Lösungen Physik II:Elektrostatik, Bildladungen, Magnetostatik, Maxwell-Gleichungen, Fourier-Transformation, Übungen von Physik II

Nur auf Docsity: Lade Lösungen Physik II:Elektrostatik, Bildladungen, Magnetostatik, Maxwell-Gleichungen, Fourier-Transformation und mehr Übungen als PDF für Physik II herunter! Einführung in die theoretische Physik II Sommersemester 2015 [email protected] Ausgewählte Aufgaben zur Klausurvorbereitung –Lösungshinweise Aufgabe 1: Elektrostatik Betrachten Sie eine geladene Kugel (Radius R) mit Ladungsdichte ρ(r) = ρ0r/R. a. Berechnen Sie mit Hilfe des Gauss’schen Satzes das elektrische Feld innerhalb und ausserhalb der Kugel. b. Berechnen Sie das elektrostatische Potential φ(~r) unter der Annahme dass φ(∞) = 0. c. Skizzieren Sie den Potentialverlauf. d. Überprüfen Sie, welches der Felder ~E1(~r) = (2zx+ y 2)êx + 2yxêy + x 2êz ~E2(~r) = (zx+ y 2)êx + 2yxêy + xêz und ein elektrostatissches Feld sein kann. Berechnen Sie für dieses die Ladungsdichte und das Potential. a. Aus Symmetriegründen ist hat das Feld nur eine Radialkomponente, ~E(~r) = Er(r)êr. (1) Wir verwenden den Gauss’schen Satz der Elektrodynamik∫ ∂Vr d~a · ~E(~r′) = ∫ Vr d3r′ ~∇ ~E(~r′) = 1 0 ∫ Vr d3r′ρ(~r′). für ein Kugel-Volumen Vr = {|~r′| ≤ r}. Oberflächeneintegral: ∫ ∂Vr d~a · ~E(~r′) = 4πr2Er(r), (= Oberflächeninhalt × Betrag des Feldes, wegen der Kugel-Symmetrie.) Volumenintegral: (Kugelkoordinaten) 1 0 ∫ Vr d3r′ρ(~r′) = 1 0 ∫ π 0 sin(ϑ)dϑ ∫ 2π 0 dϕ ∫ r′ 0 dr′ r′ 2 ρ(r′) = 4π 0 ∫ r′ 0 dr′ r′ 2 ρ(r′) (2) Für r < R: 1 0 ∫ Vr d3r′ρ(~r′) = 4πρ0 R0 ∫ r′ 0 dr′ r′ 3 = πρ0r 4 R0 (3) Für r ≥ R: 1 0 ∫ Vr d3r′ρ(~r′) = 4πρ0 R0 ∫ R 0 dr′ r′ 3 = πρ0R 3 0 (4) Zusammensetzen ergibt Er(r) = { ρ0r 2 4R0 r < R ρ0R 3 4r20 r ≥ R (5) b. Wegen ~E(~r) = −~∇Φ erhält man das Potential aus Φ(~r)− Φ(∞) = ∫ C d~s · ~E, wobei C ein beliebiger Weg von ~r nach∞ ist. Hier wählen wir einen radialen Weg. Φ(~r) = ∫ ∞ r dr′Er(r ′). Damit für r > R: Φ(~r) = ρ0R 3 4r0 und für r < R: Φ(~r) = ∫ R r dr′Er(r ′) + ∫ ∞ R dr′Er(r ′) = ρ0R 3 12R0 − ρ0r 3 12R0 + ρ0R 2 40 c. Die Skizze sollte eine monotone Funktion zeigen, bei r = R stetig, und das richtige asymptotische Verhalten andeuten (Φ ∼ 1/r für |~r| → ∞). d. Das Feld kann nur dann ein elektrostatisches Feld sein, wenn ~∇× ~E = 0. Für E1 gilt ~∇× ~E1(~r) = 0 ~∇× ~E2(~r) = (x− 1)êy 6= 0 Also ist nur ~E1(~r) ein elektrisches Feld. Die Ladungsdichte erhält man as der Maxwell Gleichung ρ(~r) = 0~∇ ~E1 = 2z + 2y. (6) Potential: Wir wählen den Potentialnullpunkt bei ~r = 0. Dann gilt Φ(~r) = ∫ C d~s · ~E, wobei C ein beliebiger Weg von ~r nach 0 ist. Wir wählen z.B. den Weg längs der drei Koordinatenachsen −Φ(~r) = ∫ x 0 dx′Ex(x ′, 0, 0) + ∫ y 0 dx′Ey(x, y ′, 0) + ∫ z 0 dx′Ez(x, y, z ′) (Beachte Minus vor Φ, dafür Weg von 0 nach ~r). Φ(~r) = −y2 − zx2. (Kann man durch ~E(~r) = −~∇Φ nachprüfen.) Aufgabe 2: Bildladungen Zwei positive geladene Punktladungen befindet sich in den Punkten (0, 0, a) und (d, 0, a) oberhalb einer perfekt leitenden Oberfläche, die durch die Ebene z = 0 gegeben ist. a. Berechnen Sie das elektrostatische Potential der Anordnung für z > 0 mit Hilfe der Bildladungsmethode. b. Berechnen Sie die x-Komponente der Kraft auf eine der Ladungen, d.h. die Komponente parallel zur Ober- fläche und erwickeln Sie den Ausdruck für d a. a. Das Potential für z > 0 ist die Superposition von 4 Punktladungspotentialen: +Q bei (0, 0, a), +Q bei (d, 0, a), sowie die Bildladungen −Q bei (0, 0,−a), −Q bei (d, 0,−a) (denn diese Anordnung ergibt Φ = const. auf der Metalloberfläche.) Φ(~r) = Q 4π0 [ 1√ x2 + y2 + (z − a)2 + 1√ (x− d)2 + y2 + (z − a)2 − 1√ (x− d)2 + y2 + (z + a)2 − 1√ x2 + y2 + (z + a)2 . ] (7)