qsx 1 )= 2 a∫ 0 a q (^) sx (s 1 )ds 1 = 3 Qy 28 ∫ 0 a
s 1 2 a
2 −^4
s 1
a )
ds 1 = 3 Qy
28 [^
s 1 3 3 a
2 −^2
s 1 2
a ]s
1 =^0 s 1 =a = 3 Qy
28 (^
a 3
− 2 a)=−
Qy a Der rechte untere Flansch liefert den gleichen Beitrag: M (^) P (qsx 5 )=−
Qy a 2 a a a t a z y S M Q y zM P 2 a 2 a a a t z y S s 1 P
Für den linken Steg gilt: Sz (s 2 )=
a 2 t + a t s 2 =
a 2 t (^) ( 3 + 2 s 2 a ) q (^) sx (s 2 )=− 3 Qy 28 a 3 t
a 2 t 2 (
s 2 a ) =− 3 Qy 56 a (
s 2 a ) M (^) P (qsx 2 )=− 2 a∫ 0 2 a qsx (s 2 )ds (^) x= 3 Qy 28 ∫ 0 2 a (^3 +^2 s 2 a ) ds 2 = 3 Qy 28 [ 3 s 2 + s 2 2 a ]s 2 = 0 s 2 = 2 a = 3 Qy 28 ( (^6) a+ 4 a)=
Qy a Das Moment der Querkraft muss mit dem Moment des Schubflusses überein- stimmen: M (^) P (Qy )=M (^) P (q (^) sx 1 )+ M (^) P (qsx 6 )+ M (^) P (qsx 2 )
( zM −a) Qy=−^
Qy a−
Qy a+
Qy a=
Qy a → zM= (
) a=
a
Aufgabe 4
Das Profil verdreht sich nicht, wenn die Kraft im Schubmittelpunkt angreift. Moment der Querkraft Qz = F um Punkt P : M P (Qz)=a F Flächenträgheitsmoment: I (^) y= h 3 t 12
- (^2) ( h 2 ) 2 b t= h 3 t 12 (
b h ) Zur Berechnung des Moments des Schubflusses um Punkt P wird nur der Schubfluss im oberen Flansch benötigt: Sy (s)=−
h t s q (^) sx (s)=− Qz I (^) y S (^) y (s)=
12 F
h 3 t ( 1 + 6 b /h ) h t s 2
6 F
h 2 ( 1 + 6 b /h) s 2 a 2 a a a t z y s 2^ S P a b h/ h/ t z y F S P s
