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Übungsaufgaben Stochastik - Lösungen (Aufgabe 8, Pflichtteil schriftliches Abitur, BW)
1.) Ein Auto hat einen Wert von 30000€ und soll von eine Versicherung jährlich gegen Schäden versichert werden.
Die Autoversicherung erwartet, dass bei 10000 versicherten Autos des gleichen Typs pro Jahr folgende Schadensfälle passieren:
- 10 Versicherungsfälle mit einem Totalschaden
- 50 Versicherungsfälle mit einem durchschnittlichen Schaden von 10000€
- 250 kleinere Schäden mit einem durchschnittlichen Schaden von 2000€.
Berechnen Sie, welchen Versicherungsbeitrag die Versicherung jährlich anbieten sollte, wenn Sie pro Kunden einen Gewinn von 100 € (ohne Verwaltungskosten) erwirtschaften möchte.
X = ‚Schaden‘ 30000 10000 2000
P(X) 1000010 1000050 10000250
E(X) = 30000 1000010 + 10000 1000050 + 2000 10000250 = 130.
Die Versicherung muss pro Kunden einen Jahresbeitrag von 230€ verlangen.
2.) Ein Biathlet trifft erfahrungsgemäß bei 80% seiner Schüsse die Scheibe.
a) Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit er bei drei Schüssen
- nur den mit dem ersten Schuss
- mindestens einen Schuss trifft.
b) Für ein Ereignis A gilt: P(A)= (^10 a ) ∙b^7 ∙0,2c Geben Sie geeignete Werte für a, b und c an. Beschreiben Sie das Ereignis A in Worten.
Zu a): Ereignis B: ‚Nur der erste Schuss trifft‘ Ereignis C: ‚Mindestens ein Schuss trifft‘ P(B) = 𝟒𝟓 (𝟏𝟓)
𝟐 = (^) 𝟏𝟐𝟓𝟒 P(C) = 1- (𝟏𝟓)
𝟑 = 𝟏𝟐𝟒𝟏𝟐𝟓
Zu b): a = 7, b = 0,8, c = 3 Ereignis A: ‚Bei 10 Versuchen werden genau 7 Scheiben getroffen.‘
3.) Ein Chuck-your-luck ist ein Würfelspiel aus Amerika. Der Spieler setzt einen Dollar und würfelt dann dreimal. Für jede Sechs erhält er von der Bank einen Dollar. a) Die Zufallsvariable X soll den Gewinn des Spielers angeben. Geben Sie die möglichen Werte von X und ihre jeweilige Wahrscheinlichkeit an. b) Untersuchen Sie, ob das Spiel fair ist.
Zu a):
Zu b): E(X) = (-1) 125216 + 0 21675 + 1 21615 + 2 2161 = − 108216 = -0,
Der Erwartungswert pro Spiel ist -0,5 Dollar, das Spiel ist also nicht fair.
4.) Auf einem Tisch liegen verdeckt 4 Kreuz-Karten und n Herz-Karten. Es werden zwei Karten aufgedeckt. Berechnen Sie, für welche Werte von n die Wahrscheinlichkeit, dass unter den aufgedeckten Karten genau eine Herzkarte ist, gleich 158 ist.
Ereignis A: ‚Genau eine aufgedeckte Karte ist eine Herzkarte‘ Urnenmodell: zweimaliges Ziehen ohne Zurücklegen
P(A) = n+4n ∙ n+3^4 + n+4^4 ∙ n+3n = 2 n+4^4 ∙ n+3n.
8
15 =^2 ^
4 n+4 ∙^
n n+3 ^ n
(^2) -8n + 12 = 0 n = 2 oder n = 6
5.) In einem Behälter befinden sich 2 weiße und 3 schwarze Kugeln. Es werden 2 Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der beiden Kugeln weiß ist. b) Berechnen Sie, wie viele weiße Kugeln sich in dem Behälter befinden müssten, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine weiße Kugel zu ziehen, 0,91 betragen hätte.
Zu a): weiß = w, schwarz = s
P(‚mindestens eine Kugel ist weiß‘) = 1- P(ss) = 1 - 35 35 = 1625.
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 64%.
Zu b): In dem Behälter befinden sich 3 schwarze und n weiße Kugeln. Dann gilt.
P(‚mindestens eine Kugel ist weiß‘) = 1- P(ss) = 1 - 𝑛+3^3 𝑛+3^3 = 1 - (𝑛+3)^92
1 - (^) (𝑛+3)^92 = 0,91 (n+3)^2 = 100 n = 7 (n = -13 entfällt). Es müssten mindestens 7 weiße Kugeln in dem Behälter sein.
Zufallsvariable xi -1 0 1 2
P(X=xi) (^) (^56 )
3 = 125216 3 ∙ 16 ∙ (^56 )
2 = 21675 3 ∙ (^16 )
(^2 ) 6 =^
15 216 (
1 6 )
3 = 2161
