Lösungen zu den Aufgaben, Übungen von Theoretische Physik

Nur auf Docsity: Lade Lösungen zu den Aufgaben und mehr Übungen als PDF für Theoretische Physik herunter! Lösungen zu den Aufgaben = Ka itel1: lösun en ... 1.1.1. Bogenmaß Wäre die Erde eine Kugel mit genau 40 000 km Umfang, dann entspräche 1 o genau 40 0001360 = 111,111 km. In Wirklichkeit ist der Polradius um 1/300 kürzer als der Äqua- torradius, und daher entspricht ein Grad auf dem Äquator 111,324km, ein mittlerer Meridiangrad 111,137km. Sieht man von diesen Feinheiten ab, gelten folgende Entsprechun- gen: l rad: 1 Erdradius; l' : 1,853 km = l Seemeile; 1": 31m; l sterad: R2 = 4,05 · 107 km2 (fast wie Asien): l Grad2 : 1,24 · 104 km2 (größer als Korsika); 1 min2 : 3,44krn2 ; 1 s2 : 960m2 . Die ganze Kugel hat 4n = 12,6 sterad = 4,1 · 104 Grad2 usw.; der Halbraum hat halb soviel. Die Kreisscheibe vom Radius r im Abstand a deckt u 2 I a2 sterad, wenn r « a, sonst 1r arc sin2 r I a. Das Rechteck a, b im Abstand r unter dem Winkel a deckt (ab I r2 ) cos a, wenn a, b « r. Die Sonne erscheint 0,5° breit, deckt also 0,2 Grad2 oder 6,2 · 10-5 sterad, die Hand, ziemlich unab- hängig von der Körpergröße (da alle Abmessungen ungefähr proportional zueinander sind), 0,055 sterad, fast 10mal soviel wie die Bundesrepublik vom Erdmittelpunkt aus. Die Erde von der Sonne aus gesehen deckt 6 · w-9 sterad, fängt also nur 4,6 · 10-10 der Gesamtemission der Sonne auf. Das Element der Erdoberfläche zwischen den Breiten (jJ , (jJ + dqJ und den Längen A., A. +dA. hat die Fläche r dqJ r cos (jJ dA., also den Raumwinkel dQ = cos (jJ dqJ dA., in den üblichen Polarkoordinaten dQ = sin 9 d9 dA. 4n-Geome- trie liegt vor, wenn alle Richtungen von der Quelle aus für die Messung gleichberechtigt in Frage kommen. 1.1.2. Sonnen- und Sterntag Ein Planet laufe in der Zeit T um seine Sonne und rotiere in der Zeit r um seine Achse, vom Bezugssystem der Fix- sterne aus gesehen; d. h. sein Sterntag bei r. Der Sonnentag hat eine andere Länge ts . Während eines Sonnentages rückt die Sonne scheinbar um einen Winkel ts i T gegenüber dem Fixsternhimmel vor, d. h. der Planet muß sich in einem Sonnentag um den Faktor 1 + tsiT weiter drehen als in einem Sterntag, falls Umlauf und Rotation in gleicher Rich- tung erfolgen (sonst gilt ein Minuszeichen). Der Sonnentag ist also um diesen Faktor länger: ts = r(1 + tsiT) oder ts = l l (r-1 - T-1) = r · T I(T- r). Für die Erde T = 366,25 r, also ts = r · 366,251365,25. Für den Mond T = r = 1 Monat, also ist der "Erdentag" ts = oo. 1.1.3. Stroboskopeffekt Ein Rad mit n Speichen und dem Durchmesserddrehe sich v- mal pro Sekunde. Mit der Bildfrequenz vo betrachtet, scheint es stillzustehen, wenn innerhalb der Zeit 1l vo gerade die nächste oder die üben;tächste usw. Speiche den Platz der ersten einnimmt; für die i.-nächste Speiche erfordert das eine Zeit il(nv;) = 1l vo. Die Umfangsgeschwindigkeit des Rades ist dann v; = nd · v; = nd · ivol n. Bei d = 0,9 m, n = 24, vo = 25 s-1 (Fernsehen) folgt v; = i · 10,8 km/h. Wenn das Rad sich etwas zu schnell/langsam dreht (il (nv) ~ 1lvo), kommt das Bild etwas zu spät/früh, die an- dere Speiche hat den Ort der ersten schon überschritten/noch nicht ganz erreicht, und das Rad scheint sich langsam vor- wärts/rückwärts zu drehen. Das Stroboskop mißt bei Wech- selstrom-Beleuchtung Drehzahlen: Man legt eine Scheibe mit abwechselnd schwarzen und weißen Sektoren auf (z. B. Abb. 1.1). Wenn man die Sektoren einer bestimmten Zone klar sieht, ist die entsprechende Drehzahl erreicht. 1.1.4. Tageslänge Das Trägheitsmoment der Erde würde bei gleichmä- ßiger Massenverteilung 1 = 0,4 MR2 = 0,4 · 6 · 1024 kg · 4 . 1013 m2 = 1038 kg m2 betragen; da der Kern dichter ist, kommt etwas weniger heraus. Eine Masse m, aus ihrer Normallage am Erdboden um die Höhe h gehoben, und zwar in einer geographischen Breite (jJ, steigert das Trägheits- moment um 11.1 = [m(R + h )2 - mR2] cos (jJ ~ 2mRh cos (jJ. Es folgen grobe Schätzungen für die einzelnen Ereifnisse: Krakatau: V~ 10km3, h ~ 2km, !lJ 11 ~ 5 · w-t . Chinesische Mauer: 4 800 km lang, 6 m dick, 10m hoch, V ~ 3 . 108 m3, 11.1 I 1 ~ 4 . 10- 19. Troposphäre mit H20 gesättigt: Bei T = 0 oc ist der Sättigungsdruck 6 mbar. Wasserdampf von 1 bar hat 1,3 · !-S = 0,8 g/1, bei 6 mbar 5 · 10-3 g/1; das Tropo~härenvolu­ men von 10krn · 5,1 -108 km2 faßt ca. 3 · 101 kg Wasser; mit h ~ 4 km folgt ll1 I 1 ~ 10-ll. Wegen der T-Abnahme mit der Höhe sind m und h in Wirklichkeit kleiner. Abkühlung um 30 °C: Die Skalenhöhe der Atmosphäre sinkt von 8 km auf 7,2 km. Über jedem cm2 ruht 1 kg Luft, also m ~ 5 · 1018 kg, h ~ 400m, 11.111 ~ 2. 10-10. Eiszeit: 107 km2 mögen eine Inlandeisdecke von 3 km Dicke haben, m ~ 3 ·1019 kg, 11.111 ~ 2 ·10-9 . Tertiäre Faltunf 50 000 km lang, 500 km breit, 3 km hoch, V~ 7 · 107 km , m ~ 2 · 1020 kg, ll1 11 ~ 3 · 10-8 ; der iso- statische Massenausgleich (Aufgabe 1.7.11) reduziert das um den Faktor 4di R (d: Schollendicke ~ 50km), ll111~10-9. Die Änderung der Rotationsperiode T ergibt sich aus dem Drehimpulssatz: 1w = const. oder 1 I T = const., also llT IT = llJ I J. Eiszeit und Faltung haben ca. 10-4 s Ände- rung der Tageslänge gebracht, die anderen Ereignisse viel we- niger. Die derzeitige relative Meßgenauigkeit von w- 12 s/s entspricht annähernd dem Einfluß maximaler Änderung der Luftfeuchtigkeit. 1034 I Lösungen zu den Aufgaben 1.1.5. Pendeluhren Der Einfluß von Massenverschiebungen auf die Fallbe- schleunig~ g und damit auf die Pendelperiode T = 2n y l I g hängt stark von der Verteilung dieser Massen ab. Der annähernd kugelschalenförmig verteilte atmosphäri- sche Wasserdampf leistet keinen Beitrag zur Schwerkraft auf ein annähernd in Meereshöhe aufgehängtes Pendel. Konden- sierte dieses Wasser, so zöge es so an, als sei seine Masse im Erdmittelpunkt vereinigt. Das bedeutet eine relative g-Ände- rung von 1\g I g = mIM ~ 1 o-8. Ein Gebirge in der Nähe des Beobachtungsortes stört i. allg. stärker, falls seine Masse nicht isostatisch kompensiert ist (durch eine "Wurzel" aus leichterem Gestein). Die gleiche Änderung der Pendelperi- ode wie durch L1g 1 g = 10_8 würde bedingt durch 1\l I l = -10-8 ; dies entspricht bei einem Draht mit dem thermischen Ausdehnungskoeffizienten rx = 10-5 K-1 einer T-Änderung um 10-3 K. 1.1.6. Tageslänge Die Tageslänge ändere sich täglich um rx (rx z. B. in J.lS!fag), d. h. jeder Tag sei um rx J.lS länger als der vorhergehende. Die mittlere Tageslänge seit 484, d. h. über einen Zeitraum von t = 5 · 105 Tagen, war dann nicht To wie heute, sondern To - rxt. Rechnet man mit konstanter Tageslänge To, dann findet man für ein Ereignis, das vor t Tagen stattgefunden hat, eine um 1 rxt2 falsche Tageszeit. Die südlichsten Punkte der wirklichen und der berechneten Totalitätszone (Euphrat- Tigris-Mündung bzw. Große Syrte) liegen 30°, d. h. 2 Std. auseinander. Man erhält rx ~ 0,05 J.lS!fag. Das stimmt mit der Direktmessung gut überein. Wer sich wundert, daß schon Halley die Finsternisperiode so genau kannte, der bedenke, daß auch hier der mögliche Fehler mit der Länge der Beobachtungszeit wie t-2 abnimmt. 200jährige Beobach- tung mit 2 min Fehler bei der Bestimmung des Totalitäts- maximums genügen für die Entdeckung der Diskrepanz. Daß sich die Jahreslänge ändern sollte, ist viel weniger plausibel. Demnach war der Devon-Tag 10 % kürzer, d. h. rx ~ 0,07 j.ls!fag. Diese Bremsung der Erdrotation ist etwa 100mal größer als die in Aufgabe 1.7.19 für einen homo- genen Ozean geschätzte. Die Existenz von Kontinental- rändern und Flachmeeren ist also sehr entscheidend. Die Wartezeit bis zum stationären Mond verkürzt sich entspre- chend. 1.1.7. Standard-Abweichung Wir betrachten speziell eine Grundgesamtheit von unendlich vielen Werten x; mit dem Mittel xw = 0 und der Varianz V w = xf. Wenn wir aus dieser Gesamtheit n Werte x; heraus- greifen, wird ihr Mittel nicht genau 0 sein, sondern um etwa xs = a I Jn = yY;Jii davon abweichen. Die auufiesen n Werten direkt berechnete Varianz V = xf - x§ = xf- Vwln ist also um den Faktor (n- 1)ln kleiner als die "wahre" Varianz Vw. In a = yV wandert statt n also n - 1 unter die Wurzel in den Nenner. Die Beschränkung auf Xw = 0 ist unwesentlich: Es geht hier nur um Ab- weichungen. 1.1.8. Gauß-Fläche Für die Abweichung b = x - x schreiben wir p(b) = (1lv'21fa)e-"21(2o-). Irgendeinen Wert hat j~ b be- stimmt, also J~00 p(b)db = 1. Das Integral f~oo e-u du be- stimmen wir, indem wir es mit dem genauso großen f~oo e-v2 dv malnehmen. Das Produkt können wir auch als Doppelintegral schreiben2 denn die beiden Variablen sind un- abhängig: JJ~00e-(u2 +v ldudv. Die u, v-Ebene läßt sich aber auch in Polarkoordinaten darstellen: u2 + v2 = r2, du dv = r dr dtp. Unser Doppelintegral geht über in J;' jg1r e-r\drdtp. Die tp-Integration gibt 2n, es bleibt 2n J;' e-? rdr = 1r. Das ist das Quadrat des gesuchten In- tegrals: f~oo e-<52 db = fo. Aus unserem p(b) kommt noch V2 a aus dem Exponenten nach draußen, also stimmt die Normierung. Der Mittelwert b = f~oo bp( b) db ist 0, weil be-"2 antimetrisch ist, also ist x wirklich der Mittel- wert von x. Die Standard-Abweichung verlangt Berechnung von b2e-"2 db. Wir beachten: Die Ableitung von be-62 heißt (1 - 2<52 ) e-"2 , also J(l - 2<52 ) e-62 db = be-"2 , was bei b = -oo und bei b = oo verschwindet, so daß f oo (1 - 2<52 ) e-62 db = 0 also J00 b2e-"2 db = l J00 e-"2 -oo ' -oo 2 -oo db = 1 fo. So folgt richtig f~oo <52 p( b) db = a2 . 1.1.9. Normalverteilung Wenn sich der Gesamtfehler b einer Messung auf zwei un- abhängige Fehlerquellen aufteilt, addieren sich deren Beiträ- ge <5 1 und bz nicht direkt, sondern nach dem Pythagoras: <52 = bf + b~, genauso wie zwei Wegstücke, die jemand in zueinander senkrechten Richtungen zurücklegt. Da beide Fehler unabhängig sind, ist die Wahrscheinlichkeit p( b) für den Gesamtfehler gleich dem Produkt der Wahrschein- lichkeiten der Teilfehler: p(b) = p(b1)p(b2). Die Funktion p muß genauso von b abhängen wie die Teilfunktionen von b1 und 62, sonst wäre eine solche Aufteilung, die ja jeder nach Belieben ausführen kann, gar nicht möglich. Welche Funktion führt eine Quadratsumme in ein Produkt über? Nur e"2 , wobei aber im Exponenten und davor noch je ein zunächst beliebiger Faktor stehen kann und muß: p(b) = be-ail2 • Das Minus sorgt dafür, daß große Fehler sel- tener sind. Wie a und b heißen müssen, damit p normiert ist und die Standard-Abweichung a hat, folgt aus Aufgabe 1.1.8. 1.2.1. Wie schnell ist der Mensch? Die mittleren Geschwindigkeiten bei 100m in 10,0 s und bei 500m Eis in 40,0s sind lOmls = 36kmlh bzw. 12,5 mls = 45 kmlh. Die Höchstgeschwindigkeiten liegen merklich höher: Der 100 m-Läufer erreicht sie erst nach gut i der Strecke, läuft also 35 m durchschnittlich mit vml2 und 65 m mit Vm. Die Gesamtzeit ist 35 ml(vml2) + 65 mlvm = 10 s, also Vm = 13,5 rnls. 1.2.2. Ein schneller Hund Da der Hund zwei Stunden lang ständig doppelt so schnell läuft wie sein Herr, hat er doppelt soviel, nämlich 20 km zurückgelegt. Man sagt, daß Mathematiker sich mit dieser Aufgabe i. allg. schwerer tun als Physiker, denn sie erkennen sofort, daß die Teilwege des Hundes eine geometrische den Faktor Jl - w2 lv2 weniger Zeit als der zweite. Dieser Faktor taucht in der Relativitätstheorie überall auf. Der be- rühmte Michelson-Versuch ist eine einfache Umdeutung des Schwimmerversuchs. 1.2.11. Wie kommt man rüber? Das Wasser habe die Geschwindigkeit w, der Schwimmer v; er stelle seinen Körper unter einen Winkel rp gegen die Ufer- linie (mit dem Strom: rp = 0). Seine Geschwindigkeitskom- ponenten relativ zum Ufer sind also v sin rp in Querrichtung, w + v cos rp in Strömungsrichtung. Die Überquerung dauert t = bl(vsinrp) (b Breite des Flusses). In dieser Zeit treibt der Schwimmer um a = ( w + v cos rp )b I ( v sin rp) stromab- wärts ab. t ist minimal, nämlich b I v, wenn sin rp maximal, d. h. rp = 90° ist. Dann treibt man um a = wblv ab. Die Ab- drift a kann immer nur dann gleich Null gehalten werden, wenn v ~w, und zwar durch rp = arccos( -wlv). Bei v < w ergibt sich minimale Abdrift aus da - sin2 rp- (~ + cos rp) cos rp -=O=b V drp sin2 rp also p = arccos(-vlw). Die Abdrift ist dann a = bvw2 - v21v. Bei größerem rp dauert die Überquerung zu lange, bei kleinerem rp gewinnt man der Strömung zu wenig ab. Im Fall (c) geht man am Ufer mit der Geschwindigkeit u eine Strecke 2a (Abdrift beim Hin- und Zurückschwimmen). Man braucht dazu eine Zeit t' = 2alu. Die Gesamtzeit ist _ _3!:_ ( W + V COS (/J) T- . l + . vsm rp u Dies wird minimal, wenn die Ableitung nach rp verschwindet, d.h. wenn cosrp = -vl(u + w). 1.3.1. Hier irrte Aristoteles Galilei liebte solche Gedankenversuche, die aus der gegne- rischen Annahme einen Widerspruch herleiten. Er meinte wohl, seine gelehrten Gegner ließen sich durch solche aprio- ristischen Argumente eher überzeugen als durch den vulgä- ren Augenschein, den sie sich oft genug weigerten zu neh- men. Wenn der leichte Körper langsamer fällt als der schwe- re, müßte er diesen zurückhalten, falls er fest genug mit ihm verbunden ist. Immer festere Verbindung führt aber zu einem einheitlichen Körper, der schwerer ist und schneller fallen müßte als selbst der schwerere Teilkörper. Manche versuch- ten sich so herauszureden, daß es nicht auf "schwer über- haupt", sondern auf "spezifisch schwer" ankomme. Die ver- bundenen Körper würden sich dann auf eine mittlere Ge- schwindigkeit einigen, die dazu nötige Kraft würde durch die Verbindung übertragen. Dies kommt der Wahrheit (bei Berücksichtigung des Luftwiderstandes) etwas näher und läßt sich nicht so leicht a priori ausschließen. 1.3.2. Was ist Masse? Solange es sich um Körper gleicher Dichte handelt, weiß man aus Newtons Definition, daß dem doppelten Volumen eine doppelte Masse entspricht. Hat man Luft doppelter Kapitel 1: Lösungen 1037 Dichte dadurch erzeugt, daß man 21 auf ll komprimiert hat, dann ist auch plausibel, daß doppelt soviel Masse in dem Liter ist wie vorher. Daß aber ll Eisen 7 ,5mal so viel Masse hat wie ll Wasser, läßt sich ohne Bezug auf die Axiome, z. B. das Reaktionsprinzip, nicht nachweisen, es gibt also keine allgemeine Definition der Masse, die von der Bewegungsgleichung (oder vom Gravitationsgesetz) lo- gisch unabhängig wäre. Selbst heute kann man zwar direkt vergleichen, wie viele Teilchen in einem cm3 Eisen bzw. Wasser sitzen (z. B. durch Röntgen-Beugung), daß aber das Eisenatom 56, das Wassermolekül nur 18 Nukleonen ent- hält, ist noch keine direkte Beobachtungstatsache, sondern von der Massendefinition abhängig. 1.3.3. Wie viele Axiome braucht man? Falls die Wechselwirkung zwischen A und B durch das Vor- handensein der Stange nicht beeinflußt wird, ist die Ablei- tung logisch einwandfrei. Newton hatte wohl nicht den Ehr- geiz, ein Minimalsystem von Axiomen aufzustellen, sondern eines, mit dem man bequem arbeiten kann. Die rein logische Schwäche seiner Massendefinition ist ihm sicher auch nicht entgangen, aber allzu reine Logik bleibt eben oft steril. 1.3.4. Da kann man sich sehr täuschen Fast jeder argumentiert zuerst so: Die Turmspitze (Höhe H) hat bei der Erdrotation eine größere Bahngeschwindigkeit als der Fuß (außer am Pol). Der Stein bringt diese größere Geschwindigkeit bis zur Erde mit. Die Erde dreht sich nach Osten, also schlägt der Stein östlich vom Abwurfpunkt auf. Quantitativ: In der Höhe h herrscht v = w(R + h) cos rp (rp: geogr. Breite), der Stein hat aber noch v' = w(R + H) cos rp, Differenz 11v = w(H- h) cos rp. Wegen H - h = ~ gP wird die Ostabweichung x = J~ 11v dt = w cos rp~ gft2 dt = f;wgT3 cos rp =1 Viw cos rpH312 1/8 (T: Flugzeit). Beim hochgeworfenen Stein heben sich die Ab- weichungen nach Westen beim Aufstieg und nach Osten beim Abstieg auf. Hierin stecken zwei Fehler: (a) Die Ost- abweichung ist in Wirklichkeit doppelt so groß, und, wich- tiger, (b) es gibt eine viel größere Südabweichung. Begrün- dung: (a) Die obige Rechnung wäre richtig, wenn Turmspitze und Turmfuß sich geradlinig parallel bewegten, wie zwei Läufer in der Geraden. Wenn der schnellere dem anderen einen Ball zuwirft, genau senkrecht zur Bahn im Moment, wo beide auf gleicher Höhe sind, geht der Ball vom vor- bei. Das ganze System dreht sich aber außerdem. Das bringt nochmal eine ebensogroße Ostabweichung. Warum, wird un- ten klarwerden. (b) Setzen wir uns ernstlich ins nichtrotieren- de Bezugssystem. Der losgelassene Stein beschreibt wie ein Satellit einen Großkreis, genauereinen kurzen Bogen einer Kepler-Ellipse, deren Ebene eine Großkreisebene ist. Was sollte er sonst tun: Da er nur einer Zentralkraft zum Erdmit- telpunkt unterworfen ist, muß seine Bahnebene durch diesen gehen. Anfangs fliegt der Stein natürlich nach Osten, wie die Turmspitze. Diese geht dann notgedrungen auf einem Brei- tenkreis weiter. Der Großkreis des Steins, der den Breiten- kreis im Abwurfpunkt tangiert, weicht immer mehr südlich davon ab (Nordhalbkugel), wie das Flugzeug nach Sydney, I Lösungen zu den Aufgaben das genau ostwärts von Harnburg abfliegt. Der Stein legt in der Fallzeit T = ..,fiiiJi das Großkreisstück TRw cos rp zurück (vom Eiffelturm immerhin 2,5 km), also einen Win- kel IX= Tw cos rp. Im rechtwinkligen sphärischen Dreieck gilt sin rp' = sin rp cos IX ::::::: sin rp(1 - IX2 /2), also rp1 - rp = - ! IX2 tan rp, Südabweichung - R( rp' - rp) =:= ! w2 RH sin 2rp fg. Sie ist maximal bei 45°, verschwindet an Aquator und Polen. Vom Eiffelturm: 50 cm Süd-, nur 8 cm Ostabweichung. So- lange H «: w2 R / g ::::::: 20 km, ist die Südabweichunf viel grö- ßer als die Ostabweichung. Der Faktor w2R/ g::::::: 300 hat die- selbe Herkunft wie die Erdabplattung, 20 km ist auch der Unterschied zwischen äquatorialem und polarem Erdradi- us. Der Luftwiderstand verlängert die Fallzeit so, daß auch bei noch größeren Fallhöhen Süd» Ost bleibt, außer bei ton- nenschweren Brocken. Einfachere Ableitung beider Abwei- chungen im System der rotierenden Erde mittels Zentrifugal- und Coriolis-Beschleunigung az bzw. ac: Hier ist az, das proportional w2 R cos rp ist, viel größer als ac, das nur propor- tional wv, solange v «: wR ::::::: 500 m/s. Die Südkomponente von az, w2 R cos rp sin rp erzeup;t in der Fallzeit T die Abwei- chung ! w2 R cos rp sin rpT2 = 2 w2 RH sin 2rp / g, wie oben. ac hat nur die Ostkomponente 2wv cos rp. Mit v = gt folgt die Ostgeschwindigkeit tw = J 2wgt cos rp dt = wgt2 cos rp, die Ostabweichung ! wgT3 cos rp = ! 23/ 2 H 312w cos rp / -j8, rich- tig mit Faktor 2. Die Südabweichung verdoppelt sich für den hochgeworfenen Stein. Die 10km senkrecht hochgeschos- sene Flakgranate fällt nicht ins Rohr zurück, sondern 60 m südlich. 1.4.1. Brunnentiefe Wenn der Brunnen die Tiefe h hat, fällt der Stein tf = /2hfi, und es dauert noch h/c (c: Schallgeschwindig- keit), bis man den Aufschlag hört. Man könnte die quadrati- sche Gleichung t = /2h[i + h/ c lösen, aber es ist klar, daß für h «: 2c2 / g = 20 km die Laufzeit des Schalls zu vernach- lässigen ist. Dann bleibt einfach h = ! gt2 ; z. B. bei t = 2 s ist h =20m. 1.4.2. Tachoregel Daß der Bremsweg proportional dem Quadrat der Ge- schwindigkeit ist, entspricht der Formel s = ! v2 / a bei kon- stanter Verzögerung a. Es ist a = ! if / s, also z. B. für v = 10km/h = 2,8rnls, wo nach der Kraftfahrerregel s = 1 m herauskommt: a = 4,4 m/ s2 . Wer also nur gerade durch den TÜV rutscht, sollte mehr Abstand halten. Der Einstell- winkel IX ergibt sich aus taniX = gfa = 0,44 zu 24°. Die An- fahrbeschleunigung ist 100/ (3,6 · 12) = 2,3 mjs2, IX = 13°. 1.4.3. Sicherheitsabstand Bei der Geschwindigkeit v rollt man in der Reaktionszeit eine Strecke vt. Die Bremsstrecke ist im Fall (a) die gleiche wie die des Vordermannes. Wenn man sich vollkommen auf seine Bremsen verlassen kann, ist also die Faustregel wirklich für Opas gemacht, denn sie setzt in der Stadt 1,8 s, im Freien 3,6 s Reaktionszeit voraus. Im Fall (b) allerdings kommt Ihr halber Bremsweg dazu, z. B. bei 120km/h = 33,5 mjs ein Zusatz- weg von etwa 50 m. Dann ist die Faustregel nicht mehr so konservativ. 1.4.4. Hier irrte Jules Verne Die Sache scheitert schon daran, daß das Geschoß nicht schneller werden kann als die Verbrennungsgase, die es be- schleunigen. Bei den besten Sprengstoffen kommt man aus energetischen Gründen nicht über 4 kmls hinaus (vgl. Ab- sehn. 1.5.9a). Angenommen, es gebe einen Sprengstoff, des- sen Explosionsgase schneller als 11 kmls sind. Wie tief müßte der Schacht sein, damit die Insassen die Beschleunigung überleben? Offenbar liefert die letztgenannte Kombination (200 s, 6g) die höchste, und zwar eine ausreichende, Endge- schwindigkeit. Die Schachttiefe muß dann sein H = !v2 ja= 1 OOOkm! Verbesserungsvorschlag: Man schieße aus dem Schacht zunächst ein riesiges Kanonenrohr ab, das dann seinerseits ein kleineres Kanonenrohr abschießt, usw. in 4 bis 6 Stufen. Bis zur Passagier-Granate könnte man evtl. sogar mit Jules Vemes Schießbaumwolle auskom- men, falls jedes Rohr etwa 50 km lang ist. 1.4.5. Wurfweite Wenn der Sprinter beim Anlauf auf 13 m/s kommt (vgl. Auf- gabe 1.2.1) und, ohne sich eine Aufwärtskomponente zu er- teilen, beim Absprun die Beine einfach um 70 cm einzieht, fliegt er in t = 2 · 0,7/10 ::::::: 0,375 s, die sein Schwerpunkt braucht, um diese 0,7m zu durchfallen, bereits 5,1 m weit. Am weitesten käme er, wenn er sich beim Absprung um fast 45° umlenken könnte, aber so viel Beinkraft kann er beim Laufen nicht erübrigen. Sein Umlenkwinkel rp er- gibt sich empirisch so: Die Sprungweite ist w = v2 / g · cos rp(sin rp + .Jsin2 rp + 2 · 0,1gjv2 ) ::::::: 8 m (Ablei- tung siehe Aufgabe 1.4.6); numerische Lösung liefert rp ::::::: 12°, also eine Aufwärtsgeschwindigkeit von 2, 7 m/s. Um sie zu erzeugen, muß man durch kurzes In-die-Knie- Gehen um ca. 30 cm mit einer Zusatzkraft von immerhin 2,72 · 75/2 · 0,3 = 900N = 90kp nachdrucken, und das im vollen Sprint. Der Speerwerfer braucht für w = 90 m bei 45° ein v = 30 m/s. Er läuft horizontal mit 10 m/s oder etwas mehr. Konstruktion oder Rechnung nach dem Parallelo- gramm der Geschwindigkeiten zeigt, daß er die Hand mit 24 m/s hochreißen muß, und zwar relativ zum Körper steiler als 45°, nämlich mit 62°. Für das Ferngeschütz ergäbe der schiefe Wurf ohne Luftwiderstand aus w = 100 km v = 1 kmls. Dies ist viel weniger als die tatsächliche Abschußge- schwindigkeit; also hat der Luftwiderstand erheblichen Ein- fluß, trotz großen Kalibers und, was wichtiger ist, sehr langer Geschosse. Die Betrachtung von Newton (Abschn. 1.5.9) zeigt das auch: 100km Luft wiegen viel mehr als 2m Ei- sen, also fällt das Geschoß zum Schluß fast senkrecht herun- ter. Bei der Rakete sind die errechneten 1,67 kmls ebenfalls unterschätzt. Die Satelliten-Rakete hat die "Wurfweite" oo. Bei 8 kmls biegt sich die Erde unter ihr ebenso schnell weg, wie die Rakete fällt. Allgemein ist die Wurfparabel eigentlich ein ganz flacher Abschnitt einer meist sehr engen Kepler- Ellipse mit dem Brennpunkt im Erdmittelpunkt 1.4.6. Kugelstoß Der 45°-Wurf ist nur dann optimal, wenn die Abwurfhöhe gegenüber der Wurfweite keine Rolle spielt. Aus einem Wol- kenkratzer werfe man praktisch horizontal. Bei 45° ist die Kugel, wenn sie nach Passieren des Scheitels wieder in der Wurfhöhe ankommt, zwar weiter als bei allen anderen Winkeln, aber dann geht sie steil zu Boden. Bei etwas flache- rem Winkel gewinnt man im zweiten Teil der Bahn mehr Weite, als man im ersten verliert. Die Abwurfhöhe sei h, die Abstoßgeschwindigkeit v hänge nicht vom Wurfwinkel cp ab. Dann erreicht die Kugel den Bahnscheitel nach t1 = v sin cp g in der Höhe h + v2 sin2 cp /2g und hat danach t2 = 2h / g + v2 sin2 cp / g2 Zeit, um von dieser Höhe zu fallen. In der Gesamtzeit erreicht sie die Weite w = vcoscp(ti + t2) =vcoscp(vsincp/g+V2h/g+v2sin2 cpjg2). Nullsetzen der Ableitung nach cp liefert nach einiger Rech- nung für den günstigsten Winkel sin cp = J I/ ( 2 + 2hg / v2) und für die entsprechende Weite w = ( v2 / g) V I + 2hg / v2. Bei den heutigen Rekordweiten von über 20m macht die Abwurfhöhe nur etwa 8 % aus, der günstigste Winkel ist etwa 40°. v liegt um 14 m/s. Deswegen darf man nicht belie- big lange Anlauf nehmen. 1.4. 7. Drehscheibe Im Abstand r vom Zentrum wirkt auf den Wagen die Kraft mw2r nach außen. Beim Schieben vom Abstand R zum Zen- trum muß die Arbeit J~ mw2rdr = !mw2R2 geleistet wer- den. Die potentielle Energie ist im Zentrum um soviel hö- her. Wenn er wieder bis R rollt, verwandelt der Wagen diese potentielle Energie in kinetische, er kommt also mit v = wR, d. h. genau mit der Umfangsgeschwindigkeit der Scheibe au- ßen an. Die Beschleunigung ist nicht konstant, sondern innen schwach, nach außen immer stärker. Die Bewegungsglei- chung r = w2r hat die Lösung r = r0ewt, wo ro die Anfangs- auslenkung ist. Bei sehr kleinem ro kann die Fahrt sehr lange dauern: t = w- 1 In(R/ro). Wenn die beiden Wagen im Gleichgewicht sein sollen, müssen die Kräfte auf beide ent- gegengesetzt gleich sein: m 1 w2 r, = m2 w2 r2. Sie müssen so stehen, daß ihr Schwerpunkt in der Scheibenmitte liegt. Eine kleine Auslenkung aus dieser Lage, z. B. des Wagens I nach außen, führt zum Überwiegen der Zentrifugalkraft auf diesen Wagen, was die Auslenkung vergrößert: Das Gleichgewicht ist labil, ebenso wie das eines Wagens im Zentrum. 1.4.8. Kurvenfahrt Daß man gerade nicht rutscht, heißt, daß die Zentrifugalkraft gerade durch die Reibung kompensiert wird. w2r ist dann innen und außen gleich groß. Man kann sich zwar außen eine größere Bahngeschwindigkeit v = wr leisten, aber die Winkelgeschwindigkeit, auf die es beim "Herumkommen" um einen bestimmten Winkel ankommt, ist innen größer: W rv 1/ y'r. 1.4.9. Überhöhung Die Resultierende von Schwerkraft und Zentrifugalkraft muß senkrecht auf der Straße stehen. Deren Neigungswinkel er- Kapitel 1: Lösungen 1039 gibt sich also aus tan 0! = v2 / rg. Der Übergang zu dieser Überhöhung von der nichtüberhöhten Geraden aus muß natürlich allmählich erfolgen, und dementsprechend sollte auch das Krümmungsmaß allmählich von 0 auf 1/r zu- und dann wieder abnehmen. Sonst müßte man ja auch das Lenkrad momentan aus der geraden Stellung in die Stellung herumreißen, die dem Krümmungsradius r entspricht (Abschn. 10.1.10). 1.4.10. Eisenbahnkurve Die am Schwerpunkt angreifende Resultierende von Schwer- kraft und Zentrifugalkraft muß die Ebene der Schienen- oberkante zwischen den Schienen treffen, sonst kippt der Wagen. Bei nichtüberhöhter Strecke bedeutet das v2 /(rg) < 1,435/4 = 0,36. Eine Kurve, die mit v = 120km/h = 33,5 m/s befahren wird, darf also nicht enger sein als r = v2 /0,36g = 310m. Bei der Überhöhung um 0! lautet die Stabilitätsbedingung v2 /(rg) = (tan 0! + tan ß)/(1 - tan 0! tan ß) mit tan ß = 0,36. 1.4.11. Schwerelosigkeit Die Kreisbahn verlangt, daß die Zentrifugalbeschleunigung gleich der Schwerebeschleunigung ist. Dies gilt auch für jeden Gegenstand im Satelliten: Auf jeden wirkt die resultie- rende Kraft 0 (bis auf winzige Gezeitenkräfte ). Die Schwe- rebeschleunigung hat allerdings nur am Erdboden den gewohnten Wert g. Im Abstand r vom Erdmittelpunkt ist a = gR2 jr2 (R: Erdradius). Für den sehr bodennahen Satelliten gilt also w2 R = g, d. h. w = Ji!R, T = 21rjw = 21rJR78, v = wR = vgR = 7,9km/s, für größere Höhen T = 21fJr3 /(gR2) (3. Kepler-Gesetz!) und v= JgR2jr in 1000km Höhe z.B. T= 103min, v = 7,45 km!s. Der Mond (r = 3,85 · 105 km) braucht nur noch mit v = 1 km/s umzulaufen. 1.4.12. Zentrifuge Die Wäscheschleuder mit r = 0,15m, v = Sos-1, w = 314 s- 1 erzeugt eine Zentrifugalbeschleunigung az = w2r = 1,5 · 104 m/s2 = 1500g. Die Kraft, mit der ein Tröpfchen in der Faser festhaftet, steigt mit seinem Durchmesser d, die Kraft, die es ausschleudert, mit dem Volumen, also mit d3 . Die 1 500fache "Schwere" schleudert also Tröpfchen mit v'1500mal kleinerem Durchmesser aus als die normale Schwere, d. h. Spritzerehen von etwa 100 J..lm-Größe, die 60 OOOmal kleiner an Volumen sind als normale Tropfen. Die Astronauten-Martermaschine darf sich, wenn sie lüg nicht überschreiten soll (was kurzfristig im Liegen auszuhalten ist), nur so schnell drehen, daß w2r= 100m/s2, also w=4s-1, T= 1,5s. Jeder Punkt der Breite cp auf der Erde beschreibt täglich ( w = 27f/86400s = 7,25 .lQ-5 s- 1) einen Kreis vom Radius r = R cos cp, also az = 3,36 · 10-2 cos cp m/ s2. Am Äquator macht das 0,34% von g aus, in München 0,25 %. Die Erd- oberfläche bildet im kombinierten Schwere- und Zentrifugal- 1042 Lösungen zu den Aufgaben 1.5.10. Zykloide Wir legen die x-Achse auf die Straße, den Ursprung dorthin, wo der Punkt ganz unten ist. Von da rolle das Rad (Radius a) in der Zeit t um den Winkel wt. Dann hat der Punkt Koor- dinaten, die sich nach Abb.1.24 zu y = a(1- coswt), x = a( wt - sin wt) ablesen lassen. Seine Geschwindigkeits- komponenten sind i = aw(1- coswt), y = awsinwt. Die Neigung der Kurve ist dy j dx = yji = sinwt/(1- coswt). Die Kurve ist natürlich periodisch mit der Periode 2na. Der Punkt bewegt sich fast vertikal (i « y) bei wt ~ 0, 2n, . .. , horizontal (y = 0) bei wt = n, 3n, . . . mit i = 2aw, d. h. doppelt so schnell wie das Auto. Bei wt = 0, 2n, ... ruht der Punkt einen Augenblick, wenn er die Straße berührt (i = y = 0). Ein Punkt auf der Radfelge beschreibt eine Trochoide, die dem Profil einer Wasserwelle entspricht. Physikalisch interessieren an der Zykloide als Bahnkurve zwei Dinge: Wenn wir das Rad um dtp weiterdre- hen, um welche Strecke ds verschiebt sich der Punkt auf der Lauffläche, und unter welchem Winkel IX gegen die Waage- rechte tut er das? Das läßt sich aus der Parameterdarstellung ausrechnen, aber sehr umständlich. Wir machen es lieber geometrisch und zeichnen die beiden Lagen des Rades, zwi- schen denen es um a dtp weitergerollt ist. Der Punkt P hat sich dabei mit dem Radzentrum um a dtp nach rechts verschoben, aber gleichzeitig auf der Felge ebenfalls um a dtp. Beide Ver- schiebungen bilden den Winkel tp zueinander. ds als dritte Seite dieses Dreiecks ist ds = 2a dtp sin(cp/ 2), der Steigungs- winkel ist IX = 1r / 2 - tp / 2. Die Bogenlänge s, deren Differen- tial 4asin(cp/2) dcp/ 2 heißt, ist s = 4a(1- cos(cp/2)) (von der Spitze tp = 0 an gerechnet). Ein Zykloidenbogen von tp = 0 bis tp = 2n hat die Länge s = 8a. Der Krümmungs- radius ist R = ds/ diX = 4a sin(cp/ 2), in der Mitte Rmax = 4a. 1.5.11. Pendeluhr Schon bei cp0 = 30° schwingt das Sekundenpendel nicht mehr in 1 s, sondern in 1,03 s. Zum Ausgleich muß man die Enden des Kreisbogens hochbiegen wie bei der Zykloide. Daß diese die Tautochrone ist, sieht man, wenn man die Bewegungs- gleichung aufstellt, wobei man alles durch den Rollwinkel tp des erzeugenden Kreises ausdrückt (der natürlich die un- mittelbare Bedeutung verliert, die er beim Kreis hatte). v = dsj dt = 2a1Jsin(cp/ 2) (vgl. Lösung 1.5.10) oder v = -4a(dcos(cpj2) / dt). Die Beschleunigung ergibt sich kinematisch als v = -4a(d2 cos(cp/ 2) / dt2 ) . Dynamisch kommt nur die zur Bahn tangentiale Komponente der Schwe- rebeschleunigung zur Geltung: v = gsina = gcos(cp/ 2) (Lösung 1.5.10). Man kann also die ganze Bewegungsglei- chung durch die Variable u = cos(cp/ 2) ausdrücken: gu = -4aü. Das ist die exakte harmonische Schwingungs- gleichung, und auch bei größeren Amplituden ändert sich dar- an nichts: Das Zykloidenpendel schwingt immer mit wJi74ä. Um den Pendelkörper auf einer Zykloide zu hal- ten, nutzte Huygens die Tatsache aus, daß die Evolute der Zykloide wieder eine kongruente Zykloide ist. Er hängte den Faden zwischen zwei Zykloidenprofilen auf, um die sich der Faden beim Schwingen teilweise herumwickeln mußte, so daß sich das freie Stück verkürzte und sein Ende eine Zykloide beschrieb. Die Fadenlänge (maximaler Krüm- mungsradius der Zykloide) ist l = 4a, die Kreisfrequenz w = /ili. Konstanz der Periode trotz Amplitudenschwan- kung war damals besonders für Schiffschronometer zur Be- stimmung der geographischen Länge äußerst wichtig. 1.5.12. Bruderzwist im Hause Bernoulli Zunächst vergleichen wir die beiden unvollkommenen Lö- sungen. Bei der Höhendifferenz h ist die Laufzeit auf der schiefen Ebene der Neigung a nach den Fallgesetzen t1 = /'Ihi sin - I a. Senkrechter Fall dauert "j2ilj'i und lie- fert v = VIifi. Das horizontale Bahnstück der Länge h cot IX wird dann in cot aJhj~_g!!rchlaufen, im ganzen braucht die zweite Bahn tz = yl2h jg (1 + 1cot1X). Zeichnung oder Rechnung zeigen, daß unterhalb a = 37° die schiefe Ebe- ne, oberhalb die Knickbahn schneller ist. - Die ideale Lö- sungsbahn wird steil anfangen, damit der Schlitten eine mög- lichst hohe Geschwindigkeit möglichst lange ausnutzt. Zum Schluß kann sie horizontal auslaufen. Wie erfolgt der Über- gang? Nach Jakob Bernoulli so, daß er einen möglichen Lichtweg darstellt. Der Schlitten befinde sich um y tiefer als A. Er hat dann v = V'JiY. Licht in einem Medium mit der Brechzahl n hätte die Geschwindigkeit v = cj n, also muß man n "" 1 j JY annehmen. Beim Übergang von einer Schicht mit n1 zu einer mit nz ist nach Snellius sin l/ld sin l/12 = nz/ n1 = JY;)Y;., wo l/1 der Winkel der Bahn gegen die Vertikale ist. Nach Lösung 1.5.10 ist l/1 = n/ 2- a = cp j 2. Andererseits y = a(l- coscp) = a(l- cos2 (cp/ 2) + sin2 (cp/ 2)) = 2asin2 (cp/ 2) . Das Brechungsgesetz sin l/1 = sin(cp/ 2) ""JY ist also für die Zykloide und nur für diese tatsächlich erfüllt. Die Bahn muß wegen v = 0, n = oo, sin l/1 = 0, tp = 0 an der Spitze A ver- tikal beginnen. Wie sie bei B ankommt, d. h. ein wie langes Stück der Zykloide man ausnutzt und welchen Rollradius a diese hat, hängt vom Verhältnis der horizontalen und verti- kalen Abstände von A und B ab. Abb.L.3 1.5.13. Kann Messner mehr? Die Steiggeschwindigkeit (Höhenmeter/s) ergibt sich als mechanische Leistung!kg Körpergewicht nach Division durch g. Bezogen auf 1 kg Körpergewicht haben wir fol- gende Umsätze: I ,7 g/s Blut mit 0,26 g/s Hämoglobin, die 0,5 mg/s Oz tragen und 0,47 mg/s Zucker oxidieren kön- nen. Die thermische Leistung ist 8 W /kg, die mechanische 2W/kg, Steiggeschwindigkeit 0,2m/ s = 720mjh. 1.6.1. Bremsweg Bremsweg: s = v2 l(2pg), zulässige Geschwindigkeit in einer Kurve vom Radius r: v = Vfiii. J1 = 0,3 ist die Hälfte der polizeilich vorgeschriebenen Mindest-Bremsverzöge- rung. Bei Schnee ist der Bremsweg mehr als dreimal länger als bei Regen und achtmal länger als auf trockener Straße. Kurven dürfen bei Schnee höchstens ~ so schnell gefahren werden wie bei trockenem Wetter. 1.6.2. Richtiges Bremsen Tritt man so stark auf die Bremse, daß die Verzögerung grö- ßer wird als pg, fangen die Reifen zu gleiten an, wodurch die aufs Auto übertragene Bremskraft verringert wird (gleitende Reibung < Haftreibung). Außerdem leidet natürlich die Spur- und Lenksicherheit Der Ruck beim Zum-Stehen-Kom- men beruht ebenfalls darauf, daß die Haftreibung, diesmal zwischen Bremsbacken und -scheiben, größer ist. Daher läßt man das Pedal vorher etwas los. Tut man das etwas zu früh, dann scheint der Wagen kurz vor Schluß noch ein- mal davonzuschießen. Deswegen empfehlen manche das "logarithmische Bremsen" mit allmählichem Nachlassen des Bremsdruckes. Ist der Druck und damit die Verzögerung der jeweils noch vorhandenen Geschwindigkeit proportional, dann nimmt diese nach einem Exponentialgesetz ab. 1.6.3. Anfahren Das Fahrzeug der Masse m übt auf die Straße die Normalkraft mg aus. Die maximale Haftreibungskraft pmg kann eine Trägheitskraft (Beschleunigungs- oder Zentrifugalkraft) oder einen Hangabtrieb von höchstens ma = pmg auf- nehmen, sonst rutschen die Reifen, was die Reibung nur noch vermindert. Damit ergibt sich die maximale Anfahr- oder Bremsbeschleunigung zu a = pg, im Beispiel 6 m/s2, die maximale Steigung zu rp mit tan rp = Jl, d. h. im Beispiel rp = 31 o oder 60 %. Die maximale Zentrifugalbeschleuni- gung von ebenfalls pg läßt das Pendel ebenfalls um 31 o schiefhängen. Der Anhalteweg aus v ist bei entsprechend guten Bremsen s = vtr + ! v2 I (pg). Das "Leistungsge- wicht" ist definiert als Fahrzeugmasse m!Leistung P. Zur Beschleunigung mit a bei der Geschwindigkeit v braucht man die Leistung mav. Bei voller Leistung beschleunigt man also mit a = Pl(mv). Bis v = Vt = Pl(mpg) begrenzt also die Reibung die erreichbare Beschleunigung, oberhalb davon die Motorleistung. Bei 10 kg/PS ist Vt ~ 45 km/h. Mit dieser Geschwindigkeit kann man auch die maximale Steigung fahren; nur beschleunigen kann man dabei nicht mehr. 1.6.4. Super-Reibung Warum nicht? Bei glatten Flächen ist das zwar nicht einfach herzustellen, aber bei entsprechender Verzahnung der Mikro- Rauhigkeiten kann ein Klotz auch auf einer Fläche halten, die schiefer als 45° steht. Definiert man den Reibungskoeffizi- enten auch für makroskopische Gebilde wie z. B. die selbst- schließenden "Klett-Verschlüsse", die zusammenhaften, so- bald man sie aufeinanderdrückt, dann ist 11 beliebig groß. Kapitel 1: Lösungen 1043 1.6.5. Zauberstab Auf den Finger, der weiter vom Stabschwerpunkt entfernt ist, sagen wir den rechten, drückt der Stab mit geringerer Normalkraft. Daher ist auch die Reibungskraft dort klei- ner, und der Stab gleitet auf dem rechten Finger auswärts. Da die gleitende Reibung kleiner ist als die ruhende, rutscht der Stab so weit, daß schließlich der rechte Finger näher am Schwerpunkt ist. Ist das Verhältnis der Abstände vom Schwerpunkt gleich dem Verhältnis von Gleit- zu Haftrei- bungskoeffizient, fängt der Stab auf dem linken Finger zu rutschen an, und das Spiel wiederholt sich mit ständig ver- tauschten Rollen in immer kürzeren Abständen, bis sich die beiden Finger genau unter dem Schwerpunkt begeg- nen. Natürlich fällt der Stab dabei nie herunter, außer wenn man die Finger zu heftig bewegt. 1.6.6. Traktor Stark untersetzte Motoren liefern eine kleine Drehzahl und ein hohes Drehmoment T. Die Zugkraft z. B. des Traktors auf den Anhänger oder der Lokomotive auf den Zug darf aber den Wert pgm nicht überschreiten, sonst rutschen die Räder. Um das hohe Drehmoment T = Fr auszunutzen, muß also der Radradius r groß sein. 1.6.7. Der starke Matrose Ein Seil überträgt direkt Kräfte nur in seiner eigenen Rich- tung, aber wenn es um einen Pfahl geschlungen wird, entste- hen gerade dadurch Normalkräfte. Der Pfahl habe den Radius R. Wir betrachten ein Seilstück der Länge dl, das an den Pfahl geschmiegt ist und an dessen beiden Enden eine Kraft vom Betrag F zieht. Diese Kräfte bilden einen Winkel da = dl IR miteinander, und es entsteht eine Normalkomponente F da = F dl IR, die das Seil gegen den Pfahl drückt. Sie führt zu einer tangentialen Reibungskraft dF = p0F dl IR. Bevor das Seil zu rutschen anfängt, muß also am einen Ende von dl eine um dF größere Kraft ziehen als am anderen. Mit an- deren Worten nimmt die Zugkraft längs des Seiles nach dem Gesetz dF ldl = p0F IR zu. Bei der Seillänge !liefert die In- tegration F1 = Foellol/R. Mit der Kraft Fo am einen Ende kann man also, unterstützt durch die Reibung, einer viel grö- ßeren Kraft F 1 am anderen Ende das Gleichgewicht halten. Wenn l = 21rnR, also das Seil n-mal um den Pfahl geschlun- gen ist, wird mit Jlo = 0,8: F1 = Fo · 150n. Mit n = 3 hält 1 kg 3 000 t aus. Heranziehen kann man das Schiff allerdings nicht. 1.6.8. Kartentrick Die bewegte Karte beschleunigt die Münze mit a = gp. In der Zeit t = 2r I v, bis die ganze Glasöffnung frei ist, darf die Münze nicht weiter als r rutschen, also x = !at2 = 2gpr2 lv2 < r, d. h. v > J2iiii". Bei 11 = 0,3, r = 3 cm kommt man mit 0,45 m/s aus. Wider Erwarten geht es mit engen Gläsern besser, wenn man von dem Anfangsruck infolge Haftreibung absieht. - Während das Tischtuch darunter weggleitet, wirkt auf den Boden eines Glases die Kraft mgp, das Drehmoment T = mgph (h: Hal- be Höhe). Die Kippzeit ergibt sich aus w = T li = 12gplh 1044 I Lösungen zu den Aufgaben und dem Kippwinkel cx = ! wt2, der etwa r I h sein muß, damit das Glas auf der Kippe steht, zu t = y'2rl(wh) = Jrl(6gß). Während dieser Zeit mußJie gan- ze Tischtuchlänge l weggezogen sein. Es folgt v > l 6g{Lir, also bei l = 1 m, 1-L = 0,5, r = 5 cm etwa 90 km/h, was man- che Leute schaffen sollen. Auf die Höhe der Objekte kommt es nicht an, solange sie sich im wesentlichen als Zylinder auffassen lassen: T nimmt wie h zu, CXkrit wie h-1 ab, aber J nimmt wie h2 zu. Dies gilt für Zylinder. Der schwere Bo- den stabilisiert die Lage noch. - Beim Radiergummi (!-L ~ 1,0) ist vor allem die Haftreibung zu groß. 1.6.9. Fallschirm Ein Fallschirm vom Radius R erzeugt beim Fall mit der Ge- schwindigkeit v die Bremskraft F = ! (J.Cw1fR2v2 . Die statio- näre Geschwindi keit, mit der eine Masse M fällt, wird also Vst = 2Mgl(1fCw(J.R2 ) = 1,56 · VMIR bei Cw = 2. Dies entspricht einer Fallhöhe h = ! v2 I g ~ kM I R2 ohne Fall- schirm. Für die Beispiele muß R mindestens 1,6; 6; 0,6m sein; die Endgeschwindigkeit von v = 10; 7,7; 7,7 rn/s wird erreicht nach etwas mehr als 1; 0,8; 0,8 sundeiner Fall- höhe gleich den angegebenen 5; 3; 3m. Ein Mensch ohne Fallschirm hat günstigstenfalls die effektive Bremsfläche 2m2 wie in der Aufgabenstellung v81 ~ 110 rn/s). Die Sta- tionarität wird nach etwa 10 s und 500 m erreicht. Ob man aus dem Flugzeug oder vom Empire State Building fällt, macht also kaum einen Unterschied. 1.6.10. Brand im Transatlantik-Jet In der Atmosphäre nimmt die Dichte annähernd wiee-h/Hab ( Skalenhöhe H = 8 km). Oberhalb von 10 km erstickt man in wenigen Minuten. Der Fallschirm ist so berechnet, daß er in Bodennähe die Geschwindigkeit auf 10 rn/s oder weniger senkt. Da Vst wie e-112 geht, würde man z.B. in 24km Höhe, wo die Dichte 20mal kleiner ist, mit 45 rn/s fallen (allgemein: Vst = v81 oehf2H). Spätestens bei 15 km wäre man also tot. Läßt man sich zunächst frei fallen, dann nimmt man bald die rund zehnmal größere "nackte" Fallgeschwin- digkeit an, besonders wenn man sich "dünn macht", d. h. wie im Kopfsprung fällt. Allgemein folgt im stationären Zustand Vst = -h = v81 oehf2H, integriert folgt für die Fallzeit von ho bis h: t = 2Hv;~(e-h/2H- e-ho/2H). Bei großer Anfangshö- he hängt die Fallzeit praktisch nur noch von der Endhöhe ab: t ~ 2Hv;~e-h/2H. Bis zum Boden: t = 2H lvstO = 160 s, bis in 10 km Höhe ca. 80s, unabhängig von der Anfangshöhe. Dazu kommt allerdings noch die Zeit, die man braucht, um den stationären Zustand zu erreichen, und die ist um so länger, je höher man ist: t ~ v8tfg = v81 og- 1ehf2H. Aus ho = 100km Höhe fällt man ca. lOOs, bis man um 40km die stationäre Geschwindigkeit von ca. 1 krn/s erreicht. Von da an braucht man noch 80s bis zur Troposphäre. 1.6.11. Leistung beim Radeln Wenn man eine 10%-Steigung mit 10km/h fährt, muß man 0,1 · 1 000 N · 3 ml s = 300 W = 0,4 PS aufbringen, was als Dauerleistung annehmbar ist. Mit der gleichen Anstrengung (und entsprechender Gangschaltung) hält man in der Ebene etwa 30 km/h durch. Hier wird die Leistung im wesentlichen gegen den Luftwiderstand aufgebracht, also! Aev3 = 150 W, oder A ~ 1m2. Ein Gefälle muß etwa 1% haben, damit man, ohne zu treten, gleichmäßig rollt. Daraus folgt die Lager- und Reifenreibung zu etwa 1 % des Gewichts. Damit haben wir alle Konstanten. Die Leistung in W bei der Fahrt mit v km/h auf einer Steigung von cx % und einer Gegenwindgeschwin- digkeit w ist P = 3(cx + 1)v + 1,5 · 10-2(v + w)3. Unterhalb von 15 km/h überwiegt die Reibung, oberhalb der Luftwider- stand. Selbst wenn ein Rückenwind mit genau w = -v bläst, schafft man auf die Dauer kaum mehr als 80 kmlh. Bei ungünstiger Übersetzung reicht entweder das Gewicht des Fahrers zumTreten nicht aus, oder er muß zu schnell stram- peln, d. h. einen erheblichen Leistungsanteil in die Beschleu- nigung seiner Beine investieren. Der Weltrekord mit Spezial- übersetzung hinter einem Auto mit Windschutzschild liegt allerdings bei 225 kmlh. 1.6.12. Bewegung mit Reibung Die Bewegungsgleichung v = -ktfl hat bei n = 1 die Lö- sung v = voe-k1; bei n =F 1 ist v-ndv = -kdt leicht zu integrieren: v = vo[1- (1- n)kv()-1t] 11(1-n). Für n = 1 findet man den zurückgelegten Weg x = v0k- 1(1- e-kt). Bei n =F 1 und n =F 2 führt die Substitution z = 1- (1- n)kv()-1t zu 2-n x = Vo { 1 - [1 - (1 - n)kvn-1t](2-n)/(1-n)} (2- n)k 0 · Bei n = 2 schließlich ist v = vol(1 + kvot), also x = k-1ln(1 + kvot). Bein< 1 endet die v(t)-Kurve plötz- lich, wenn v = 0 wird. Das geschieht bei t = vol[(1- n)k]. Bis dahin ist das Objekt eine Strecke v5-n 1[(2- n)k] mit der mittleren Geschwindigkeit v = vo(1- n)l(2- n) gerutscht und kommt dann plötzlich zum Stehen (ein Klotz kippt in diesem Augenblick oft vornüber, ein Fahrzeug geht "vom in die Knie"). Bei n ~ 1 wird v nie exakt 0. Wenn 1 ~ n < 2, ist die Bremsstrecke trotzdem endlich, nämlich vfn 1[(2- n)k]. Da das unendlich lange dauert, ist v = 0. Wenn n ~ 2, wird der Bremsweg unendlich lang. 1.6.13. Schwingung mit Reibung Infolge der Reibungskraf~ FR= -mkv0 und ihrer Leistung P = FRv = -mkv()+I = W = mvovo ändert sich die Schwingungsenergie W = !mv5 gemäß vo = -kv(). Also ändern sich vo und xo = vo I w genauso wie v bei der Bremsung (Aufgabe 1.6.12). Bei n = 0 (trockene Cou- lomb-Reibung) nimmt die Amplitude linear ab, bei n = 1 (Stokes-Reibung) exponentiell, bei n = 2 (Newton-Rei- bung) nach der Hyperbel ( 1 + t /r:) - 1, bei n = ! (Rey- nolds-Reibung mit Schmiermittel) parabolisch. Die exponen- tielle Dämpfung in Abschn. 4.1.2 ist keineswegs allgemein- gültig. Unsere Näherung gilt natürlich nur, wenn die Reibung nicht zu stark ist, d. h. wenn die Amplitude nur langsam ab- nimmt. Eigentlich wäre für die Reibungsleistung der Mittel- wert vn+ 1 zu nehmen, nicht der Maximalwert v(j+ 1. Das ändert den Verlauf xo ( t) nicht, verlangsamt ihn nur um 1.7.10. Projekt Gravitrain Wir vernachlässigen zunächst die Reibung und betrachten einen flachen Tunnel der Länge 2L « R (R: Erdradius). Im Abstand x von der Tunnelmitte wirkt auf den Wagen in Schienen- oder Straßenrichtung eine Schwerkraftkompo- nente F = = mgxl R. Diese Kraft ist quasielastisch (F "'x), d. h. der Wagen führt eine harmonische Schwingung aus mit der von der Tunnel~e unabhängigen Periode T = 27rJml(mgiR) = 21fy'Rig = 1 h24min. Er schwingt wie ein Pendel, dessen Faden so lang ist wie der Erdradi- us. Die Höchstgeschwindigkeit in der Tunnelmitte ist dage- gen abhängig von L: Sie ist vo = wL = VifR · L ~ Ll800 s. Bohrt man tiefer, so daß der Abstand r vom Erdmittelpunkt nicht immer als R angesehen werden kann, dann wird die Schwerebeschleunigung im Innern kleiner. Nur die Teil- kugel vom Radius r zieht. Bei konstanter Dichte wird F = mgM(r)R2 I [M(R)r2] = mgr3 I R3 · (R2 lr2) = mgriR, also die Schienenkomponente F = = mgx IR, wie bisher. Die Schwingungsdauer bleibt also noch dieselbe, selbst wenn L = R, also wenn der Tunnel durch den Erdmittelpunkt geht: Nach genau 42 min taucht der Wagen in Neuseeland auf, falls Start und Ziel in gleicher Höhe ü. d. M. liegen. Die Kugellagerreibung wirkt als Bremskraft, die ca. 1/100 der Normalkraft ausmacht, also für den flachen Tunnel: Antriebskraft F= = mgxiR- O,Oimg. Die halbe Tunnel- länge L muß mindestens Rl100 = 64km sein, damit der Wagen im Rollen bleibt. Er bleibt stehen, wenn die Reibung so viel Energie verzehrt hat, wie dem Unterschied an potentieller Energie zwischen dem Startort (der Erd- oberfläche) und dem Ort des Stehenbleibens (Tiefe h senk- recht unter dem Erdboden) entspricht. Die Leistung der Reibung ist P = O,Oimgv = 0,01mgLw sin wt, also die ver- zehrte Energie auf einer Halbperiode W = mgh = O,OimgLJ; sinwtd(wt) = 0,02mgL, d.h. h = 0,02L. Bei L = I 000 km z. B. bleibt der Wagen 140 km vor dem Tunnel- ende stehen, rollt zurück und schwingt weiter gedämpft um die Tunnelmitte. So funktioniert nur der Tunnel von Pol zu Pol; sonst treibt die Coriolis-Kraft den Wagen an die Wand. 1.7.11. Isostasie Eine Kugelschale, Radius R, Dicke d, hat die Masse 47rgdR2 und übt an ihrer Oberfläche die Schwerebeschleunigung a = 47rgGd aus. alg = 3gdl(eErdeR). Differenz zwischen Stein- und Wasserschale 3 (g81 - Qw )dg I (eErdeR) = 6 ·10-4 g, mit Präzisionspendeln gut meßbar. Die leichtere Kontinental- scholle muß eine Dicke D haben, so daß die gleiche Masse unter jeder Flächeneinheit liegt: DesiaJ = dQw + (D - d) Qsima, also D = d(Qsima - Qw) I (Qsima - Qsial) = 50 km. Ein Gebirge muß unter der Scholle um den Faktor Qsiall (Qsima - Qsial) weiter vorragen als oberhalb, wenn Isostasie herrschen soll. Die Wurzeln der Faltengebirge ragen also etwa 100 km tief. 1.7.12. Ehrenrettung Der Umlauf um die Sonne erzeugt eine Fliehkraft, die für alle Teile der Erde gleichgroß ist (wir sehen zunächst von der Achsdrehung ab). Im Schwerpunkt wird sie exakt durch Kapitel 1: Lösungen 1047 die Gravitation der Sonne ausgeglichen, aber da, wo Mittag ist und die Sonne näher, überwiegt die Gravitation, umge- kehrt an der Nachtseite. Ohne Achsdrehung würde die Kugel des Meeresspiegels in radialer Richtung etwas langgezogen, der Erdkörper hätte aber Zeit, dem zu folgen: Das Wasser stünde dort nicht höher. 12 h reichen nicht für diese Deforma- tion des Erdkörpers, er dreht sich fast unverzerrt unter dem erhöhten Meeresspiegel weg: Zweimal täglich gibt es Flut, hier eine Sonnenflut Sie macht nur etwa 1 der Mondflut aus, aber gegenüber dem Mond ist die Situation dieselbe, da die Erde auch hier um den gemeinsamen Schwerpunkt läuft. Es wäre nicht richtig, daß das Meer hin- und her- schwappt, weil sich die Nachtseite der Erde um 900 m/s schneller bewegt als die Tagseite, wie Galilei meinte. Vom Schwerefeld und seiner Inhomogenität konnte er ja noch nichts wissen. 1.7.13. Homogenes Feld Gäbe es positive und negative Massen, dann wäre es ziemlich leicht, ein annähernd homogenes Schwerefeld herzustellen: Analog zum elektrischen Fall stelle man zwei große Schei- ben aus positiven und negativen Massen einander dicht ge- genüber. In Wirklichkeit ist nichts zu machen: Im homogenen Feld dürften Feldlinien nirgends anfangen noch enden, div g = -11rp = 0, d. h. es dürften überhaupt nirgends Massen sein, 11rp = 41fQ = 0. Das einzig mögliche "homo- gene" Feld ist g = 0. Dicht außerhalb der galaktischen Scheibe ist es annähernd realisiert. 1.7.14. Tidenhub I Das Rohr der Länge L sei völlig starr. Das Wasser darin stellt sich so ein, daß seine Oberfläche überall auf gleichem Poten- tial liegt. Wenn der Mond über der Mitte des Rohres steht, sind die Rohrenden um d = R - J R2 - L2 I 4 ~ L 2 ISR wei- ter vom Mond entfernt als die Mitte. Die Gezeitenbeschleu- nigung beim Rohr ist GMMir2 · (2Rir) = 10-6 mls2 , die Differenz ihres Potentials zwischen Rohrmitte und -ende also 10-6d. Diese Potentialdifferenz muß durch eine ebenso große im Schwerefeld der Erde ausgeglichen werden: gh = 10-6 d also h = 10-7 d. Um soviel steht das Wasser in der Mitte höher als am Ende. Für Bodensee, Oberen See, Mittelmeer, d. h. L = 60, 600, 3 200 km erhält man h = 0,01 mm, 1 mm, 3 cm, für d = R, d. h. den weltweiten Ozean, h = 60 cm. An den Küsten werden die wirklichen Gezeiten durch Stauwirkung i. allg. höher. 1.7.15. Tidenhub II Es kommt nicht auf die Beschleunigung a selbst an, sondern auf den dadurch bewirkten Potentialunterschied z. B. zwischen einem Punkt der Erdoberfläche, der direkt unter dem Mond liegt, und einem um 90° dagegen verschobenen Punkt. Dieser Potentialunterschied ist aR, und zwar ist das Gezeitenpotential unter dem Mond um soviel geringer. Die Wasseroberfläche ist eine Äquipotentialfläche. Die Diffe- renz im Gezeitenpotential muß durch eine entgegengesetzt gleiche Differenz im Potential des Erdschwerefeldes kom- pensiert werden, d. h. unter dem Mond steht das Wasser I Lösungen zu den Aufgaben um h höher, so daß gh = aR, h =Ra/ g ~ 0,6 m. Man kann auch sagen: Zwischen der 0°- und der 90° -Gegend zieht die Gezeitenkraft schräg, also bildet die Wasseroberfläche dort eine schiefe Ebene. Deren Neigung ist zwar winzig, aber auf der langen Strecke eines Erdquadranten kommt trotzdem ein ansehnlicher Höhenunterschied zustande. 1.7.16. Gezeitenkraft Der Reifen wird von rechts und links zusammengedrückt, nach oben und unten gezerrt, wenn auch beidemal nur sehr schwach. Er nimmt ungefähr elliptische Form an. Eine Schnur wird nach einigen Stunden zu einer senkrecht stehenden "Ellipse" mit der kleinen Achse 0; bei höherer Steifigkeit wird die Ellipse immer kreisähnlicher. Der kugel- förmige Haufen habe die Masse m, den Radius r und den Abstand d vom Erdmittelpunkt Auf einen Brocken ganz unten wirkt die Gezeitenbeschleunigung aa = GM/(d- r) 2 - GMjd2 ~ 2GMrjd3 als Differenz zwi- schen Erdanziehung und Zentrifugalkraft. Die Gravitations- beschleunigung durch den Haufen selbst ist aH = Gm/ r3. Ob der Haufen zusammenhält oder sich allmählich zerstreut, hängt davon ab, ob aH ~ aa, d. h. ob m/ r2 ~ 2Mr / d3. i?H = 3m/(4u3j ist die mittlere Dichte des Haufens, i?E = 3M/ ( 4JrR ) die der Erde, also lautet die Bedingung i?H~2eER3 /d3 oder d~R{/2eEI'!H· Wenn der Haufen nicht z. B. ein Hg-Tropfen ist, zerreißt er in Erdnähe. Ein Stein ist bis d = 1 ,6R eigentlich instabil, ein Wassertropfen bis 2,2R. Der Grenzabstand, unterhalb dessen ein Satellit in- stabil ist, heißt Roche-Grenze. Dieser Abstand vergrößert sich gegenüber unserer Abschätzung dadurch, daß der Hau- fen nicht kugelförmig bleibt, sondern sich nach oben und unten streckt, wodurch der Einfluß der Eigengravitation ge- schwächt wird. Das Zerreißen innerhalb der Roche-Grenze spielt sich so ab, daß z. B. die inneren Teile auf etwas engere Bahnen fallen und dort schneller umlaufen. Der Haufen zieht sich also nach einiger Zeit zu einem Ring um den Planeten auseinander. 1.7.17. Springflut Die Gezeitenkräfte seitens zweier Körper verhalten sich wie Mjd3 (M: Masse, d: Abstand). Nun ist MMond = MErde/80, Msonne = 3,3 · 105 MErde, aber dsonne = 400dMond, also ver- halten sich Beschleunigungen und Hubhöhen von Mond- und Sonnengezeiten wie 2,4 : 1. Wenn Sonne und Mond un- ter 90° stehen (Halbmond), folgt der Flutberg dem Mond, aber mit verminderter Höhe (Nipptiden), bei Voll- oder Neu- mond addieren sich beide Einflüsse (Springtiden). Im welt- weiten Ozean wären die Springfluten etwa 1 m, die Nippflu- ten nur 0,35 m hoch. Existenz und Form der Küste kompli- zieren die Situation. 1.7.18. Stationärer Mond Solange die Erde sich schneller dreht als der Mond, und da- mit die Flutberge umlaufen (Winkelgeschwindigkeit!), er- zeugt das Strömen des Wassers, das sich im Flutberg ver- schiebt, und besonders sein Anprall an die Kontinentalrän- der eine Bremsung der Erdrotation. Der Drehimpuls, der der Erde so verlorengeht, muß in einer Erhöhung des Bahn- drehimpulses des Mondes wieder auftauchen. Falls keine äu- ßeren Einflüsse den Mondumlaufbremsen (z. B. die Reibung im interplanetarischen Medium), lautet die Drehimpulsbilanz hrdeWErde + Md2WMond = L = const. Die Reibung hört erst dann auf, wenn Tag und Monat gleichlang geworden sind, d. h. wenn WErde = WMond = W 00 • Hätte die Erde homogene Dichte, dann wäre ihr Trägheitsmoment 1 = 0,4MErdeR2 = 1038 kg m2 . Da der Erdkern schwerer ist, wird 1 kleiner: 1 = 0,8 · 1038 kg m2 . Einsetzen der Zahlenwerte ergibt L = 3,6 · 1034 kg m2 / s, wovon 6 · 1033 auf die Erdrotation, 3 · 1034 auf den Mondumlauf entfallen. Wenn der Mond jetzt schon fast das ganze L hat, wird das im Endzustand mit ra- dikal reduziertem WErde erst recht so sein: Md~w00 = L. Außerdem gilt auch noch die Kreisbahnbedingung, m. a. W. das dritte Kepler-Gesetz: wÖdÖ = w~d~. Man er- hält Woo = 1,33 . 10-6 s- 1, doo = 6. 108 m, d. h. Tag und Monat werden 56 heutige Tage lang sein, und der Mond wird dann 1,56mal weiter entfernt sein als jetzt. 1.7.19. Mondentstehung Gäbe es keine Kontinentalschollen, dann wäre der Ozean überall knapp 4 km tief. Der Flutberg wäre 0,6 m hoch, enthielte also etwa einen Bruchteil 1 o-4 des gesamten Wassers. Er läuft mit der Geschwindigkeit 500 m/s um die Erde, was bedeutet, daß sich das Wasser im Mittel mit 500 · 10-4 = 0,05 m/s verschieben muß. Am Meeresboden kann man v = 0, an der Oberfläche v = 0,1 m/s ansetzen. Der Geschwindigkeitsgradient ist dv/dz ~ 0,1 ms- 1 / 4000m ~ 2 · 10-5 s-1, die innere Reibung (Kraft/m2) 1J dvjdz ~ 2 · 10-8 N/m2 (1J für Wasser: 10-3 N s/m2 ), die Gesamtkraft auf die Erdoberfläche von 5 · 108 km2 also un- gefähr 107 N, das Drehmoment 6 · 1013 Nm. Dieses Drehmo- ment würde den Drehimpuls der Erde von 6 · 1033 Nm s in etwa 1020 s ~ 3 · 1012 a abbremsen. In Wirklichkeit ist die Gezeitenreibung infolge der "Rauhigkeit" der Erdoberfläche um mindestens eine Größenordnung höher. Bedenkt man, daß die Fluthöhe und damit das Reibungsmoment mit dem Mondabstand wie d3 gehen, dann sieht man, daß der Mond in einem "Weltalter" von 1010 a sich durchaus von einer sehr erdnahen Bahn in seine jetzige hinaufspiralt haben kann (Mondabschleuderung aus dem Pazifik nach Darwin- Fowler). Bis zum Endzustand, wo nur noch eine Hälfte der Erde in den Genuß des Mondes kommt, ist es allerdings viel länger hin. 1.7.20. Hat die Bibel doch recht? Venus ist fast 80mal massereicher als der Mond, Mars etwa 9mal. Im gleichen Maße würde die Gezeitenreibung bei gleichem Abstand größer sein. Der Mond ist 60 Erdra- dien entfernt. In etwa 12 Erdradien Abstand würde die Ve- nus einen 80 · 53 ~ 1 04mal höheren Flutberg auftürmen als der Mond jetzt, also einen Flutberg, der alles Wasser des Ozeans enthielte. Bei Ebbe wäre der Meeresgrund trok- ken. Häuser, Bäume, selbst Berge, Josua samt Freund und Feind wären mit 500 m/s davongespült worden. Trotzdem würde die Vollbremsung der Erde über 108 Jahre dauern. Man könnte diese Zeit zwar auf etwa 106 a senken, wenn man Venus die Erde fast berühren läßt; dann wären aber selbst die Kontinentalschollen nicht "ungeschoren" geblie- ben. 1.7.21. Sind wir doch allein? Eine Sternbegegnung kann nur dann zum Herausreißen von Material führen, wenn sie enger ist als die Rache-Grenze, d. h. wenn die Gezeitenkräfte größer werden als die Eigen- gravitation. Wenn beide Partner sonnenähnlich sind, liegt die Rache-Grenze bei etwa drei Sternradien: d ~ 2 · 106 km (vgl. Aufgabe 1.7.16). Die kinetische Gastheorie zeigt, wie man die Häufigkeit so enger Begegnungen be- stimmt: Der Stoßquerschnitt ist A = 1rd2 ~ 1013 km2 . Die Sterne haben einen mittleren Abstand von etwa 7 Lichtjah- ren (gegen das Zentrum der Galaxis stehen sie viel dichter als bei uns). Die Sternzahldichte ist also n ~ 1 I (7 Lichtjahre )3 ~ 5 · 10-42 km - 3 , also die mittlere freie Weglänge l = 1l(nA) ~ 2 · 1028 km. Bei einer Durch- schnittsgeschwindigkeit von 100 km/s ~assiert einem Stern so etwas alle 1019 Jahre. Nur jeder 10 -te Stern dürfte da- nach Planeten haben, d. h. das nächste Planetensystem wäre in über 10000 Lichtjahren Entfernung zu erwarten. 1.7.22. Schwere auf Jupiter Die Schwerebeschleunigung auf einer Kugel vom Radius R (in Erdradien) und der Masse M (in Erdmassen) ist a = gM I R2 . Bei gleicher mittlerer Dichte ist also a "' R. Für Merkur, Mars, Ceres, Jupiter, Sonne erhält man fol~ende Schwerebeschleunigungen: 3,6; 3,8; 0,36; 26; 400mls (die Masse der Ceres ist hier aus dem Durchmesser geschätzt). Ein 100kg-Mensch "wöge" 36; 38; 3,6; 260; 4000kg. Die Kreisbahn- bzw. Entweichgeschwindigkeiten ergeben sich aus den irdischen Werten durch Multiplikation mit dem Ra- dienverhältnis und der Wurzel aus dem Dichteverhältnis. Kreisbahngeschwindigkeiten 3,2; 3,6; 0,38; 43; 530 km/s. 1.7.23. Mondmasse Beim Mond ist es schwierig, wie bei jedem Körper, der selbst keinen Satelliten hat. Die Höhe des Flutberges ergibt eine größenordnungsmäßige Schätzung, nach der der Mond noch immer z. B. einen Eisenkern haben könnte wie die Erde. Die 26 000 a-Präzessionsperiode der Erde liefert einen besseren Wert (Aufgabe 2.4.6). Genaueres erfährt man erst aus sehr präzisen Pendelmessungen der Gezeitenkräfte oder heutzutage, noch vor den direkten Mondflügen, aus den Bahnstörungen künstlicher Erdsatelliten. 1.7.24. 7.1.1610 Wir benutzen nur die angegebenen Daten und das 3. Kepler- sche Gesetz, das allerdings erst neun Jahre nach der Entdek- kung der Jupiter-Monde veröffentlicht wurde. Hätte Galilei es gekannt, so hätte er gefolgert, daß Jupiter 12213 ~ 5,2 Erdbahnradien von der Sonne entfernt ist, also von uns gün- stigstenfalls 4,2 Erdbahnradien. Wie groß der Erdbahnradius ist, brauchte Galilei nicht zu wissen; Kopernikus hatte ihn etwa 20mal zu klein geschätzt. Ein Abstand, der aus dieser Entfernung wie 6' ~ 1,5 · 10-3 rad aussieht, beträgt r ~ 4,2 · 10-3 ~ 6 · 10-3 Erdbahnradien. Die Sonne läßt die Erde in einem Erdbahnradius Abstand in einem Jahr urnlau- Kapitel " Lösungen I fen, Jupiter den Ganymed in 6 · 10-3 Erdbahnradien Abstand in 3,6d ~ 0,01 a. Also folgt nach dem vollständigen 3. Kep- ler-Gesetz Msonne/MJupiter ~ 600 (in Wirklichkeit 1 000). 1. 7 .25. Hohmann-Bahnen Auf einer Kepler-Ellipse ist bis auf den eigentlichen Start- und Landevorgang, d. h. bis auf die Anpassung an die Bahngeschwindigkeit von Start- und Zielplanet sowie die Überwindung von deren Schwerefeldern kein Antrieb nötig. Wir planen einen Flug von einem Planeten mit dem Bahnradius r1 zu einem Planeten mit dem Bahnradius r2. Offensichtlich sind r1 und r2 der Minimal- bzw. Maxi- malabstand von der Sonne auf dieser Bahnellipse (Peri- hel- bzw. Apheldistanz). Die große Halbachse der Bahn- ellipse ist a =! (r1 + r2), die Exzentrizität e =! (r1 - r2), also die kleine Halbachse b = ..J a2 - e2 = ...;rJFi. Bahn- energie, Drehimpuls und Umlaufzeit ergeben sich nach (1.95) bis (1.98) zu W = -2GMm/(rJ + r2). L = mJ2GMr1r2l(r1 + r2), T = 21r(r1 + r2)3/ 2 I 8GM. Wich- tig, weil treibstoffverzehrend, sind die Unterschiede zwi- schen der Raketengeschwindigkeit am Perihel bzw. Aphel und der Geschwindigkeit des Planeten, dessen Bahn dort tan- giert wird. Perihel- und A hel eschwindigkeit sind v1,2 = Ll(mf1,2) = r2,1GM 'I 2(r1 + r2)), der tangierte Planet hat dort v~ 2 = GMir1,2· Für einen Flug zum Mars mit weicher Landung braucht man im ganzen folgende Geschwindigkeiten: Start von der Erde 11,2km/s. Einschuß in die Kepler-Bahn 3,0km/s. Anpassung an die Marsge- schwindigkeit 2,7km/s, Landung 5,1 km/s. Beim Rückflug spart man die 11,2 km/s, da die Erdatmosphäre zur aero- dynamischen Bremsung ausreicht. Man kann die Geschwin- digkeiten addieren, um den Treibstoffbedarf zu erhalten, der exponentiell mit v geht: 33 km/s, die Gesamtflugzeit ist 1,4 Jahre. 1. 7 .26. Rotation der Galaxis Die Masse der Sonne ist 2 · 1030 kg, die der ganzen Galaxis M > 1041 kg. Diese Masse ist zwar nicht kugelförmig, sondern als ziemlich flache Scheibe angeordnet. Größen- ordnungsmäßig liefert aber der Fall der Kugel das Richtige, zumal ein großer Teil der Masse im annähernd kugelförmigen Zentralteil sitzt. Die Bahngeschwindigkeit v der Sonne muß so sein, daß v2 Ir = GM I ,Z, mit r = 3 · 104 Lichtjahren~ 3 · 1020 m, also v ~ 140km/s. Ein voller Umlauf würde etwa 3 · 108 Jahre dauern. Etwa in diesem Abstand folgen die großen Gebirgsbildungs- und Eiszeitperioden aufeinander, z. B. die variskische und die alpine Faltung oder die carbon-permischen und die quar- tären Eiszeiten. Herrschen an einer bestimmten Stelle der Sonnenbahn besonders "revolutionäre" Verhältnisse? Die Rotationsgeschwindigkeit der Spiralnebel läßt sich direkt aus dem Doppler-Effekt bestimmen und liegt in der erwarte- ten Größenordnung. 1. 7.27. Satelliten-Paradoxon Die Bremsung in der Hochatmosphäre ist so schwach, daß die Bahn praktisch immer kreisförmig bleibt. Dann ist Wkin = -! Wpot· Die Reibung läßt die Gesamtenergie 1049 1052 I Lösungen zu den Aufgaben !m~'2 - v2 ) = !mw2r2 beruht auf der Zentrifugalkraft; mw r ist die Ableitung des Zentrifugalpotentials ! w2 r2. Dies ist in Abschn. 1.8.4 gegen die Coriolis-Beschleunigung vernachlässigt. Das ist erlaubt, wenn w2 r « wv, also v' « v, z. B. für eine Pistolenkugel auf einer nur mit einigen U/min rotierenden Scheibe oder auf der Erde (wo als wr nur die Differenz der Bahngeschwindigkeiten der Erde zwischen End- und Anfangspunkt der Bahn zur Geltung kommt). 1.8.13. Trägheitskräfte Wir betrachten zwei Bezugssysteme, das Inertialsystem S und das System S', das gegenüber S mit der Winkelgeschwin- digkeit w rotiert. Die Drehachse soll durch die Ursprünge von S und S' gehen, d. h. diese Ursprünge fallen immer zusam- men, und bei t = 0 sollen auch die entsprechenden Achsen zusammenfallen. Ein Punkt, der in S den Ortsvektor r hat, hat in S' zur Zeit t = 0 den gleichen Ortsvektor r' = r, aber die in beiden Systemen gemessenen Geschwindigkei- ten sind verschieden. Wenn man von S aus einen Körper bei r mit v fliegen sieht, ist er in S' bei r' und fliegt mit v' = v + r x w. r x w ist nämlich die Geschwindigkeit, mit der sich ein fester Punkt von S bewegt, wenn man ihn von S' aus beobachtet. Überhaupt ergibt sich die zeitliche Ableitung jedes .Vektors b in S' so: Man bilde die zeit- liche Ableitung b in bezug auf S und addiere b x w. Wir bezeichnen die zeitliche Ableitung in S mit dem Punkt, die in S' durch dl dt. Dann wird die Beschleunigung in S' dv' I dt = i/ + V X w = r + r X w + r X w + v' X w = r + 2V X W - (r1 X W) X W + r1 X W . r gibt die durch echte (Nichtträgheits-)Kräfte bewirkte Be- schleunigung, 2v' x w ist die Coriolis-Beschleunigung, -r' x w x w die Zentrifugalbeschleunigung, r' x w die Be- schleunigung infolge Änderung der Drehgeschwindigkeit Dieser Ausdruck gibt alle Richtungseigenschaften richtig wieder: - (r' x w) x w zeigt immer nach außen und hat den Betrag w2r, wo r der Abstand senkrecht zur Drehachse ist; 2v' x w steht immer senkrecht auf v' und w; r' x w steht senkrecht auf r' und w, wenn w sich der Größe, aber nicht der Richtung nach ändert; wenn sich w dreht, kommt ebenfalls die richtige Beschleunigungsrichtung heraus. 1.8.14. Kosmische Tankstellen Auf jeder Planetenbahn braucht eine Rakete die Geschwin- digkeit vp)2, um aus dem Sonnensystem entweichen zu kön- nen (vp: Kreisbahngeschwindigkeit des Planeten). Von der Erde aus sind das 42,3 km/s, vom Jupiter, der 5,2mal weiter draußen ist, also mit vp = 13,2krn/s fliegt, braucht man 18,7 krn/s. Wir betrachten die Begegnung Rakete-Jupiter im Bezugssystem des Jupiter. Die Rakete beschreibt eine 2.2.1. Die folgsame Garnrolle Die Garnrolle kann so liegen, daß sich der Faden von oben oder daß er sich von unten abspult. Im ersten Fall gibt es kein Kepler-Hyperbel um ihn. Der "Stoß" ist elastisch, Energie wird praktisch auf den schweren Jupiter nicht übertragen. Vor- und nachher herrscht der gleiche Geschwindigkeits- betrag v;. Man richte es so ein, daß die Raketenbahn sym- metrisch zur Jupiterbahn liegt mit den Asymptoten unter einem Winkel ±tp dazu. Aufs Bezugssystem der Sonne um- gerechnet (überall VJ addiert) erhält man vor und nach dem Stoß Vt,2 = vy + v;2 ± 2v1v; cos tp, also v~ = v'? + 4vJv; cos tp. Offenbar ist der Gewinn bei tp = 1r maximal, also wenn die Rakete Jupiter direkt entgegenfliegt (im J-System), bzw. wenn ihre Bahn die Jupiters tangiert und sie langsamer ist als VJ. Dann ist v2 = 2vJ - VJ. Eine Hob- mann-Ellipse tangiert und ist am ökonomischsten. Für einen beliebigen Planeten in r Erdbahnradien Abstand ist nach Auf abe 1.7.25 die Ankunftsgeschwindigkeit Vt = 2l(r(l + r)) · 30krn/s (r hier Radienverhältnis zur Erd- bahn). v2 soll mindestens die Flucht eschwindigkeit vp)2 = J2{f- · 30krn/s sein. 2IJT- 2l(r(l + r)) ?;.2lr. Das entspricht r ?;_ 4,83. Jupiter mit r = 5,2 ist der erste Planet, bei dem der Effekt für eine Hohmann-Bahn funktio- niert. Der Start von der Erde erfolgt tangential zur Bahn, also um Mittemacht nach Osten (Erdrotation ausgenutzt). Nach dem Entweichen aus dem Erdfeld müssen noch 8,3 krn/s blei- ben. Damit die Jupiterbahn allerdings auch nur auf 105 km genau tangiert wird, muß diese Geschwindigkeit auf 1 %o ge- nau eingehalten (oder später korrigiert) werden. Wie nahe muß man an Jupiter vorbeizielen, damit die Ablenkung fast 180° ist? Für eine so schlanke Hyperbel mit c; wenig größer als 1 ist b R; p R; L2 I Gm2 M, L = mbv;, also b R; GM lv~2 R; 2,4 · 105 km R; 3 Jupiter-Radien. Damit er- reicht man allerdings keine Umlenkung um 180°, sondern nur um 180- 2tp, wo tp R; bla R; (e- a)lb. e- a muß mindestens ein Planetenradius sein, also folgt tp = 20°, Umlenkung um 140°. Dabei werden noch 94% des Maxi- malimpulses ausgenutzt. Man braucht nur 0,2 krn/s zur Hohmann-Geschwindigkeit zuzugeben. 1.8.15. M. Cingh~s Paradoxon Damit, daß die Energie des Geschosses in den Bezugs- systemen Erde und Zug verschieden ist, kann man M. Malin nicht widerlegen. Er zieht den Schuß im Wald ja nur zum Vergleich heran, sonst argumentiert er konsequent im Bezugssystem Zug. Man darf aber nicht vergessen, daß Cingle und TGV beim Abschuß einen Rückstoß erfahren, also verlangsamt werden, wenn auch völlig unmerklich, nämlich um w = mviM (M: Masse des Zuges). Damit verringert sich die kinetische Energie des Zuges um !Mv2 - !M(v- w) 2 = Mwv = mv2, und dies sind die feh- lenden zwei "Einheiten", die dem Geschoß zugute kommen müssen. Problem, dann rollt die Garnrolle immer in Richtung des Zuges am Faden. Der Faden laufe also von unten ab. Wir betrachten reines Rollen, kein Gleiten. Man hüte sich vor allem, die Rollenachse als Drehachse zu betrachten; dadurch wird alles viel schwieriger. Momentane Drehachse ist die Verbindungslinie der beiden Punkte, wo die Rolle den Bo- den berührt. Zieht man unter einem zu steilen Winkel, dann läuft die Verlängerung des Fadens unterhalb dieser Drehachse vorbei, und der Zug am Faden erzeugt ein Dreh- moment, das die Rolle nach hinten, weiter unter das Bett dreht. Man muß so flach ziehen, daß diese Verlängerung oberhalb der Drehachse läuft. Bei sehr voller Rolle ohne er- höhten Rand ist der kritische Winkel oft sehr klein. Dann kann man notfalls etwas abwickeln, bis die Rolle gehor- samer wird. 2.2.2. Wer dreht den Kerl? Sobald er die Kreiselachse schwenkt, empfindet der Mann ein Drehmoment, das sehr groß werden und ihn vom Schemel werfen kann, wenn er diese Schwenkung zu plötz- lich macht und der Kreisel sehr massiv ist und sehr rasch rotiert. Das entgegengesetzte Drehmoment wirkt nach dem Reaktionsprinzip auf den Kreisel selbst. Die entsprechenden Kräfte sind dieselben, die den Kreisel senkrecht zu seiner Drehachse und der beabsichtigten Schwenkrichtung auswei- chen lassen. Der Mann muß also nicht hochdrücken, sondern kräftemäßig so tun, als wolle er die Achse in einer horizon- talen Ebene schwenken, wodurch er sich selbst in Drehung versetzt. Der entsprechende Drehmomentvektor steht z. B. im ersten Augenblick, wo die Kreiselachse noch waagerecht liegt, in Richtung der Schemelachse, allgemein immer senk- recht zur Kreiselachse. Daher hat dieses Drehmoment keinen Einfluß auf den Drehimpuls des Kreisels selbst um seine Achse. Die Rotationsenergie, die der Mensch aufnimmt, be- zieht er aus der Arbeit seiner Muskeln, mit denen er sich von der Kreiselachse abdrückt. 2.2.3. Motor-Drehmoment Dreharbeit= Drehmoment · Dreh winke!, also Leistung = Drehmoment· Winkelgeschwindigkeit, ganz analog wie sich bei Translation Leistung als Kraft · Geschwindigkeit ergibt. 1U/min entspricht w=27rl60=0,105s- 1, also gibt ein Motor der Leistung P (in W) ein Drehmoment D=Piw=60PI(2Kj)Nm=9,5PifNm her. 1PS= 736Nmls = 736W, also mit P in PS: D = 7026PifNm. Ein 40 PS-Motor zieht bei 3 000 U/min mit 100 Nm, könnte also beim Übersetzungsverhältnis 1 ein 1 000 kg-Auto mit 0,4 m Reifenradius nur eine Steigung von 2,5 % hochzie- hen. Selbst der 4. Gang ist also offenbar etwa 3mal unter- setzt, der 1. mehr als 1 Oma!, wenn er allen Alpenpässen ge- wachsen sein soll. Jede Übersetzung durch Getriebe, Riemen oder einfach durch Radienänderung läßt, bis auf Reibungs- verluste, die Leistung unverändert (Energiesatz!), kann aber Drehzahl und Drehmoment in entgegengesetztem Sinn ändern. 2.2.4. Luftauftrieb Die Laborluft (20° C) hat die Dichte QL = 1,21· 10-3 glcm3. Hat das Wägegut die Massemund die Dichte Qw glcm3, so Kapitel 2: Lösungen 1053 ist sein Gewicht um den Auftrieb mgeLI Qw, das der Messinggewichte um mgeLI QM verringert. Für jedes Gramm, das die Waage anzeigt, muß man also 11m = l ,21 ( 1 I Qw - 1 I QM) Milligramm dazuzählen, z. B. bei Qw = l glcm3 :11m Im= 0,97 mg/g. 2.2.5. Schwungrad Die speicherbare Energie ist W = !Jw2 , also mit dem Träg- heitsmoment J = ! MR2 für eine homogene Kreisscheibe W = !MR2w2 . Die zulässige Umfangsgeschwindigkeit v = Rw ist nach Aufgabe 3.4.2 durch die Zerreißfestigkeit O"o des Materials bestimmt: ev2 :::::: O"o. Die spezifische Spei- cherfähigkeitergibt sich also als W IM :::::: ! O"o I Q und ist somit erstaunlicherweise umgekehrt proportional zur Dichte. Kunststoffe mit der Zerreißfestigkeit von Stahl, wie man sie heute herstellen kann, speichern also mehr als fünfmal besser als Stahl, nämlich mehr als 105 J/kg (O"o = 109 Nlm2). Ein Bleiakku von 12 V, 90Ah, der ca. 1 kWh = 3,6 · 106 J enthält, wiegt 20 kg, speichert also nicht besser als das Schwungrad. Ein 200 kg-Schwungrad kann 4 · 107 J speichern, was bei dem nur 20%igen Wirkungsgrad des Ottomotors ca. 51 Benzin (Brennwert 3,7 · 107 J/kg) gleichwertig ist, also einen PKW ca. 50 km weit treiben könnte, bevor an der nächsten Station "aufgetankt" wird. Die einzige Schwierigkeit liegt in der Sicherheit: Wer will ein Ding unter der Kühlerhaube haben, das, wenn es platzt, Masse und Geschwindigkeit einer Granate hat? Die Schwungradachse muß senkrecht stehen, sonst erlebt man Überraschungen beim Kurvenfahren, d. h. beim Schwenken der Achse. 2.3.1. Standfeste Dose Während der Bierspiegel (Höhe h) von "ganz voll" (h = H) auf "ganz leer" (h = 0) sinkt, fällt gleichzeitig der Schwer- punkt der ganzen Dose von h = H 12 auf einen zu bestim- menden Minimal wert, kommt aber für die leere Dose wieder bei H 12 an. Es muß also einen Füllungsgrad geben, wo der Schwerpunkt genau im Bierspiegel liegt. Der Verdacht liegt nahe, daß diese Koinzidenz etwas Besonderes bedeutet, viel- leicht sogar die gesuchte tiefste Schwerpunktslage. Wir prü- fen diese Vermutung und stellen uns dazu vor, das Bier sei gefroren, so daß man die Dose auf die Seite legen und den Schwerpunkt durch Balancieren auf einer Messerschnei- de bestimmen kann, sagen wir, mit dem gefüllten Teil der Dose rechts. Betrachten wir den Zustand, wo der Schwer- punkt im Bierspiegel liegt. Fügen wir etwas Biereis hinzu, so wird die Dose links schwerer und kippt nach dort: Der Schwerpunkt ist nach links ( d. h. für die stehende Position nach oben) gerutscht. Nehmen wir etwas Bier weg, so wird sie rechts leichter und kippt ebenfalls nach links: Der Schwerpunkt ist wieder nach oben gewandert. Damit ist die Minimumeigenschaft des betrachteten Zustandes bewie- sen. Wenn man so viel weiß, kann man die Höhe des tiefsten Schwerpunkts sofort angeben, sobald man das Massenver- hältnis von voller und leerer Dose hat. Zum Beispiel: mv = 400 g, mt = 100 g. Der Schwerpunkt der leeren Dose liegt bei H 12, der des Bierrestes bei hl2; diese Restfüllung 1054 Lösungen zu den Aufgaben hat die Masse mr = (mv- mi)hiH, der Schwerpunkt der Ge- samtdose liegt bei 1 m1(H2 - h2) + mvh2 17- -2 mi(H-h)+mvh' was gleich h sein muß (Schwerpunkt im Bierspiegel). Für unser Zahlenbeispiel: Füllungsgrad 1JIH = 113. Die analy- tische Lösung ist wirklich viel primitiver: Man stellt die Schwerpunktshöhe 17 allgemein als Funktion des Bier- niveaus h dar (s.o.). Nullsetzen der Ableitung nachhergibt dasselbe wie die Nichtanalytiker-Lösung, die den Vorzug hat, daß ihre Schlußfolgerung (Schwerpunktsminimum im Bier- spiegel) z. B. auch für Flaschen gilt. 2.3.2. Kettenlinie Faden, Seil oder Kette können Kräfte nur in ihrer eigenen Richtung übertragen: Die Kraftrichtung ist Tangentenrich- tung an die gesuchte Kurve, die Kettenlinie. Die Horizontal- komponente F = ist gleich dem horizontalen Zug am Auf- hängepunkt und ist überall im Faden gleich groß. Die Ver- tikalkomponente ändert sich, wenn man in Fadenrichtung um ds nach oben fortschreitet, um das Gewicht dieses Faden- stücks: dF11 I ds = ge (e: Fadenmasse!Längeneinheit). Die Steigung der Kettenlinie, dyldx = F11IF=, ändert sich also gemäß dy'IJ=ge/F=. Wegen ds=dx)l+y'2 folgt daraus dy' I 1 + y12 = ge dxl F =• oder nach Integration arsinhy' = gexl F = (x = 0 soll am tiefsten Punkt des Fadens sein, wo y' = 0 ist). Also y' = sinh(xla) mit a = F=lg, und y = acosh(xla). Die Kettenlinie ist eine cosinus hyperboli- cus-Kurve. Gerrauere Analyse liefert einige bemerkenswerte Eigenschaften der Kettenlinie oder Catenoide: Sie ist die Evolute der Traktrix oder Schleppkurve (Aufgabe 1.2.5), d. h. sämtliche Krümmungsmittelpunkte der Traktrix bilden die Kettenlinie. Bei der Rotation um die x-Achse bildet die Kettenlinie eine Fläche, ein Catenoid, dessen mittlere Krüm- mung R! 1 + R2_ 1 überall gleich ist (Aufgabe 3 .2.1 0), ähnlich wie die durch Rotation der Traktrix entstehende Fläche, die Pseudosphäre, ein überall gleiches Gaußsches Krümmungs- maß R! 1 · R2_ 1 hat. 2.3.3. Hirtenunterschlupf Der Witz ist, daß man von oben anfängt beim Denken, wenn man es beim Bauen schon nicht kann. Der oberste Ziegel kann offenbar fast um seine halbe Länge den darunter- liegenden überragen. Der Schwerpunkt dieser beiden liegt dann auf! ihrer Länge, und um soviel darf der zweite Ziegel den dritten überragen. Die drei zusammen haben ihren Schwerpunk~. auf t der Länge des dritten, und dies ist dessen maximaler Uberstand. Allgemein: Die n obersten Ziegel haben ihren Schwerpunkt nach Bauvorschrift am Ende des n + 1-ten, dieser hat seinen Schwerpunkt natürlich auf der Hälfte seiner Länge, also liegt der Schwerpunkt der n + 1 Ziegel auf nl2 der Länge des n + 1-ten. N Ziegel erlauben einen Gesamt-Überhang von ! 2:;~;:11 lln Ziegellängen. Diese "harmonische Reihe" ist divergent, wenn auch nur sehr langsam, d. h. man kann mit hinreichend vielen Ziegeln jeden noch so großen Überhang erreichen! Für eine Ziegel- länge muß man 5, für zwei Längen 32, drei Längen 228, vier Längen 1675 Ziegel hochstapeln. Nicht sehr bequem zu bau- en, wenn alle auf der Kippe liegen. Trotzdem sind die pro- venc;alischen "B6ris" so gebaut (flache Platten). Der Schluß- stein, der das Ganze schließlich gegen Störungen stabilisiert, klemmt nicht. 2.3.4. Rutschen oder rollen? Wenn der Zylinder, Masse M, Radius R, mit der Geschwin- digkeit VgJ gleitet, hat er die kinetische Energie Wgi =! Mv~1 • Wenn er mit der Geschwindigkeit Vr rollt, ohne zu rutschen, muß er mit der Winkelgeschwindigkeit w = Vr IR rotieren, hat also zusätzlich eine Rotationsenergie ! 1 w2 . Sein Träg- heitsmoment 1 ist (wie das der Kreisscheibe, (2.6)) 1 = !MR2 , also Wrot = !Mv;, und die Gesamtenergie beim Rollen Wr = i Mv;. Beim Heruntergleiten bzw. -rollen steht die gleiche potentielle Energie zur Verfügung (ohne Reibungseinfluß, der allerdings beim Gleiten größer ist); also ist die Rollgeschwindigkeit in jeder Höhe kleiner als die Gleitgeschwindigkeit: Wgl = Wr ==? VgJ = Jl,Svr = 1,22vr. 2.3.5. Hohlkugel Man läßt die beiden Kugeln eine schiefe Ebene hinunter- rollen. Die hohle hat ein größeres Trägheitsmoment, muß einen größeren Anteil der potentiellen Energie in Rotations- energie investieren und rollt daher langsamer. 2.3.6. Schwingende Tür Der Schwerpunkt der Tür (Masse M, Trägheitsmoment 1) sei um b von der Drehachse entfernt. Dann hängt der Schwerpunkt in seiner tiefsten Lage um b sin a tiefer als in seiner "Normallage", in der die Tür dagegen um 90° ge- schwenkt ist. Während dieser 90°-Auslenkung übt also die Schwere im Mittel ein Drehmoment D = Wrotf(nl2) = gMbsinrxl(nl2) aus, die Winkelrichtgröße ergibt sich zu k = D I ( n 12) 34 I n2 )gMb sin a, die Schwingungsdauer zu T = 2nv/Jik = 1r J1l(gMbsina). Ist die Tür sym- metrisch gebaut zu einer normalerweise senkrechten Achse durch den Schwerpunkt, so ist das Trägheitsmoment um diese Achse 11 < Mb2 , also um die Achse, die durch die An- geln geht, nach dem Steinersehen Satz Mb2 < 1 < 2Mb2 . Also ergibt sich 14y'bl(2gsina) < T < 14Jbl(gsina). Die gerrauere Rechnung nach der sphärischen Trigonometrie liefert für kleine Auslenkungen (das Kraft esetz ist nicht ex- akt quasielastisch) T = 2n 1 l(2gMb sin a), also etwa halb so viel. Die Ableitung ergibt sich aus Abb. L.4: Stünden die Angeln senkrecht, dann würde sich der Schwerpunkt längs der horizontalen Bahn BAA' schwenken. In Wirklichkeit läuft er auf einem dagegen um a geneigten Kreis BCC'. Es sei C' die tiefste Schwerpunktlage. Beim Ausschwenken um rp aus dieser Lage liegt der Schwerpunkt bei C, d. h. um h = b sin 17 tiefer als bei senkrechten Angeln, wo er bei A läge. 1J ergibt sich aus dem Sinussatz im Kugeldreieck ABC: sin 17 = sin a sin(90° - rp) = sin a cos rp. Es ist also h = b sin a cos rp, d. h. das Kraftgesetz ist genau im gleichen Präzession repräsentiert den Drehimpuls L = w' I' = I'DI(Jw). Nehmen wir an, wir lagern ein Ende der Achse so, daß diese der Präzession frei folgen kann, aber daß der Aufbau der Präzession nicht begünstigt wird, wie das die Hand fast unbewußt tut. Dann braucht das Drehmoment D eine Zeit t =LID= J' l(1w ), um die stationäre Präzession aufzubauen. Wir vergleichen diese Zeit mit der Dauer des Kippens, die von der Größenordnung r = JGTi ist (vgl. Abschn. 2.3.4). Wenn r » t, ist das Abkippen während der Beschleunigungsphase fast unmerklich; wenn r « t, steht die Achse schon praktisch senkrecht, bevor sich die Präzes- sion aufbauen kann. Der Übergang zwischen den beiden scheinbar qualitativ verschiedenen Verhaltensweisen liegt bei r ~ t, d. h. w ~ WK ~ 1' 11 · Vi/(i, für das Rad WK ~ a2 I r 2 · Vi/(i. Bei einem Rad ist 11 « 1 und daher WK ziemlich klein. Ein Spielkreisel hat 11 <:: 1 und muß sich viel schneller drehen oder steiler stehen, damit er nicht umfällt. 2.4.5. Saros-Zyklus Die Anziehung durch die Sonne wird im Mittel durch die Bahn-Zentrifugalkraft des Systems Erde-Mond ausgegli- chen: mv21a = GmMia2 . In Neu- oder Vollmondstellung ist der Mond der Sonne aber um r näher bzw. ferner, also wirkt eine Gezeitenkraft FG = ~2GmMrla3 = ~2mv2rla2 auf ihn und übt ein Drehmoment D = 2mv2r2 sin5,15° la2 aus. Dieses Drehmoment wirkt allerdings nur etwa die Hälfte des Monats in dieser Stärke. Rechnung: der Mond sei auf seiner Monatsbahn um einen Winkel qJ von der Neu- mondstellung entfernt. Die Gezeitenkraft ist dann um den Faktor cos qJ kleiner als FG, denn der Abstand von der Erd- bahn ist um soviel kleiner. Auch der Kippwinkel ist um den gleichen Faktor verringert, das Drehmoment also um cos2 qJ. Der Mittelwert von cos2 qJ ist aber !-. Ein weiterer Faktor !- resultiert daraus, daß die Mondbahn nicht immer, wie hier angenommen, genau gegen die Sonne hin gekippt ist. So ergibt sich das mittlere Drehmoment zu D = mv2r2 · sin5,15° l2a2. Der Mondkreisel hat den Drehimpuls L = mvMr. Er präzediert unter dem Einfluß von D mit der Winkelgeschwindigkeit w=DI(Lsin 5,15°) =!- rv2 l(vMa2 ). Alle rechts auftretenden Brüche sind Winkelgeschwindigkei- ten von Erde bzw. Mond. Also ist die Präzessionsperiode T = 1 Jahr · 1 Jahr I !- Monat ~ 20 Jahre. Dieser Präzes- sionszyklus ist der Saros-Zyklus, der die Perioden von Son- nen- und Mondfinsternissen beherrscht und tatsächlich 18,5 Jahre dauert. 2.4.6. Präzession der Erdachse Der Äquatorwulst enthielte bei homogener Dichteverteilung etwa 1 ~0 der Erdmasse: (a2b- b3 )lb3 ~ 2(a- b)lb. In Wirklichkeit ist die Dichte an der Oberfläche nur etwa halb so groß wie die mittlere, also hat der Wulst etwa 3Ö0 der Erdmasse. Säße diese Masse ganz z. B. auf der sonnen- zugewandten Seite der Erde, dann übte diese ein Dreh- moment D = mv2 R2 sin 23,4 o I a2 auf den Erdkreisel aus (Ableitung vgl. Aufgabe 2.4.5). Die Verschmierung um den ganzen Äquator gibt wieder einen Faktor!-. Der Drehim- Kapitel 2: Lösungen 1057 puls der Erde ist (etwas kleiner als bei der gleichschnell rotierenden homogenen Kugel, vgl. Aufgabe 1.7.18) L = 0,7 · 0,6MR2vEIR. Die Präzession erfolgt also mit der Winkelgeschwindigkeit D m v2R OJ= =12--- Lsin23,40 ' M VEa2 1 V R V 1 WJahr =----=- --WJahr 250 a VE a 250 WTag 1 die Periode ist T = 250 · 1 Jahr · 1 Jahr 11 Tag = 90 000 Jah- re. Die Mondgezeiten sind 2,4mal stärker (vgl. Aufgabe 1.7.17), insgesamt wird also die Präzessionsperiode um den Faktor 3,4 kürzer als der obige Wert: T = 27 000 Jahre (in Wirklichkeit: 26 000 Jahre). Die Lage der Jahreszeiten auf der Erdbahn, m. a. W. die jahreszeitliche Stellung der Sonne zum Fixsternhimmel ändert sich mit dieser Periode, die schon den Chaldäern bekannt war und von Hipparch (um 150 v. Chr.) genauer studiert wurde. Laplace zeigte, daß diese Periode aus der Kreiseltheorie folgt. 2.4.7. Wer verhindert das Kippen? Der Kreisel sei ein Rad, das um eine horizontal liegende Achse rotiere. Wir nehmen an, der Kreisel präzediere "rich- tig", d. h. mit der von der Theorie gegebenen Kreisfrequenz w' = Dl(1w) (D: Kippmoment, 1w: Drehimpuls der Achs- rotation), und setzen uns in das Bezugssystem der Rotations- achse, das mitpräzediert, aber nicht mitrotiert. In diesem System erfahren die Teile des Kreisels, die sich momentan auf- oder abwärts bewegen, keine Coriolis-Kräfte, denn ihr v ist parallel zum w des Bezugssystems. Aber die Teile oben und unten, deren v senkrecht zu w sind, werden nach innen bzw. außen gedrückt, so daß ein Gegenmoment gegen das Kippmoment entsteht. Die Coriolis-Beschleunigung für einen Teil des Rades, der um den Winkel qJ von "oben" ent- fernt ist, dessen Momentan-Bahngeschwindigkeit also den Winkel 90° - qJ mit w bildet, ist ac = 2vw cos qJ. Der Bei- trag dieses Teils zum Drehmoment wird gemessen durch die Armlänge r cos qJ (r: Radius des Rades). cos2 qJ hat den Mittelwert !-, also ist das Coriolis-Kippmoment Dc = mvw'r = mww'r2 = Jww'. Da w' = DI(Jw), ist dieses Moment genau entgegengesetzt gleichgroß wie das der Schwere. Bei zu schneller Präzession überwiegt Dc, die Achse richtet sich auf, bei zu langsamer Präzession über- wiegt D, die Achse kippt abwärts. 2.4.8. Kreiselkompaß Auf jeden Teil eines Kreisels außerhalb seiner Achse wirkt eine Coriolis-Kraft, die senkrecht auf seiner Bahngeschwin- digkeit und auf der Erdachse steht. Beim symmetrischen Kreisel erfahren zwei Punkte, die symmetrisch zur Achse liegen, Kräfte in der von Erd- und Kreiselachse bestimmten Ebene, die ein Kräftepaar bilden, das die Kreiselachse in Richtung der Erdachse zu kippen sucht. Wenn die Kreisel- masse m überwiegend in einem Ring vom Radius R kon- zentriert ist, der mit w rotiert, ist dieses Drehmoment an- nähernd mwRwE sin qJ ( qJ: Kippwinkel gegen Erdachse, I Lösungen zu den Aufgaben WE: Winkelgeschwindigkeit der Erde). Bei wR = lOOm/s folgt wRwE ~ 10-2 m s-2 . Gegen ein evtl. Kippmoment der Schwerkraft bei nichtzentraler Lagerung könnte dieses Moment nichts ausrichten, aber bei sorgfältiger Lagerung überwindet es leicht die Reibung. - In einer Kurve vom Radius r kompensieren einander die Momente der Zentrifu- galkraft auf den Kreisel. Es bleibt die zusätzliche Coriolis- Kraft irrfolge der Rotation um eine Achse, die durch den Krümmungsmittelpunkt der Kurve und (bei horizontaler Bahn) den Erdmittelpunkt geht. w = v Ir ist i. allg. viel größer als wE; damit der Kompaß nicht in Richtung dieser Rotationsachse mißweist, macht man sein Trägheitsmoment so groß, daß er solchen meist relativ kurzzeitigen Mo- menten nicht erheblich nachgibt. Bei der Fahrt auf einem Großkreis ergibt sich eine Mißweisungskomponente in Rich- tung der Achse dieses Großkreises. Bei Schiffsgeschwindig- keiten ist dieser Einfluß gering. Für ein Flugzeug, das mit 460 m/s ostwestlich längs des Äquators fliegt, ist keine Rota- tion vorhanden, denn es steht immer am gleichen Punkt des raumfesten Bezugssystems. Sein Kreiselkompaß ist im indif- ferenten Gleichgewicht. Bei westöstlichem Flug verdoppelt sich die Richtkraft ohne Richtungsänderung, der Kompaß spricht stärker ohne Mißweisung an. Bei nichtäquatorialem Flug sind Korrekturen anzubringen. Fester Kurs, d. h. fester Winkel zum Meridian, bedeutet Abweichung vom Großkreis (Loxodrome). Hier überlagert sich die Mißweisung der Groß- kreisfahrt mit dem kleineren Effekt der "Kurve", d. h. der Abweichung vom Großkreis. 2.4.9. Geschoßdrall Ohne diese Kreiselwirkung der Drallstabilisierung würde die Geschoßachse unter dem heftigen Luftwiderstand wild zu schwanken beginnen. Wenn das Geschoß sich durch den Lauf schrauben muß, dreht es sich beim Vorwärts- schieben um dx um einen Winkel dtp, so daß r dcp = dx tan r:t.. Entsprechend ist seine Winkelgeschwindigkeit w = v tan r:t.l r. Die Gesamtenergie (Translation + Rotation) ist ! mv2 + ;1 w2. Der Zylinder hat J = el J 2u3 dr = !1rlr'l = !mr , also folgt J1 = m(l + !tan2 r:t.). Für v0 = 1500ms-1 (entsprechend einem Brennwert von 6 000 J/g mit mPu1ver ~ maeschoß und über 50% Energiever- lust) folgt bei 2r = 76 mm eine Rotationsfrequenz von 2300Hz. Das 5 kg-Geschoß mit J = 4 · 10-3 kg m2 hat den Drehimpuls L = 60Js. Der Luftwiderstand übt auf das um ß gegen die Bahn geneigte Geschoß (das ja seine Ein- 3.1.1. Seemannsgarn? Die Kompressibilität des Wassers ist 5 · 1 o-6 cm2 IN = 5 . 10-5 bar-1. In 10 km Tiefe herrschen 1 000 bar. Das Was- ser ist dort also um 5 % dichter. Die mittlere Dichte der Ma- terialien eines Schiffes müßte gerrau zwischen 1,02 (See- wasser an der Oberfläche) und 1,07 g/cm3 liegen, damit es schweben bliebe. Gewöhnlich bleibt Luft im Wrack. Sie stellung beibehalten möchte) ein Drehmoment von etwa sin ßDeL v2lrl ~ 100 sin ß aus. Das führt zu einer Präzession mit wp = DI(Lsinß) ~ 1 s-1: Präzessionsperiode einige Sekunden. Diese Periode ist nicht klein gegen die Gesamt- flugzeit, manchmal sogar größer. Die Geschoßachse zeigt also überwiegend auf die Seite der Bahnebene, wohin sie zuerst ausweicht. Bei Rechtsdrall ist das die rechte. Der schräge "Fahrtwind" schiebt daher das Geschoß nach rechts (viel mehr als die Coriolis-Kraft). 2.4.10. Sonnensystem In einer Kugel gleichförmiger Dichte ist w unabhängig von r. Das folgt aus der Parabelform des Potentials (Abb. 1.50, gerrauer begründet Abschn. 6.1.4 und Aufgabe 6.1.6). Nimmt die Dichte nach außen ab, tut es auch w. In der Spiralgalaxie mit massivem Kern gelten angenähert die Kep- ler-Gesetze, speziell das dritte: w2r = GMir2 , also w = J GM I r3. Wenn ein Bereich vom ursprünglichen Radius Ro sich verdichtet, rotiert er in seinem eigenen Bezugssystem, das mit w ums Zentrum der Galaxie läuft, mit w' = Ro dw I dr und hat einen Drehimpuls L ~ MR6w' ~ MRÖ dwldr ~ M2e01 dwldr, den er auch behält. Für eine Spiralgalaxie schätzen wir dw I dr ~ 10-35 m- 1 s-1 (aus M ~ 1040 kg, r ~ 1020 m). Wenn die Verdichtung durch Anlaufen der Kernfusion zum Stern ge- worden ist, hat sie den Radius R1. Das Verhältnis von Zen- trifugalkraft zu Gravitation ist dann wi Ri/ (GM) ~ (dwldr) 2MI(Rw6G). Einsetzen der Zahlenwerte liefert für die Sonne ein Verhältnis um 10. Tatsächlich hat die Sonne ja auch den größten Teil ihres Drehimpulses ins Planetensystem gesteckt - wie, das ist noch nicht ganz ge- klärt. Der Schweredruck im Sterninnern ist p rv M2 I R4 (Aufgabe 5.2.6), die Dichte e rv MI R3' also die Temperatur T rv p I e rv MIR. Danach sollte, wenn T im Zentrum aller Sterne gleich ist, auch MIR und damit das Verhältnis Zentrifugalkraft/Gravitation gleich sein. In Wirklichkeit ist R rv ~·6 , und daher sinkt bei sehr schweren Sternen, die auch sehr hell und heiß sind (oben links in der Haupt- reihe des Hertzsprung-Russel-Diagramms), dies Verhältnis unter 1. Sie konnten sich ohne Abspaltung eines Planeten- systems bilden, rotieren dafür aber, wie der Doppler-Effekt in ihren Spektren zeigt, auch sehr viel schneller als die Sonne. Jedenfalls läßt sich auf dieser Basis ein ziemlich konsistentes Bild von der Entstehung des Sonnensystems zeichnen, wenn es auch nicht das einzig mögliche ist. komprimiert sich viel stärker, also nimmt die Sinktendenz mit zunehmender Tiefe zu. 3.1.2. Aufstieg Beim Aufstieg aus 10 km Tiefe dehnt sich das Wasser aus. Die dazu nötige Energie wird seinem Wärmevorrat entzogen und kann ihm bei schnellem (adiabatischem) Aufstieg nicht durch Wärmeleitung zurückerstattet werden. Die Expan- sionsenergie ist ! VK(pT - p~) = 25 bar· V, oder pro Liter 2,5 · 103 J. Das Wasser kühlt sich um 0,6 K ab. 3.1.3. Schwingende Säule Steht die Flüssigkeit in einem Schenkel um 2h höher als im anderen, d. h. um h höher als im Gleichgewicht, dann übt sie eine Kraft F = -2geAh aus. Die ganze Flüssigkeitssäule der Masse m = eiA wird dadurch mit h = F Im= -2ghiL be- schleunigt. Da die Kraft proportional zur Auslenkung ist, schwingt die Säule harmonisch um die Gleichgewichts- lage, und zwar mit der Kreisfrequenz w = /2i(i und der Periode T = 27r~, ebenso wie ein Pendel mit der Fa- denlänge Ll2. 3.1.4. Wasserverdrängung Wenn das Schiff schwimmt, verdrängt es so viel Liter Wasser, wie seiner Masse (in kg) entspricht. Wenn es gesunken ist, verdrängt es so viel, wie seinem Volumen (in 1) entspricht. Die Masse (in kg) ist größer als das Volumen (in 1), selbst wenn das Wrack noch z. B. Luft enthält, denn sonst würde es nicht sinken. Also ist die Wasserverdrängung im gesunke- nen Zustand geringer, d. h. der Wasserspiegel muß fallen, während das Schiff sinkt. 3.1.5. Tiefgang Wasserdichte und damit Auftrieb sind verschieden. Dichten in kg/m3: Flußwasser 999,7 (10 °C), 995,7 (30 oC); Atlantik (34 g/1 Salz) 1 033, 1 030, 1 027, 1 024 bei 0, 10, 20, 30 oc; Mittelmeer (38 g/1, 20 oq 1 030, Schwarzes Meer (16 g/1) 1 012, Asowsches Meer (3 g/1) 1 003. Bei 12m Tiefgang sind die 4 Meermarken etwa 3 cm auseinander, T und F etwa 18 cm. Cuxhaven: 19 t zu, Gibraltar knapp 3 t zu, Istan- bul 14 t ab, Kertsch 9 t ab. 3.1.6. Ballspiel In jeder Zeitspanne r soll der Ball auf die gleiche Höhe stei- gen, also r 12 steigen, r 12 fallen, wobei er gr 12 Steigge- schwindigkeit verbraucht bzw. Fallgeschwindigkeit ansam- melt. Der Spieler muß die Geschwindigkeit bei jedem Auf- treffen um 2gr 12 = gr ändern, also den Impuls mgr erteilen. In der Sekunde (1lr-maliges Auftreffen) wird der Impuls mg übertragen. Für sehr kleines r ruht der Ball praktisch auf der Hand des Spielers, die Impulsübertragung pro Sekunde mg erweist sich als praktisch konstante Kraft, nämlich als das Gleichgewicht des Balles. Maximale Steighöhe h = gr2 18, bei r = ! s ist h = 5 cm. 3.1.7. Gasdruck Der Kolben der Fläche A werde durch die Kraft F in das Gas hineingedrückt. Damit er trotzdem "in gleicher mittlerer Höhe schwebt" (vgl. Aufgabe 3.1.6), muß er durchschnitt- lich alle r Sekunden einen Stoß mit dem Impuls I erhal- ten, so daß I Ir = F. I ist gleich der Impulsänderung des auf- und rückprallenden Moleküls, bei senkrechtem Auf- prall I = 2mv. Die mittlere Stoßfrequenz ergibt sich (Abschn.5.2.1) zu llr=Anvl6, woraus folgt F= ~Anv2mv oder p = F lA = nmv2 13. In der Zeit t erfolgen Kapitel 3: Lösungen 1059 durchschnittlich z = t Ir Stöße. Die wirkliche Anzahl weicht hiervon nach Poisson um etwa L1z = ;t7T ab. Die relative Schwankung ist L1zl z = fit. Das ist auch die Größe der relativen Druckschwankungen t1plp innerhalb dieser Zeit t (vgl. Aufgabe 3.1.6). Für längere Zeiten sind sie völlig zu vernachlässigen. Selbst ein kleiner Kolben (1 cm2) zittert nur um h ~ 10-45 cm (r ~ 10-23 s). 3.1.8. Magdeburger Halbkugeln Die Trennkraft ist kleiner als 47rr2p = 40 000 N, denn nur die Kraftkomponente normal zur Trennfläche zählt. Sie wird durch den Querschnitt 1rr2 gemessen: F = 1rr2p = 10 000 N. Acht Pferde (die anderen acht dienen nur als Widerlager) brauchen sich nicht sehr anzustrengen. 3.1.9. Reifendruck An Stellen, wo die Reifenwand die normale, gewölbte Form hat, nimmt er den Innendruck nach dem Prinzip der Seifen- blase (3 .13) auf (wir betrachten den Reifen hier als Membran ohne innere Steifigkeit, die nur Tangentialkräfte übertragen kann). Die plattgedrückte Reifenfläche kann keine solchen Kräfte nach innen ausüben und drückt daher genau mit dem Gasdruck auf die Straße. Ein auf 2 bar aufgepumpter Reifen, belastet mit i des PKW-Gewichts, also etwa 2 500 N, bildet also eine Auflagefläche von 250 cm2, also wie eine Männer-Schuhsohle. Wenn der Peripheriewinkel des plattgedrückten Reifenstücks 2a beträgt, wird dieses Stück maximal um R( 1 - cos a) ~ ! Ra2 nach innen ge- drückt. Dies darf höchstens b 12, die halbe Reifenbreite be- tragen, also a ~ Jb7R ~ 0,3. Die Auflagefläche ist dann etwa 2bRsina ~ 2bRa ~ 2b312R 112. Bei einer Belastung mit F ~ 500N muß p ~ F I(2R112b312) ~ 1 bar sein. Das Reifenvolumen i 7rb2 27rR ist 2,51. Bei p = 2 bar muß man also 5 1 Luft oder 6,5 g hineinpumpen. Die isotherme Auf- pumparbeit istp1 V1ln(V!/V2) ~ 3501, etwa die Steigarbeit für zwei Stockwerke. Wer schnell pumpt, pumpt adiabatisch und muß mehr Arbeit verrichten, weil die erhitzte Luft einen größeren Gegendruck ausübt. Wir wollen ja nach dem Ab- kühlen 2 bar im Reifen haben. Das Arbeitsintegral W = f p dV = f PI V1 v-r dV ist um den Faktor (2Y- 1 -1)I(Y -l)ln2 = 1,15, also um 531 größer als beim Langsampumper. Diese Zusatzenergie erhitzt die Luft. Die 6,5 g Luft haben eine Wärmekapazität von etwa 6 J/K, erwärmen sich also um annähernd 10 K. In der Pumpe und im Ventil ist die Erhitzung natürlich bedeutend stärker, weil der Widerstand des Spalts unter dem Ventilgummi mit zu berücksichtigen ist. 3.2.1. Spritzer Wenn man einen Tropfen abschleudert, tritt die Schleuder- beschleunigung a an die Stelle der Schwerebeschleunigung g oder addiert sich dazu. Der Tropfen reißt bei einer Masse m ab, die e eben ist durch ma = ~nr3ea = 27f(JR, also r = 3 3(J R I ( 2ea). Das Tropfenvolumen geht wie a-1. Ent- sprechend geformte Ultraschall-Transducer können an der Spitze mehr als a = 106 g erzeugen (das entspricht etwa der Zerreißfestigkeit des Materials selbst). Als Röhrchen mit R = 0,1 mm ausgebildet, schleudern sie Tröpfchen um 1062 I Lösungen zu den Aufgaben Diese Luftmenge oben anzusaugen und auf den erforder- lichen Überdruck zu bringen, erfordert eine Kompressorlei- stung V 11p =100m3 ls · 103 Nlm2 = 105 W:::::; 130PS. Die Schlitzbreite regelt sich bei gegebener Motorleistung selbst: Hebt sich das Boot zu sehr, so geht mehr Luft verloren, der Überdruck nimmt ab, das Boot senkt sich, und umgekehrt. Kommt die Fahrtgeschwindigkeit in die Nähe der Abström- geschwindigkeit (:::::; 140km/h), dann wird ein wesentlicher Teil des Luftkissens beim Fahren abgestoßen. Schneller kann das Boot bei vernünftiger Motorleistung auch infolge des Luftwiderstandes nicht fahren: Dieser ist bei 140 km/h Fw:::::; !Aev2 :::::; 104 N, die Leistung gegen ihn Fwv:::::; 4 · 105 W:::::; 530PS. 3.3.7. Wasserleitung Aus Kostengründen muß der Radius r so klein gehalten wer- den, wie das mit einem vernünftigen Druckabfall verträglich ist. Man stelle sich das Wasserleitungsnetz einer Stadt hier- archisch gestaffelt vor: Stadt, Stadtteil, Straße, Block, Haus- halt. Jede Einheit enthalte etwa 10 Untereinheiten. Die Flä- chen, die Einwohnerzahlen und der Verbrauch steigen von Einheit zu Einheit um den Faktor 10, die Rohrlängen um 3-4. Man verlange, daß der Druckabfall in den Zuleitungen jeder Stufe gleich ist, etwa 0,2 bar. Dann braucht der zentrale Wasserturm nur etwa 15m höher zu sein als das höchste Haus, und es bleibt doch bei Spitzenverbrauch noch mehr als 0,5 bar Druck am Hahn übrig. Für einen Haushalt sei die Spitze 0,5l/s. Bei laminarem Strom ist der Druckabfall an einem mit v durchflossenen Rohr 11pll = 8Yfvlr2. Das gilt, solange Re = QVr I Yf < Rekr :::::; 1 500 ist. Für größere Re ist der Poiseuille-Widerstand mit Re I Rekr zu multiplizie- ren: 11p I l = QV2 1200 r. Ersetzt man v durch den Strom I= 1rr2v, dann wird im laminaren Fall 11pll = 2,5 -I0-3IIr4 , im turbulenten 11pll = 0,5Pir5 ; Re= 3 · 105 I Ir (Werte für Wasser im SI: I in m3 I s, r in m). Der Übergang erfolgt bei Re :::::; 1 500, d. h. I :::::; r 1200. Für den Haushalt fällt man so mit r = 0,9 cm und 30m indivi- dueller Zuleitung schon ins turbulente Gebiet. Da r von Stu- fe zu Stufe langsamer steigt als I, sind die Rohre höherer Ordnung erst recht turbulent. Die Rohrradien steigen mit dem Faktor VlO:::::; 3 (r5 '""I2l). Mit vernünftigen Längen von 30, 100, 300, 1 000, 3 000 m erhält man die Durchmes- ser 18, 55, 170, 550, 1 700 mm. 3.3.8. Flugdaten Wenn die Luft unten mit v, oben mit v + 11v an der Tragflä- che vorbeiströmt, entsteht ein Bemoulli-Druck 11p:::::; QV 11v. Soll er das Flugzeug auf einer Fläche A tragen, dann muß QV 11v = mg I A sein. Der Rumpf trägt mindestens ebensoviel wie eine Tragfläche. Man erhält v 11v = 2 · 103 m2 I s2, also bei 11v = O,lv eine Fluggeschwindigkeit von v = 140mjs = 500km/h. Bei der Startbeschleunigung a = 3 mls , entsprechend dem Schub F = ma = 4 · 105 N, müßte die Startbahnlänge l = v2 l2a :::::; 3 km sein. Dieser Schub F = JlW verlangt bei w = 3 km/s eine Ausstoßrate von J1 :::::; 130 kg/s. Die Treibgase stammen gemäß C6Ht4 +9,50z-+ 6C02 +7H20 zu 22% aus dem Ben- zin, zu 78 % aus der Luft. Beim Start werden also knapp 30 kg/s Benzin verbrannt. Der Start dauert knapp 50s, ver- braucht also knapp 1,5 t Benzin. Fast die Hälfte des Startge- wichts ist Brennstoff. Das reicht beim Dauerverbrauch von 3 kg/s etwa 6 Stunden, d.h. für etwa 5 000 km Aktions- radius. In Wirklichkeit werden die Werte für Startbahnlänge und Startgeschwindigkeit etwas reduziert durch die Schräg- stellung von Tragflächen und Startklappen, die für einen et- was höheren Unterschied 11v der Strömungsgeschwindigkei- ten sorgen. Beim Horizontalflug ist 11v dagegen etwas klei- ner, solange man noch in Bodennähe ist. In 11 km Höhe hat die Luft nur noch! der Dichte, also muß man bei 11v:::::; O,lv etwa mit 1 000 km/h fliegen. 3.3.9. Seltsamer Antrieb Ausprobieren zeigt, daß das Boot mit einigen km/h vorwärts fährt. Natürlich übertragen Seil und Füße beim Zurückfallen- lassen genau den entgegengesetzten Impuls wie beim Hoch- reißen, aber beim schnellen Reißen verhält sich das Wasser wegen F '"" v2 fast wie eine feste Wand und nimmt einen großen Teil des Impulses auf, beim langsamen Zurückfallen- lassen kommt er hauptsächlich dem Boot zugute. Im Schnee, besonders auf glattgefahrenem, ist der Effekt sehr viel gerin- ger, im Weltraum ist er nicht vorhanden. 3.3.10. Herbstlaub Zunächst fällt das Blatt überwiegend in Richtung seiner ei- genen Ebene. Es gleitet auf dem Luftpolster abwärts, hat aber dabei immer noch eine gewisse Sinkgeschwindigkeit direkt nach unten, wird also nicht parallel zu seiner Ebene auge- strömt, sondern ein bißeben von vom-unten her. Die Stel- lung einer Platte parallel zur Strömung ist instabil, denn jede Abweichung erzeugt ein Drehmoment, das die Platte senkrecht zur Strömung zu stellen sucht. Eine solche Abwei- chung ist beim oben geschilderten Strömungsbild von vom- herein da, und zwar im Sinne eines Hochkippens, d. h. einer Hebung der Vorderkante, die ursprünglich tiefer war. Sonst könnte das Blatt ebensogut abkippen, d. h. zum Sturzflug übergehen. Dies passiert noch am leichtesten bei sehr leich- tem Blattmaterial, wo die Sinkgeschwindigkeit und damit die Unsymmetrie des Strömungsbildes am kleinsten ist. - Nach einer Zeit, die um so länger ist, je schwerer das Blattmaterial ist, ist das Blatt so weit gekippt, daß der vergrößerte Luftwi- derstand das Gleiten weitgehend bremst. Meist erreicht man dabei eine Schrägstellung entgegengesetzt zur ursprüngli- chen, bei der das Gleiten wieder einsetzt. So wiederholt sich der Zyklus. Ein Blatt fällt auf diese Weise nicht weit vom Stamm. Der Fernflug wird verbessert, wenn man dieses Pendeln unterdrückt, z. B. durch Propeller- und Kreiselwir- kung stabilisiert wie beim Lindensamen. Manche sagen so- gar, der Samen bohre sich nach diesem Spiralflug in die Erde, aber dazu reicht die kinetische Energie wohl doch nicht aus (sonst wäre es auch besser, nur einen Samen an den Propeller zu hängen, nicht zwei oder drei, wie üblich). 3.3.11. Whirlpool Der Tee rotiere, von oben gesehen, "links herum", d.h. eben- so wie die Erde, wenn man auf den Nordpol schaut. Wir be- geben uns jetzt ins rotierende Bezugssystem des Tees, oder vielmehr der Hauptmasse des Tees, denn es kann nicht aller Tee völlig gleichmäßig rotieren: Die wandnahen Zonen blei- ben infolge der Reibung zurück, fließen also relativ zu unse- rem Bezugssystem "rechts herum". Das bedingt aber Corio- lis-Kräfte, und zwar, wie auf der Nordhalbkugel der Erde, eine Rechtsablenkung, d.h. eine Ablenkung nach innen. Am Tassenboden, wo dieser Einfluß am stärksten ist, wird also eine Strömung nach innen erzwungen (die an der Ober- fläche durch eine Auswärtsströmung kompensiert wird, so daß sich ein geschlossenes Zirkulationssystem wie in Abb. L. 5 ausbildet). Die Einwärtsströmung am Boden zieht die Teeblätter in die Mitte; i.allg. ist sie nicht stark genug, um die spezifisch schwereren Blätter im Schlauch der Aufwärts- strömung mit hochzureißen. Läßt man umgekehrt die Tasse rotieren und die anfangs ruhende Flüssigkeit erst allmählich, wieder infolge der Wandreibung, mitnehmen, so ist die Lage umgekehrt: Die Bodenzone strömt schneller, erfährt also im Bezugssystem der Hauptmasse der Flüssigkeit eine Linksab- lenkung, d.h. eine Kraft nach außen. Bezugssystem derTa e Q boden-naher Tee Tasse Abb. L. 5. Im Bezugssystem der Hauptmasse des Tees rotie- ren die bodennahen Schichten "rückwärts" und werden daher von einer Coriolis-Kraft einwärts getrieben. Es bildet sich ein Zirkulationssystem aus, das die Teeblätter nach innen führt 3.3.12. Wasserrakete Wenn im Luftvolumen über dem Wasser ein Druck p, also ein Überd~ = p - po herrscht, wird das Wasser mit w = y'2 flp I(] aus geschleudert. Die Ausstoßrate ist J1 = gwA (A: Düsenquerschnitt), also der Schub F = JlW = Agw2 = 2A flp. Die Raketenmasse m wird da- durch bei Senkrechtstart mit a = F I m - g beschleunigt. Bliebe der Druck bis zum "Brennschluß" konstant, was annähernd der Fall ist, wenn man wenig Wasser hineintut, dann ergäbe sich die Brennschlußgeschwindigkeit als VB= wln(molm)- gts mit mo = m + eVw und fB = Vw I (Aw). Die Rakete steigt vom Brennschluß ab noch h = vä/(2g). Man kann sie bis p = 6bar aufpumpen. Sie wiegt leer etwa 200 g. Bei Füllung mit 0,31 Wasser (wobei die Bedingung konstanten Drucks allerdings nicht mehr er- füllt ist) wird w ~ 30 m/s, mit A = 0,5 cm2 ist der Schub während der 0,2 s Brennzeit 50 N, die Beschleunigung kurz vor Brennschluß über 20 g, die Brennschlußgeschwin- digkeit 25 m/s, der Brennschluß erfolgt in etwa 3 m Höhe, Kapitel 3: Lösungen 1063 aber die Rakete steigt noch bis etwa 35m. In Wirklichkeit fällt der Druck natürlich mit Ausdehnung des Luftvolumens ab, und zwar adiabatisch, weil der Vorgang so schnell erfolgt. Man sieht das am besten, wenn man nur mit Luft füllt: Nach dem Druckausgleich hat sich die Luftfüllung so abgekühlt, daß der Wasserdampf kondensiert. Die Adiabatengleichung T rv p Y/ (y-l) liefert bei p = 6 bar eine Abkühlung auf 200 K. Die Luft schießt dabei anfangs mit w ~ 1 100 m/s aus und erzeugt immerhin etwa 0,001 s lang den gleichen Schub, den das Wasser 35mal so lange ausübt. Die Rakete nimmt dabei über 3 m/s an und springt fast 1 m hoch. Alle diese rechnerischen Befunde bestätigt das Experiment. 3.3.13. Überlebt er's? Wenn der Mann den ganzen Rohrquerschnitt A abdichtete, würde er nur so weit fallen, bis der Druck der komprimierten Luft ihn trägt. Bei 50 cm Durchmesser, also A = 2 000 cm2 , wäre das bei flp ~ 0,05 bar der Fall, d. h. nach isothermer Kompression um -fö oder 500 m Fall weg. In Wirklichkeit er- folgt die Kompression schnell genug, um adiabatisch zu sein. Dann ist flplp = -KflVI V = -1 ,411VI V: Der Mann fällt in einigen Sekunden bis 350 m und sinkt dann in einigen Minuten mit Abkühlung der Luft weiter auf 500 m. Selbst der rundeste Mann muß aber einen Anteil A' des Quer- schnitts offen lassen, durch den die Luft wegpfeift, und zwar mit der Geschwindigkeit w = J2 11pl e. Der Vorgang zerfällt dann in zwei Etappen: (1) Ungebremster freier Fall; (2) Fall mit konstanter Geschwindigkeit v. Der Überdruck trägt in der zweiten Etappe auf der Fläche A - A' das Ge- wicht des Mannes: flp = mgi(A- A'), und er sinkt nur ab, weil das Luftpolster am Rand mit w entweicht: (A- A')v = A'w. Dabei ist w = J2mgl (e (A- A')) etwa die stationäre Geschwindigkeit des freien Falls ohne Fall- schirm: w ~ 75 m l s. Die Sinkgeschwindigkeit v = wsi (A- A') kann in nicht zu weitem Rohr durch "Dicker- oder Dünnermachen" in weiten Grenzen auf u. U. ganz harmlose Werte geregelt werden. 3.3.14. Thrbine Im Leerlauf dreht sich das Rad so schnell, daß die Schaufeln die über ihren Weg gernittelte Komponente der Strömungs- geschwindigkeit annehmen. Wenn das Rad Arbeit leisten soll, muß es sich langsamer drehen, damit das relativ zu den Schaufeln vorbeiströmende Wasser eine Kraft auf diese ausüben kann. Effektive Schaufelfläche A, Strömungsge- schwindigkeit relativ zum Ufer v, relativ zur Schaufel v - u, Schaufel bewegt sich mit u relativ zum Ufer, Kraft auf Schaufel F ~ ( v - u )2 gA. Die Drehzahl wird durch u bestimmt, die verfügbare Leistung auch: P ~ A(v- u)2gu. Maximale Leistung bei dPidu = 0, also u = vl 3, Pmax ~ gA4v3 127. Zahlenbeispiel: A = 1m2, v = 5 m/s, Pmax ~ 104 W = 13 PS. Verlangt man zu hohes Drehmo- ment, bleibt das Rad stehen oder dreht sich rückwärts; P wird 0 oder negativ. Jeder Motor folgt im Leerlauf praktisch der Antriebskraft (umlaufendes Magnetfeld, Gasstrom), bei Belastung hinkt er hinterher, bei Überlastung bockt er auf nur äußerlich verschiedene Arten. 1064 Lösungen zu den Aufgaben 3.3.15. Rohrströmung Die Dimension von 11pll (Nim3 = kgm-2 s-2) läßt sich aus denen von e (kgm-3), 1J (kgm- 1 s-1), rund v nur zusam- menbauen, wenn a = 6- I, ß = 2- 6, y = 6- 3. Es ist aber klar, daß 11p I l mit e und 1J nicht abnimmt, also I ;S 6 ;S 2. Die Fälle a - d bedeuten 6 = I, !1p I l "' IJV I r2 (Poiseuille); 6 = 2, 11pll"' ev2 Ir (Newton); 6 = 1,5, 11pll"' Jß!j(v/r) 312 (Abschn. 3.3.3g) und 6 = 1,75, !1p I l "' e314 1] 114v7 14r-514 (Blasius). Wandrauhigkeit begün- stigt den Trägheitseinfluß. 3.3.16. Aquaplaning Wasser mit 1J ~ w-3 N s m-2 ist ein ausgezeichnetes Schmiermittel, nur ist zum Glück eine zusammenhängende Wasserschicht nicht so leicht herzustellen wie beim Öl. Für einen PKW mit v=30ms-1, b=0,15m, F = 3 000 N (ein Reifen) wird f1 ~ w-3, schlimmer als bei Glatteis! So ergäben sich Bremsstrecken von Dutzenden von km, falls die Reifen bei langsamerer Fahrt nicht wieder Haftung gewönnen. Breite Reifen sind günstiger, vor allem weil sie die Wahrscheinlichkeit des Aquaplaning verringern. Hinsichtlich f1 bringen selbst doppelt so breite Reifen nur einen Faktor 1,4. Nach Aufgabe 3.1.9 ist der Reifendruck gleich dem Druck p des Reifens auf die Straße. Wenn p kon- stant ist, wird l um so größer. f1 um so kleiner, je schwerer das Fahrzeug ist. Wie stramm die Reifen aufgepumpt sind, macht für 11 nichts aus, denn hier ist F gegeben. 3.3.17. Magnos-Effekt Die Zylinderwand nimmt die Flüssigkeitsgrenzschicht mit ihrer Drehgeschwindigkeit wr mit. Herrschte seitlich um den ruhenden Zylinder eine Strömung mit v, dann herrscht jetzt auf der einen Seite v + wr, auf der anderen v- wr. Nach Bemoulli ergibt sich daraus eine Druckdifferenz !e((v + wr) 2 - (v- wr) 2 ) = 2evwr zwischen diesen bei- den Seiten, d. h. eine Kraft von etwa lr 11p = 2evwr2 l. Sie treibt dorthin, wo der Druck geringer, also die Strömung schneller ist, d. h. wo die Oberfläche sich in Strömungsrich- tung bewegt. Bei beliebiger Achsrichtung w gibt das Vektor- produkt F = 2elr2v x w Betrag und Richtung richtig wieder. Flettner nutzte diesen Magnus-Effekt mit seinen Rotoren zum Schiffsantrieb aus, aber ein Segel, das nur wenig größer ist als die Zylinderoberfläche, ergibt denselben Antrieb ohne zusätzliche Motorleistung zum Drehen, und der Schrauben- antrieb ist viel praktischer. 3.3.18. Kollisionsgefahr Zwischen den Schiffen oder zwischen Schiff und Mauer ver- engt sich der Stromquerschnitt, also muß das Wasser dort schneller strömen und einen Bemoulli-Sog erzeugen, der die "Anziehungskraft" erklärt. Voraussetzung ist nur eine Strömung, die durch Winddrift, Ebbe und Flut oder dadurch bedingt sein kann, daß auch ein antriebsloses Boot schneller treibt als das Wasser fließt (Aufgabe 3.3.25). Wenn die Strö- mungsgeschwindigkeit relativ zum Fahrzeug v ist und sich in der Verengung auf v' steigert, ergibt sich ein Bemoulli-Druck ! e(v'2 - v2 ), der nach dem Newtonsehen Widerstandsgesetz eine stationäre Quergeschwindigkeit der Boote von der Größenordnung w ~ vv'2 - v2 erzeugt (Sog~ Staudruck irrfolge w). w kann also unter Umständen fast so groß werden wie v. 3.3.19. Viskosität von Suspensionen Der Druckgradient muß gleich der Krümmung des v-Profils sein: gradp = 1J 11v. Wenn d die Dicke der Flüssigkeits- schicht ist, l ihre Länge, kann man dafür schreiben 11pll = 1JVId2 . Bei der Suspension dürfte man für d eigent- lich nur die Schichtdicke d' der reinen Flüssigkeit nehmen, die zwischen den suspendierten Teilchen bleibt. Wenn deren Volumenkonzentration c ist, bleibt nur d' = d(1- c). Man sieht das am einfachsten, wenn man sich die Teilchen in zur Strömungsrichtung parallelen Schichten angeordnet denkt. Die Anwesenheit der Teilchen verlängert aber auch die Strecke l, längs der der Druckabfall 11p erfolgt: Die Stromlinien werden länger, weil sie sich zwischen den Teil- chen durchwinden müssen, denn die Teilchen sind eben nicht in Platten angeordnet. Wir schätzen: Eine beliebige Stromli- nie läuft eine Strecke L, die mittlere freie Weglänge, bevor sie auf ein Teilchen trifft. Dann muß sie ausbiegen. Trifft sie mitten auf ein Teilchen, ist ihr Weg um ( 1r- 2)r länger, trifft sie ganz außen, verliert sie fast nichts an Weg. Zwischen beiden Fällen gemittelt, ergibt sich die relative Längen- zunahme einer Stromlinie als 0,6riL = 0,6u3n (L = Il(1rr2n)). Dies können wir durch c = 17rr3n ausdrücken: l' ~ 1(1 + 0,45c). Benutzte man in Navier-Stokes diese d' und l', würde die normale Viskosität IJo gelten. Wenn man die geometrischen Werte d und l benutzt, muß man mit 1J = IJo (1 + 0,45c) I ( 1 - c )2 ~ IJo (1 + 2,45c) arbeiten. Die gerrauere MitteJung der Stromlinienlänge (Einstein) liefert 1J = 1Jo(l + 2,5c), was natürlich auch nur für kleine c gilt. Manchmal bezeichnet man die Größe (IJ -1]0 )1(1Jor:t.) irre- führenderweise als "Eigenviskosität" der suspendierten Teil- chen. Sie ist 2,5 bei Kugeln, wird aber viel größer, wenn die Kugel sich zu einem lockeren Knäuel auflöst, das das Strömungsbild viel stärker beeinflußt. 3.3.20. Zerstäubung An der Oberfläche eines kugeligen Tropfens herrscht der Druck 2CJ Ir ( CJ: Oberflächenspannung). Wenn der Stau- druck! eL v2 etwa ebensogroß wird (eL: Luftdichte), beginnt er den Tropfen zu deformieren und schließlich zu zerteilen. Große Regentropfen fallen gemäß 17few r 3 g = ! Irr2 eL v2 0 Die größten Tropfen haben also r ~ VCJI(ewg) ~ 2,5 mm, und fallen mit v = 7 rn/s. Eine Pumpe mit dem Über- druck 11p spritzt einen Strahl zunächst mit v = V 211p I efl" Die Tröpfchengröße ergibt sich wieder aus 2CJ Ir ~ ! eL v2 , also r ~ 2CJefl/(11ped. Bei p = 3 bar, CJ ~ 0,1 N/m, (!L ~ 3. w-2 kgm-3 (Vorverdichtung 20:1!) wird r ~ 0,02mm. 3.3.21. Strömen und Schießen Der obere Rand der Wehrmauer liege um Ho über dem Bett des Abflußkanals, dessen Querschnitt rechteckig sei (Breite b ). Oberhalb des Wehrs stehe das Wasser praktisch (Stausee). schlitz so weit, daß sich die Balkenstücke nicht gegenseitig abstützen, dann trägt dieser Doppelbalken schon die doppelte Last wie ein einzelner. Ist dagegen der Schlitz sehr fein, be- deutet das Zersägen keinen Festigkeitsverlust Die Stirnseite der einen Balkenhälfte übt dann nämlich auf die andere ein Stützmoment aus, das genau so groß ist wie das Moment, das die Einspannung auf ihr Balkenende ausübt, denn der Erfolg ist an beiden Seiten der gleiche: Der Balkenquerschnitt hat sich senkrecht gestellt. Beide Momente haben auch den glei- chen Drehsinn, addieren sich also und halten einem doppelt so großen lastbedingten Moment das Gleichgewicht, als wenn der Balken nur einseitig eingespannt wäre. Im ganzen hat sich die Tragfähigkeit also vervierfacht Bei der quanti- tativen Überlegung bedenke man: Momente wie das Ein- spannmoment in der Balkenmitte pflanzen sich ungeändert bis zum anderen Balkenende fort. Kräfte wie die Last dage- gen müssen mit der Entfernung bis zu dem Punkt, wo man das resultierende Moment bestimmen will, multipliziert wer- den. 3.4.8. Sägewerk Nach Abschn. 3.4.6 muß d2b maximal sein, wobei natürlich d und b mit dem Stammdurchmesser D immer nach Pythagoras verknüpft sein müssen: D2 = d2 + b2. Wir drük- ken die Tragfähigkeit durch b allein aus: (D2 - b2 )b und bestimmen das Maximum dieses Ausdrucks durch Differenzieren: D2 - b2 - 2b2 = 0, also b = D I /3, d = DVfj3. Die Tragfähigkeit ist um den Faktor 4Vll3\13 = 1,09 größer als bei quadratischem Querschnitt. 3.4.9. Flächenträgheitsmoment Bei gegebenem Biegeradius R sind Spannung und Dehnung proportional zum Abstand x von der neutralen Faser: () = ExiR. Das Flächenelement dxdy übt die Kraft dF = () dx dy und das Moment dT = x dF = Ex2 dx dy aus, der ganze Querschnitt also das Moment T = ER~ I· JJ x2 dxdy =EI IR. Eine Scheibe der Dicke d, quer zum Balken geschnitten, hätte das übliche Trägheitsmoment 1 = Igd. Das Rechteck mit der Länge a inx-Richtung, b iny- Richtung hat I= ba3 112, der Kreis vom Radius r hat I= 1rr4 14 (am bequemsten in Polarkoordinaten auszurech- nen: dx dy = r dq~ dr, I = Jt Jg1l' r2 sin q~r dq~ dr). Der Kreis- 4.1.1. Koloraturbaß Ein kurzer Staccatoton von der Dauer T hat ein Frequenz- band von der Breite ~v ~ 1IT als Spektrum. Man macht sich das am einfachsten so klar: In der Zeit T treffen bei einem Ton, der "eigentlich" die Frequenz v hat, n = vT Berge unser Ohr, z. B. bei T = 0,2 s und v = 100Hz n = 20. Ebensoviele Berge treffen aber auch bei 104Hz ein. Die um ~v = liT verschiedenen Töne sind also in die- ser kurzen Zeit nicht unterscheidbar. Je tiefer ein Ton ist, desto länger muß er andauern, damit er die vorgeschriebene Reinheit ~vIv hat. Damit ein 100Hz-Ton überhaupt auf Kapitel 4' Lösungen 11067 ring (Rohrquerschnitt) hat I = h - Iz = 1r(ri - rjJ I 4, der Doppel-T-Träger, dessen Querschnitt ins Rechteck a, b ein- beschrieben ist und der überall die Materialstärke d hat, I= da3 112 + dba2 14. Bei gegebenem Querschnitt A = d ( 2b + a) hat I kein Maximum im Endlichen, sondern I steigt monoton mit a: Bei gegebener Masse wäre ein unend- lich schmaler Träger am biegesteifsten. In Wirklichkeit ist die Höhe a des Mittelsteges durch seine Knickfestigkeit be- grenzt (Abschn. 3.4.7). 3.4.10. Ein teurer Fehler Die Ventile sind unten, denn die Luft muß raus, und sie ist schwerer (29/18) als kühler, erst recht als heißer Wasser- dampf. Wenn man beide zumacht, kondensiert der Dampf, der Innendruck wird minimal. Auf ein Wandstück der Fläche lb wirkt von außen Fp = plb, Gleichgewicht erfordert Tangentialkräfte F = Fprll (vgl. Abb. 3.26), also Span- nungen () = F l(bd) = prld (d: Wandstärke). Bei () > (JF, d. h. p > p F = () Fd Ir wird das Material zerquetscht. Hier liegt aber offenbar Knickung vor. (3.72) ist auch auf eine Wand anwendbar mit einer Spannweite l ~ r. Bei 4rxEd3blr2 > prb, also p > PK = Ed3 lr3 tritt Knickung ein. Mit d = 5 mm folgt PK = 0,1 bar. Fast d = 5 cm wäre nötig gewesen. Die Grenze zwischen Knicken und Zerquet- schen liegt beipK = PF, also um dir= J6/E, für Stahl um d ~ rl20. 3.4.11. Tiefseeboot In 12km Tiefe herrschen 1200bar. Nach PF = ()Fdlr und (JF = 5 · 108 N 1m2 erfordert das d = 20 cm bei r = 1m. Knickung ist dann laut Aufgabe 3.4.10 nicht zu befürch- ten. Ein solcher Zylinder aus Stahl hätte dann mehr Gewicht als Auftrieb (Verhältnis beider ist 2deFel (rew) ), das Auftau- chen würde besondere Vorrichtungen erfordern. Titan hat nur 4 510 kg/m3 und ist ebenso fest. 3.4.12. Das stabile Ei Vergleichen wir den Kalk der Schale mit Beton (Tabelle 3.3; kein DDT-geschwächtes Ei!), folgt mit d = 0,5 mm, r = 30 mm etwa po = 10 bar, PK = 2 bar. Jede Handfläche übt einen ziemlich gleichmäßigen Druck auf fast die halbe Eioberfläche von knapp 50 cm2 aus und dürfte demnach mit annähernd 1000 N drücken. einen Viertelton genau definiert ist, d. h. damit man sagen kann, ob es E oder F sein soll, muß er Av = 0,055 · 100Hz = 5,5 Hz haben, also mindestens 0,2 s dauern. Ein gutes Ohr fordert mehr als doppelte Reinheit. Selbst der si- cherste Bassist kann also keine Melodie rein singen, in der die Töne viel kürzer als ! s dauern. 4.1.2. Obertöne Abbildung 4.10 läßt sich als das Auslenkungsbild einer in der Mitte augezupften Saite auffassen, wenn man an die Abszissenachse x, an die Ordinate y schreibt und nur das 1068 Lösungen zu den Aufgaben erste Dreieck betrachtet. Der Beweis für diese Vertauschbar- keit von Ort und Zeit ergibt sich aus dem Bau der Wellen- gleichung, der in x und t völlig symmetrisch ist. Wenn y(x, t) die Orts- und Zeitabhängigkeit der Auslenkung ist, heißt die Wellengleichung.Y(x, t) = c2y" (x, t); der Punkt deu- tet die partielle Ableitung nach der Zeit, der Strich nach dem Ort an. Die Lösung y = f(x ± ct) läßt sich nach Fourier aus sink(x±ct) und cosk(x±ct) zusammensetzen. Für t=O gibt diese Fourier-Reihe die Anfangsauslenkung, für x = 0 gibt sie den zeitlichen Verlauf der Schwingung. Hat man also das Spektrum, d. h. die Amplituden der Grund- und Oberwellen zur gegebenen Dreieckskurve, dann stellen sie auch die Stärken der Obertöne dar. Die ganze Schwin- gung, als stehende Welle aufgefaßt, geht so vor sich, daß jeder Punkt der Saite mit dem vom Spektrum gegebenen Frequenzgemisch schwingt. Die Gesamtamplitude dieser Schwingung ist allerdings an jeder Stelle anders, so wie es die Dreieckskurve vorschreibt. 4.1.3. Schatzsuche Wenn man den Schatz auch finden kann, ohne die Lage des Blockhauses zu kennen, muß der Ort des Schatzes unab- hängig vom Ausgangspunkt der Prozedur sein. Dann kann man jeden beliebigen Ausgangspunkt nehmen, z. B. eine Ecke des Quadrats, dessen Diagonale die Verbindungslinie der Bäume ist. Kidds Vorschrift führt dann zur 4. Ecke des Quadrats. Da man nicht weiß, wie Kidd die Bäume numeriert hat, wird man es an beiden Ecken des Quadrats versuchen. Den Beweis, daß der Endpunkt der Prozedur un- abhängig von ihrem Ausgangspunkt ist, führt man am besten in der komplexen Ebene. Der Ursprung sei die Mitte zwi- schen beiden Bäumen. Zum Baum A führt der komplexe Pfeil z, zum anderen (B) führt -z. lrgendwo bei y liege die Blockhaustür H. Dann geht man von H bis A längs z- y. Schwenkung um 90° nach rechts bedeutet Multiplika- tion mit -i: Von A zum 1. Pflock P führt -i(z- y), von 0 nach P führt z- i(z- y). Analog: HB = -z- y, BQ= i( -z- y), OQ = -z- i(z + y). Der Schatz liegt mit- ten zwischen den Pflöcken P und Q bei! ( OQ + OP) = -iz, also tatsächlich in der Ecke des Quadrates mit der Diagonale AB. 4.1.4. Beschleunigungsmesser Im Bezugssystem des Fahrzeugs, das mit a beschleunigt ist, lautet die Bewegungsgleichung der Kugel nü = -ma - Dx - ki. Die Kugel soll durch ihren Ausschlag x die unregelmäßige Zeitfunktion a(t) möglichst getreu dar- stellen. Bei längerer konstanter Beschleunigung a ist x = -mal D. Das entspricht dem quasistatischen Plateau der Resonanzkurve. Da auch und erst recht solche Vorgänge aufgezeichnet werden sollen, gibt es keine andere Wahl des Meßbereichs als w ;5 wo. Kurze Stöße von etwa 0,1 s Dauer infolge Straßenunebenheiten brauchen nicht aufgezeichnet zu werden. Das Auge könnte ihrer Anzeige auch gar nicht folgen. wo kann also in der Gegend von 10 s-i liegen. Für eine Stahlkugel von 1 cm Durchmesser, also 4 g Masse er- fordert das eine Feder von etwa 0,4 N/m. Dämpfung auf den aperiodischen Grenzfall optimiert wieder Meßbereich und Einstellzeit (vgl. Aufgabe 4.1.5). Ein solches k = 0,08 N s/m läßt sich als Stokes-Reibungsfaktor k = 6nryr mit '1 == 0,8 N slm2 realisieren. Das entspricht einem ziemlich dicken MaschinenöL Seine Viskosität muß gut temperaturbeständig sein, sonst kann man aus dem Grenzfall geraten und damit für schnelle Vorgänge falsche Angaben erhalten, weil sich der Horizontalitätsbereich ver- engt. Der Ausschlag der Kugel ist X~ maiD ~ w-2a. Be- schleunigungen von einigen Zehntel m/s2 lassen sich also mit Hilfe eines Lupenglases noch gut und schnell ablesen. 4.1.5. Meßgerät Die Schwingungsgleichun~ Jif; + k~ + Drp = 0 hat die voll- ständige Lösung rp ='Pi eA11 + rp2 eA21 , wobei Al und -l2 die Wurzeln der charakteristischen Gleichung J). 2 + H + D = 0 sind, d. h. -1.1,2 = !kll(±)l-41Dik2 - 1). Bei k < 2VJJ5 (Schwingfall) ist der Dämpfungsfaktor J = !kll < JD!i, bei k = 2VJJ5 (aperiodischer Grenz- fall) J = !klm = JD!i. Bei k > 2VJJ5 (Kriechfall) heißt die vollständige Lösung rp ='Pi exp [- !kll(l- )1 - 4DJ lk2 )t] + rp2 exp [- !kll(l + )1- 4DJ lk2 )t]. Der zweite Term hat den stärker negativen Exponenten, ist also stärker gedämpft. Effektiv ist demnach der Dämpfungsfaktor des langsameren Gliedes J = !kll (1- )t- 4DJ lk2) maßgebend. Im extremen Kriechfall nimmt er den Wert J ~ D I k an. Bei festem 1 und D als Funk- tion von k aufgetragen, ist J am größten im aperiodischen Grenzfall. Bei festem k und 1 bleibe man im extremen Schwingfall ( D » i k2 I I), damit J möglichst groß, nämlich Dlk wird. Bei festemkund D schließlich muß 1 möglichst klein sein (extremer Kriechfall), damit J maximal, nämlich ! k I 1 wird. Man kann also daraus allein nicht einfach sagen, der Grenzfall sei für jedes Meßsystem am günstigsten. Es kommt dazu die Bedingung der verzerrungsfreien Amplitu- denwiedergabe über einen großen Frequenzbereich, die das quasistatische Plateau des Grenzfalls ebenfalls gut erfüllt, und die Bedingung, daß die Empfindlichkeit der Anzeige, d. h. das Verhältnis des Ausschlags zur Amplitude des angrei- fenden Drehmoments nicht zu klein, d. h. D nicht zu groß sein soll. 4.2.1. Verstimmte Uhren Jede Uhr habe von der folgenden den Abstand a. Wir numerieren die Uhren von 0 an fortlaufend und legen den Ursprung in die 0-te, so daß die k-te Uhr bei x = ka ist. Die relative Verstimmung zwischen zwei Nachbaruhren sei J =Mit, z.B. J = 1 sllh = 113600. Eine Zeit t nach der Synchronisierung hat die Uhr k den Rückstand k !lt = xbt I a gegen die um x entfernte 0. Uhr. Die Gang- schlagwelle läuft also mit der Geschwindigkeit c = aiJt. Bei jeder Wiederholung läuft sie langsamer. Ganz zu Anfang war die Geschwindigkeit beliebig groß (u. U. größer als die Lichtgeschwindigkeit). Für die "Gongwelle" als rein kine- matischen Vorgang verbietet das die Relativitätstheorie auch gar nicht, sondern nur für einen Vorgang, der Energie, Impuls oder Masse transportiert. 4.2.2. Erdbeben I Die zuerst ankommende Erdbebenwelle (P-Welle) hat die 2300km von Agadir bis Paris mit 2300/300 = 7,7km/s durchlaufen. Die P-Wellen sind longitudinal, wie man an der Schwingungsrichtung des Seismographen erkennt; also ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit durch den Kompressi- onsmodul auszudrücken: c = VKJe (man beachte, daß kein seitliches Ausweichen möglich ist). Mit e = 3 gjcm3 ergibt sich K = ec2 = 2 · 1011 N/m2. Selbst ein stoßartiges Beben liefert ein langgezogenes Seismogramm, um so mehr, je weiter der Herd entfernt ist; denn die verschiedenen Wellen haben verschiedene c und laufen auf verschiedenen Wegen. Am schnellsten laufen die longitudinalen P-Wel- len, nur etwa halb so schnell die rein transversalen S-Wel- len, noch später kommen die Rayleigh- und Love-Wellen (M und L), reine Oberflächenwellen, die einen längeren Weg haben als die P- und S-Wellen. Die langsameren Wel- len sind überwiegend Scherwellen; ihr etwa halb so großes c wird durch G bestimmt, das etwa i so groß ist wie K (Tabelle 3.3, Abschn. 3.4.3). Die Moduln nehmen mit der Tiefe (dem Druck) schneller zu als die Dichte. Deshalb ist c in der Tiefe größer, und die Wellenfronten schwenken zur Oberfläche hin leicht ab. An der Oberfläche und an der Mantel-Kern-Grenze tritt Reflexion ein, an der Kern- grenze auch Brechung mit sino::J/ sino::2 = c2/c1. Der Mantel ist optisch dünner (c ist dort größer), also können die Wellen den Kern nur wieder verlassen, wenn sie steiler als mit o:: ~ 40° auf die Grenze auftreffen. Der c-Wert im Kern deutet bei e ;(; l 0 g/ cm3 auf ein K oder G hin, das wesentlich höher ist als das von Stahl. 4.2.3. Erdbeben II Die Intensität der Kugelwelle nimmt mit dem Quadrat des Abstandes ab und ist proportional dem Amplituden- quadrat. Geschwindigkeits- und Verschiebungsamplituden ergeben sich aus der Beschleunigungsamplitude durch Divi- sion durch w bzw. w2. Mit w ~ l s-1 erhält man io ~ 1 m/s und xo ~ 1m. Im über 100mal größeren Abstand des Anti- podenpunkts hat man noch die 10-4fache Intensität und 1/m der Amplituden, also etwa 1 cm usw. Das geschilderte Beben hat 10 bis 11 Mercalli-Grade. Beben bis 7-8 werden noch überall registriert. Die Energiedichte ist etwa ev2 . Unter den geschilderten Umständen ist sie im Hypozentrum etwa 100mal größer als im Epizentrum, nämlich 105 bis 106 J m-3, also im ganzen 1017 bis 1018 J. Eine Megatonne Sprengstoff setzt etwa 1016 J frei. 4.2.4. Seismograph Die schiefhängende Gartentür ist im Prinzip ein Horizontal- pendel-Seismograph. Eine Beschleunigung a des Erdbodens und der Türangeln in horizontaler Richtung senkrecht zur Türebene führt im Bezugssystem der Erde zu einem Dreh- moment dMa (d Breite, M Masse der Tür, die, wie gleich Kapitel 4: Lösungen 1069 gezeigt wird, ganz außen konzentriert sein sollte). Die Lage ist genau umgekehrt wie beim Beschleunigungsmesser für das Auto (Aufgabe 4.1.4): Die Auslenkung soll propor- tional der Bewegungs-, nicht der Beschleunigungsamplitude der Erde sein, und man will kurze Schwingungen bis zu einer Grenze (in der Praxis ca. 20 s Periode) verfolgen. Nun ist selbst der kürzeste "Erdstoß" immer als Wellenzug darstell- bar, wenigstens in größerer Entfernung, denn ein einsinniger Beschleunigungsstoß würde zu einer bleibenden Geschwin- digkeit, ein Doppelstoß in positiver bzw. negativer Richtung zu einer bleibenden Verschiebung führen. Für eine Welle, speziell eine harmonische, gilt die Resonanzkurve, hier in der Darstellung xoseis/XoErde =f(w). (Amplitudenver- hältnis der Schwingungen von Seismographenmasse und Erde.) Diese Darstellung ergibt sich aus der üblichen xo/Fo-Kurve durch Multiplikation mit mw2 . Aus Abschn. 4.1.3 oder (4.39) sieht man, daß sie überTaufgetragen ge- nauso aussieht wie die übliche Kurve über w. Man verwendet hier also das quasifreie Plateau: Die Masse muß in Ruhe bleiben, während die Erde darunter wegschwingt Die Eigen- periode muß um 20 s liegen, was sich durch ein kleines o:: ( ~ 1 o) erreichen läßt. Plateaubreite und N achschwingzeit werden wieder durch Dämpfung zum aperiodischen Grenz- fall optimiert. 4.2.5. Seiches Das Becken habe die mittlere Tiefe H, die groß ist gegen die Unterschiede in der lokalen Tiefe h des Wellenprofils. Das Wasser wird beschleunigt durch Druck-, d. h. Höhenunter- schiede: ev = -p' =-geh', also v = -gh'. Räumliche Un- terschiede in v bringen einen effektiven Zu- oder Abfluß, d. h. Änderungen von h: Bh = -HBv', (B: Breite des Beckens), also v' = -hjH. Man leitet die erste Gleichung nach x, die zweitenacht ab: v' = -gh" = -h/H, also h = gHh". Das ist eine d' Alembert-Wellengleichung mit c = Vif!. In einem Becken der Länge L ist die Periode des Schwappens (der Seiches) T = 2L/c = 2L/Vif!. Man hüte sich, mit dieser Periode am Becken zu wackeln. 4.2.6. Wellengruppe Tiefwasserwellen haben normale Dispersion: c(.A) steigt (vgl. (4.104)). Der Wind erzeugt nicht nur Wellen mit einem A-Wert, sondern ein ganzes Spektrum von A-, also auch c- Werten. Diese überlagern sich zu schwebungsaftigen Wellen- gruppen, deren Länge Ax mit der Breite Ll.A des .A-Spektrums nach der Unschärferelation zusammenhängt: Ax ~ A-2 / Ll.A. Wenn die Serie z. B. aus Ax/ A = 5 Wellen besteht, läßt das auf l'l.A/ A =! schließen, z. B. A zwischen 80 und 120m. All dies gilt besonders für Dünung aus einem entfern- ten Sturm; ein Wind an Ort und Stelle erzeugt oft ein so breites Spektrum, daß sich keine solchen Gruppen bilden (Ax ~ .A). 4.2. 7. Unterwassergespräch Wasser leitet den Schall zwar sehr gut, aber es ist schwierig, aus dem luftgefüllten Sprechapparat genügend Schallin- tensität ins Wasser und aus dem Wasser ins luftgefüllte 1072 Lösungen zu den Aufgaben genau symmetrischen Tälern auf den zwei anderen Seiten. In einer solchen Landschaft müssen die beiden geraden stei- gungsfreien Straßen, die es bei jedem Paß gibt, sich recht- winklig schneiden. Diese Straßen sind natürlich die Knoten (u = 0). Man kann auch u(x,y) um den Kreuzungspunkt nach Taylor entwickeln. Die ersten Ableitungen verschwin- den, bei geeigneter Achsenorientierung wird u = ae + bYJ2 mit a = -b wegen !!:..u = 0. Die Höhenlinien sind gleichsei- tige Hyperbeln, die Asymptoten ~2 = 112 , d. h. 11 = ±~ kreu- zen sich rechtwinklig. Ein Spezialfall ist das senkrechte Auf- treffen auf den Rand in Aufgabe 4.4.3, denn die Randlinie ist auch ein Knoten (u = 0). Bei mehreren sich kreuzenden Knoten muß man bis zu höheren Taylor-Gliedern entwickeln oder noch besser nach Fourier. 4.5.1. Schalltote Zone Da normalerweise die Temperatur mit der Höhe abnimmt (adiabatische Schichtung, vgl. Aufgabe 5 .2.11 ), krümmen sich die "Schallstrahlen" von der Erde weg. Diese T-Abnah- me hört in der Tropopause auf und geht in der Ozonsphäre in eine T-Zunahme über. Die Ozonsphäre krümmt den Strahl daher wieder zur Erde zurück und wirkt für kleine Einfalls- winkel effektiv als Spiegel. In einem T- Gradienten dT /dh ist der Schallgeschwindigkeits-Gradient dc / dh = 1 c /T· dT jdh (c,....., T112). Eine Welle, deren Normale unter dem Winkel a gegen die Vertikale steht, wird so zum Umschwen- ken auf einen Kreis vom Radius R = 2T / ( sin a · dT / dh) ge- zwungen. In der Troposphäre ist üblicherweise dT / dh = -1 o /100m, also R ~ 60 km. Horizontal abgehen- de Schallstrahlen erreichen so die Tropopause nach 30- 40km Lauf, brauchen etwa doppelt so weit, um ihren Nei- gungswinkel in der Ozonsphäre umzukehren und kommen also nach 120-160km wieder unten an. 4.5.2. Schallstrahlungsdruck Nach Bernoulli wäre der statische Druck im Schallbündel, wo die mittlere Teilchengeschwindigkeit vo herrscht, um 1 evö reduziert, wenn die Dichte dort ebensogroß wäre wie außerhalb. In Wirklichkeit saugt das Bündel aus dem Außen- raum Luft an bis zum Druckausgleich. Da vo « c und p ~ 1 ec2 , genügt dazu ein sehr geringer Zustrom. Am Schirm wird die Teilchengeschwindigkeit plötzlich 0. Dort ist der statische Druck daher genau um den Betrag 1 evÖ größer als normalerweise, d. h. um den Schallstrahlungs- druck. 4.5.3. Fledermaus-Sonar Wenn die Hörschwelle des Fledermaus- wie des Menschen- ohrs bei 10-16 W jcm2 liegt, entspricht das der auf eine Kugelwelle von 1 km Radius verteilten Energie des Fleder- mausschreis. Das Tier kann aber erheblich bündeln. Eine Welle von 100kHz, also mit A. = 3 mm läßt sich durch eine "Apertur" von ca. 1 cm wie das Fledermausmaul besten- falls auf einen Öffnungswinkel von 1 A / d ~ 0,15, d. h. etwa 10° konzentrieren. Der entsprechende Raumwinkel ist ca. 0,03 sterad oder 1/300 VollwinkeL Eine Fledermaus hört also die andere, die sie genau anschreit, auf etwa V300 km ~ 17 km. Beutetiere oder Hindernisse reflektieren i. allg. nach allen Seiten. Ein Insekt vom Durchmesser (J im Abstand a streut einen Bruchteil 62 /(0,15a) 2 der Ge- samtenergie des Signals (abgesehen von Verlusten bei der Reflexion). Die reflektierte Welle ist praktisch als Kugel- welle aufzufassen. Ihre Intensität im Abstand a ist (> 2 /[(0,15a) 24na2] ~ 62 /(0,03a4 ). Bei (J = 1 cm und a = 10m enthält der Reflex 10-9-10-10 W, ist gerade noch zu hören. Bei größeren Objekten wächst der zulässige Abstand wie VJ. Die Fledermaus verwendet Ultraschall wohl weniger deswegen, weil er kleinere Objekte "aufzulösen" gestattet. Es kommt ihr ja wohl hauptsächlich darauf an, daß etwas im Weg ihres Sonars ist; die Intensität des Reflexes kombiniert mit der Stereophonie der beiden Ohren erlaubt bestimmt eine ziemlich sichere Unterscheidung, selbst wenn keine Einzel- heiten im Objekt erkennbar sind. Die Bündelung dürfte wich- tiger sein als das Auflösungsvermögen, und sie verlangt bei so kleiner Schallquelle eine sehr kurze Welle. Beim Unter- wasser-Sonar ist die Hauptschwierigkeit der Intensitätsver- lust beim Übergang Luft-Wasser und zurück. Außerdem hat der Fisch, abgesehen von seiner Schwimmblase, prak- tisch den gleichen Wellenwiderstand wie das Wasser und reflektiert daher nur schwach. 4.5.4. Schallabsorption Wenn Druck und Dichte genau in Phase schwingen, ent- spricht das dem quasistatischen Fall der erzwungenen Schwingung, bei dem Kraft und Auslenkung phasengleich sind. Die Energie, die ein Volumenelement in der Kompres- sions-Halbperiode aufnimmt, gibt es bei der Dilatation genau wieder her (dies unabhhängig davon, ob die beiden Vorgänge isotherm oder adiabatisch sind). Man sieht das am klarsten im p, V-Diagramm: Das System pendelt auf einer nach rechts geneigten Geraden harmonisch hin und her. Die einge- schlossene Fläche, die die pro Periode geleistete Arbeit an- gibt, ist Null. Bei einer Phasenverschiebung b zwischen p und Q öffnet sich eine Ellipse und wird bei (J = 1r /2 zum Kreis, falls man die Achsen entsprechend normiert ( dp = -KdV /V; man betrachte ein Volumen V, das zahlenmäßig gleich 1/ K ist). Die Ellipsenfläche ist proportional sin (J und stellt die Energie dar, die die Welle beim Fortschreiten um eine Wellenlänge dem Medium zuführt: Der Absorptions- koeffizient ist a ,....., sin <5. Die vollständige Betrachtung liefert a = sin [> · 2n / A.. Die drei wichtigsten Transportphänomene (innere Reibung, Wärmeleitung, Diffusion) scheinen auf den ersten Blick sehr verschiedenen Einfluß zu haben. Am leichtesten sieht man für die Viskosität ein, daß sie ähnlich wie die Reibung bei der erzwungenen Schwingung eine Pha- senverschiebung und damit eine Absorption herbeiführt. Die Wärmeleitung läßt die komprimierten Gebiete nicht so warm werden, wie sie es adiabatisch werden sollten. Wenn die Di- latationsphase kommt, findet sie ein etwas zu kühles Gas vor, das sich langsamer ausdehnt als es sollte: Die Dichtewelle hinkt etwas nach. Ähnlich wie die Wärmeleitung versucht auch die Diffusion die Dichteberge abzubauen und die Täler aufzufüllen. 4.5.5. Klangfarbe Als Perioden liest man ab 2,5 ms, 3,75 ms, 3,75 ms, für die Frequenzen also 400Hz, 267 Hz, 267 Hz. Wahrscheinlich spielen die Künstler g', c', c' (392Hz, 262Hz, 262Hz). Die Geige spielt die Quint zu Trompete und Klarinette. Der Klarinettenton w enthält sehr stark und fast ausschließ- lich die Oktave 2w (allerdings etwas phasenverschoben, was das Ohr nicht wahrnimmt). Er klingt daher etwas leer und scharf (bewußt so gespielt, im Beispiel vom Jazz-Klarinetti- sten Bill Munroe). Auch die Trompete ist bewußt scharf an- geblasen (Louis Armstrong), enthält aber 3w, die höhere Quint (zum Klang leerer Quinten vgl. 9. Sinfonie). Der Geigenton nähert sich der Dreieckskurve von Abb. 4.1 0, die alle "geraden" Obertöne nw mit n = 2m + 1 enthält, wenn auch in einer mit n-2 abnehmenden Intensität. w, 3w, 5w bilden den Dur-Dreiklang. Daher klingt die Geige am wärmsten. Ganz "dolce" wird sie hier aber auch nicht gespielt, wie die starke aufgesetzte Wellenlinie mit 7w zeigt. Zino Francescatti legt etwas von der Schärfe und Spannung des Dominantseptakkords hinein. 4.5.6. Reine Stimmung Die reine Stimmung strebt rationale Frequenzverhältnisse mit möglichst kleinem Zähler und Nenner an. Die große Terz (5/4) läßt sich aber nicht in zwei gleich große Ganztöne zerlegen (dies ergäbe v'sl2), sondern nur in einen großen (9/8) und einen kleinen (10/9) Ganzton. Das Frequenzver- hältnis zwischen beiden Ganztönen (81180), das syntonische Komma, wird von einem einigermaßen guten Ohr wahrge- nommen. Stimmt man das Intervall c-d als großen Ganzton 9/8 undc-aals 5/3 (a als kleine Terz zur Oktave 2: 5/3 = 6/5), dann ergibt sich g-a' als 5/3: 3/2 = 10/9. G-Dur erhält damit einen kleinen Ganzton als Sekundschritt Das ginge vielleicht noch an, aber bei der nächsten Tonart (D-Dur) wird dann sogar die Quint falsch (20/9 : 3/2 = 40/27 -=1- 3 12). 4.5.7. Warum hören wir nicht feiner? Man kann das Trommelfell als ein Teilchen ansehen, das eine unregelmäßige Brownsche Zitterbewegung mit der mittleren Energie W = kT ausführt <i kT für die kinetische, ebensoviel für die potentielle Energie der Schwingung). Während der Periode r einer 1 000 Hz-Welle, für die das menschliche Ohr am empfindlichsten ist, entspricht das einer Leistung kT Ir ~ 4 · 10-18 W oder bei einer Trommelfellfläche von 0,3 cm2 einer völlig aperiodischen Schallintensität von et- was mehr als 1 o-I? w I cm2. Die Hörschwelle liegt bei 10-16 W 1 cm2 . Wäre sie wesentlich geringer, würde man nur noch thermisches Rauschen hören. Dieses Rauschen ist "weiß", denn in den völlig regellosen Impulsen sind alle Frequenzen gleich stark vertreten. Mehr Einblick in den Mechanismus gibt die folgende Ableitung: Die Trom- melfellfläche A erfährt im Durchschnitt in der Zeit r z = !nvA-r: Molekülstöße, die den Luftdruck darstellen. Eine solche statistische Stoßzahl ist nach Poisson nie genau realisiert, sondern nur bis auf eine Standardabweichung ~z = vz vom Mittelwert. Mit r = 1 ms ist z ~ 0,6 · 1020 , also ~zl z ~ 10-10 . Innerhalb der Schallperiode kann also Kapitel 4: Lösungen 1073 der Druck auf der einen Seite des Trommelfelles leicht um 10-10 bar größer sein als auf der anderen. Eine solche Druck- amplitude von w-IO bar entspricht gemäß I= ic ~p2 IK einer Schallintensität von etwas mehr als 10-17 W I cm2. Allgemein erhält man I~ tp2 I(KnvA-r:). Die Rauschinten- sität ließe sich also hinabdrücken, wenn man das Trommel- fell vergrößerte und die Frequenz des Empfindlichkeits- maximums senkte. Beide Maßnahmen steigern nämlich die Stoßzahl und senken damit ihre relative Abweichung vom Mittelwert. Dann erst hätten vergrößerte Ohrmuscheln u. dgl. einen Sinn. 4.5.8. Basilarmembran Wenn ein Zungenfrequenzmesser rasch wechselnden Schall- signalen folgen soll, müssen die Resonatoren stark gedämpft sein, sonst würden sie mehr den Nachhall vergangeuer Si- gnale als die jetzigen wiedergeben. Starke Dämpfung macht die Resonanzkurve breit, d. h. die Resonatoren sprechen auch auf andere Frequenzen als auf ihre Resonanzfrequenz an. Die Nachhallzeit eines einmal angestoßenen Resonators, defi- niert als die Zeit, in der seine Energie um den Faktor e ab- klingt, ist r = 216 = mlk (s. Abschn.4.1.2; der Faktor 2 stammt daher, daß die Energie durch das Amplitudenquadrat gegeben wird). Bei dem Dämpfungsfaktor k hat das Reso- nanzmaximum die Breite ~w ~ woklv'2.mi5 = klm =,-I. Trennschärfe und Nachhallzeit sind also direkt gekoppelt. Wenn das Ohr im meistbenutzten Frequenzbereich um 400Hz Unterschiede um einen Achtelton, d.h. ~viv~ 0,007, ~w ~ 20 wahrnehmen soll, ergibt sich also eine Nachhallzeit von 0,02 s, die auch sonst als "physiologische Flimmergrenze" eine generelle Rolle spielt (Kino usw.). Hierbei ist vorausgesetzt, daß eine Verstimmung erst be- merkt wird, wenn die Amplitude des entsprechenden Re- sonators auf die Hälfte abgesunken ist. Besonders ein ge- übtes Ohr leistet natürlich viel mehr. 4.5.9. Nachhall Eine Nachhallzeit von einigen zehntel Sekunden ist im Vor- tragssaal noch erträglich, im Musiksaal kann sie länger sein. Im Raum vom Volumen V steckt eine Schallenergie W = Q V. Die in eine gegebene Richtung wandemde Intensität ist etwa I = ! QC. Die Wandfläche A mit der mittleren "Absorption" rx (man beachte, daß dies kein Absorptionskoeff~zient im übli- chen Sinne ist) verringert die Energie um W = -rxiA. W klingt, wenn plötzlich Ruhe eintritt, exponentiell ab mit r =-W lW = 6V l(rxAc), für einen Würfel der Kante a wird r = a I ( rxc). Langgestreckte Räume haben relativ größe- res A, also kürzeres r. Ein großes Opernhaus kommt der Wür- felform noch am nächsten. Bei a = 40 m muß überall rx = 0,4 sein, damit r ~ 0,3 s bleibt. Schlußfolgerungen auf Ausfüh- rungstechnik von Schauspiel, Predigt, Barock- und Kammer- musik liegen nahe. 4.5.10. Wer heizt die Corona? Im Stern nehmen Druck und Dichte nach innen stark zu, Temperatur und Schallgeschwindigkeit es = JYii7Q "" VT ebenfalls. p ist der Schweredruck (gleich dem gaskineti- 1074 I Lösungen zu den Aufgaben sehen Druck), also nach Aufgabe 5.2.6 im Zentrum p ~ GM(!/r. Dies, etwas inkonsequenterweise mit der mittleren Dichte g = iM I ( 11',3) kombiniert, ergibt es ~ J GMy Ir, was sicher zu groß ist (für das Zentrum, weil g dort größer ist, für die Außenschichten, weil p dort kleiner ist). Das Gas ist einatomig, also y = i· es ist also praktisch identisch mit der parabolischen Entweichgeschwindigkeit v, die aus imv2 = GM Ir folgt. Da unser es aber besonders außen zu groß ist, kann keine Schallwelle Gasfetzen ganz vom Stern ab- schleudern, wenn auch immerhin auf erhebliche Abstände. Die Corona mit ihren 106 K wird vermutlich durch Schall- wellen, d. h. den Lärm der brodelnden Wasserstoff-Konvek- tionszone in der oberen Sonnenatmosphäre so stark geheizt (vgl. Aufgabe 5.3.8). 4.5.11. Sterne als Stimmgabeln Aus der Doppler-Verschiebung folgen für die beiden Cephei- den Expansionsgeschwindigkeiten von Vmax = iwrmax = 1l'Tmaxlr: = 300 bzw. 150km/s, also mit den angegebenen r:-Werten Ymax = 2 · 107 bzw. 5 · 108 km oder 30 bzw. 1 000 Sonnenradien. Wenn die Sonne sich verhielte wie der größere dieser Sterne, würde sie bei maximaler Aus- dehnung bis zum Jupiter reichen! Die Dichten sind ent- sprechend gering: 10-4 bzw. 2 . 10-9 gl cm3 bei maximaler Ausdehnung. Die Schallgeschwindigkeit ist es ~ ../YP7Q ~ JyGMir, die Schallwelle braucht vom Zentrum bis zur Oberfläche r:' = rles ~ Jr3 l(yGM) = V3l(41l'QG). Einset- zen der obigen Minimaldichten liefert r:' ~ 1,6 bzw. 300 Tage. Je genauer man rechnet, desto besser wird die Über- einstimmung mit der Beobachtung. Speziell die Beziehung r: "'g-1/ 2 bestätigt sich durchgehend. Die Cepheiden- Pulsation ist wirklich eine akustische Eigenschwingung. Diese Sterne sind die größten Stimmgabeln, die man kennt (über die kleinsten vgl. Aufgabe 16.1.15). 4.5.12. Ultraschall-Bohrer In der Unterdruckphase des Schallfeldes muß die Zerreiß- spannung (J des Werkstücks überschritten werden. Die Schallintensität I muß also größer sein als i (J2 I ( ges). Für Stahl mit (J ~ 5 ·108 Nm-2, es~ 5,1·103 ms-1 folgt I > 5 · 109 W m-2, also braucht man für eine I mm 0-Boh- rung eine Schalleistung von etwa 4 kW. Jeder Luftspalt wür- de infolge der Reflexionsverluste die Intensität um viele Größenordnungen senken. Der Transducer muß sich glatt auf den gewünschten Durchmesser verjüngen und natürlich aus festerem Material sein als das Werkstück. 4.6.1. Dispersion Die Welle hat mehr Schwereenergie als die glatte Oberfläche, denn das Wasser, das im Tal fehlt, ist auf den Berg gehoben worden. Für eine Welle der Länge A. und der Amplitude h ist das Volumen des Berges auf der Frontbreite b kleiner als i A.bh (Rechteckform), aber größer als i A.bhl2 (Dreiecks- form), also etwa tA.bh (exakt für eine Sinuswelle A.bhl1l'). Diese Masse m = gA.bhl1l' ist um eine Strecke gehoben worden, die zwischen h (Rechteck) und i h (Dreieck) liegt (exakt 1l'hl4). Die Schwereenergie in diesem Wellenab- schnitt ist also Wsch = hgA.bh2 = 2mgh. Die Oberfläche des Wellenberges ist größer als die entsprechende glatte Wasserfläche Ao = ! A.b. Die Dreieckskurve ergäbe A = iA.hV1 + 16h2 IA.2 ~iA.b(1 +8h2 IA.2 ). Der exakte Wert ist i A.b( 1 + ~ h2 I A. 2). Die Differenz ergibt eine Oberflächen- energie Wk = (J(A- Ao) = ~(Jbh2 I A.. In der Betrachtung von Abschn. 4.6 muß man jetzt 2mev gleich der Summe dieser beiden Energien setzen. Man erhält dann schließlich e = JgA.I(21l') + 21l'(JI(gA.). Dieser Ausdruck faßt die bei- den Näherungen für reine Schwere- und reine Kapillar- wellen zusammen. 4.6.2. Brecher auf hoher See Das Wellenprofil ist eine Trochoide, die nach Abb. 4.71 aus der kreisenden Bewegung der Wasserteilchen entsteht. Soll die Amplitude bei gegebenem A. größer werden, dann muß man den Kreis vergrößern. Man erreicht dabei einen Zu- stand, wo der Kreis zum Rad wird, das rutschfrei auf der Grundlinie (Höhe des Wellentals) abrollt (auch die all- gemeine Trochoide kann durch Abrollen eines einzigen Kreises entstanden gedacht werden, dessen Umfang natür- lich immer gleich A. ist; für kleinere Amplituden wie in Abb. 4.71 ist es aber ein Punkt auf der Speiche im Innern des Rades, der die Trochoide beschreibt). Im oben geschil- derten Fall r = !2111' entsteht eine Zykloide, deren Wellen- berge zu Spitzen ausgezogen sind. Legt man den schreiben- den Punkt noch außerhalb des Radkranzes, d. h. steigert man die Amplitude noch mehr, dann löst sich über der Bergspitze ein kleiner Sonderbogen ab. Es ist plausibel, daß eine solche Welle brechen würde. hl A. kann danach nicht viel größer werden als i· 4.6.3. Totwasser Wenn die Grenzfläche zwischen zwei Flüssigkeiten oder Gasen mit den Dichten e 1 und Qz sich wellt, erfordert das einen Aufwand an Schwereenergie, der sich nach Aufgabe 4.6.1 pro Wellenlänge und Frontbreite b zu W = h(e2 - e1 )A.bh2 ergibt. Der Auftrieb in der leichteren Flüs- sigkeit reduziert also die Schwereenergie um den Faktor (g 1 - g2)1e2 . Die zu bewegende Masse ist dagegen nach wie vor durch e2 bestimmt. Damit ergibt sich analog zu Auf- gabe 4.6.1 c2 = !gA.(e2 - edl(1l'g2). Wenn sich Flußwasser über Salzwasser schichtet, ist g1 = 1 ,00, g2 ~ 1 ,02, also ist e etwa siebenmal kleiner als für eine Welle an der Ober- fläche gegen Luft bei gleichem A.. Diese Wellen verzehren, gerade weil sie so leicht anzuregen sind, u. U. einen großen Anteil der Maschinenenergie eines Schiffes, das dann "wie von unsichtbarer Hand festgehalten" wird. Das Aufgleiten von Warmluft über Kaltluft mit z. B. 30° Temperatur- differenz, also 11g I g ~ 0,1 kann zu Wellen von200m Länge und 20 km/h Geschwindigkeit führen. Der zusätzliche Auf- wind vor dem Wellenberg kann Kondensation in "Schäf- chenwolken" auslösen. An der Warmfront ("Schönwetter- front") eines Tiefs geht dieses Aufgleiten ziemlich gleich- mäßig vor sich, an der Kaltfront dagegen sehr turbulent. y'4SOO · 29/300 · 18 = 2,Skm/s erreichen. Geeignete Dü- senform (Lava1düse) nutzt auch noch einen Teil der Rota- tionsener~ls Ausströmenergie aus. Man gewinnt so einen Faktor yS/3, kommt also auf 3,2km/s. Um eine Kreisbahn zu erreichen, müßte man ein Verhältnis e8/ 3,2 ;:::o 12 zwischen Start- und Brennschlußmasse haben, was für eine Einstufen- rakete nur schwer erreichbar ist. In einer Kernrakete, bei der das Treibgas nicht als Verbrennungsprodukt, sondern im Re- aktor aufgeheizt wird, kann man Wasserstoff verwenden. Falls man auch hier etwa 4 000 K erreicht und alle H-Mole- küle dissoziiert sind, vervierfacht sich die Ausströmge- schwindigkeit w ;:::o 10 km/s. Die Kreisbahn erfordert dann nur noch ein Massenverhältnis 2,2, die Befreiung aus dem Erdschwerefeld ein Verhältnis 3,0. 5.1.4. Bimetall Die beiden Teilstreifen sind fest aufeinandergeschweißt Nur die Außenzonen können sich daher gemäß ihrem rx ausdeh- nen; weiter innen hält ein Metall das andere zurück, und es bilden sich Spannungen aus. Ein Stück der ursprünglichen Länge l hat nach Erwärmung um 11T oben die Länge /(1 + rx1!1T), unten /(1 + rxzi1T). Das ist nur möglich, wenn der Streifen sich zu einem Kreisbogen vom Radius R biegt, wobei dieser Radius sich zur Streifendicke d ver- hält wie die mittlere Länge zur Längendifferenz: R = dj((rx1 - rxz) 11T). Mangan-Wolfram ergeben rx1 - rxz = 1 ,8S · 10-5 K- 1, also bei d = 2 mm und 11T = SOO K: R = 20cm. 5.1.5. Badeofen Der Badeofeninhalt von 1S01 braucht S · 107 J zur Er- hitzung von 20 auf 100 °C. Das entspräche der verlustfreien Verheizung von ca. 2,S kg Brikett (Heizwert 2 · 107 J/kg). In Wirklichkeit gehen je nach Konstruktion 40-70 % an Badezimmer und Schornstein verloren. Der Überlauf durch den Hahn beträgt 0,6 ml/s oder 2,21 während des ganzen Heizens. Das ist die Volumenzunahme der 1SO 1 bei 11T = 80 K. Der Ausdehnungskoeffizient schätzt sich also zu ß = 2,2/(1SO · 80) = 1,8 -10-4 K- 1. Die Präzisionsmes- sung liefert 2,07 · 10-4 K- 1. 5.1.6. Thermometer Die Thermometerkugel tauche in eine Flüssigkeit der zu mes- senden Temperatur T ein. Die Kapillare sei oberhalb eines Teilstrichs, der der Temperatur T1 entspricht, der Labortem- peratur ausgesetzt und nimmt diese wegen der schlechten Wärmeleitung durch den engen Kapillarenquerschnitt auch praktisch an. Dieser Teil der Quecksilbersäule sollte ein Volumen Voßeff(T- T1) haben, wenn er ebenfalls die Tem- peratur T hätte. In Wirklichkeit ist sein Volumen um den Faktor 1 + ßeff(To- T) davon verschieden. Um eben die- sen Faktor wird die Temperaturdifferenz T - T1 falsch an- gezeigt. Bei T = 100°, To = T1 = 20 oc macht der Fehler etwa 1 oc aus. 5.1.7. Gipfelhunger Die Energien, um die es sich handelt, sind (a) 7SO N · 2000m = 1,S · 106 J; (b) 2,S m · 1,2 · 105 N = 3 · 105 J; (c) Kapitel 5' Lösungen 11077 Wärmeverlust bei 2m2 Körperoberfläche durch 1 cm Unter- hautfettgewebe: M 11T j d ;:::o 1 000 W, in 1 Stunde 3 · 106 J, (d) Leistung !Av3e ;:::o 330W; 200km in 6,7h, also 8 · 106 J. Die mechanischen Arbeiten (a), (b), (d) sind mit 4-S zu multiplizieren, damit der Kalorienbedarf heraus- kommt (Wirkungsgrad des Muskels 20-2S % ). Nahrungsbe- darf (Trockensubstanz Eiweiß oder Kohlenhydrat) oder Ge- wichtsabnahme bei Verzicht (Körper enthält 80% Wasser): (a) 2SO g bzw. 1,2 kg, (b) 7S g bzw. 400 g, (c) 170 g bzw. 700 g, ( d) 1,2 kg bzw. S kg. 5.1.8. Europas Heizung Die angegebene Geschwindigkeit gilt an der Oberfläche. Bei linearem v-Profil gilt im Mittel die Hälfte. 1,6 · 105 m · 103 m · 0,8 m/ s ;:::o 1,3 · 108 m3 /s. Im Winter werden bei 1S0 Temperaturdifferenz 1016 W in den Nordostatlantik befördert, d. h. etwas weniger als die Sonne bei senkrechtem Einfall auf die Fläche Europas (107 km2) einstrahlt (Solar- konst. 1,4kW/m2). Im Sommer ist die T-Differenz sehr viel kleiner (;:::o so); der Sinus der Sonnenhöhe ist im Winter nur knapp halb so groß wie im Sommer, die Tage sind halb so lang. Wenn Sibirien nicht wäre, würde also die Golfstrom- Warmwasserheizung den Unterschied zwischen mittlerer Januar- und Julitemperatur auf etwa so reduzieren. 5.1.9. Heiße Bremsen Bei einer Höhendifferenz h zwischen Paßhöhe und jenseiti- gem Tal, einer Fahrzeugmasse M und einer Masse m von Bremsbacken und -belägen, Felgen usw. mit der spezifi- schen Wärme c würde ohne Wärmeabgabe an die Umgebung eine Erhitzung um 11T = Mghj(mc) eintreten; z. B. bei M = 1 000 kg, h = 1 000 m, m = 20 kg, c = 400 J/kg K eine Erhitzung um 11T ;:::o 1 200 K. Fährt man ein Gefälle von rx = 10 % mit 20 km/h, dann muß die Leistung P = Mgrxv ;:::o S,S · 103 W verzehrt werden. Ohne Motor- bremse erwärmen sich dann die Bremsen anfangs um 0,7 K/s. Bei längerem Gefälle wird T so hoch, daß die Ab- strahlung wesentlich wird. Ein m2 eines schwarzen Körpers strahlt in der Sekunde 6 · 10-8 T4 J ab (s. Abschn. 11.2.S). Die effektiv abstrahlende Fläche ist etwa 0,4 m2 (Felgen). Erst um 700 K ist Gleichgewicht erreicht, d. h. nach ca. lS min Abfahrt, S Fahrkilometern oder SOO Höhenmetern. Luftzug und Motorbremse verbessern die Fahrbedingungen. 5.1.10. c von Wasser Wasser hat die Molwärme 7S J/mol K; das entspricht 18 Frei- heitsgraden. Die drei Atome verhalten sich also wie unabhän- gige Teilchen mit je sechs Freiheitsgraden, ebenso wie Me- tallatome. Dies entspricht der Neumann-Kopp-Regel, die al- lerdings nicht für alle Verbindungen so gut stimmt (vgl. Auf- gabe S.l.11). Man deutet die sechs Freiheitsgrade als drei translatorische und drei rotatorisehe für die Schwingung des Atoms in dem Potentialtopf, den seine Umgebung dar- stellt. Für eine harmonische Schwingung sind ja kinetische und potentielle Energie im Mittel gleich. Leichte Nicht- metalle haben erheblich geringere Atomwärmen, besonders Diamant hat nur etwa~ des Dulong-Petit-Wertes. Das kann 1078 Lösungen zu den Aufgaben nicht allein an der kleinen Masse liegen, denn Li ist noch leichter und weicht viel weniger vom normalen Wert ab. Die kovalente Bindung z. B. im harten Diamant ist so starr, daß erst größere Komplexe, hier etwa vier C-Atome, die Rolle thermodynamisch unabhängiger Einheiten spie- len. Daß man sich bei hohen Temperaturen dem Dulong- Petit-Wert nähert, liegt nicht daran, daß die Bindungen me- chanisch weicher werden, sondern ist ein quantenstatistischer Effekt (vgl. Abschn. 15.3 und 18.3). 5.1.11. Spezifische Wärme Nach Dulong-Petit wären die spezifischen Wärmen von Cu, Sn, Al, Pb, Fe (Atommasse 63,54; 118,7; 26,98; 207,19; 55,85) 397; 213; 920; 121; 460J/kgK. Man mißt 385; 226; 878; 129; 451 J/kg K. Die Neumann-Koppsche Regel gilt weniger allgemein. Für Wasser und NaCl (Molekülmas- sen 18 und 58,5) sollte man 4180 bzw. 857 J/kg K erhalten, was auch recht gut stimmt (gemessen 4180 bzw. 861): Die Atome scheinen sich hier wie unabhängige Einheiten zu ver- halten, wenn auch bei beiden Stoffen aus ganz verschiedenen Gründen. Für Wasserdampf und NH3-Gas mißt man cv = 1 839 bzw. 1 650 J/kg K. Die Neumann-Koppsche Re- gel würde das Drei- bzw. Vierfache liefern. Im Gas sind also die Moleküle die thermischen Einheiten. Organische Flüssig- keiten liegen etwa in der Mitte: C6H6 und CzHsOH haben 1 705 bzw. 2 400 J/kg K, die Molwärmen sind 134 bzw. llOkJ/kgK, was 5,4 bzw. 4,4 "Atomwärmen" entspricht, nicht 12 bzw. 9 wie nach Neumann-Kopp. Je kleiner die Ein- heiten, desto größer die spezifische Wärme: Bei Hz ist sie am größten; bei normalen Temperaturen liegt unter den konden- sierten Stoffen Wasser mit an der Spitze. 5.1.12. Heißer Kaffee I Die Endzusammensetzung des Kaffees ist bei beiden Metho- den die gleiche. Man braucht also nur zu fragen, in welchem Fall Kaffee und Milch zusammen am Schluß mehr Wärme- menge enthalten, oder in welchem Fall beide zusammen we- niger Joule an die Umgebung abgegeben haben. War die Milch zimmerwarm, so verliert nur der Kaffee bzw. das Ge- misch Wärme. Dieser Verlust ist etwa proportional zur Ober- fläche und steigt stärker als proportional mit der Temperatur- differenz gegen die Umgebung. Beim Zufügen der Milch nimmt das Volumen zu, die Temperatur im gleichen Maße ab, die Oberfläche zu, aber schwächer. Also verliert das Ge- misch in der gleichen Wartezeit weniger Wärme. 5.1.13. Heißer Kaffee II Man hüte sich vor folgendem Trugschluß: Der Zucker ent- zieht dem Kaffee immer die gleiche Lösungswärme, unab- hängig von dessen Temperatur. Dagegen muß der Kaffee der Milch um so mehr Wärme übergeben, je heißer er ist. Daher ist es besser, den Kaffee erst durch Zufügen des Zuk- kers leicht abzukühlen und dann Milch zuzugeben. Man übersieht bei dieser Argumentation, daß der Zucker, wenn er in der größeren Menge der Mischung Kaffee-Milch auf- gelöst wird, deren Temperatur um weniger Grad senkt. Dieser Effekt gleicht den obengenannten gerrau aus. Man sollte überhaupt nicht die Temperatur- und die Wärmemengen-Be- trachtung vermengen, sondern am besten gleich in Wärme- mengen denken. Dann sieht man, daß bei sofortigem Trin- ken die Reihenfolge keine Rolle spielt. Wenn die Situation so ist, wie in Aufgabe 5.1.12, wird man allerdings alles mi- schen, bevor man telefonieren geht. 5.2.1. Effusiometer nach Bonsen Nach Torricelli oder Bernoulli ist die Ausströmgeschwindig- keit und damit der Verlust an Molekülen und der Druckabfall proportional zu 1 I Vfi, d. h. zu 1 I fo. Man kalibriert durch Vergleich mit einem Gas bekannter Molmasse fl, z. B. Hz. 5.2.2. Gasthermometer Es wäre ein Zirkelschluß zu sagen, He und Hz eignen sich am besten für Gasthermometer, weil ihr Ausdehnungskoeffizient dem idealen Wert 11273,2 am nächsten kommt. Bevor man so gerrau wußte, wo der absolute Nullpunkt liegt, war schon klar, daß He und Hz "idealer" als andere Gase sind. COz z. B. läßt sich unterhalb 31 oc durch Druck von etwa 100bar ab verflüssigen, und schon bei einiger Annäherung an diesen Druck versagt das Boyle-Mariotte-Gesetz. Luft, Oz, Nz sind zwar bei normaler Temperatur nicht druckver- flüssigbar, so daß sie lange als "permanente Gase" galten, aber Abweichungen vom Boyle-Mariotte-Gesetz sind eben- falls schon ab ca. 20 bar und unterhalb 10 oc deutlich. He und Hz haben die tiefsten Verflüssigungs- und kritischen Tempe- raturen und verhalten sich daher am idealsten. 5.2.3. Luftballon Die Hülle des kugelförmigen Ballons vom Radius R hat die Masse MB = 47r(!BRzd. Sein Auftrieb bei Füllung mit einem Gas der Dichte e~ ist 17rR3(eL- ea), seine Tragfähigkeit also MT= 17rR (eL- ea)- 47r(!BRzd. Heißluft von 300 °C bei 10 °C Außentemperatur hat (!a = eLI2, Wasser- stoff ea = 2eLI29,5 = 0,07eL, Helium doppelt soviel, also 0,14eL· Um insgesamt 100kg zu tragen, muß der Ballon mit den genannten Füllgasen den Radius 2,70; 2,78; 3,06m ha- ben. Dann wiegt aber die Hülle allein bei d = 1 mm und (!B = 1 glcm3 92; 97; 117kg. Um 100kg Nutzlast hochzu- befördern, braucht man R = 3,80; 4,00; 4,82m. Der Ballon steigt bis in eine Höhe, wo die Luftdichte so weit abgenom- men hat, daß die Tragfähigkeit gleich der Nutzlast ist. Ein He-Ballon mit R = 6 m z. B. trägt einen Menschen bis in etwa 5 km Höhe, wenn die Hülle sich nicht ausdehnt. Bei völlig nachgiebiger Hülle (Druckgleichheit innen und au- ßen) würde in der isothermen Atmosphäre der Auftrieb im- mer gleich bleiben: V = Vo eh/H, (! = eo e-h/H, also FA= gV(eL- ea) = const. Der Ballon würde unendlich hoch steigen. 5.2.4. Zug im Kamin Wenn die Luft im Schornstein die Temperatur T + 11T hat, die Außenluft T, sind die Dichten (!- 11e = e(1 - 11T IT) bzw. (!. Der Auftrieb der Schornsteinluft ist gHA 11(!, wenn der Querschnitt A ist. Auf der Höhe H fällt der Luftdruck außen um gH(! ab, innen nur um gH(e- 11e). Entweder oben oder unten herrscht also eine entsprechende Druck- differenz, die durch den Bernoulli-Sog einer Strömung aus- geglichen werden muß. Wenn z. B. unten Druckgleichheit bei ruhender Luft herrscht, ergibt sich oben im Schornstein ein Überdruck gH lle, falls die Luft dort auch ruhte. Sie strömt also mit einer Geschwindigkeit v aus, so daß ! ev2 = gH lle. Bei Druckgleichheit und Ruhe oben wird die Luft unten mit der gleichen Geschwindigkeit angesaugt. Vergleich mit der Laplace-Formel für die Schallgeschwindigkeit zeigt übri- gens, daß aus einem Schornstein von halber Skalenhöhe (4km) bei 300 oc Innentemperatur die Luft mit Schallge- schwindigkeit ausströmen würde. 5.2.5. Einwecken Vor dem Erhitzen sei im Glas ein Volumen Vp an Flüssigkeit und VL an Luft. Beim Erhitzen auf 100 oc dehnt sich die Flüssigkeit um Vpß !lT aus. Die verdrängte Luft kann von innen austreten, indem sie den Deckel hebt, es erfolgt Druck- ausgleich. Beim Abkühlen bildet sich ein Unterdruck aus, der Deckel drückt sich an dem Gummiring fest. Luft kann nicht hinein. Hat man lange genug eingekocht, so daß der Wasser- dampf die Luft völlig verdrängt hat - sein Druck ist ja am Siedepunkt 1 bar -, dann bleibt nach dem Abkühlen im Glas nur der Dampfdruck des Wassers bei 20 °C, nämlich 0,02 bar. Auf den Deckel von 110 cm2 drücken fast 1100 N. Bei kurzem Einkochen entsteht der Unterdruck der eingeschlossenen Luft durch das Zurückweichen des Wassers: Pinnen = VL/ (VL - Vpß !lT) bar, Druckdifferenz Vpß!lT/(VL- Vpß/lT)bar. Läßt man gerade VL = 16ml Luft im 11-Glas, dann wird Vpß !lT = VL, also bleibt auch bei kurzem Einkochen nur der Wasserdampfdruck, und der Deckel hält optimal zu. 5.2.6. Druck in der Sonne Der Druck im Innern eines Himmelskörpers entsteht durch das Gewicht der darüberliegenden Schichten; dieses Ge- wicht beruht auf der Gravitationsanziehung, die die inneren auf die äußeren Schichten ausüben. Folgende Größen sind für den Druck maßgebend: Dichte (] und Radius R des Sterns (die Masse braucht man nicht mehr, denn sie ist durch R und (] ausdrückbar) und die Gravitationskonstante G. Die Dimen- sionen von R, (], G sind m, kg/m3 und N m/kg2 = m3 js2 kg. Hieraus soll p von der Dimension N/m2 = kg/ s2 m aufgebaut werden. s kommt nur in G vor, also p rv G. Um die kg- 1 von G in die kg von p zu verwan- deln, brauchen wir zwei (]. Der Ausdruck Ge2 hat die Dimen- sion kgtm3 s2 . Zwei m im Nenner müssen noch weg, also p ~ Ge R2 . Ausführliche Betrachtung für einen Stern homo- gener Dichte (] (in Wirklichkeit ist sogar in Planeten, erst recht in Sternen die Dichte innen größer): Die Kugelschale der Dicke dr, Innenradius r, wird von der eingeschlossenen Kugel angezogen mit der Kraft dF = 17Ter3 · 47Ter2 drGjr2 (die äußeren Schichten haben keinen Einfluß, vgl. Aufgabe 1.7.10). Der Druck nimmt also auf der Strecke dr zu um dp = dF / ( 4u2) = 17TG(]2 r dr. Der Gesamtdruck in der Tie- fe r ist p(r) = J: dp = ~7TGe2 (R2 - r2 ). Für Erde, Jupiter, Sonne ergeben sich Mittelpunktsdrucke von 1 ,3 · 106 , Kapitel 5' Lösungen I 1,3. 107 , 1,4 · 109 bar. Die Dichtezunahme mit der Tiefe läßt die wirklichen Werte erheblich ansteigen. Man schätzt für die Erde 3,6 · 106 bar, für die Sonne sogar um 101l bar. 5.2.7. Wie heiß ist die Sonne? Damit das Sonnengas nicht in sich zusammenstürzt, muß sein thermischer Druck (zu dem gerrau genommen noch der Strahlungsdruck kommt) dem Schweredruck (vgl. Auf- gabe 5.2.6) die Waage halten. Wenn man es unter so extre- men Bedingungen noch als ideales Gas auffassen kann (in Wirklichkeit verhält es sich in den Zentren der meisten Sterne als Fermi-Gas), bedeutet das im Fall unserer Schät- zungen von einigen 109 bar für das Sonneninnere einfach, daß das Produkt von Temperatur und Dichte über 109mal größer ist als auf der Erdoberfläche, wo ein H-Atomgas (] = 1,3 · 10-3/29 = 4,5 · 10-5 gjcm3 hätte. Ist die Dichte im Sonneninnern nur gleich der mittleren Dichte 1,4 g/ cm3, so ist die Temperatur 4,5 . 10-5 . 1,4 . 109 . 300 ~ 107 K. Die Dichte ist im Zentrum viel größer; das würde die Temperatur verringern, aber gleichzeitig nimmt aus dem gleichen Grund der Druck zu, und beide Einflüsse kompensieren sich annähernd: Unsere Schätzung für T ist recht gut. 5.2.8. Unser Luftmeer Der Luftdruck ergibt sich mit dem Hg-Barometer direkt im Mittel zu 760 Torr. Messung der Dichte vgl. Aufgabe 5.2.9. Ein berühmter einfacher Versuch zur angenäherten Bestim- mung der Luftzusammensetzung ist dieser: Man läßt einen Stoff, der sich gierig oxidiert, z. B. Phosphor, unter einer Glasglocke reagieren, deren Rand im Wasser steht. Die Re- aktion erlischt, nachdem das Wasser fast ! des anfänglichen Luftvolumens ausgefüllt hat. 5.2.9. M. Periers Bergtour Clermont-Ferrand, wo Pascals Schwager wohnte, liegt selbst 400 m hoch. Der Anstieg um 1 060 m läßt Hg um ziemlich gerrau 100 mm fallen. Pascal mag die Höhendifferenz auf 1 000 m geschätzt haben und folgerte (unabhängig von den benutzten Längeneinheiten), daß Hg 10 OOOmal schwerer ist als Luft. Die Dichte von Hg ergibt sich ganz einfach z. B. durch Vergleich mit Wasser im U-Rohr (Abschn. 3.1.4). Man erhält so für Luft den recht guten Dichte-Werte von 1,3 g/1. 5.2.10. Hat Mt. Everest Luft? Hätte die Luft überall die Dichte wie am Erdboden, näm- lich (] = 1,3 · 10-3 gj cm3, dann könnte die Atmosphäre nur die Höhe H=1kgcm-2 /(1,3·10-3 gcm-3)=8km haben. Der Druck als das Gewicht der noch darüber la- stenden Luftsäule nähme ab wie p = po(1- h/H). Nach der Gasgleichung müßte T genauso abnehmen: T = To(1- h/H). Schon auf dem Mont Blanc wäre es selbst im Sommer -150 oc kalt, auf dem Kilimandscharo wäre die Luft flüssig (falls sie wider Erwarten dort oben schweben bliebe und nicht auf die Erde regnete), der Mt. Everest würde fast 1 km ins Vakuum ragen, über einem Meer aus 2 km tiefer flüssiger Luft. 1079 1082 I Lösungen zu den Aufgaben sie stoßen nicht mehr miteinander. Die Strömungsgesetze, die ein Kontinuum wechselwirkender Teilchen voraus- setzen, gelten nicht mehr. Der Gasstrom durch eine enge Öff- nung (Hahn), an der die Druckdifferenz !ip liegt, ist nicht mehr nach Torricelli AJ2!1piQ, sondern Avmo1 !iplp = A~ · !iplp, d.h. um den Faktor ~kleiner als nach Torricelli: Die Pumpen ziehen schlechter. Kühlt man eine Wandstelle unter den Siede- oder Sublimationspunkt eines Restgasanteils, so schlagen sich praktisch alle auftref- fenden Moleküle dort nieder (Kühlfalle). 5.2.21. k-Messung Das Spiegelehen kann als Riesenmolekül aufgefaßt werden, das eine Brownsche Rotationsbewegung mit der mittleren Energie ~ kT, aber mit ständig wechselndem Drehsinn ausführt. Diese Energie kann gleich _Qer mittleren poten- tiellen Energie der Torsion ~ Drrp2 gesetzt werden. Der quadratisch gemittelte Ausschlagwinkel ist j;i = JkTIDr = J4 · 10-21 11(2,5 -10-14 Nm)= 4-10-4 (vgl. Aufgabe 3.4.1 ). Wenn der Lichtzeiger 5 m lang ist, zittert er im quadratischen Mittel um etwa 2 mm hin und her. Ein- zelne Ausschläge sind natürlich viel größer. Beobachtet man (unter Ausschluß jeder Luftbewegung um das Drehspiegel- system!) lange genug, um sagen zu können, daß der quadra- tisch gemittelte Ausschlag 2 ± 0,5 mm ist, und bestimmt man die Torsionssteifigkeit Dr aus einer Messung der Dreh- schwingungsperiode bei bekanntem Trägheitsmoment (man kann das Spiegelehen auch größer machen), dann hat man damit die Boltzmann-Konstante, die Avogadro- Zahl und die Massen der Atome auf 25 % genau direkt be- stimmt. 5.2.22. Diffusion Zwei Weglängen l, rechtwinklig aufeinandergesetzt, bringen eine Gesamtverschiebung !1.x = z"fi, drei Weglängen in den drei Raumrichtungen !1.x = 1,;3 (Würfeldiagonale), allge- mein n Weglängen !1.x = lfo. Die Flugzeit für n Weglängen ist t = nllv, also !1.x = JTVi. Das entspricht folgendem Dif- fusionsexperiment Man läßt viele Teilchen von einem sehr engen Raumbereich aus starten und beobachtet, wie diese Verteilung sich allmählich verwischt. Die Verteilung wird im wesentlichen durch die Gauß-Kurve e-x2 /(4Dt) beschrie- ben, die einen mit der Zeit auseinanderlaufenden Berg dar- stellt. Abstand und Zeit sind ebenso verknüpft wie oben. Man sieht daraus, daß der Diffusionskoeffizient von Teilchen, ob sie molekular oder makroskopisch sind, sich entsprechend (5.64) darstellen läßt als D ~ lv. Andererseits gilt auch die Binstein-Beziehung D = pkT für jede Teilchengröße. Unse- re Ableitung von (5.42) aus dem Gleichgewicht von Diffu- sions- und Sinkstrom erwähnt ja gar nicht, was für Teilchen es sind. Also gilt allgemein !'!x2 = 3Dt = 3pkT. Man beob- achte die Zitterbewegungen eines Teilchens von z. B. 111m Durchmesser unter dem Mikroskop und stelle in sehr vielen Messungen fest, daß es sich in der Minute im Mittel um 10 11m von seinem ursprünglichen Ort entfernt hat. Dann kann man k so bestimmen: 11 = ll(67r1Jr), 1J = 10-3 N slm2 = w-3 kg/m s, also k = 21f1Jr !'!.x2 I (Tt) ~ 1,5 . 10-23 J/K. Dies ist eine der historisch ersten Bestim- mungen der Boltzmann-Konstante k und damit der Avoga- dro-Zahl NA, der Molekülmassen und -größen. 5.2.23. Perrin-Versuch Die gefundenen Teilchenzahldichten haben eine exponen- tielle Höhenverteilung (in einfachlogarithmischem Papier aufgetragen!). Die Skalenhöhe, die die Ergebnisse am besten beschreibt, ist H = 0,45 mm (man beachte, daß die kleinen Teilchenzahlen n in größerer Höhe einem erheblichen Pois- son-Stichprobenfehler fo unterliegen, die Werte für die unteren Schichten sind nur durch Fehler in der Höhenmes- sung durch unvorsichtige Entnahme mit Umrühren und dgl. verfälscht; man kann daher nicht allen Meßpunkten das gleiche Gewicht beimessen). ·Diese Skalenhöhe ist 1,8 · 107 mal kleiner als die der Luftmoleküle, also sind diese 1,8 · 107malleichter als die Latexkügelchen unter Berück- sichtigung des Auftriebs. Die effektive Masse der Kügel- chen ist M = 17r(0,3 · 10-4 ) 3 · 0,01 g = 1,1 · 10-15 g, wo- mit sich für ein Luftmolekül m = 6 · 10-23 g und für das H-Atom 2 · 10-24 g ergeben. Gleichzeitig erhält man die Boltzmann-Konstante und die Avogadro-Zahl mit einer ent- sprechenden Ungenauigkeit: k = mgHIT = 1,7 · 10-23 J/K und NA= llmH [g] = 5 · 1023 . 5.2.24. Maxwell-Verteilung I Wir betrachten die W-Auftragung der Maxwell-Ver- teilung mit der Abkürzung x = W l(kT), also f(x) dx = J;rx112 e-x dx. Das Maximum liegt bei f(x) = 0, d. h. ~x- 1 12 - x112 = 0, also x = ~ und hat die Höhe !(1) = ~e-112 = 0,484. Wir fragen, in welchem Abstand vom Maximum die Funktion f(x) nur noch 1/e dieses Wertes hat, also 0,178 ist. Rechts vom Maximum fällt die Kurve praktisch wie e-x ab, bis auf den Faktor vfx, der den Abfall verlangsamt. Also liegt der rechte 1/e-Punkt etwas mehr als !1.x = 1 rechts vom Maximum, d. h. etwas oberhalb 1,5. Links vom Maximum ist x « 1, also e-x ~ 1, und yiX regiert al- lein. Der linke 1/e-Punkt liegt also nahe bei x = 0. Die Brei- te des Berges zwischen den 1/e-Punkten ist danach ca. 1,5, die Höhe 0,5, die Fläche 0,75. Die genauere Rechnung lie- fert eine Breite 1,78, also eine Fläche 0,86. Die effektive Breite der Maxwell-Kurve ist also durch die 1/e-Punkte gut definiert. 5.2.25. Maxwell-Verteilung II Maximum der Maxwell-Verteilun : df (v)ldv = 0 ==? 2v - mv3 I ( kT) = 0 ==? Vm = 2kT Im. Wie bei jeder Ver- teilung, die asymmetrisch ist und nach einer Seite weiter auslädt, liegt der Mittelwert außerhalb des Maximums, und zwar an der stärker ausladenden Seite. Für das quadra- tische Mittel ist das noch stärker der Fall. Die mittlere Ge- schwindigkeit ist (mit a = ml(2kT)) v=~a3/2h = -4 a3/2i_(2.) =-2-= (8kf_ y7i y7i da 2a Fa V -:;;:;; Das mittlere Geschwindigkeitsquadrat (entsprechend der mittleren Energie) ist v2 = _!_a3/214 = _!_a3/2~ (~ E) = 3kT fo fo da2 2 V~ m ' ganz wie die Grundgleichung der Gaskinetik und der Gleich- verteilungssatz das verlangen. 5.2.26. Reaktionsrate Der Bruchteil der Moleküle, die zum gegebenen Zeitpunkt eine höhere Energie haben als die Aktivierungsenergie WA, ergibt sich aus der Fläche des "Maxwell-Schwanzes" zu 100 2 ~ rx = f(W) dW R:j f(WA)kT =- ~e-WA/(kT). WA ,j7r kT Wenn der gasförmige Brennstoff A und der Sauerstoff stöch- iometrisch sind, im einfachsten Fall wie 1 : 1 (z. B. bei CH30H + 02 ~ C02 + lH20), stößt jedes Molekül A in der Sekunde nva-ma1 mit einem 02 zusammen. (n Teilchen- zahldichte, v thermische Geschwindigkeit, a Stoßquer- schnitt.) Die n Moleküle A, die im m3 sind, machen insge- samt n2va Stöße mit 02-Molekülen. Davon führt aber nur ein Bruchteil a zur Reaktion, wobei jedesmal die Energie WR frei wird. Die Gesamtleistungsdichte der Reaktion ist also 2vG~A P = rxn2vaWR = -- --WRn2ae-WA/(kT). fo m Ein unendlich ausgedehntes Reaktionsgemisch würde im Prinzip selbst bei sehr kleiner Anfangstemperatur schließ- lich durchreagieren: Die anfangs wenigen Reaktionsakte er- wärmen das Gas langsam aber sicher und beschleunigen so den Prozeß immer mehr. In der Praxis bei begrenzten Reak- tionen sind Strahlungs- und Konvektionsverluste zu beach- ten. Bei einer Abmessung R des Reaktionsraumes erhält man bis auf unwesentliche Zahlenfaktoren die Bedingung R2astBT4R:jR3P=? astsT4 ~R:je-WA/(kT) RWRn2aV w~ für den Einsatz der Reaktion. Gegen die starke Änderung der e-Funktion sind die praktisch möglichen Variationen der Größen auf der linken Seite nicht sehr wesentlich: Der Flammpunkt Tp wird hauptsächlich durch W A bestimmt. Die linke Seite hat eine Größenordnung um 10-12, also Tp R:j WA/(27k). Bei WA = 0,5 eV geht die Reaktion daher schon bei Zimmertemperatur los, typische organische Brenn- stoffe haben W A <:: 1 e V. 5.2.27. Kernfusion Dies ist im wesentlichen die Aufgabe 5.2.26, nur mit sehr viel höherer Aktivierungsenergie Wa = Ws R:j 1 MeV bzw. Wa R:j y/W8kT. Mit unserer Flammpunkt-Abschätzung erhal- ten wir für ein Fusionsplasma, in dem n etwa 1 04mal geringer ist als bei üblichen Gasreaktionen, Tf R:j Wa/(9k), dagegen im Sonneninnern, wo n mehr als 1 04mal höher ist als im Gas, Tf R:j Wa/ ( 45k). Mit Wa R:j 1 MeV würde die Fusion Kapitel s: Lösungen 1083 also im Plasma erst um T R:j 109 K zünden, in der Sonne um 108 K (bei 300 K ist kT = fo e V, also entspricht 1 MeV etwa 1010 K). Der Tunneleffekt erleichtert die Zündbedin- gung zu kT R:j Wa/r R:j y/W8kT jy =? kT R:j Wsf'y2, bringt also nochmals den Faktor y im Nenner ein. Das senkt die Zündtemperatur im Plasma auf etwa 108 K, in der Sonne etwa 107 K. 5.2.28. Sind Planeten so selten? Die beiden Sterne mögen mit der Relativgeschwindigkeit v so aneinander vorbeifliegen, daß der minimale Abstand a ist. In diesem Abstand üben sie eine Kraft Fm= GM1M2/a2 auf- einander aus. Natürlich ist dieser Mindestabstand nur einen Augenblick lang realisiert, aber während der Zeit t = 2ajv ist der Abstand nicht viel größer (höchstens um den Faktor Vl). Diegenaue Rechnung (s. Aufgabe 16.3.3) bestätigt, daß man so tun kann, als habe die Kraft während der Zeit t immer ihren Maximalwert, und als verschwinde sie dafür früher und später. Dann wird zwischen den Sternen ein Impuls !!J.p = Fmt = lGM1M2/(av) ausgetauscht, d.h. wenn der Stern 2 im gewählten Bezugssystem vorher ruhte, hat er nachher den Impuls !!J.p und die kinetische Energie !!J.W = 11p2 /(2M2)= 2G2MfM2/(a2v2) vom Stern 1 über- nommen. Dieser Energieaustausch fällt dann in die Größen- ordnung der kinetischen Energie des Sterns 1, wenn !!J.W R:j W = !M1v2, d.h. wenn a = Gkrit = 2GvfMIM2/v2. Diese Bedingung läßt sich, bis auf den evtl. Unterschied zwischen M1 und M2, auch so lesen: Die potentielle Energie bei größter Annäherung muß etwa gleich der kinetischen sein. Oder: Der kritische Minimalabstand ist bei M1 = M2 doppelt so groß wie der Bahnradius eines Planeten, der einen der Sterne mit der Bahngeschwindigkeit v umflöge. Für zwei Sterne von Sonnenmasse mit einer Relativgeschwindigkeit v = 100 km/s folgt akrit = 0,2 Erbahnradien = 3 · 107 km (hätte die Erdbahn nur 1/10 ihres Radius, so würde die Erde dreimal so schnell fliegen, d. h. etwa mit v). Der Stoßquerschnitt ist a = 1ra~it = 3 · 1015 km2. Die mittlere Sternzahldichte in der Galaxis ergibt sich aus deren Volu- men V = 3 · 1013 Lichtjahre3 = 3 · 1052 km3 und der Stern- zahl N = 2 · 1011 zu n = N /V R:j 10-41 km-3. Die mittlere freie Weglänge für "wesentliche" Stöße ist also l = 1/(na) R:j 3 · 1025 km. Ein Stern fliegt r = ljv = 3 · 1023 s = 1016 Jahre, bevor ihm so etwas passiert. Nach vielen solchen Stößen müßte die Geschwindigkeitsver- teilung der Sterne eine Maxwell-Verteilung werden, denn deren Herleitung und Gültigkeit sind völlig unabhängig da- von, ob es sich um Moleküle oder Sterne handelt. Die "thermische" Relaxationszeit r ist so groß, daß die Sterne in 1010 Jahren "Weltalter" das tatsächlich annähernd beob- achtete Gleichgewicht längst nicht erreicht haben könnten, falls sie nicht früher sehr viel enger gestanden haben. Wenn die Entstehung eines Planetensystems, wie Jeffries und Jeans annahmen, einen noch viel engeren Stoß zwischen Sternen voraussetzte, gäbe es bei der heutigen Sterndichte kaum ein zweites Planetensystem in unserer Galaxis. 1084 I Lösungen zu den Aufgaben 5.2.29. Galaxienhaufen Auch Galaxien "stoßen" miteinander, d. h. tauschen durch gravitative Wechselwirkung Energie aus und nähern sich einem thermischen Gleichgewicht, in dem alle etwa die gleiche Energie :!- mv2 haben. Die größeren fliegen daher langsamer und bewegen sich näher dem Haufenzentrum. Wie groß die "Teilchen" sind, spielt für die statistische Mechanik keine Rolle. 5.3.1. Ottomotor Wenn Oktan und Sauerstoff stöchiometrisch gemischt sein sollen, müssen entsprechend CsHis + 12,5 02 ----+ 8 C02 + 9 H20 auf 114 g Benzin 400 g Sauerstoff, d. h. 2 000 g Luft kommen. Die 4 · 106 J, die optimal beim Ver- brennen frei werden, erhitzen die 75 mol Verbrennungspro- dukte + N2 um 2 700°, wenn keine Verluste auftreten. Nach der Explosion herrschen also mindestens 10 bar im Zylinder. Die Molzahländerung ist klein: 71,5 mol vor, 75 nach der Verbrennung. Sie allein würde den Druck nur um etwa 0,05 bar erhöhen. Jetzt erfolgt adiabatische Expan- sion auf etwa 1 bar. Dabei nimmt T gemäß T,....., pi-I/Y auf T2 ~ 1 550 K ab. Wirkungsgrad 11 = (Tl - T2) /TI ~ 0,5, Ausdehnung auf V2 ~ 5,2VI. Direkte Berechnung der dabei geleisteten Arbeit und Vergleich mit der Verbrennungswärme gibt den gleichen Wert für 11· Offenbar steigt 11 mit dem Verdichtungsfaktor (der Kompression) V2/VI, nämlich 11 = (V:-y- vi-y)jv:-y = 1- (VJ/V2)Y- 1. Vorverdich- tung gibt höheres 11· Allerdings kann man beim Ottomotor die Kompression 7-8 kaum überschreiten, weil sie das Ge- misch bis über den Flammpunkt erhitzen würde. Dieselöl ist schwerer entflammbar und wird erst während der Kompres- sion eingespritzt. Daher kann man im Dieselmotor die Kom- pression bis 20 treiben und erzielt damit theoretisch 11 ~ 0,7. Wärmeverluste reduzieren T und 11 erheblich. 5.3.2. Kühlschrank 75 kg Lebensmittel von 25 °C auf 5 °C abkühlen bedeutet den Entzug der Wärmeenergie W = 6,3 · 106 J. Die Heizung P braucht t ~ 11 ,5 h. Der Kühlschrank braucht offenbar etwa sechsmal weniger Zeit, um eine bestimmte Wärmemenge zu entziehen, als eine Heizung gleicher Leistung braucht, um dieselbe Wärmeenergie zuzuführen. Bei Kühlschrank und Wärmepumpe ist lediglich die Flußrichtung der Energien umgekehrt wie beim Verbrennungsmotor. Speziell beim Kühlschrank werden wir als Nutzeffekt das Verhältnis der Wärmeleistung, die dem Kühlgut entzogen wird, zur hin- eingesteckten elektrischen Leistung bezeichnen, also 11- 1 = P/W' = TJ/(T2- TI). Das warme und das kalte Reservoir sind beim Kühlschrank der Wärmetauscher (schwarzes Git- ter hinter dem Schrank) bzw. die Kühlplatten (die Metallplat- ten, die oft vereist sind, im Innem). Fassen Sie das Gitter an, wenn der Kühlschrank arbeitet: Es hat 50-60 °C. Es muß ja auch im heißesten Sommer noch seine Wärme an die Küchenluft abgeben, muß also heißer sein als diese. Umge- kehrt muß die Kühlplatte kälter sein als die Solltemperatur des Kühlgutes, also 0 oc oder weniger. Damit erhalten wir einen theoretischen Nutzeffekt 270 K/50 K = 5,5. Auf dem gleichen Effekt beruht die gute Energieausnutzung durch eine Wärmepumpe: Die direkte elektrische Heizung setzt teure mechanisch-elektrische Energie direkt 1 : 1 in Wärme um. Die Wärmepumpe bringt das Mehrfache des elektrischen Aufwands in das Heizsystem (T2). Der Rest stammt aus dem kalten Reservoir (Wasser, Atmosphäre, Erd- boden). Kühlschrank und Wärmepumpe leisten dies nach dem Kompressor- oder dem Absorberprinzip: Eine Flüssig- keit wird durch Expansion im Kühlschrank verdampft und entzieht dem Kühlgut die dazu nötige Verdampfungsener- gie; im Wärmetauscher wird sie durch Kompression wieder verflüssigt und gibt dort die gleiche Energie wieder ab, oder man nutzt entsprechend die Absorptions- oder Lösungs- wärme aus. 5.3.3. Wärmepumpe Das Kühlmittel wird im Wärmetauscher durch Kompression verflüssigt, wobei es seine Kondensationswärme an das Heißwasser abgibt. Das Heißwasser speist die Heizkörper. Die Kühlflüssigkeit wird zum Wärmetauscher im Fluß ge- pumpt und dort entspannt, wobei sie verdampft und dem Flußwasser die Verdampfungswärme entzieht (bei T1 = 8 °C). Der Nutzeffekt der Anlage, definiert als Heiz- leistung/Leistung von Pumpe und Kompressor kann idealer- weise 11- 1 = T2/(T2- T1) = 4,5 erreichen. Statt 108 W konventioneller Heizleistung würden wir idealerweise nur etwa 2 · 107 W elektrischer Pumpleistung brauchen. 5.3.4. Projekt Agrotherm Abwärme ist die Energie, die eine Wärmekraftmaschine an das kalte Reservoir (meist Kühlwasser) abgeben muß. Die gewinnbare mechanische oder elektrische Energie ist ja nur ein Bruchteil 11 < (T2- TJ)/T2 der Energie, die aus dem Brennstoff, also dem heißen Reservoir (T2) entnommen wird. Der restliche Bruchteil 1 - 11 muß in das kalte Reser- voir (TI) übergehen. Wenn man das Kühlwasser mit einem unendlich großen Volumenstrom zur Verfügung hätte, brauchte man es dabei nicht wesentlich zu erwärmen. Auch Wasser ist aber Mangelware, und man wählt den Vo- lumenstrom in der Praxis so, daß das Kühlwasser 20-30 K wärmer wird als die Luft. Jahresverbrauch der BRD 6 · 1010 kWh, mit Industrie usw. 2,5 · 1011 kWh im Jahr, der mittlere Leistungsbedarf 2,9 · 1010 W. Der ideale Wir- kungsgrad einer solchen Wärmekraftmaschine ist 11 = 600 K/900 K = ~, Abwärme etwa 15 GW. Wenn die Rohre weniger als 1 m auseinanderliegen, steigt die Tempe- ratur mit der Tiefe linear an, Gradient (Tw- To)/d, wo Tw und To die Temperaturen des Wassers und der Ackeroberflä- che sind. Wärmestromdichte j = 2(Tw- To)/d. Wenn man auf der Fläche A die Abwärme P abführen will, muß A = P /} sein. Mit d = 1 m ergibt sich eine erwärmte Ackerfläche A ~ 2 · 103 km2. Das ist zwar nur 2 % unserer Ackerflä- che, aber trotzdem lohnend. Wenn T w um 20 K höher ist als die Lufttemperatur und d = 1 m ist, herrschen in 10 cm Tiefe schon 2 K mehr als üblich. Man könnte die Rohre auch tiefer legen und entsprechend mehr Ackerfläche versor- gen. Die Bodenoberfläche ist etwas wärmer als die Luft, denn sind. Sie diffundieren nur langsam ineinander. Die Poren im Ton haben aber z. T. Abmessungen, die kleiner sind als die freie Weglänge. Durch solche Poren strömt das Gas nicht mehr nach Torricelli als Kontinuum, sondern die Moleküle verhalten sich als unabhängige Teilchen, die entweder den Lochquerschnitt treffen und durchkommen oder nicht. In der Sekunde kommen also nAv Moleküle durch, wo v = J3kT Im die mittlere Molekülgeschwindigkeit ist (Knudsen-Strömung). Auch bei beiderseits gleichem Druck, d. h. gleichem n, treten dann von der Seite, wo die Moleküle leichter, d. h. schneller sind, mehr Teilchen durch. Wenn der H2-Partialdruck im Tongefäß ebensogroß geworden ist wie draußen, geht der Überdruck natürlich zu- rück. Hört man mit dem H2-Bespülen auf, entweicht das H2 aus dem Gefäß und läßt vorübergehend einen Unterdruck zurück. 5.4.7. Nackt und pudelwohl Die nackte Haut verliert im wesentlichen Strahlungswärme. Wenn man sie als "schwarzen Körper" betrachtet und A = 2m2 Körperoberfläche annimmt, ist die Abstrahlungs- leistung I1A 11T. Der menschliche Stoffwechsel liefert etwa P ~ 100 W (Stoffwechselumsatz ~ 2 000 kcal/d). Die Bilanz ist ausgeglichen bei 11T ~ PI ( I1A) ~ 8 K, was 29 °C entspricht. In Wirklichkeit ist der Stoffwechsel im wa- chen Zustand wesentlich aktiver als im Schlaf, man hält es daher auch bei 25 °C gut aus, friert aber, wenn man ein- schläft. Der bekleidete Mensch verliert Wärme nicht mehr durch Strahlung, sondern durch Leitung, und zwar wirkt gute Wollkleidung im wesentlichen als ein Luftpolster, in dem die Konvektion ausgeschlossen ist. Die Wärmeverlust- leistung des Menschen muß wieder auf P = 100 W gehalten werden. Da P = MI1T I d (A ~ 2m2 Körperoberfläche, A = 0,025 W/m K Wärmeleitfähigkeit der Luft), muß die Dicke der Kleidung d ~ M11T I p ~ 5 . w-411T sein, z. B. 1 cm bei 17 °C, 2 cm bei -3 °C, 3 cm bei -23 oc. Wenn der Mensch schwitzt, nutzt er die Verdampfungswärme des Wassers von 2,3 · 106 J/kg aus. Um die 107 J/Tag seines Stoffwechsels bei 37 oc Außentemperatur abzuführen, muß er etwa 41/Tag schwitzen. Dann kann nämlich auch der nackte Mensch keine Wärme durch Strahlung abgeben. Bei 32 oc ist die Schweißmenge halb so groß, bei 27 oc ge- nügt die Abstrahlung. Bei 37 oc übersteht der Mensch ohne Flüssigkeitsaufnahme kaum 24 h, selbst im Schatten ohne Bewegung. 5.4.8. Brrr . . . ! Wir frieren, wenn wir zuviel Wärme durch die Haut verlieren. Auch unbekleidete Hautstellen sind immer durch eine Prandtl-Grenzschicht geschützt, die an der Strömung im Wind nicht teilnimmt, allerdings mit zunehmender Windge- schwindi keit immer dünner wird. Ihre Dicke ist d ~ 6Yfll(ev). Der Wärmeverlust erfolgt durch Wärmelei- tung durch die Prandtl-Schicht mit einer Wärmestromdichte j = ..1. 11T I d. Der obige Ausdruck für d ergibt j ""' 11t y'V. Wir vergleichen stille Luft, durch die ein Mensch mit v ~ 2 rn/s geht, und einen Sturm von 30 m/s. Im Sturm ist y'V etwa Kapitel 5' Lösungen I viermal so groß, also darf bei Windstille 11T viermal so groß sein, damit der Mensch ebenso friert. Wenn die Haut- oberfläche 37 oc hätte, ergäbe dies Äquivalenz zwischen stiller Luft von -20 °C und Sturm bei +23 °C. Die Haut ist aber wesentlich kühler als das Körperinnere. Der Tempe- raturabfall von 37 °C auf die Außentemperatur verteilt sich im Verhältnis der Wärmewiderstände d I ..1. auf Hautschicht und Prandtl-Schicht. Fettgewebe hat etwa die zehnfache Wärmeleitfähigkeit der Luft. Dies gilt für Gewebeteile, de- nen keine Wärme zugeführt wird (keine Durchblutung) und in denen auch keine entsteht (kein Stoffwechsel). Die Haut kann annähernd 0 oc annehmen, bevor Erfrierungen eintreten. Unter solchen Umständen sind -20 oc bei Wind- stille äquivalent mit -5 oc bei Sturm. Die Unterkühlung ist natürlich um so stärker, je dünner die Prandtl-Schicht ist, d. h. je größer v und je kleiner die Abmessung l des Körperteils ist. Nase, Finger, Zehen und Ohren erfrieren zuerst. 5.4.9. Rayleigh-Konvektion Ein zufällig um dy aufsteigendes Fluidpaket gerät in eine um lgrad Tl dy kühlere, also um ßelgrad Tl dy dichtere Um- gebung (ß = de I (e dT)) und erfährt also den Auftrieb FA= gVde = 17rr3 ßeg gradTdy (wir denken an ein kugelförmiges Paket). Diesem Auftrieb wirkt die Stokes-Reibung F11 = 67rYJTV entgegen, und aus dem Gleichgewicht FA = F11 ergibt sich eine Aufwärtsge- schwindigkeit v = 2r2 g ße grad T dy I ( 9Yf). Der Aufstieg um dy, der ja wegen v""' dy erst am Schluß so schnell er- folgt, dauert eine Zeit tA ~ 2dylv = 9Yfl(r2gße gradT). All dies stimmt aber nur, wenn sich unser Paket in der Zeit tA nicht durch Wärmeleitung seiner Umgebung ange- glichen hat. Dies würde eine Zeit r ~ r 2eci(3A.) dauern (vgl. (5.53)). Nur bei tA < r, also r4 e2cgß grad TI (YfA) > 27 tritt daher die geschilderte Instabilität auf. Die Tendenz dazu ist für große Pakete sehr viel stärker (r4 ), aber kleiner als die Fluidschichtdicke d muß das Paket jedenfalls sein, sagen wir höchstens r ~ dl3. So ergibt sich die Instabilitätsbedingung d3e2cgß11TI(YfA) > 2000 (grad T = 11T I d). Die dimensionslose Zahllinks heißt Ray- leigh-Zahl, ihr kritischer Wert liegt bei genauerer Betrach- tung um 1700. Die Benard-Zellen (Abb. 5.39) sind keine Rayleigh-Instabilitäten, sondern werden durch die Ober- flächenspannung (J mitbestimmt. Hier tritt anstelle der Ray- leigh-Zahl die Marangoni-Zahl, in der d(J I dT anstelle von d2gdeldT tritt. Vergleich der Zahlenwerte und der d-Ab- hängigkeiten zeigt, daß die Zellenstruktur in sehr flachen, die Rayleigh-Struktur (Aufquellen bzw. Absinken in unge- fähr konzentrischen breiten Ringen) in tieferen Töpfen vor- herrscht. 5.4.10. Schlaues Huhn Wenn die Luft kälter wird, muß der Hahn den Haufen ver- stärken, damit mehr Fäulniswärme darin erzeugt wird und die erzeugte Wärme schwerer abströmt. In einer Teilkugel vom Radius r wird dann die Wärmeleistung P = 1u3 q er- zeugt. Sie muß im stationären Fall durch die Oberfläche 1087 1088 Lösungen zu den Aufgaben A = 4Jrr2 dieser Kugel abfließen, und zwar gleichmäßig nach allen Seiten: P = 1 u 3 q = -4Jrr2 A dT I dr. Der Tem- peraturgradient nimmt also nach außen zu: dT I dr = -qri(3A.). Die Temperaturverteilung ist parabolisch: T = To- qr2 I(6A.). Hier ist To die Zentraltemperatur, die ja 35 oc sein soll. Wenn der ganze Haufen den Radius R hat, verlangt der Anschluß an die Lufttemperatur T1 = To- qR2 I(6A.) (in Wirklichkeit ist dieses Tt ein wenig größer als die Lufttemperatur, damit die Wärme durch Wär- meübergang abgegeben werden kann). Der notwendige Hau- fenradius ist also egeben durch die liegende Parabel R = 6A.(To - Tt) I q, mit den gegebenen Werten z. B. l,4m bei Tt = 16 °C, 1m bei 25 oc. 5.5.1. Stirling-Formel Es ist ln x! = 2:::::=2 ln z. Man stelle diese Summe durch ein Blockdiagramm über der x-Achse dar. Die Kurve lnx berührt diese "Treppe" an den oberen Ecken, die Kurve ln(x - 1) berührt sie ebenso von unten. Also liegt die ge- suchte Summe zwischen J; In z dz = x ln x - x + 1 und J;ln(z-1)dz= J;+1 lnzdz=(x+l)ln(x+1)- x-1- 2ln 2 + 2. Man beachte r ln z dz =X lnx- X. Der Mittel- wert der beiden Integrale ist x lnx- x+ ! lnx + 1,5 -In 2. Wir erheben dies wieder in den Exponenten und finden x! ~.re-xJ.X!e 1 •5 . Dies weicht nur durch den Faktor ! e1•5 = 2,24 statt /2ir = 2,51 von der offiziellen Stirling- Formel ab. Wenn man bedenkt, daß man in der Entropie im- mer nur Logarithmen von Fakultäten benutzt, spielt dieser Unterschied keine Rolle; meist läßt man dabei sogar den Faktor v'27f.X ganz weg. 5.5.2. Irreversibilität Es handelt sich hier vor allem darum, den Begriff der rever- siblen Führung einer Zustandsänderung richtig zu verstehen. Er geht ja in die Definition der Entropie ein: dS = dQrev IT. In den ersten beiden Beispielen ist das einfach. Eine kleine Wärmemenge dQ fließe von einem Körper mit der Tempe- ratur Tt, dessen Entropie sich dabei um dS, = -dQITt än- dert, zu einem mit T2, so daß dS2 = dQIT2. Die gesamte Entropieänderung ist dS = dQ(Tz-- 1 - T!1 ), was genau dann positiv ist, wenn T1 > T2 , d. h. genau dann, wenn der Prozeß von selbst abläuft. Molekular betrachtet: Wenn schnelle und langsame Moleküle in Kontakt kommen, glei- chen sich ihre Energien aus, weil das dem wahrscheinliche- ren Zustand entspricht. Bei der Umwandlung einer entspre- chenden Arbeit in die Wärmemenge dQ entsteht die Entropie dS = dQIT. Reibung erzeugt immer Entropie. Molekular sieht dieser Prozeß z. B. so aus, daß "in Reib und Glied" mar- schierende Moleküle anfangen, chaotisch durcheinanderzu- laufen, was wiederum wahrscheinlicher ist als die strenge Marschordnung. Von zwei gleichen Gasmassen expandiere die eine (A) um dV, indem sie durch langsames Wegschie- ben eines Kolbens die Arbeit p d V leistet. Die andere (B) expandiere frei, nachdem man z. B. eine Trennwand wegge- zogen hat. Beide sind nicht im gleichen Zustand: A hat die Energie pdV hergeben müssen und sich abgekühlt. Um A auf den Zustand von B zu bringen, muß man ihm die Wärme- menge dQ = p d V zuführen, wobei man die Entropie dS = p dV IT erzeugt. A ist damit reversibel in den gleichen Zustand übergeführt worden, den B irreversibel erreicht hat. Obwohl im Fall von B keine Wärme ausgetauscht worden ist, besteht zwischen Anfangs- und Endzustand die gleiche En- tropiedifferenz, die sich bei reversibler Führung ergibt. Mo- lekular: Der Zustand "Alle Moleküle in V, keines in dV" ist unwahrscheinlicher als der Zustand "Moleküle gleichmäßig über V und dV verteilt". Wenn zwei verschiedene Gase sich mischen, ist zunächst ebenfalls von keinem Wärmeaustausch die Rede. Die Diffusion ineinander ist ja auch nicht reversi- bel. Man könnte reversibel mischen, wenn man z. B. die Trennwand durch zwei semipermeable Membranen ersetz- te, die eine nur für Moleküle A, die andere nur für B durch- lässig, und diese Membranen langsam auseinanderzöge. Die eine Membran erfährt nur den Partialdruck PA des Gases A, die andere nur PB· Freigabe des Volumens 2 dV setzt also die Arbeit (p A + p B) d V = p d V frei, die zu einer Abkühlung des Gemisches führt. Ersatz durch die entsprechende Wärme- menge führt zum Entropieanstieg um dS = p dV IT. 5.5.3. Mischung Das Rütteln (das natürlich für die thermische Bewegung steht) hat zwei völlig verschiedene Effekte: Es ermöglicht die Einstellung des Gleichgewichts, und es beeinflußt die Art des Gleichgewichts. Schwächeres Rütteln bringt die Eisenspäne allmählich nach unten: Es überwiegt der Einfluß der Energie, die in diesem Zustand kleiner ist. Starkes Rütteln dagegen wirbelt die Teilchen ohne Rücksicht auf ihre Schwe- re gleichmäßig durcheinander: Es überwiegt der Einfluß der Entropie (Wahrscheinlichkeit), die in diesem Zustand größer ist. Man kann die Heftigkeit des Rüttelns durch eine Tem- peratur kennzeichnen, so daß die mittlere Translations- energie der Teilchen i kT ist. Dann kann man rein thermo- dynamisch rechnen und die Zustände "Eisen unten - Sand oben" und "Alles gemischt" durch ihre W und S kenn- zeichnen. Die Kiste habe die Höhe h, die Grundfläche A und enthalte gleiche Volumina und Anzahlen N von Spänen und Körnern. Die Energiedifferenz zwischen den Zuständen ist ß W = hh2 A(eFe - Qsa), die Entropiedifferenz ßS = k2N ln 2. Welcher Zustand dem Gleichgewicht entspricht, hängt davon ab, welcher das kleinere A hat, also ob ß W z T ßS oder ß W z ~ · ln 2 · aN ist ( a mittlere kinetische Energie eines Teilchens). Die Grenze liegt also ungefähr da, wo die kinetische Energie des Rüttelns die potentielle Energiedifferenz ausgleicht. Im Magnetfeld ist die Lage ähn- lich wie im Schwerefeld. 5.5.4. Protein-Entropie I Ein Mensch von 80 kg hat 16 kg Protein mit etwa 1026 Aminosäureresten (mittlere Masse 1,6 · 10-25 kg). Sie sind in Proteinmolekülen von je etwa 300 Aminosäuren ange- ordnet. Jede solche Kette hat eine ganz bestimmte Anord- nung, also die Wahrscheinlichkeit 300! ~ 10600 und die Entropie -1 400k. Alle 3 · 1023 Proteinketten zusammen haben S = -5 · 1026 k ~ 8 000 J/K. Bei 300 K bedeutet das einen Beitrag zur Freien Energie -TS = +2,4 · 106 J. Dies ist nur einer der "Negentropie"-Anteile des Organismus. Jede andere Ordnungsform liefert ebenfalls einen Beitrag. Diese Ordnung kann das Lebewesen nur durch einen Ener- gieaufwand aufrechterhalten, der mindestens so groß ist wie TS. 5.5.5. Protein-Entropie II Zunächst seien alle Lagen eines Gliedes geometrisch und energetisch gleich wahrscheinlich, haben nämlich die Wahr- scheinlichkeit 1 I L. Ein bestimmter Zustand der ganzen Ket- te, gegeben dadurch, daß jedes der N Glieder eine bestimmte Lage einnimmt, hat die Wahrscheinlichkeit P = L ~N. Ein solcher Zustand hat, verglichen mit dem regellosen Zustand (Wahrscheinlichkeit l)eineum~S = klnP = -kNlnLklei- nere Entropie. Allgemeiner habe die i-te Lage geometrisch die Wahrscheinlichkeit Pi (bisher alle Pi = L ~ 1; L Pi = 1 ). Energetisch seien die Lagen noch gleichberechtigt. Nun un- terscheiden wir zwei Arten, einen Zustand zu kennzeichnen: (1) Für jedes Glied geben wir an, in welcher Lage es ist; (2) wir geben an, wie viele Glieder in der 1-ten Lage sind, näm- lich n 1, usw. Die Kennzeichnung 1 ist vollständiger. Jeder Zustandn1,nz ... vom Typ 2kann durchN!I(n1!nz! ... ) Zu- stände vom Typ 1 realisiert werden. Ein Zustand vom Typ 1 hat die Wahrscheinlichkeit Tii P7i, die Entropie S = k L ni ln Pi, ein Zustand vom Typ 2 hat P = N! I ( n 1 ! nz! ... ) TI P7i. Sind noch die Energien der Lagen verschieden, hat z. B. ein Glied in der i-ten Lage die Energie Bi, dann ist die rein energetische Wahrscheinlichkeit, daß ein bestimmtes Glied in der i-ten Lage ist, nach Boltzmann e~ei/(kT). Insgesamt hat ein Zustand vom Typ 1 die Wahr- scheinlichkeit Tii P7i · e~niei/(kT). Am wahrscheinlichsten ist der Zustand, für den dieser Ausdruck oder sein Logarith- mus maximal ist: I:(ni lnpi- nisil(kT)) = (ST- W)lk = -Alk= Max. Interessant wird die Diskussion dieses Ausdrucks vor allem für Zustände vom Typ 2 (vgl. Kap. 18). Sie erklärt dann das gesamte Verhalten des Systems. 5.5.6. Seltsame Definition Die reversible Wärmekraftmaschine A arbeitet zwischen den Temperaturen T3 und Tz. Wir nutzen einen Teil ihrer Ab- wärme, indem wir sie bei Tz einer anderen Maschine B zu- führen, die zwischen Tz und einem noch tieferen T1 arbeitet. Stecken wir oben die Wärmeenergie Q3 hinein, so liefert A die Arbeit W = '1AQ3. Aus der Abwärme Qz = (1- '1A)Q3 erzeugt B noch die Arbeit W' = '1BQz, und ihre Abwärme ist Q1 = (1- '1B)Qz = (1- '1B)(l- '1A)Q3. Die Verbund- maschine AB hat den höheren Wirkungsgrad '1AB = (W + W')IQ3 = '1A + (1- '1A)'1B· d.h. es gilt 1- '1AB = (1- '1A)(l- '1B)· Die Größe 1- '1 hängt nur von den be- teiligten Temperaturen ab, z. B. 1- '1A = j(T3, T2). Wie wir sahen, giltj(T3, TI)= j(T3, T2)J(T2,TJ). Da die linke Seite dieser Gleichung nicht von der Zwischentemperatur Tz abhängt, muß sich Tz auch rechts wegkürzen, gleich- gültig welchen Wert Tz hat. Das ist nur dann der Fall, wenn f(T, T') ein Quotient zweier eindeutiger Funktionen der Temperatur ist: f(T, T') = g(T) I g(T'), d. h. '1 = Kapitel 5' Lösungen I 1- g(T)Ig(T'). Unsere Maschine AB leistet mehr Arbeit als A allein bei gleicher Wärmezufuhr oben, sie hat einen höheren Wirkungsgrad. Damit dies allgemein gilt, muß g eine monoton wachsende Funktion von T sein. Wenn wir noch nicht wüßten, was T ist, können wir einfach g(T) = T festsetzen, und zwar so, daß Wasser bei T = 273,2 gefriert. T = 0 wäre die Temperatur, die als unteres Reservoir einer Wärmekraftmaschine den Wirkungsgrad 1 ergibt, weil dort keine Abwärme mehr abgegeben werden muß. Vergleich mit einem Idealgas als Arbeitssubstanz zeigt, daß die so definierte "thermodynamische Tempera- tur" identisch mit der üblichen Kelvin-Temperatur ist. 5.5.7. Mischbarkeit Bei konstanten T und p tritt ein Vorgang, z. B. die Mischung zweier Stoffe, von selbst ein, wenn die freie Enthalpie G = W - TS + p V dabei abnimmt. p V spielt für konden- sierte Stoffe praktisch keine Rolle. Das Mischen von Schwe- felsäure und Wasser z. B. bringt eine Energieabnahme ~ W < 0 (Hydratationsenergie ), das Mischen von Öl und Wasser erfordert Oberflächenenergie ~ W > 0. Wenn dieser Energieaufwand größer ist als T ~S (~S Mischungsentropie, etwa 4 J/mol K), tritt trotz ~S > 0 keine Mischung ein. Falls ~ W nicht von T abhängt, wird die Bedingung für Misch- barkeit um so besser, je höher T ist. 5.5.8. Kleiner Unterschied Der Unterschied liegt in der Mischungsentropie Sm. Für Phasengleichgewichte reiner Stoffe tritt kein Sm auf, weil alle Teilchen gleichartig sind. Im Gleichgewicht liegt nur die Phase mit dem kleinerenG vor. Beim chemischen Gleich- gewicht bringt das Vorhandensein einer gewissen Menge eines Stoffes immer einen Zuwachs an Mischungsentropie, der den G-Zuwachs überkompensiert. Allerdings kann diese Menge sehr klein sein, wenn der Stoff ein sehr hohes G hat (vgl. Abschn. 5.5.8). 5.5.9. Adsorption Das adsorbierte Gas hat geringere Energie (Bindung) und Entropie (Einschränkung der Beweglichkeit). Es verhält sich ähnlich wie eine Flüssigkeit, deren Maximalmenge al- lerdings durch die verfügbaren Plätze beschränkt wird. Da- her gilt die Thermodynamik der Phasengleichgewichte, die unbeschränkte Menge voraussetzt, nicht ohne weiteres. Kine- tik: Teilchenzahldichte im Gas no; im m3 der feinverteilten Oberfläche (Aktivkohle o. dgl.) stehen N Plätze zur Verfü- gung. n sind davon besetzt, n « no. Die Adsorptionsrate (sich anlagemde Teilchen1m3 s) ist rxno(N- n), die Desorp- tionsrate ßn. Im Gleichgewicht sind beide gleich, und man erhält n = rxNnol(ß + rxno). no ist proportional dem Gas- druck (Langmuir-Isotherme). Dasselbe erhält man, wenn man die Adsorption als Reaktion eines Gasmoleküls M mit einem leeren Platz P zu einem besetzten Platz auffaßt: M + P +='! MP. Das Massenwirkungsgesetz ergibt für die Konzentration (eckige Klammem): [MP]I[M][P] = K. Mit [P] + [MP] = N, der Gesamtzahl der Plätze, ergibt sich wieder die Langmuir-Isotherme, und rxl ß erweist sich als L092 Lösungen zu den Aufgaben 10-4 m3 / kg. Die Clausius-Clapeyron-Gleichung liefert dT / dp = -T "'V I A = 273 K . 10-4 m3 kg-L / 3,4. 105 Jkg- L = 8. 10- 8 K/ (Jj m3) = 8 · 10- 3 K/bar. Beim Skifahren, wo der Druck der Bretter 1 bar kaum überschreitet, ist der Auf- schmelzeffekt also völlig vemach1ässigbar. Die scharfen Schlittschuhkanten üben dagegen einige 100 bar aus und schmelzen eine Rinne in nicht zu kaltes Eis. Bei Tempera- turen um 0 oc ist das auch deutlich zu beobachten. Bei C02-Schnee oder -Eis (Mars-Polkappen) fällt dieser Effekt weg, denn hier ist der Festkörper, wie bei den meisten Stof- fen, dichter als die Flüssigkeit. Das Fehlen dieses Effekts allein wird die Leistungen skifahrender Mars-Polarforscher nicht beeinträchtigen. 5.6.7. C02-Fiasche Damit C02 bei 20 °C flüssig bleibt, muß es unter minde- stens 63 bar stehen. Sein Molvolumen ist dann etwa V= 75 cm3 / mol, seine Dichte Q = 44 g mol-L / 75 cm3 mol- 1 = 0,6g/ cm3. Eine 501-Flasche faßt etwa 30kgC02. Bei der Entspannung verdampft das C02 und dehnt sich dann weiter annähernd adiabatisch aus. Dabei ent- zieht es sich selbst eine Wärmemenge, die durch die Räche zwischen der Isotherme in Abb. 5.66 und der 1 bar-Isobare (-Horizontale) gegeben wird. Diese Fläche ist kleiner, aber nicht sehr viel kleiner als für ein ideales Gas. Zur Abschät- zung können wir also die Adiabatengleichung heranziehen: T "'p(Y- 1)/Y = p 114 (man beachte, daß C02 sechs Freiheits- grade hat), also ergibt sich bei Entspannung von 60 bar auf 1 bar eine Abkühlung fast bis 100 K. Dabei wird das C02 natürlich vorübergehend zu Schnee, bis es unter Temperatur- angleichung verdampft. Unterhalb des kritischen Punktes (72 oq läßt sich das C02 durch einen Druck in der Größen- ordnung von 100 bar allein verflüssigen. Man muß allerdings so langsam komprimieren, daß man Erhitzung vermeidet. 5.6.8. Freon Die Kühlung im Kompressor-Kühlschrank entsteht, indem das Kühlmittel durch Druckminderung zum Verdampfen ge- bracht wird und dabei dem Kühlgut seine Verdampfungs- wärme entzieht. Außerhalb des Kühlschranks wird dann das Kühlmittel durch Druckerhöhung wieder verflüssigt. In der Spraydose steht das flüssige Treibmittel ebenfalls un- ter erhöhtem Druck, und zwar seinem eigenen Dampfdruck. Wenn man auf den Knopf drückt, erlaubt man dem Dampf den Austritt, wobei etwas von dem zerstäubten Spraygut mit- gerissen wird. Hinterher stellt sich der Gleichgewichts- dampfdruck wieder ein, indem etwas flüssiges Treibmittel verdampft. Eine reine Gasfüllung wäre viel zu schnell ver- braucht oder müßte einen zu hohen Anfangsdruck haben. Das flüssige Treibmittel dient als Vorrat. Wenn man die Dose ins Feuer wirft, steigt der Dampfdruck exponentiell an (Boltzmann-Kurve), und die Dose explodiert, falls noch Treibmittel darin ist. Jedenfalls müssen Kühlmittel und Treibmittel einen Siedepunkt haben, der unter Atmosphären- druck unterhalb, bei erhöhtem Druck oberhalb der Zimmer- temperatur liegt. Dies ist bei den Freonen der Fall. Sie haben auch sonst technisch günstige Eigenschaften, sind z. B. sehr stabil, so stabil, daß sie aus weggeworfenen Kühlschränken und den viel zu viel angewandten Spraygasen bis in die Hochatmosphäre aufsteigen, wo sie dann allerdings durch das UV-Licht der Sonne aufgespalten werden. Die freiwer- denden Halogene zerstören katalytisch Ozonmoleküle 03 und bauen so die Ozonschicht ab, die uns vor dem haut- krebserzeugenden und netzhautzerstörenden kurzwelligen UV der Sonne schützt. 5.6.9. van der Waals-Konstanten Siehe Lösung 5.6.11. 5.6.10. Kritische Daten Siehe Lösung 5.6.11. 5.6.11. van der Waals-Kurve Um den Zusammenhang zwischen den kritischen Daten und den van der Waals-Konstanten zu finden, kann man so argumentieren: Die van der Waals-Isotherme p = RT/ (V-b)-a/ V2 hat dort Extrema, wo dp / dV= -RT/ (V-b) 2 +2aj V3 =0 ist, oder mit x=V/ b, wo (x - 1 )2 / x3 = RTb / (2a) ist. Die linke Seite dieser Glei- chung, als Funktion von x aufgetragen, bildet einen flachen Buckel rechts von x = 1 (zeichnen!). Das Maximum dieses Buckels liegt dort, wo 2(x- 1) j x3 = 3(x - 1)2 jx4 oder x = 3 ist und hat die Höhe 4/27. Wenn die Horizontale RTb/ (2a) höher liegt als 4/27, schneidet sie den Buckel nicht an: Es gibt kein Extrema; läuft sie tiefer, schneidet sie zwei- mal: Die Isotherme hat zwei Extrema. Der Übergangsfall RTb/ (2a) = 4/ 27 oder T = h = 8a/ (27bR) entspricht der kritischen Isotherme mit ihrer horizontalen Wendetangente. Tk ist die kritische Temperatur, Vk = 3b das kritische Vo- lumen, also Pk = Rh/ (Vk- b)- a j V,2 = a / (27b2) der kritische Druck. Umgekehrt: a = 27 R"?_T~ / ( 64pk) und b = RTk / (8pk) · So errechnen sich die folgenden Werte: Tabelle L. 1 ajbar m6 mol- 2 co2 3 7 .Jo- 6 2 I ,2 ·10 6 0 2 1,4·10- 6 H20 5,2 ·10 6 bjm3 mol- 1 4,3 ·10- 5 3,6·10 5 3.2·10- 5 3,0·10 5 1/ b ist gewöhnlich etwas kleiner als die Dichte des flüssigen Zustandes. Mit diesen Werten behandeln wir z. B. den Joule- Thomson-Effekt. 1 molGaswerde um t-.p entspannt. Da sich das Gas nahezu ideal verhält, ist dV /V~ -dpjp, und aus (5.111) wird dT / dp = (2RTb- 4a) / [(f + 2)RVp] = -(2RTb- 4a) / [(f + 2)R2T]. Weit unter dem Inversions- punkt erhält man als maximale Temperatursenkung pro bar Drucksenkung dT j dp = +4a/ [(f + 2)R2T], d. h. 0,3 Klbar für Luft, 0,9 K/bar für C02 . Die Nähe des Inversionspunktes drückt diese Werte etwas herab. Weit oberhalb des Inver- sionspunktes (z. B. bei H2) ist die maximale Erwärmung dT / dp = -2b/ [(f + 2)R] ~ -0,15 Klbar. Wenn man van der Waals-Kurven wirklich konstruiert, ist man - wie fast immer, wenn man etwas selbst probiert, statt die not- wendigerweise etwas schematisierten Lehrbuchbegriffe zu übernehmen - erstaunt, wie anders sie aussehen. Links liegt eine ungeheuer tiefe Schlucht, die weit in negative Drucke reicht (z. B. bei 20 °C-Wasser bis etwa -1 000 bar), und der gegenüber in der üblichen Auftragung der flache Berg rechts bis zur Bedeutungslosigkeit herabsinkt. Man kann die- sen negativen Druck als Zug deuten: Eine Wassersäule z. B., die man sorgfältig entgast und in der man Dampfkeime weit- gehend vermeidet, kann theoretisch kilometerlang werden, bevor sie unter dem eigenen Gewicht zerreißt. In der Praxis haben Flüssigkeiten nur deshalb geringere Zerreißfestigkei- teil als Festkörper, weil sich Gasblasen bilden. Man kann aber den flüssigen Zustand ein gutes Stück unterhalb E in Abb. 5.66 "unterspannen". Das Gebiet zwischen D und B ist dagegen bestimmt nicht realisierbar, weil es völlig insta- bil ist: Jede zufällige Drucksteigerung hätte eine Expansion zur Folge, und das System würde explosionsartig mindestens bis B (bzw. D) schnellen. 5.6.12. Maxwell-Gerade Wir nehmen an, man könnte nach Belieben auf der S-förmi- gen van der Waals-Isotherme z. B. eine gewisse Gasmenge verflüssigen (mit großer Vorsicht gelingt das teilweise), und dann längs der üblichen Geraden p = const wieder ver- dampfen. Faßt man diesen Zyklus als Wärmekraftmaschine auf, dann muß ihr Wirkungsgrad 0 sein, weil man zwischen zwei Reservoiren gleicher Temperatur hin- und herfährt. Es darf also insgesamt keine Arbeit geleistet werden. Da sich die Arbeit im p, V-Diagramm durch die umlaufene Fläche dar- stellt, muß diese Gesamtfläche 0 sein, d. h. die übliche Über- gangsgerade, die Maxwell-Gerade, muß so angebracht sein, daß sie vom oberen Bogen des S genausoviel Fläche (positiv gezählt) abschneidet wie vom unteren Bogen (negativ ge- zählt). 5.6.13. Das Büblein steht am Weiher ... wer weiß? Wenn die Eisdecke auf der Fläche A um ein Stück dx dicker wird, setzt sie die Erstarrungsenergie d W = QA dx y frei (y: spezifische Erstarrungsenergie). Diese Energie kann nur nach oben abgeführt werden. Die Eisdecke mit der gegenwärtigen Dicke x läßt eine Wärmestromdichte j = )of''!.T lx durch. Die Abfuhr von dW dauert eine Zeit dt = d W I (Aj) = QYX dx I ( A ~T). Integration bei konstan- tem ~T, angefangen bei t = 0 mit x = 0, liefert t=~Qyx2 1(.1~T). Mit ~T=20K, Q=900kglm3, A = 0,47W/mK, y = 3,3 ° 105 J/kg folgt X= 2,5 ° 10-4 y't (t in Sekunden, x in Meter). In der Natur wächst die Eisdecke meist langsamer, weil das Oberflächenwasser nicht schon vorher 0 oc hat. Die Belastbarkeit ergibt sich ähnlich zur Theorie der Balkenbiegung aus den elastischen Momenten der leicht durchgebogenen Eisdecke. Dazu kommt der Auf- trieb der Einsenkung, unter der ja das Wasser verdrängt werden muß. Die Punktlast F erzeugt im Abstand r ein Biegemoment Fr, das von der Fläche 2ud (Schnittfläche einer gedachten Kreisscheibe, Radius r, Dicke d) kom- pensiert werden muß. Oben und unten in der Schicht ergibt sich eine Maximalspannung O"m mit Fr;:::::: 27rrdO"mdl2, also F;:::::: 1rd20"m. Bei frischem, noch elastischem Eis kann Kapitel s: Lösungen 1093 man mit O"m ;:::::: 106 Nlm2 rechnen, also könnte sich ein Mensch schon auf d ;:::::: 2 cm wagen, ein Auto auf 6 cm; ein Zug von 1 000 t braucht 2m Eisdicke. Die arktische Eis- decke wird nicht sehr viel dicker (maximal 4 m), im Gegen- satz zum grönländischen oder antarktischen Inland- und Schelfeis. Das arktische Eis lebt nur 2--4 Jahre, bevor es in wärmere Meeresteile driftet. - Die mittelatlantische Schwelle liegt etwas mehr als 2 000 m unter dem Meeres- spiegel. Die Tiefenlinien, auf denen es 1 000, 2 000, 3 000, 4 000 m tiefer ist als die Schwelle, liegen in den Abständen 100, 350, 800, 2 000 km beiderseits der Schwelle. Die Kurve z(x) erinnert an die liegende Parabel, die wir für das Eis als x(t) gefunden haben. Dies entspricht der Tatsache, daß das Gestein des Ozeanbodens in der Mitte der Schwelle (Rift der Dorsalen) aus dem darunterliegenden Magmaherd aus- tritt und sich mit ziemlich konstanter Geschwindigkeit nach beiden Seiten vorschiebt. Bei dieser Auswärtswande- rung nimmt die Dicke der Erstarrungskruste zu, genau wie beim Eis. Die Kontraktion beim Erstarren zeichnet damit genau das beobachtete TiefenprofiL Mit ~T ;:::::: 1 500 K, A;:::::: 10W/mK, Q;:::::: 2700kglm3 , y = 6-104 J/kg erhält man eine Krustendicke d ;:::::: 4 · 10-4 y't. Nach 100 Mill. Jahren Auswärtswanderung mit 2-3 cm/Jahr, also 2 500km Abstand, ist die Kruste mit etwa 25 km Dicke um etwa 2 500 m geschrumpft. Unsere Theorie erklärt also das Tiefen- profil recht gut. Die Kontinente in etwa 2 500 km Abstand beiderseits wandern natürlich auf dem "Fließband" mit, und die 100-150 Mill. Jahre sind das Alter des Atlantik selbst seit der Zeit, wo der Urkontinent Pangäa in einer über 10 000 km langen Spalte aufriß. Eigentlich müßte man isostatisch rechnen, d. h. so, daß über einem be- stimmten Tiefenniveau überall gleichviel Masse lagert. Mit der Wassertiefe z, der Krustendicke d und den Dichten Qw, QK (Kruste) und QM (Magma) folgt z = d(QK- QM)I (QM - Qw) ;:::::: 0,2d. Nehmen wir an, die Vorschubgeschwin- digkeit des Ozeanbodens werde schneller. Dann ist die Krustendicke und damit die Meerestiefe geringer: Für das Wasser ist nicht mehr soviel Platz, es überschwemmt die Kontinente (Transgression) und bildet flache Randmeere. So war es besonders in der Kreidezeit, dagegen findet man in der Trias und im mittleren Tertiär nur wenig Meeres- ablagerungen auf den Kontinenten. Die Plattentektonik wird vielleicht diese Zyklen von Transgression und Regression erklären. Erdöl entsteht nach den meisten Theorien vorwie- gend aus totem Plankton, das in sauerstoffarme (anoxische) Tiefenzonen rieselt und dort dem bakteriellen Abbau entgeht. Hierfür kommen besonders abgeschlossene Randmeere wie das Schwarze Meer in Frage. Solche Gebiete sind in Zeiten hohen Meeresniveaus, also hoher Dorsalaktivität häufiger. Die wichtigsten Öllagerstätten stammen aus Jura und Kreide. Kohle entsteht dagegen in flachen Sumpfgebieten, wo Pflanzenteile unter Wasser und Schlamm ebenfalls vor der Verwesung geschützt sind. Öl braucht viel Flachsee, Kohle viel Flachland. Zeiten großer Öl- bzw. Kohleent- stehung sind daher einander ziemlich komplementär. Aus Carbon und Perm gibt es kaum Öl, aus Jura und Kreide 1094 I Lösungen zu den Aufgaben kaum Kohle. Im Tertiär war, wohl im Zusammenhang mit dem Faltungsgeschehen, die Geschichte der Dorsalaktivität und der Trans- und Regressionen so wechselhaft, daß man Kohle und Öl findet, wenn auch selten im gleichen Unterab- schnitt des Tertiärs. Die Plattentektonik wirft so nicht nur Licht auf die Lagerstättenverteilung, sondern auf die ganze Entwicklung des Lebens wie auch auf die Klimaentwick- lung der Erde. 5.7.1.Entsalzung Meerwasser von 34 g/1 Salzgehalt hat einen osmotischen Druck von p = 23,2 bar (Aufgabe 5.7.5). Dieser Druck reicht zum langsamen, reversiblen Durchpressen des Süß- wassers durch die Membran. V = 1 m3 Süßwasser kostet eine Energie pV = 2,3 · 106 J. Die Destillation ohne Rück- gewinnung ist ziemlich genau 1 OOOmal teurer: Spezifische Verdampfungsenergie 2,2 · 106 J/kg. Man muß die Rückge- winnungsanlage (Gegenstromprinzip) sehr sorgfältig anle- gen, um diesen riesigen Faktor auszugleichen. Im Prinzip ist das möglich, aber die Arbeit gegen die osmotischen Kräf- te ist auch bei der Destillation mindestens aufzubringen. 5.7.2. Maritimes Klima Im Süßwasser erfaßt die vertikale Konvektion bei Erwär- mung oder Abkühlung nur eine Schichtdicke von einigen Metern. In größerer Tiefe liegt immer Wasser von maxima- ler Dichte, also von 4 °C. Meerwasser ist immer ganz kurz vor dem Gefrieren am dichtesten und kann daher im Prinzip in beliebige Tiefe absinken. Die Konvektion kann mehrere km Schichtdicke erfassen. Dies führt erstens dazu, daß selbst ruhiges Meer bei Lufttemperaturen unter seinem abgesenkten Gefrierpunkt viel zögernder zufriert als ein See. Noch viel wichtiger ist aber die erhöhte Wärmespeicherwirkung des Meeres. Der Erdboden nimmt nur bis in etwa 4 m Tiefe an der jährlichen Temperaturschwankung teil, das Meer mit mehreren 100m Schichtdicke. Außerdem hat das Wasser na- türlich eine viel höhere spezifische Wärmekapazität als der Boden. Das Dichtemaximum des Wassers wurde schon von W. C. Röntgen zutreffend dadurch erklärt, daß Wasser aus einer lockeren, eisähnlichen und einer dichteren Mole- külstruktur zusammengesetzt ist. Beide dehnen sich wie üb- lich bei Erwärmung aus, aber die lockere Packung ver- schwindet immer mehr. Die Hydratisierung in Salzionen be- günstigt die dichtere Packung und verschiebt damit das Dieb- temaximum zu tieferen Temperaturen. 5.7.3. Meereis 35 g/1 NaCl, die vollständig dissoziieren (mittleres Moleku- largewicht 29 ,25) bedeuten eine Konzentration von 1,2 mol/1, d. h. eine Siedepunktserhöhung von 0,6° und eine Gefrier- punktssenkung von 2,2°. Im Meerwasser sind diese Ver- schiebungen etwas geringer (0,5° bzw. 1 ,9°), weil der Anteil schwererer Ionen wie Mg, K, Ca, S04 das mittlere Moleku- largewicht etwas erhöht und damit die molare Konzentration senkt. Beim Gefrieren einer kleinen Meerwassermenge bildet sich salzärmeres Eis, beim Verdampfen praktisch salzfreier Dampf, wodurch der Gefrierpunkt des Restes noch mehr sinkt, der Siedepunkt steigt. Die Endphase der Vorgänge in der konzentrierten Lake wird durch die Kristallisations- gleichgewichte der einzelnen Salzarten und ihre Störungen (Kristallkeime) sehr kompliziert. 5.7.4. Widerspruch? Der Unterschied liegt im Wärmekontakt mit der Umgebung. Der Konditor verhindert ihn, und die Lösungswärme wird dem Kühlgut entzogen. Auf der Straße verteilt sich dieser Wärmeentzug sofort auf feste Umgebung und Atmosphäre. Wärme erzeugt das Salz hier natürlich nicht, das Auftauen beruht auf Gefrierpunktsenkung. Außerdem wird der Schnee-Salz-Brei selbst bei Unterschreitung des gesenkten Gefrierpunktes nicht richtig hart. Die Gefrierpunktsenkung kommt dem Konditor auch zustatten, sonst würde sein Eis- kübel festfrieren und der Kontakt mit dem Kühlgemisch ver- schlechtert. 5.7.5. Osmotisches Kraftwerk Wenn das Rohr weniger als 230m tief eintaucht, bleibt es leer. Selbst wenn man Süßwasser hineingösse, würde der os- motische Druck (oder hier besser Sog) des Salzwassers, der 23 bar beträgt, es durch die Membran hinaussaugen. Dieser osmotische Druck kommt nach van 't Hoff als p = nkT zu- stande: Salzkonzentration 35 g/1, mittleres Ionengewicht um 30 (meist Na mit 23, Cl mit 35,5, einige schwerere Ionen), molare Konzentration etwa 1 mol/1, und 1 mol/ 22,41 erzeugt 1 bar. Ragt das Rohr tiefer als 230m, dann blie- be hineingegossenes Süßwasser darin, ja es sickerte sogar Süßwasser von außen ein, bis sein Spiegel 230m unter dem Meeresspiegel steht. Mit einem Druck von mehr als 23 bar kann man auch auf dem Festland Süßwasser aus dem Meerwasser pressen. Das kostet übrigens pro Liter Süß- wasser genau soviel Arbeit, wie das Süßwasser aus dem 230 m-Schacht heraufzupumpen. Robinson hat nichts da- von. Alles weitere, also ob die Süßwasserquelle aus dem Rohr springen kann und ob das osmotische Kraftwerk funk- tioniert, hängt von der Schichtung des Ozeans ab. Wir be- trachten zwei Fälle: Den Gleichgewichts-Ozean: Tempera- tur, Druck und Konzentration entsprechen dem thermischen Gleichgewicht; und den homogenen Ozean: Temperatur und Salzkonzentration sind über die ganze Tiefe konstant. Das ist nicht dasselbe. Zwar ist auch im Gleichgewichts-Ozean T konstant, aber nicht die Salzkonzentration. Die Salzionen verhalten sich nicht nur insofern wie Gasmoleküle, als sie den entsprechenden Druck erzeugen, obwohl sie in Wasser statt ins Vakuum eingebettet sind, sondern auch darin, daß sie im Schwerefeld eine Boltzmann-Verteilung annehmen: Ihre Teilchenzahldichte ist n = no e-m' gh/(kT), wo m' die Masse des Ions, abzüglich des "Auftriebs", also der Masse des vom Ion verdrängten Wassers ist. Diese Korrektur ist klein: Löst man 36 g/1 Salz, so nimmt das entstehende "Meerwasser" die Dichte 1,028 an; also m' = m · 2,8/3,6. Diese Verteilung hat eine Skalenhöhe H = kT / ( m' g) = mLuftHLuft/ m~alz ~ 10 km. Die gleiche Boltzmann-Vertei- lung, nur viel steiler, erzeugt der Biochemiker täglich als "Dichtegradient" im starken künstlichen Schwerefeld seiner 6.1.1. Ist 1 C wenig oder viel? Durch einen 10 W-Rasierapparat fließen 0,05 A, also in 5 min 15 C. Für ein 600 W-Bügeleisen lauten die Werte 3 A und 900 C, falls es 5 min ständig heizt (alles bei 220 V). Zwei Kugeln, mit ±900 C geladen, würden einander in 1 m Ab- stand mit fast 1016 N anziehen! Alle statischen Aufladungen sind offensichtlich sehr viel kleiner. Wenn man sich im Dun- keln das Nylonhemd über den Kopf zieht, sieht man, beson- ders bei trockener Luft, mehrere cm lange Entladungen. Das setzt Spannungen um 100 kV voraus. Trotzdem bleiben die Ladungen sehr klein: Die Kapazität des Systems Körper- Hemd ist entsprechend der Abmessung von ca. 1 m von der Ordnung s0Ajd ;::;,j 10-19 Farad, also erzeugen schon 10-5 C die Spannung von 100kV. Man müßte gehörig rei- ben, um das kleinste Elektrogerät betreiben zu können. 6.1.2. Abschirmung Daß man elektrische Felder abschirmen kann, beruht auf der Existenz zweier Ladungsvorzeichen. Negative Ladungen schlucken die Feldlinien, die die positiven aussenden. Für die Gravitation gibt es trotz einiger spekulativer Ansätze keine negativen Massen. Feldlinien, die von positiven Mas- sen ausgehen, laufen grundsätzlich bis ins Unendliche. Das von einem Schiff verdrängte Wasser kann man zwar als ne- gative Masse auffassen, um die Kräfte zu diskutieren, die auf das Gesamtsystem wirken. Vom Standpunkt der Felderzeu- gung könnte dieser heuristische Trick aber in die Irre füh- ren. Ein Gravitationsschirm böte auf den ersten Blick er- staunliche Möglichkeiten. Man könnte dahinter einen Kör- per kräftefrei heben und dann, nachdem man den Schirm ent- fernt hat, wieder sinken und Arbeit leisten lassen. Vergleich mit dem elektrischen Fall, wo das Entsprechende durchaus möglich ist, zeigt aber, daß sich der Energiesatz auch so nicht betrügen läßt. Zum Verschieben des Schirms braucht man nämlich auch Energie. Man muß ja entgegengesetzte Ladungen (felderzeugende und abschirmende) voneinander entfernen, oder anders ausgedrückt den felderfüllten Raum vergrößern. Beides kostet Energie, und zwar mindestens so- viel, wie man gewinnt. 6.1.3. Coulomb-Kraft und Gravitation Die Coulomb-Kraft zwischen Elektron und Proton ist um den Faktor e2 /(4ns0Gmpm) = 2,27 ·1039 größer als die Gravi- tation, unabhängig vom Abstand. Von etwa 1020 Atomen brauchte nur eines eine positive oder negative Überschuß- Elementarladung zu tragen, und die Gravitation zwischen Objekten wäre kompensiert oder "erklärt", je nachdem ob diese Objekte gleichnamig oder ungleichnamig geladen wären. Eine so geringe Ionenkonzentration ließe sich direkt nie nachweisen, ebensowenig wie sich ein evtl. Unterschied von 10-20e zwischen den Ladungen von Proton und Elektron z. B. im e/m-Versuch nachweisen ließe. Der wesentliche Unterschied zwischen Gravitation und Coulomb-Kraft, näm- lich daß es nur Massen eines Vorzeichens gibt, aber zwei Ladungsvorzeichen, entzieht einer solchen "Gravitations- theorie" den Boden. Die Erde zieht den Mond und den Kapitel 6' Lösungen 11097 Astronauten Armstrang an. Also müßten Mond und Arm- strang gleichnamig geladen sein und einander abstoßen. Allerdings könnte sich Armstrang unterwegs umgeladen haben. Die Erde zieht aber auch das Meer an, der Mond müßte es also abstoßen, die Gezeiten hätten genau die ent- gegengesetzte Phase. - Hypothetische Aufladung der Erde etwa 1013 C, die etwa 1010 V erzeugen würden, der Sonne etwa 1018 C mit 1013 V. 6.1.4. Mit oder ohne Potential Ein Potential existiert genau dann, wenn die Verschiebungs- kraft zwischen zwei beliebigen Punkten wegunabhängig ist. Das kann nicht der Fall sein, wenn es geschlossene Feldlinien gibt, denn bei der Verschiebung auf diesen kann man beim richtigen Umlaufsinn immerzu Arbeit gewinnen. Dies ist aber nicht die einzige Feldlinienkonfiguration, die Existenz eines Potentials ausschließt. Man betrachte die parallelen Stromlinien eines in der Mitte schneller strömenden Flus- ses. Ein Boot wird sich abwärts in der Mitte, aufwärts am Rand halten und könnte so bei Reibungsfreiheit kreisend Energie gewinnen. Eine einfache Änderung des Bezugssy- stems stellt auch hier geschlossene Stromlinien her (Abb. 3.37). Allgemein läßt sich jedes Feld, das kein Poten- tial hat, aus einem Potentialfeld (das im Fluß-Beispiel homo- gen ist) und einem Wirbelfeld (geschlossene Feldlinien) ad- ditiv zusammensetzen. Wenn alle Feldlinien in "Ladungen" enden, können sie nicht geschlossen sein und sind auch durch keine Änderung des Bezugssystems in geschlossene über- führbar. All dies gilt allerdings nur für zeitunabhängige Felder: Selbst wenn Land- und Seewind beide völlig homo- gene Strömungsfelder haben, kann man bei entsprechender zeitlicher Planung Arbeit auf der Rundreise sparen oder im Idealfall sogar gewinnen. Vektoranalytisch: Jedes Poten- tialfeld läßt sich als Gradient eines Skalarfeldes (nämlich des Potentials) darstellen: E = -grad rp. Ein solches Feld ist rotationsfrei, denn es gilt allgemein rot grad rp = (fP,zy - fP,yz' fP,xz- fP,zx' fP,yx - fP,xy) = 0. Andererseits hat ein Feld, das sich als Rotation einer anderen Vektorgröße darstellen läßt (ein reines Wirbelfeld, A =rot B) keine Di- vergenz: div rot B = Bz,yx - By,zx + Bx,zy - Bz,xy + By,xz - Bx,yz = 0 (der erste Index kennzeichnet immer die Kom- ponente, hinter dem Komma stehen die Koordinaten, nach denen abgeleitet werden soll; man beachte, daß die Reihen- folge der Ableitungen keine Rolle spielt). Jedes beliebige Feld läßt sich in eindeutiger Weise in ein Potentialfeld grad rp und ein Wirbelfeld rot B zerlegen: A = -grad rp + rot B. Zu div A trägt nur das Potentialfeld bei: div A = - div grad rp = -Arp. Außerhalb von Feldquellen gilt die Laplace-Gleichung Arp = 0, in Bereichen mit der Quelldichte (J die Poisson-Gleichung Arp = -(J. Im elek- trischen Fall ist (J = eeoQ. 6.1.5. Newton hatte es schwerer Wir bestimmen Potential und Feld im Punkt P im Abstand a von der Kugelmitte M. Die leitende Kugel (Radius R) trägt I Lösungen zu den Aufgaben ihre Ladung Q nur an der Oberfläche, und zwar gleich- mäßig verteilt. Wir zerlegen diese Oberfläche in kreisring- ähnliche Streifen, zentriert um die Achse PM, mit dem Öffnungswinkel ß und der Breite dß. Ein solcher Ring hat die Ladung dQ = 1 Q sin ß dß, alle seine Punkte sind von P um r = J R2 + a2 - 2Ra cos ß entfernt (Cosinussatz), sein Betrag zum Potential ist dqJ = dQI(47reor), das Gesamt- potential 1p = Ql(87reo) J; sinß dßl yfR2 + a2 - 2Ra cos ß. Oben steht die Ableitung des Radikanden z, also qJ = Ql (167reoRa) lR+a): dzl vz = Ql(47reoa). Mit dem Feld, das (R-a) Newton interessierte, ist es schwieriger. Es bleibt nur die Axialkomponente dE = dQ cos '}'I ( 41l'eor2 ) = Q sin ß dß I (87reor2 ) · (a2+ r2 - R2 )1(2ra)(y: Winkel bei P, cos-Satz). Gesamtfeld E=QI(327reoa2R) · (Jt+ai: dzlz112 -(a2 -R2 ) lR+a)22 dzlz312 ) = Ql(47reoa2 ). R-a (R-a) 6.1.6. Thomson-Modell Die Kugel mit der homogenen Ladungsdichte (] und dem Radius R erzeugt im Abstand a von ihrem Zentrum ein Feld, das für a > R von der ganzen Kugel herrührt: Ea = 11l'eR3 I ( 41l'eoa) = eR3 I ( 3eoa)' dagegen für a < R nur von dem Teil der Kugel, der noch innerhalb ist: Ei = 11l'ea3 l(47reoa2) = eal(3so). Das Potential, auf IP = 0 bei a ____, oo normiert, ist außen IPa = eR3 l(3soa), in- nen IPi = eR2 l(2so)- ea2 l(6so) (stetiger Anschluß an IPa bei a = R). Um die elektrostatische Gesamtenergie zu be- stimmen, füllen wir die Kugel von innen her allmählich mit Ladung. Wenn sie bis zu einem Radius r aufgebaut ist, erfordert Auftragen einer neuen Kugelschale der Dicke dr mit der Ladung dQ = 41l'(}r2 dr die Energie dW = 1pdQ = 11l'e2r4 drls0 . Die Gesamtenergie ist also W = foR 11l'e2r4 drl~>o = fs1l'(} 2R5 l~>o = ~ Q2 l(47reoR). Für eine Punktladung entgegengesetzten Vorzeichens im In- nern ist das Potential proportional a2 , also elastisch. Die Ladung führt, einmal angestoßen, harmonische Schwingun- gen aus, d. h. eine Bewegung, die durch eine scharfe Frequenz gekennzeichnet ist. Herrscht außerdem eine ge- schwindigkeitsproportionale Reibung, dann ergibt sich die Bewegungsgleichung der gedämpften Schwingung (vgl. Abschn.4.1.2). Ihr Frequenzspektrum ist nach Ab- sehn. 12.2.2 eine Spektrallinie mit Gaußsehern Profil und der Halbwertsbreite ~w ~ k (k: Dämpfungskonstante). Die Frequenz dieser Linie ergibt sich nach Abschn. 1.4.3 zu w = Jeel(3mso) = yfe21(47reomR3 ) (e und m: Ladung und Masse des eingebetteten Punktteilchens). Ein Atom hat etwa 1 A Radius, seine positive Ladungsdichte ist also von der Größenordnung 1011 Clm3 . Für ein Elektron in der entsprechenden positiven Ladungswolke ergibt sich eine Kreisfrequenz w von der vernünftigen Ordnung 1016 s-1. Erst Rutheifords Feststellung, daß die positive La- dung nicht gleichmäßig im Atom verschmiert ist, sondern sich auf einen sehr kleinen "Kern" konzentriert, brachte dieses Atommodell von J. J. Thomson zu Fall. 6.1.7. Superposition Die vollständige Hohlkugel kann man sich zusammengesetzt denken aus der Hohlkugel mit Loch und dem ebenfalls ge- ladenen Plättchen, das aus dem Loch herausgeschnitten wor- den ist. Das Feld einer Kombination zwei er geladener Körper ist die Vektorsumme der Felder der Einzelkörper (Super- positionsprinzip). Also ist das Feld E der Hohlkugel mit Loch gleich dem Feld der vollständigen Hohlkugel (innen Null, außen radial Ql ( 47reor2)) minus dem Feld Ep des mit der Flächendichte (J = Ql(47rR2) geladenen Plätt- chens. Ep wäre ganz nahe am Plättchen identisch mit dem Feld einer geladenen Ebene: ±(JI(2so) = ±QI(87reoR2). Überall in der Ebene des Loches ist also das Feld E = Ql(87reoR2), genau halb so groß wie an der Außenwand der Hohlkugel, unabhängig von der Form des Loches. Ent- fernt man sich aus der Lochebene nach innen oder außen, nimmt das Feld natürlich seinen Normalwert Null bzw. Ql(47reoR2 ) an. Es dürfte sehr schwer sein, durch Ausinte- grieren der Feldbeiträge der einzelnen Ladungselemente, be- sonders bei unregelmäßiger Lochform, zu diesem Ergebnis zu kommen. 6.1.8. Feld des Drahtes Aus Symmetriegründen muß das Feld überall senkrecht zur Drahtachse stehen und zylindersymmetrisch sein, d. h. es kann nur von r, dem Abstand vom Draht abhängen. Der Fluß durch jede Trommel der Höhe h hat also den gleichen Wert, unabhängig vom Radius r: iJ> = 21l'rhE = hA.Ieo (A: Ladung pro Meter Drahtlänge), also E = A.l(27reor). Das Potential gegen die Drahtoberfläche (r = ro) ist U = -A.I(27reo) ·ln(rlro). Im Unendlichen geht dieses Potential gegen oo, allerdings so langsam, daß man selbst mit einem 1 000 km langen Draht von ro = 10 11m in r = 1 000 km Ab- stand, wo die Näherung natürlich schon versagt, nur auf ln(rlro)~28 kommt, also z.B. für Q=lC, d.h. A. = 10-6 cm-1, auf U ~ 500kV. Nach dem Coulomb- Gesetz ist es viel schwieriger: Der Draht laufe in z-Rich- tung, der Punkt P, für den das Feld berechnet werden soll, liege bei z = 0 im Abstand r vom Draht. Ein Drahtelement dz, das bei z, also von P aus unter dem Blickwinkel r:x mit z = r tan r:x liegt, also im Abstand r I cos r:x, erzeugt ein Feld A.dzcos2 rxl(47reor2). Die Komponenten parallel zum Draht heben sich weg. Es bleibt nur die Radialkompo- nente, die um den Faktor cos r:x kleiner ist: E = 2Jr' A.cos3 r:xdz l(47rs0r2 ) = 2J;/2 A.cosr:xdr:xl(47rs0 r) = A.l\27reor) (man beachte z = rtanr:x, dz = rdr:xl cos2 r:x). 6.1.9. Bahn im In-Feld Der geringste Abstand Elektron-Draht sei d. Zur Zeit befinde sich das Elektron, vom Draht aus gesehen, unter einem Winkel r:x gegen diese Richtung geringsten Ab- standes. Der gegenwärtige Abstand vom Draht ist r=dlcosr:x, die Coulomb-Kraft eE=dl(27reor)= dcosr:xl(27reod), ihre Komponente senkrecht zur Bahn dcos2 rxl(27reod), die Flugstrecke seit der größten Annähe- rung x = d tan r:x, die Longitudinalgeschwindigkeit v = .i = d&-f cos2 r:x, also die Änderung der Transversalgeschwindig- keit dv _l = d cos2 a dt/(27rsomd) = eA. daj(27rsomv). Auf der ganzen Bahn ( -7r /2 < a < 1r /2) ändert sich also v _l um d/(2somv), unabhängig vom Abstand d. Einfacher sieht man die Abstandsunabhängigkeit so ein: Man zeichne eine Elektronenbahn und vergrößere das Bild um den Faktor a. Dabei verringert sich die Krümmung um den Faktor 1/ a. Die Krümmung ist aber proportional zur Coulomb-Kraft, und diese nimmt im Feld des Drahtes ebenfalls um den Fak- tor I ja ab. Die vergrößerte Bahn ist also eine richtige Bahn, der Ablenkwinkel, der sich beim Vergrößern nicht ändert, ist für beide Bahnen derselbe. - In einem Bündel parallelflie- gender Elektronen sind natürlich die Abstände d vom Draht verschieden. Trotzdem schwenken wie beim Biprisma die Teilbündel beiderseits des Drahtes um konstante Winkel um. Das Potential zwischen Draht und Rest der Apparatur hängt mit dem gewünschten Winkel über A. und Drahtradius r und Abstand R Draht-Rest der Apparatur zusammen wie U = A./(27rso) ·ln(Rjr). 6.1.10. Potentialtal Eine stabile Gleichgewichtslage ist ein lokales Potentialmi- nimum. Das Feld muß von allen Seiten auf diese Stelle hin- zeigen (oder überall von ihr weg, falls man eine negative Ladung einfangen will), dies wohlgemerkt, ohne daß die ein- zufangende Ladung dort sitzt. Der Fluß durch eine Kugel, die diese Stelle umschließt, ist also bestimmt verschieden von Null, was im leeren Raum nicht möglich ist. Dagegen kann das Potential stellenweise konstant sein oder einen Sat- telpunkt haben (indifferentes oder labiles Gleichgewicht). Beispiele: Geladene Platte und Abb. 6.12 Mitte. Stabilliegt eine positive Ladung nur in einer "Feldsingularität", wo eine negative Ladung ist. Eigentlich müßten also alle Ladungen in der Welt einander schließlich neutralisieren. In einem zeitab- hängigen Feld gilt diese Beschränkung nicht allgemein. End- gültig zieht uns aber erst die Quantenmechanik aus dieser Affäre. 6.1.11. Wie stark ist ein Blitz? Bei einer Wolkenhöhe von I km und einer Ausdehnung von I 00 km2 erhält man die Kapazität C = s0A j d = 1 o-6 F. Die Spannung, bei der ein Überschlag über I km Luftzwischen- raum möglich ist, liegt um U = 108 V. Eine solche Spannung erfordert eine Aufladung mit Q = CU ~ 102 C. Vollständige Entladung durch einen einzigen Blitz in I ms würde einen Strom von 105 A bedeuten, eine Leistung von 1013 W. In Wirklichkeit mögen etwa 100 Blitze überschlagen. Jeder hat dann I C, 1 000 A, I 011 W, 30 k Wh, das ganze Gewitter 3 -103 kWh. 6.1.12. Gewittertheorie Wenn ein Wolkenteil der Abmessung d die Ladungsdichte Q hat, müssen nach der Poisson-Gleichung div E = Q /so min- destens Felder von der Größenordnung E = dQ /so auftreten (selbst wenn an einer Seite der Wolke kein Feld herrschte, hätte es an der anderen die angegebene Größe). Um 106 V /m zu erreichen (dies ist die Zündfeldstärke für eine Entladung, die, einmal eingeleitet, auch mit geringerem Feld weiterwächst), braucht man bei einer Ausdehnung Kapitel 6' Lösungen 11099 d ~ 1 km eine Ladungsdichte 12 ~ s0Ejd ~ 10-8 Cjm3 . Trägt ein Tröpfchen eine Elementarladung e, dann erfordert diese Ladungsdichte eine Tröpfchenzahldichte n = Q / e ~ 1011 m-3 . Bei 20 oc ist der Dampfdruck des Wassers 23 mbar, d. h. I m3 Luft enthält bei Sättigung etwa 10 g Was- ser. Wenn man daraus 1011 Tropfen machen will, muß jeder 10-10 g oder den Radius 3 J.lm haben. Ein Tröpfchen vom Radius r fällt nach Stokes so, daß 17rr3Qmg = 67rVIJr oder v = ~r2Qmg/IJ ist. Ein Luftion (Beweglichkeit f.1 ca. 2cm2/ V s, vgl. Abschn. 8.3.I) müßte, damit es sich an der Rücksei- te des vorbeifallenden Tröpfchens anlagern kann, mindestens die gleiche Geschwindigkeit haben wie das Tröpfchen selbst. Das Ion erreicht im Feld des Tröpfchens (genauer: Im Dipol- feld des polarisierten Tröpfchens) eine Geschwindigkeit VIon ~ f.1E ~ f.1e/(47rsor2 ). Der kritische Tröpfchenradius, bei dem VIon gleich der Trö fehenfall eschwindigkeit ist, er- gibt sich zu 1Ja ~ 4 91]ef.1/(87rsogQm) ~ 5 J.lill, also etwa ebenso wie die oben geschätzte Tröpfchengröße. Solche und größere Tropfen müssen sich also beim Fallen einsinnig aufladen und erzeugen so die Aufladung gegen die Erde und höhere Wolkenteile, die u. U. zur Bildung von Erd- bzw. Wolkenblitzen ausreicht. 6.1.13. Kondensator Man rollt zwei Metallstreifen zusammen mit zwei isolieren- den Plastikfolien zu einem Zylinder. Alle Folien seien 10 J.lm dick. Für 1 J.lF braucht man dann gemäß C = soA/d eine Fläche A = 1 m2 . Ein Streifen von 3 cm Breite, L = 30m Länge ergibt einen Zylinderradius r = )2dL/1f = 1 cm (die Rolle hat n = ! r / d Wicklungen der Durchschnittslänge u, also der Gesamtlänge L = rn = ! u 2 / d). Bei 220 V müßte die Isolierfolie ein Feld von 2 · 105 V/ern aushalten, was schwer zu erreichen ist. In der Praxis nimmt man daher Folien von etwa 100 J.lm Dicke, womit sich A verzehnfacht Man erhält so etwa eine Rolle von 12 cm Länge und 7 cm Radius. Allgemein gilt für das Kondensatorvolumen V~ 2Cd2 js0. So kann man z. B. die verwendete Folien- dicke abschätzen. 6.1.14. Versuch von Millikau Tröpfchen vom Radius r und der Dichte 12 fallen nach Stokes so, daß 17rr3Qg = 61fi]Vr i~~· d.h. v = ~r2 Qgjl]. Bei bekann- tem IJ der Luft und 12 des Ols kann man so aus dem gemes- senen v den Radius r ermitteln, selbst wenn die Tröpfchen so fein sind, daß sie sich im Mikroskop nur als Streuzentren bemerkbar machen (Dunkelfeldbeleuchtung). Nun schaltet man ein Feld ein, das die Tröpfchen (oder einige davon) genau in der Schwebe hält. Diese Tröpfchen müssen die Ladung q haben, so daß qE = 1u3Qg ist. Hat man r aus dem feldfreien Fall bestimmt, dann stehen rechts nur gemes- sene Größen. Manchmal beginnt ein Tröpfchen, das gut schwebte, plötzlich nach oben oder unten wegzuschwim- men. Es hat offenbar ein weiteres positives oder negatives Ion angelagert. Seine Geschwindigkeit v' wird dann nur durch diese eine Zusatzladung A.q bestimmt. In dem Zahlen- beispiel v = 4 J.lrnls, E = 4,5 V /cm, v' = 1,2 J.lm/S findet man r = O,l8J.1m, F = 2 -10-16 N, q = 5 -I0- 19 C, A.q = 1,5. w- 19 c. 1102 I Lösungen zu den Aufgaben also praktisch immer mit pE « kT rechnen. Statt den Bruch- teil !PE/(kT) ganz in Feldrichtung zu drehen, kann man mit dem gleichen Polarisationserfolg auch alle Dipole um den kleinen Winkel y ~ !PE/(kT) drehen. Eine solche Drehung dauert eine Zeit Trel ~ y / (ppE), wo pE das wirkende Dreh- moment und p die Rotations-Beweglichkeit ist, die in Auf- gabe 3.3.5 zu I/(17V) abgeschätzt wurde (17 Viskosität, V Mo- lekülvolumen; das gilt für einigermaßen rundliche Teilchen); also Trel ~ 17V /(kT). Dies ist die dielektrische Relaxations- zeit. Für Wechselfelder, deren Periode klein gegen Trel ist, erreichen die Dipole nicht ihre Gleichgewichtseinstellung zum Feldmaximum bzw. -minimum. Die DK macht bei Wrel = 1/rrel eine Relaxationsstufe. In dieser Stufe sind die dielektrischen Verluste maximal: Der Strom, der vom vergeblichen Zittern der Einstellrichtungen herrührt, ist hier in Phase mit dem Feld, und es wird Joulesehe Wärme erzeugt. 6.2.4. Mikrowelle Das E-Feld der Mikrowelle dreht die Wasserdipole hin und her. Damit es dabei Leistung P = Tw investiert, müssen Drehmoment T und Winkelgeschwindigkeit w in Phase oder fast in Phase sein. Bei kleinen Feldfrequenzen wo ist das nicht der Fall, da erreichen die Dipole ihre Gleichge- wichtsverteilung über die Winkel rp, nach Boltzmann "' e-pEcosrp/(kT). Im Mittel müssen sie sich von der homoge- nen Verteilung aus um 11rp = pE/(kT) drehen. Ähnlich wie bei der erzwungenen Schwingung muß wo gleich der Dauer r einer solchen Drehung sein. Nach Aufgabe 3.3.5 erzeugt das Drehmoment pE eine Rotation mit w ~ pE/(311V) (V: Molekülvolumen). Für Wasser mit V = 3 · 10-29 m3 folgt r ~ 3 ·10- 11 s, also wo~ 5 ·109s-1. 6.2.5. Mischungsregel Wenn die Mischung so intim ist (z. B. bei vielen Legierungen oder Elektrolytlösungen), daß ein gemeinsames Leitungs- elektronen- oder Ionengas existiert, zu dem jede Mischungs- komponente ihren Anteil stellt, wird die Mischungsregel für die Leitfähigkeit additiv: Volumenkonzentrationen c1, c2 = 1 - c1, Ladungsträgerdichten n1, n2, die Mischung hat n = c1n1 + c2n2 = n2 + c1 (n1 - n2). Wenn die Leitfä- higkeit proportional n ist, hängt sie ebenfalls linear von c1 ab. Das muß nicht so sein: In der Mischung kann die Beweg- lichkeit herabgesetzt sein (Struktur stärker gestört), was die rr(ci)-Kurve in der Mitte absenkt. Es wäre aber seltsam, wenn dabei für CJ = 1 gerade O" = y'a'10'2 herauskäme, wie man es oft findet. Es muß eine allgemeinere Erklärung ge- ben. Wir nehmen also an, daß mikroskopische Bereiche je- der Komponente erhalten bleiben. Sie sind regellos verteilt, d. h. ihre Widerstände sind wahllos parallel- und hinterein- andergeschaltet Es scheint zunächst aussichtslos, den Ge- samtwiderstand eines regellosen Netzes aus praktisch un- endlich vielen Widerständen bestimmen zu wollen, aber fol- gende Überlegung hilft weiter. Lägen alle Widerstände hin- tereinander, dann addierten sie sich, und der spezifische Widerstand würde Q = c1Q1 + c2Q2. Lägen sie alle paral- lel, dann addierten sich die Leitwerte, und die Leitfähigkeit würde rr = c1 0"1 + c2rr2. In Wirklichkeit treten beide Schaltungen gleichberechtigt auf. Q und rr müssen eben- falls gleichberechtigt sein, d. h. als Funktionen von c1 von der gleichen Bauart sein: Q = f( c1, Q1, Q2), wobei Q = Q1 für c1 = 1 und Q = Q2 für c1 = 0, gleichzeitig aber auch, mit der gleichen Funktion f, O" = Q-1 =f(c1,0"1,0"2) = f(c1,Q1 1,Q21) = 1/f(c1,Q1,Q2). Die einzige Funktion f, die diese Bedingungen erfüllt, istf = 0"~ 1 rr~2 • Diese Funkti- on wird erst linear, wenn man sie logarithmiert oder mit lo- garithmischer rr-Skala aufträgt; daher spricht man von einer logarithmischen Mischungsregel, wo man eigentlich von einer exponentiellen sprechen sollte. Bei der 1: I-Mischung folgt richtig O" = y'a'10'2. Dieses Verhalten findet man beson- ders bei Gemischen organischer Flüssigkeiten und bei Pul- vergemischen. Für die DK gilt bei den gleichen Stoffen meist Ähnliches mit ähnlicher Erklärung (parallel- bzw. hin- tereinandergeschaltete Kondensatoren, Kapazitäten bzw. re- ziproke Kapazitäten addieren sich). Materialkonstanten, die mit O" oder s potenzmäßig verknüpft sind wie n = ,fi, folgen auch der exponentiellen Mischungsregel, ebenso manchmal der E-Modul, die Kompressibilität, die Viskosität usw., die ein Vektor- oder Tensorfeld (Spannung) mit einem anderen (Deformation, Geschwindigkeitsgradient) verknüpfen. 6.3.1. Schmutziges Kabel Im inhomogenen elektrischen Feld um einen Draht, der auf einem gewissen Potential liegt, werden Staubteilchen zu Dipolen und wandern dorthin, wo das Feld stärker ist, also zum Draht, unabhängig von dessen Polarität. Der Mittel- punktsleiter liegt normalerweise ungefähr auf ErdpotentiaL Im Gleichstromnetz liegt ebenfalls ein Draht normalerweise auf Erdpotential und bleibt sauberer. Genauer wird diese Staubteilchenwanderung beim Problem des elektrostati- schen Entstaubers behandelt (Aufgabe 6.1.15). 6.3.2. Kabelschaden Der Isolationsfehler liege im Abstand x km vom einen Ende und sei durch einen ÜbergangswiderstandR3 zwischen Innen- leiter und Erde dargestellt (sonst ist dieser Widerstand überall oo). Die ganze Innenleiterlänge hat den Widerstand R1 + R2 = Qcu · 6 · 105 cm/10-2 cm2 = 102 fl. Die Teilwi- derstände R1 und R2 sind proportional den Längen x und 6- X. Ein Ohmmeter zeigt am einen Ende R1 + R3 = 80 n, am anderen R2 + R3 = 90 n. Es folgt R3 = 34 n, R1 = 460,R2=56Q, alsox = 6RJ/(R1 +R2)km =2,7km. 6.3.3. Feldrelaxation Wenn der Strom nicht überall den gleichen Wert hätte, gäbe es Stellen, wo z. B. mehr Ladung zu- als abfließt. Dort würde sich Ladung anhäufen und nach Q = div D das Feld verbie- gen, und zwar so, daß es jenseits der Ladungsanhäufung, wo der Strom nach Voraussetzung schwächer ist, größer ist als diesseits. Die Strominhomogenität löst also eine Feldvertei- lung aus, die bestrebt ist, diese Inhomogenität abzubauen. Das Gleichgewicht, gekennzeichnet durch konstanten Strom, ist stabil. Seine Einstellzeit ergibt sich so: Strom- dichte j = rrE; Poisson-Gleichung Q = div D = sso div E; Kontinuitätsgleichung i! = - divj; also i! = - divj = - O" di v E = - QO" I ( sso); jede Ladungsanhäufung klingt also, wenn sie nicht ständig erneuert wird, ab wie Q = Qo e-t/r mit T = ssoiO". Im Sonderfall, wo der Kreis durch einen Kondensator unterbrochen ist, gilt im Zwischen- raum natürlich I = 0. Es gibt ein Paar von Stellen, wo sich positive bzw. negative Ladung anhäuft. Die resultierende Spannung U = Ql C ist der aufgeprägten Spannung entge- gengerichtet und muß den Gleichstrom schließlich zum Er- liegen bringen: Q =I= CU= CRi, also I= Io e-t/r mit T = RC. Das entspricht dem mikroskopischen T = ssoiO". Ganz allgemein regelt sich die Feldverteilung auf kon- stanten Strom ein: An Stellen mit großem Leitwert ist das Feld klein und umgekehrt. 6.3.4. RC Hat der Kondensator die Ladung Q, die Spannung U, und wird er durch einen Draht vom Widerstand R überbrückt, dann fließt Strom I= U IR= QI(RC). Dieser Strom ver- nichtet Ladung: Q =-I= -QI(RC). Diese Gleichung für Q hat die Lösung Q = Qo e-t/r mit T = RC: Ladung, Span- nung und Strom klingen exponentiell ab. Wenn der Draht zu dünn ist, explodiert er in eindrucksvoller Weise. Ist es der Glühdraht einer Lampe, so ergibt sich ein Lichtblitz von der Dauer RC, meist aber ebenfalls eine Explosion. Jeder Schalter hat eine Kapazität, die sich nach dem Öffnen auf- lädt, bis ihre Spannung U = Ql C die Netzspannung kom- pensiert. Erst dann hört der Strom auf. Dies Nachklappen des Stroms dauert ebenfalls die Zeit RC. Meist ergibt aller- dings die Selbstinduktion L des Kreises ein längeres Nach- klappen ( T =LI R), denn die Kapazität eines guten Schalters ist klein ( ~ 0,1 pF, also mit R = 100, d. h. p = U21R = 0,5kW: T ~ 10-8 s). 6.3.5. Vielfachmesser Man mißt direkt immer Ströme. S1 regelt den Vorwiderstand R1, Sz den Parallelwiderstand Rz. Um Ströme über 10 J.!A zu messen, "shunte" man mittels Rz (Zehnerstufen bis 1 A, S1 ganz unten). Messung der Spannung einer Quelle (Batte- rie, Netzgerät o. ä.) mit dem Innenwiderstand R oder des Spannungsabfalls an einem Abschnitt mit dem Widerstand R setzt R1 » R voraus. Man hat Meßbereiche zwischen 10m V und 1 kV. Der 10m V-Bereich ist identisch mit dem 10 J.!A-Bereich. Widerstandsmessung: S3 schaltet die Batte- rie ein (gewöhnlich 1,5 V). Die Klemmen werden durch den zu messenden Widerstand R verbunden (ohne äußere Spannung!). Die Anzeige ist umgekehrt proportional dem zu messenden R. Meßbereich bis IOMQ. Bei Strom- wie bei Spannungsmessung verhalten sich die Leistungen umge- kehrt wie die Widerstände (R1 und Rzliegen parallel). Ob der Innenwiderstand richtig ist, erkennt man am einfachsten, in- dem man bei Spannungsmessung den Vorwiderstand ver- zehnfacht, bei Strommessung den Shunt zehntelt, in jedem Fall also auf den nächstunempfindlicheren Bereich schaltet und kontrolliert, ob der Ausschlag sich genau zehntelt, d. h. ob auf der veränderten Skala der gleiche Wert angezeigt wird. Das Amperemeter muß nach dem Weicheisen-, nicht Kapitel 6' Lösungen 11103 nach dem Drehspulprinzip arbeiten oder einen Gleichrichter enthalten. 6.3.6. Kochplatte Bei R1 = Rz drei Stufen: Beide Widerstände hintereinander: nur R1 in Betrieb; beide parallel: Leistungen 1 : 2: 4. R1 ist am häufigsten in Betrieb, nämlich in Stufe 2 alleine. In den anderen Stufen sind Strom und Leistung in beiden Wider- ständen gleich. R1 wird zuerst ausfallen. Dies geschieht wahrscheinlich dann, wenn seine Strombelastung am größ- ten ist, also in Stufe 1 oder 2. Ich würde auf 1 tippen, denn da wird R1 noch teilweise durch die von Rz ausgehende Wärme mitbeheizt - Mit zwei Widerständen kann man natürlich auch vier Schaltstufen bauen, falls die Widerstände verschiedene Werte haben, z. B. R1 > Rz. Wegen P = U2 IR ist der Faktor (R1 + Rz)IR1 = R1IR2 = Rz · (RI + Rz)I(RIRz). Die zweite Gleichung ist offenbar über- flüssig, die erste läßt sich so lesen: Der Gesamtwiderstand R1 + Rz muß so in einen größeren (RI) und einen kleineren (Rz) aufgeteilt werden, daß der größere zum kleineren sich verhält wie das Ganze zum größeren. Das ist die Bedingung der Teilung nach dem Goldenen Schnitt. Mit Rz/ R1 = x wird 1 +x =x-1,alsox2 -x = l,d.h.,x =(I± VS)I2 =0,618 (bzw. -1 ,618). Die Leistungen verhalten sich wie 1 : 1,618 : 2,618 : 4,236. Manche kleinen Kochplatten sind so gebaut. 6.3. 7. Bügeleisen Bei 220 V muß durch eine 300 W-Heizwicklung ein Strom I = 1 ,36 A fließen. Die Wicklung muß also den Widerstand R = 161 Q haben, realisiert durch ein Band von A = 5 ·10-8 m2 Querschnitt und l =20m. An llOV ange- schlossen, erhält das Bügeleisen nur den halben Strom, denn der Widerstand ist ja derselbe. Halber Strom und halbe Span- nung ergeben nur i der Nennleistung, also nur 75 W. Das Eisen wird nicht heiß. Warum legt man es überhaupt auf 300W? Die Bügelfläche (Sohle des Bügeleisens) ist etwa 20 cm lang und 12 cm breit, hat also etwa 0,02 m2 Fläche. Die Abstrahlung erfolgt nicht nur nach unten, also muß die Fläche etwa verdoppelt werden: A' ~ 0,04 m2 . Eine solche Fläche strahlt nach Stefan-Boltzmann die Leistung P = A' O"T4 = 300 W ab, wenn ihre Temperatur T = V' PI (A' O") ~ 600 K ~ 330 °C ist. Solche Hitze ver- langt man, wenn man z. B. feuchtes Leinen bügelt. Mit 75W erreicht man nur um den Faktor \1174 = 0,7mal we- niger absolute Temperatur, also 420 K ~ 150 °C. Damit das Bügeleisen auch bei der halben Spannung die Nennleistung erzielt, müßte doppelt soviel Strom fließen wie üblich. Halbe Spannung und doppelter Strom bedeutet i des Widerstandes. U ruschaltbare Heizgeräte benutzen bei 11 0 V also einfach i der Heizwicklungslänge. Da durch das auf 110 V umgeschal- tete oder umgebaute Bügeleisen der doppelte Strom fließt und die vierfache Leistung pro Meter Wicklungslänge er- zeugt wird, ist die Gefahr des Durchbrennens größer als bei 220 V-Betrieb. Die Kupferwicklung mit ihrem 24mal ge- ringeren spezifischen Widerstand müßte 24mal länger oder dünner sein, was beides unbequem zu realisieren ist. Vor 1104 I Lösungen zu den Aufgaben allem hängt der Widerstand von Manganin viel weniger von der Temperatur ab; er nimmt wie bei fast allen Metallen mit steigender Temperatur zu (Verstärkung der thermischen Git- terschwingungen hindert die Elektronen beim Wandern durch das Gitter). Wenn R zu stark zunähme, würde wegen P = U2 / R die Leistung immer geringer werden, je heißer das Eisen würde. Um das zu vermeiden, könnte man eine Halb- leiterheizung verwenden, deren Widerstand bei Hitze gerin- ger ist (freie Elektronen werden hier erst durch thermische Anregung erzeugt, die Leitfähigkeit a' = I/(} steigt wie a' = a~ e-w /(kT) nach Boltzmann an). Dann besteht die ent- gegengesetzte Gefahr: Beim heißen Eisen wird R so klein, und P = U2 / R so groß, daß die Wicklung durchbrennen könnte. 6.3.8. Ohm-Puzzle I Wir denken den Würfel ins Koordinatenkreuz gestellt und bezeichnen die Ecken durch ihre Koordinaten oder durch Buchstaben: A = (000), B = (001), C = (010), D =(011), E = (100), F = (101), G = (110), H = (111). Jede Kante hat den Widerstand R. (a) Spannung zwischen A und H: !Ac= !AB= IAE = lFH =IcH= lvH = I/3 (Symmetrie). lBD = IBF = IAB/2 (Verzweigung in B). Spannungsabfall UAH = R(2IAB + lBv) = ~Rl, also RAH= ~R. (b) Span- nung zwischen A und G: Punkte C, E, D, Falle auf gleichem Potential (Mittelebene). U = R · 2IAc = R(2IAB + IBv), lBD = lAB/2, also l = 2IAc +!AB= ~!Ac, d. h. RAG= iR. ( c) Spannung zwischen A und B: Etwas mühsamer. Am be- sten schreibt man Icc = 1 an die Zeichnung und findet aus Knoten- und Maschenregel IcH= 2, Icv = 4, lAc = 5, ÜB = 14, RAB = -h, R. Tetraeder: Nur ein Fall benachbarter Punkte A, B. Die anderen liegen auf U /2, also Icv = 0. I = lAB + 2lAc, U = RIAB = 2RfAc, RAB = R/2. Oktaeder: Punkte können benachbart sein (1) oder gegenüberliegen (2). (2): Die übrigen vier Punkte haben gleiches Potential, also zerfällt die Schaltung in vier parallele Zweige mit je 2R: RAF = Rf2. (1): Ähnlich wie beim Würfel, Fall c, findet man RAB = T'i.R. 6.3.9. Ohm-Puzzle II Zwischen A und A' messe man den Widerstand R für eine sehr lange Leiter. Aus der Tatsache, daß überhaupt etwas Endliches herauskommt, d. h. daß der Widerstand konver- giert, folgt, daß man oben ein weiteres Glied anlöten kann, ohne R zu ändern. Man hat dann ja aber ein Rz parallel zuR geschaltet und vor die Kombination noch ein R1 gelegt. Das ergibt den Widerstand R1 + RR2/(R + Rz). Da der wieder gleich R ist, folgt R2 - R1R = R1Rz, also R = ! (R1 + V Ri + 4RJRz). Dieses R ist auch der Widerstand, mit dem man die kurze Leiter abschließen muß, damit sie sich verhält wie eine lange. Bei Rz = 2RJ wird R = 2RJ. An jeder Sprosse verzweigt sich der Strom durch den Holm im Verhältnis 1/Rz (Sprosse) zu 1/R (Rest der Lei- ter). Die entsprechenden Ströme und damit auch die Span- nungen nehmen also von Sprosse zu Sprosse um den Faktor Rz/(R + Rz) ab. Damit sich die Spannungjedesmal halbiert, nehme man Rz = 2RJ. 6.3.10. Ohm-Puzzle 111 Da in sehr großem Abstand von den betrachteten Nachbar- punkten A und B die Spannungsunterschiede beliebig klein werden, ändert sich an den Spannungs- und Stromverhältnis- sen nichts, wenn wir rings um das Gitter sehr weit draußen einen widerstandslosen Draht löten. Wir klemmen unsere Spannungsquelle zunächst an diesen Draht und andererseits an Punkt A und regeln die Spannung so, daß bei A 1 Ampere in das Gitter hineinfließt. Von A gehen symmetrisch vier Drähte aus, also fließt von A direkt nach B genau ;! Ampe- re. Jetzt polen wir die Spannung um und legen sie zwischen Außendraht und B. Wieder fließt ;! A von A direkt nach B. Wenn wir nun sämtliche Spannungen und Ströme, die in die- sen beiden Fällen bestanden haben, überlagern, kommt wie- der eine vernünftige Situation heraus. In ihr fließt 1 A bei A hinein, bei B heraus. Der Außendraht liegt auf mittlerem Po- tential. Von A direkt nach B fließt! A. Da dort 1 Q liegt, ist die Spannung zwischen A und B ! V. Diese zieht im ganzen 1 A, also ist der Widerstand des ganzen Gitters ! Q. Beim Drei- ecksgitterkreuzen sichjeweils sechs Drähte, beim Sechseck- gitter je drei. Der Gesamtwiderstand ergibt sich daher aus der entsprechenden Überlegung zu! Q bzw. ~ Q. Einen Fünfeck- zaun gibt es nicht, denn mit Fünfecken kann man die Ebene nicht lückenlos ausfüllen. Ganz analog läßt sich ein kubi- sches Gitter behandeln: Wir umschließen es durch ein Blech in sehr großer Entfernung und schicken bei A einen Strom von 1 A hinein. Nach jeder Seite fließt t A weg. Überlage- rung mit umgepolter Spannung, die bei B angelegt wird, lie- fert ! A und ! V zwischen A und B, also t Q. 6.4.1. Elektronenschleuder In der rotierenden Scheibe stellt sich im Gleichgewicht ein Radialfeld E ein, so daß Feldkraft und Zentrifugalkraft auf die Leitungselektronen einander aufheben: eE = mw2r. Ent- sprechendes gilt für die Differenz der Potentiale zwischen Scheibenrand und -mitte: U = !w2r2mje = !mv2 je. Bei V= lOOm/s erhält man u = 3. 10-8 V. So kleine Spannun- gen werden natürlich leicht z. B. durch Thermospannungen an den Schleifkontakten verfälscht, selbst bei sorgfältiger Wahl identischer Materialien. Einige Hundertstel K genügen. 6.4.2. Tolman-Versuch Die Spule sei aus einem Draht (Gesamtlänge L, Querschnitt A, Leitfähigkeit a) gewickelt und habe vor der Bremsung die Umfangsgeschwindigkeit v gehabt. Die Bremsung v erzeugt im Draht ein Feld E = vmj e. Die Gesamtspannung U=EL=vLm/e treibt den Strom l=U/R=mvAaje. Während der Bremsung auf v = 0 wird die Ladungsmenge Q = J I dt = mvAa / e transportiert. Sie wird ballistisch ge- messen und sollte möglichst groß sein. Mit Kupfer (fast so zerreißfest wie Stahl, also mit fast v = 100m/s drehbar, aber sechsmal besser leitend als Stahl) erreicht man bei A = 10cm2 etwa Q = 10-3 C. Das läßt sich mit einem balli- stischen Galvanometer leicht messen. Auf den Verlauf des Bremsvorganges kommt es nicht an, solange er kurz gegen die Schwingungsdauer des Galvanometers ist. eine gesunde Batterie zeigt diesen Effekt. Sie hat nämlich einen Innenwiderstand (s. u.), der bewirkt, daß bei kräftiger Belastung die Klemmenspannung absinkt. Die Lampen, die parallel zum Anlasser liegen, erhalten dann weniger Lei- stung. U nimmt mit I offenbar linear ab: U = Uo - 0,01 /. Bei I = 1 200 A würde die Spannung auf Null absinken. Dies ist der größte Strom, den man entnehmen kann. U nimmt ab, weil am Innenwiderstand Ri der Batterie ein Spannungs- abfall Ri/ erfolgt, der von der Leerlaufspannung Uo abzu- ziehen ist: U = Uo- RJ. Die Neigung der U(/)-Geraden ist dieser Innenwiderstand Ri = O,OI Q. I= Uo/(R + Ri), U = Uo- RJ, Verbraucherleistung P = lU = Uf;Rj(R+ Ri) 2. Differenzieren nach R zeigt, daß maximale Leistung bei R = Ri entnommen wird, und zwar Pmax = U5/(4Ri). -7.1.1. Draht im Feld Bei Gleichstrom tritt keine Kraft auf, wenn der Draht parallel zum Magnetfeld liegt. Bei Wechselstrom ist dies natürlich auch richtig. Bei beliebiger Drahtrichtung kommt im kon- stanten Feld nur eine Zitterbewegung des Drahtes zustan- de, ebenso im Wechselfeld, wenn der Strom eine Phasen- verschiebung 1r /2 gegen das mit der gleichen Frequenz wechselnde Magnetfeld hat. Dann ist nämlich die Kraft F = IBL ebensooft nach der einen wie nach der anderen Seite gerichtet. 7.1.2. Schleife im Feld Wenn B parallel zur Schleifenebene, aber senkrecht zur Drehachse steht, entsteht für Gleichstrom und Gleichfeld das maximale Drehmoment T =/AB (A: Schleifenfläche). Wenn B parallel zur Achse ist, erfahren die achsparallelen Drahtstücke gar keine Kraft, die dazu senkrechten Draht- stücke heben einander in ihren Beiträgen auf. Wenn B senk- recht zur Schleifenebene steht, suchen die Kräfte die Schleife nur zu weiten oder zusammenzuziehen; ein Moment kommt nicht zustande. Gleichstrom im Wechselfeld oder Wechsel- strom im Gleichfeld ergibt höchstens ein periodisch wech- selndes Drehmoment, also eine Zitterbewegung. Wechsel- strom im Wechselfeld ergibt auch bei günstigster Feldrich- tung nur bei Phasengleichheit zwischen Strom und Feld ma- ximales Drehmoment; das Magnetfeld müßte sich also im- mer mit der Schleife mitdrehen. Bei einer Phasenverschie- bung 1r /2 kommt ebenfalls nur ein periodisch wechselndes Drehmoment zustande. 7.1.3. Drehspul-Meßwerk Ein Wechselstrom erzeugt im Gleichfeld des Permanent- magneten ein schnell wechselndes Drehmoment, das höch- stens eine Zitterbewegung der Drehspule hervorruft. Wech- selstrom kann nur nach Gleichrichtung gemessen werden. Die Skala ist gleichmäßig eingeteilt, wenn man dafür sorgt, daß das Magnetfeld den Spulenkörper praktisch radial durchsetzt. Dann ist das Drehmoment auf den Spulenrahmen proportional zum Strom, der Ausschlag gegen die elastische Kapitel 7: Lösungen 1107 25 Gew.-% H2S04 oder 250 g/1 bedeuten 2,5 mol/1, d. h. eine Teilchenzahldichte n = 1,5 · 1027 m-3 an S04-Ionen, 3 · 1027 m-3 an H-Ionen. Die Leitfähigkeit der Lösung ist CJ = enJ.l ;::;j 200Q- 1 m- 1. Bei 3 · w-2 m2 Plattenquer- schnitt und 1 cm Plattenabstand ergibt sich ein Elektrolytwi- derstand Re= dj(CJA) ;::;j 2 · w-3 Q. Im I2 V-Akku sind sechs solcher Zellen hintereinander, Widerstände addieren sich, Säurewiderstand = Innenwiderstand. Bei der Taschen- lampenbatterie mit ihrem "trockenen" Elektrolyten ist die Leitfähigkeit etwa zehnmal kleiner als beim Akku, die Flä- che der Elektroden (zylindrischer Becher) ebenfalls minde- stens zehnmal kleiner. Man erwartet einen Innenwiderstand um I Q für jede I ,5 V-Zelle, also nur etwa I A Maximalstrom, nicht mehr als I W Maximalleistung für jede Zelle. - -Spiralfeder ebenfalls. Die radiale Feldanordnung erreicht man durch einen zylindrischen Eisenkern im entsprechend geformten Polzwischenraum; dieser Kern kann sich ent- weder mit dem Spulenrahmen mitdrehen oder nicht. 7.1.4. Wattmeter Das Feld B ist proportional zum Strom, also sind Dreh- moment T = AlB und Zeigerausschlag proportional zu P. Das Gerät mißt Gleichstrom und den Effektivwert eines Wechselstromes (Wurzel aus Mittelwert von P), allerdings mit quadratisch eingeteilter Skala. Die Spannung U am Ver- braucher treibt durch die Drehspule im "Spannungspfad" ei- nen Strom In "' U. Der Strom /p im "Strompfad", der auch durch den Verbraucher Rv fließt, erzeugt ein Magnetfeld B "' /p. Beide zusammen erzeugen bei Phasengleichheit ein Drehmoment T "'lpU. Bei Gleichstrom zeigt das Gerät die Leistung direkt an, bei Wechselstrom zählt nur die Kom- ponente /p cos rp des Stromes, also der Wirkstrom ( rp ist der Phasenwinkel zwischen U und /p). Das Gerät zeigt direkt die Wirkleistung an, und zwar mit linearer Skala. Phasengleich- heit zwischen In und U ist allerdings nur garantiert, wenn R1 » wLn. Ersetzt man R1 durch eine Spule, dann ist In um 1r /2 gegen U phasenverschoben. Ein Zeigerausschlag erfolgt nur, wenn der Verbraucherstrom /p eine mit In phasengleiche Blindkomponente hat. Man mißt direkt die Blindleistung. Das Gerät zeigt das Produkt der beiden Ströme an und läßt sich z. B. als Multiplikator in einem Ana- logrechner verwenden. Bei zwei phasenverschiedenen Wechselströmen zählt hierbei nur die Komponente des ei- nen, die mit dem anderen in Phase ist. 7.1.5. Vektoranalysis I Der Ortsvektor sei r = (xi,x2,x3). Ableitung nach der Koordinate x; kennzeichnen wir durch einen Index i, von den übrigen Indizes getrennt durch ein Komma. In div(a x b) müssen die Komponenten von a x b = (a2b3- a3b2,a3b1- a1b3,aib2- a2bi) nach 1, 2, 3 diffe- renziert und summiert werden. Man erhält als Faktor von a1 ein Glied b2, 3 - b3, 2. das man als negative erste Korn- 1108 Lösungen zu den Aufgaben ponente von rot b erkennt. Zusammengefaßt: div(a x b) = -a · rot b + b · rot a. Speziell bei konstantem a ist div(a x b) = -a ·rot b. rot (a x b) ist noch etwas müh- samer auszurechnen. Man findet rot (a x b) = a div b- b diva- a · gradb + b · grada. Hierbei ist grada eine Matrix, deren i-ter Zeilenvektor der gewöhnliche Gradient von ai ist. Wenn a konstant ist, bleiben davon offensichtlich nur die Glieder a div b - a · grad b. 7.1.6. Vektoranalysis II Nach Aufgabe 7.1.5 bleibt bei konstantem v = (v,O,O) nur vgradE = vkEi,k = väEjäx übrig. Der Zeit dt entspricht ein Vorrücken um dx = v dt, also eine Feldänderung dE = dxäEjäx. Daher ist vdiv E +rot (Ex v) die Ände- rungsgeschwindigkeit von E infolge dieses Vorrückens. Das gilt auch bei allgemeiner Richtung von v. In der Hydro- dynamik ergibt sich die Beschleunigung, die ein Flüssigkeits- teilchen erfährt, aus der "ortsfesten" Beschleunigung äv / ät plus der Änderung infolge Strömens in ein Gebiet mit ande- rem v-Wert: vgrad v = vdiv v +rot (v x v). Das ist der Be- schleunigungsanteil, der in Abschn. 3.3.4 als a2 bezeichnet wurde. Für eine inkompressible Strömung ist div v = 0, sonst würde sich die Dichte ändern. In diesem Fall ist a2 =rot (v x v). 7.1.7. Relativität der Felder Gestrichene Größen beziehen sich auf das Bezugssystem des Raumschiffes, ungestrichene auf das "ruhende". Die zeitliche B1 -Änderung im Raumschiff setzt sich zusammen aus der ungestrichenen und einem Anteil infolge der Bewegun.& in ein Gebiet mit anderem B (vgl. Aufgabe 7.1.6): B = . . I B + vdiv B +rot (B x v). Entsprechend für D: D = iJ + vdiv D +rot (D x v). div B ist überall 0, div D = (}. Im Raumschiff gelten die Maxwell-Gleichungen: rot H1 = iJ' + j = iJ + ev +rot (D x v) + j 1 ' I ' ( ) rotE = -B = -B -rot B x v . Soweit wie möglich in ungestrichenen Größen ausgedrückt, heißt das rot (H1 + v x D) = D+ j+ ev rot (E1 - v x B) = -iJ. Vergleich mit den Maxwell-Gleichungen des Ruhesystems zeigt: ( 1) Zur Stromdichte j des Leitungsstroms, den beide Beobachter messen, kommt für den ruhenden noch der Konvektionsstrom (]V. Wenn Teile des Raumschiffs geladen sind, repräsentieren sie natürlich für das Ruhesystem eine Stromdichte ev. (2) E = E 1 - v x B, H = H 1 + v x D. Statt E ist also E1 = E + v x B das im Raumschiff wirksame Feld. Die Ladungen im Raumschiff unterliegen nicht nur der Coulomb-Kraft eE, sondern einer Zusatzkraft ev x B. Diese Lorentz-Kraft ist kein neues Postulat, sondern wächst automatisch aus der Coulomb-Kraft heraus. Bei v ~ c sind noch relativistische Korrekturen anzubringen (Division durch J 1 - v2 / c2 ). Überhaupt ergeben sich diese Trans- formationen in der Relativitätstheorie ganz zwangsläufig (vgl. Abschn. 17.3). 7.1.8. Space talk Die Rakete fliege mit v relativ zu uns. Der Funkspruch des Astronauten könnte so lauten: "Da fliegt ein geladenes Teil- chen mit der Geschwindigkeit -v. Es herrscht ein Magnet- feld B. Trotz der Lorentz-Kraft -ev x B fliegt das Teilchen genau geradlinig. Also muß außer dem B-Feld noch ein E-Feld senkrecht dazu und zur Flugrichtung des Teilchens herrschen, so daß die Coulomb-Kraft eE die Lorentz- Kraft -ev x B genau kompensiert. Dieses Feld muß also E = v x B sein. Tatsächlich: In meiner Rakete werden geladene Teilchen von diesem E-Feld alle beschleunigt." Für uns ist die Beschleunigung der Teilchen in der Rakete relativ zu dieser auch beobachtbar. Wir erklären sie nicht durch ein E-Feld, sondern durch die Lorentz-Kraft ev x B, die diese mitfliegenden Teilchen ja erfahren müssen. Auch so ergibt sich wieder, daß für den Raumfahrer aus dem B- Feld ein E-Feld E = v x B herauswächst. 7.2.1. Kreisstrom Für den Mittelpunkt der Kreisschleife vom Radius a ist im Biot-Savart-Gesetz für alle Leiterelemente rx = 90° und r=a, also H=27ria/(47ra2) =I/(2a). Das Feld zeigt in Achsenrichtung, und zwar nach der Definition des Vektor- produkts so, daß der Strom, in Feldrichtung gesehen, im Uhr- zeigersinn umläuft. In einem Achsenpunkt im Abstand r1 von der Kreismitte ist immer noch rx = 90°, aber r = v' r12 + a2 also H = ~Iaj(r'2 + a2); bei r' » a ist H = ~Iajr'2 . Die übrigen Fragen werden in der Lösung zu Aufgabe 7 .4.1 mitbeantwortet 7 .2.2. Kurze Spule Beim Rohr der Wandstärke d, umflossen von der Stromdichte j, ist jd der "AmperewindungszahVm" ni gleichzusetzen. Auf dem Rohrabschnitt dr fließt der Strom I = dj dr. Dieser Abschnitt liefert nach Biot-Savart einen Beitrag dH = ~dja2 drj(a2 + r2 ) 3/ 2 2 . Man muß nämlich nur die axiale Komponente nehmen, also die Feldstärke von (7.38) noch mit dem Richtungssinus ajv'a2 + r2 multiplizieren (Abb. 7.23). Der Ausdruck dH muß über r von -L/2 bis L/2 integriert werden. Da J(a2 + ?)-312 dr = ra-2(a2 + r2)-!/Z ist, ergibt sich schließlich für das Feld in der Spulenmitte H = jdL/v'L2 + 4a2 = NI/v'L2 + 4a2, wo N = nL die Gesamt- windungszahl ist. Für L » a (lange Spule) ist H = nl, für L « a und N = 1 (Kreisring) ist H = I/(2a). Denkt man sich die kurze Spule in zwei Hälften zerschnitten, dann leistet jede davon den Beitrag H = NI/ ( 2 v' L 2 + 4a2 ) zum Feld in der Mitte. Mit ihrer Länge L1 = L/2 erzeugt also jede S ule in ihrer Endflächenmitte ein Feld H = NI/ L'2 + 16a2 . 7.2.3. Bohr-Magneton Nach Aufgabe 7.2.1 herrscht im Mittelpunkt einer Kreis- schleife vom Radius r, durch die der Strom I fließt, das Magnetfeld H = I/(2r). Wenn das Feld in der Kreisebene diesen Wert bis zum Draht behält (was ungefähr zutrifft), ergibt sich ein Magnetfluß durch die Schleife von f!J = floHA ~ flol !1rr. Auf der Achse kann man sich etwa um r entfernen, bis sich dieses Feldlinienbündel wesentlich auflockert. Also ist das magnetische Moment etwa das einer Spule der Länge 2r, d. h. Pm ~ f!J2r I flo ~ 17rr2 = JA. Wenn ein Elektron im Atom die Umlaufsfrequenz v hat, stellt es im Mittel den Strom I = ev dar. Das magnetische Moment dieses Kreisstroms ist Pm = 1revr2 . Aus der Drehimpuls- bedingung mvr = nh im Bohrsehen Modell folgt v = vl(27rr) = nhl(27rmr2 ), also Pm= nehl(2m) = n · 1,2· w-29 V s m. Das ist die Definition des Bohrsehen Magne- tons: Eine Elektronenbahn mit der Hauptquantenzahl n hat ein Moment von n Bohrsehen Magnetonen. Allgemein über- trägt sich so die Drehimpulsquantelung in eine entsprechende Quantelung der magnetischen Momente. 7 .2.4. Erdfeldmessung Die Nadel vom magnetischen Moment p steht im Feld H unter dem Drehmoment T = p x H. Bei kleiner Auslenkung (sin 11. ~ 11.) bedeutet das ein elastisches Rückstellmoment, das zu Schwingungen mit der Kreisfrequenz w = JPfi1J führt. Um H, gerrauer seine Horizontalkomponente, absolut zu messen, muß man p und J kennen. J läßt sich berechnen oder aus der Schwingungsdauer ohne Feld bei Aufhängung an einer Feder bekannter Torsionssteifigkeit bestimmen. p wird meist gemessen, indem man das Feld der untersuchten Nadel in seiner Wirkung auf eine andere Magnetnadel mit dem Erdfeld vergleicht. Die zweite Nadel (N2) wird frei auf- gehängt, die erste (NI) in entsprechender Orientierung so weit an N2 herangeschoben, bis N2 umschlägt. In diesem Ab- stand r ist H = 2p I ( 47rflor3 ). Man hat also HIp, der Schwin- gungsversuch lieferte Hp, so daß jetzt H und p einzeln be- kannt sind. Einfacher ist die Vergleichsmessung z. B. mit dem Feld im Ionern einer Spule, das leicht direkt als Alm anzugeben ist: Die Schwingungsdauern der Nadel verhalten sich wie die Werte H-112. 7 .2.5. Elektromagnet Da im Fall des Permanentmagneten kein "echter", d. h. makroskopisch sichtbarer Strom fließt, muß rot H ver- schwinden. Da die H-Linien außen alle von N nach S lau- fen, müssen sie das im Eisen auch tun, und zwar so, daß das Umlaufintegral Null wird, ganz im Gegensatz zur Luft- spule und auch der Kernspule, wo die H-Linien die Drähte einsinnig umkreisen. Dieses "falsch herum" laufende H im Permanentmagneten nennt man manchmal demagnetisieren- des Feld Hct. B dagegen ist immer divergenzfrei, das bei S eintretende Bündel von B-Linien läuft also bei allen drei Ma- gnettypen auch im "richtigen" Sinn durchs Innere, bis es bei N wieder austritt. Im Permanentmagneten ist B = flfloH nicht anwendbar, fl müßte sogar negativ sein. Wir sind auf dem "nordwestlichen" Bogen der Hysteresisschleife, wo H negativ, B positiv ist. Wenn A und L Querschnitt und Dicke des Luftspalts sind, A' und L' Querschnitt und Länge des Eisens, gilt H'L' = -HL (rot H = 0) und B'A' =BA (div B = 0), B =floH, also das Eisenvolumen V'= L'A' = VB2 I (floH' B'). Für die Tragkraft des Magneten kommt es Kapitel 7' Lösungen I auf das Feld im Luftspaltvolumen V an, gerrauer auf das "Energieprodukt" VB2 I flo· Damit dies bei gegebenem Eisen- volumen möglichst groß wird, muß das Produkt H' B' im Eisen maximal sein. Die entsprechende optimale Magneti- sierung findet man aus der Hysteresiskurve aus der Bedin- gung, daß das einbeschriebene Rechteck maximale Fläche H' B' haben muß. 7.3.1. Weidezaun 6 V sind völlig harmlos. Man merkt sie nur an der feuchten Zunge zwischen nahestehenden Polen einer Batterie. Also müssen am Weidezaun höhere Spannungen liegen. Wer mal einen augefaßt hat, weiß, daß solche Spannungen nur kurzzeitig periodisch dranliegen. Vor allem bitte nie drauf- pinkeln! Transformieren kann man nur Wechselstrom. Man muß also den Gleichstrom aus dem Akku periodisch unterbrechen. Das tut der Unterbrecher im Kasten, ein Schal- ter, der periodisch auf- und zugeht. Bei jedem Öffnen und Schließen erfolgt eine plötzliche Stromänderung, die in einer Spule oder einem Trafo eine Spannung induziert. Ge- nauso macht der Unterbrecher im Auto aus dem Gleichstrom des Akkus die hohe Zündspannung, die einen ebenfalls fast umschmeißen kann. Das periodische Öffnen und Schließen könnte ein Motor besorgen wie im Auto. Es geht aber auch so: Ein Bimetallstreifen wird heiß, biegt sich also, wenn er von Strom durchflossen wird. Ohne Strom kühlt er ab und wird wieder gerade. So funktionieren die meisten Blinker in unseren Autos. 7.3.2. Zebrastreifen im Meer In der Nähe eines ausgedehnten Körpers mit der Suszeptibi- lität x (Erzlager, Schiff o. ä.) ist die Normalkomponente des B-Feldes der Erde um den Faktor 1 + x größer als anderswo. B _1_ tritt nämlich wegen div B = 0 stetig durch die Grenz- fläche Erz-Luft, und im Erz ist B um den Faktor 1 + x größer als im nichteisenhaltigen Gestein; an der Grenzfläche zwischen diesem und dem Erz herrscht rot B proportional zur Dichte der gebundenen Oberflächenströme, also ist B im Erz größer als draußen. In größerem Abstand wirkt das Objekt wie ein magnetischer Dipol. Der B-Unterschied gegen das unverzerrte Feld nimmt mit d2 lr2 ab, wo deine charakteri- stische Abmessung des Objekts ist: 11B ~ x Bod2 I r2 . Eiil V-Boot mit Eisenrumpf (x ~ 103, d ~10m) ergibt noch in mehr als 10 km Abstand ein merkliches 11B ~ w-9 T, ein Erzlager mit x ~ 1, d ~ 100m fast ebensoweit, ein mächtiger Basalteinschluß (X~ 10-2) etwas weniger. Die fossile Magnetisierung entspricht ähnlichen Größenordnun- gen. Die Entdeckung, daß die Streifen wechselnder Magne- tisierungsrichtung ganz regelmäßige "Zebrastreifen" auf dem Ozeanboden parallel zu den mittelozeanischen Rücken bilden, hat zur Wiederbelebung der Kontinentalverschie- bungstheorie in der Plattentektonik beigetragen. 7.3.3. Trafo-Bleche Die Bleche müssen in B-Richtung liegen, damit die Ströme, die senkrecht dazu fließen, unterdrückt werden. Ein Blechquerschnitt der Dicke d und der Länge a umfaßt 1109 1112 Lösungen zu den Aufgaben werden nach verschiedenen Seiten abgelenkt, die Spannung ergibt sich aus der Summe der Einflüsse beider Trägersorten. Existenz und Größe des Querfeldes hängen nicht von Leitfä- higkeit und Ionisationsgrad des Plasmas ab, wohl aber hängt dessen Innenwiderstand davon ab, also Maximalstrom und entnehmbare Leistung. Selbst in gewöhnlicher Luft entsteht ein Querfeld, das aber beim geringsten Versuch zur Strom- entnahme sofort zusammenbricht. Oberhalb eines gewissen Wertes bringt eine Steigerung der Ionisation übrigens keinen Gewinn an Leitfähigkeit mehr: Es ist CJ = enJl, aber die Be- weglichkeit J1 hängt von der Anzahl der Stoßpartner ab wie J1 "' 1 In, wenn so viele geladene Teilchen vorhanden sind, daß sie als Stoßpartner überwiegen. Dies ist bei ziemlich ge- ringer Ionisation bereits der Fall, denn geladene Teilchen sind wegen ihres weit ausgedehnten Coulomb-Feldes viel effizi- entere Stoßpartner als neutrale. 7.5.2. Fernleitung Die Kraftwerksleistung ist 200m·5000kgls·10mls2 = 107 W. Gesamtwiderstand der Freileitung: R = 20 fl. Wenn der Strom I fließt, geht in der Leitung eine Leistung RI2 ver- loren. Diese soll höchstens 4 · 104 W betragen, also darf I höchstens 45 A sein. Um damit 107 W zu übertragen, braucht man eine Spannung V = 2,2 · 104 V = 22 kV. 7.5.3. Hochspannung Um eine Minimierung des Leistungsverlustes oder gleich- bedeutend des Spannungsabfalls handelt es sich hier nicht. Praktisch ist man zufrieden, wenn beide 1 - 2 % betragen (ein Kraftwerk, das 220 kV am Leitungsende abliefern soll, stellt seine Generatoren dann gleich auf 225 kV ein). Wenn Länge l und Verlust-Bruchteil ß gegeben sind, geht das Kupfervolumen wie 14 I V 2 (Leistung "' belieferte Fläche "' !2 , notwendiger Querschnitt A"' ZIV2 , Aufgabe 7.5.2), der Isolieraufwand geht wie VI. Als Funktion von V hat al4 I V 2 + blU ein Minimum bei u = fi(1!iJ l. Realistische Kostenfaktoren ergeben 1 V/rn. 7.5.4. R = 0 Kondensator und Spule, hintereinandergeschaltet, haben den komplexen Widerstand R = 1 iwC + iwL = i(wL- 1l(wC)). Er wird 0, wenn w = 1I(LC). Bei die- ser Frequenz ist der Spannungsabfall an der Spule Li = wLI ebensogroß wie der am Kondensator QIC = Il(wC), aber um 1r phasenverschoben. Zwischen den Endklemmen der Schaltung liegt also keine Spannung, obwohl ein Strom fließt: Sie hat keinen Widerstand. Liegen L und C parallel, dann ist der Widerstand R = (iwC + 1 I (iwL)) - 1 = i(11 ( wL) - wC) - 1. Das wird oo bei wJ1I(LC). Jetzt sind die Ströme in den beiden Zweigen entgegengesetzt gleich, überlagern sich also in den Zuleitun- gen zum Strom 0, obwohl an C wie an L ein Spannungsabfall erfolgt. Wenn aber eine Spannung anliegt, ohne daß ein Strom fließt, ist der Widerstand oo. 7.5.5. Reine Blindleistung Die Spulenspannung ist um 1r 12 phasenverschoben gegen den Spulenstrom (z. B. Strom "' sin wt, Spannung "' cos wt). Die Joule-Leistung IV"' sin wtcos wt wechselt also jede Viertelperiode ihr Vorzeichen: Was in einer Viertelperiode verausgabt wird, um das Magnetfeld aufzubauen, wird der Spule in der nächsten Viertelperiode quantitativ zurücker- stattet, wenn das Feld wieder in die Spule zurückkriecht Im Zeitmittel ist die Leistung 0. Entsprechendes gilt für den Kondensator, nur mit anderem Vorzeichen der Phasen- verschiebung: Das elektrische Feld wird abwechselnd auf- gebaut und kriecht wieder zurück. 7.5.6. Filterglieder Legt man links in Abb. 7.80a eine Spannung V1 mit der Kreisfrequenz w an, dann fließt durch L und C der Strom h = VI/R = V1l(iwL+ 1l(iwC)). Am Kondensator fällt die Spannung V 2 = I1l(iwC) = VJ/(1- w2LC) ab. Das ist die Spannung, die man links mißt. Für w «wo= yf1I(LC) ist Re>> RL, also V2 ~ V1: Die Schaltung läßt Niederfrequenz voll durch. Für w » wo ist V2 = -VJ/(w2LC): Hochfrequenz-Spannungen kommen kaum durch, übrigens mit umgekehrter Phase. Der Hochpaß (Abb. 7.80b) zeigt das umgekehrte Verhalten. In c und d ha- ben die Brückenglieder mit parallelen bzw. hintereinanderlie- genden L und C einen sehr hohen bzw. sehr kleinen Wider- stand in der Gegend von wo (vgl. Aufgabe 7.5.4). Also fällt von der Eingangsspannung V1 im Fall c sehr viel, im Fall d sehr wenig als Ausgangsspannung an diesem Brückenglied ab, wenn w ~ wo ist. Je mehr man sich von wo entfernt, de- sto schwächer wird diese Bevorzugung bzw. Benachteili- gung. Wenn man rechts einen Verbraucher R einschaltet, ist der Ohmsehe Spannungsabfall an ihm, der durch den Aus- gangsstrom bedingt wird, mitzuberücksichtigen. Die Vier- poltheorie hat elegante Methoden entwickelt, die alle Um- rechnungen zwischen Eingangsspannung und -strom und Ausgangsspannung und -strom, verbunden durch die Matrix des Vierpols, sehr übersichtlich machen. 7.5.7. C- und L-Brücke Ganz entsprechend zum Fall Ohmscher Widerstände lege man in einen der vier Zweige von Abb. 6.62 das zu messende Element (z. B. einen Kondensator), in die übrigen drei Zwei- ge drei Elemente gleicher Art mit bekannter Größe, von de- nen mindestens eines regelbar ist. Man dreht daran wieder, bis das Instrument stromlos ist. Natürlich muß eine Wechsel- spannung angelegt werden. Stromlosigkeit erfordert wieder: Verhältnis der (Wechselstrom-) Widerstände oben = Verhält- nis der (Wechselstrom-) Widerstände unten. Hier sind kom- plexe Widerstände gemeint, nicht ihre Beträge. In Aufgabe 7.5.13 wird eine solche Meßbrücke zur Frequenzmessung angewandt und genauer diskutiert. 7.5.8. Additiver Zweipol Ein einzelnes R, L oder C verhält sich bestimmt additiv. Wenn eine bestimmte Schaltung sich additiv verhält, d. h. wenn sie durch einen stromunabhängigen komplexen Wider- stand Z' charakterisierbar ist, kann man sie erweitern durch Dahinter- oder Parallelschalten eines weiteren Elements mit dem Widerstand z. Bei Reihenschaltung ergibt sich für die erweiterte Schaltung Z = Z' + z, bei Parallelschaltung Z = 11 (z- 1 + z- 1). Jede Schaltung läßt sich schrittweise so aufbauen und erhält damit ihren Wert Z, der den linearen Zusammenhang zwischen I und V stiftet. 7.5.9. Ortskurve Beweis durch vollständige Induktion: Für das variable Ele- ment allein ist die Behauptung richtig, denn seine Z- und Y -Ortskurve sind Stücke der reellen oder imaginären Ach- se, also Kreisbögen mit unendlichen Radien. Wenn man ein weiteres Element hinzufügt, muß man das bei Reihen- schaltung im Z-Bild und bei Parallelschaltung im Y-Bild machen, nämlich die bisherige Ortskurve um den Z- bzw. Y-Wert des neuen Elements verschieben und außerdem zur Umrechnung von Z auf Y oder umgekehrt eine komplexe Inversion durchführen. Alle diese Transformationen verwan- deln aber Kreise (oder Geraden) immer wieder in Kreise (oder Geraden). Wenn man die ganze, beliebig komplizierte Schaltung aufgebaut hat, durchläuft ihr Z oder Y beim Ver- stellen des veränderlichen Bauteils immer noch einen Kreis- bogen, dessen Lage und Radius man allerdings erst angeben kann, wenn man diesen Aufbau der Schaltung im einzelnen verfolgt. 7.5.10. Lorentz-Karosen Eine Lorentz-Kraft, die überwiegend in eine Richtung zeigt, kommt trotz Strom und Magnetfeld nicht zustande, wenn Strom und Magnetfeld um 7f 12 gegeneinander phasenver- schoben sind. Wenn der Strom wie sin wt geht und das Feld wie cos wt, folgt die Kraft F ,..._, IB einem sin wt cos wt ,..._, ~ sin 2wt, und dies ist ebensooft positiv wie negativ. Eine solche Phasenverschiebung 7f 12 liegt vor, wenn in und vor der Magnetspule kein Ohmscher Wider- stand liegt. Dann sind Magnetstrom und Feld um 7f 12 gegen die Spannung verschoben, während der Elektrolytstrom der Spannung direkt folgt. Ein zu großer Ohmscher Widerstand vor der Magnetspule macht deren Strom und das Feld zu klein, obwohl das Feld dann fast die richtige Phase hat. Das Optimum liegt dazwischen, aber wo? Der komplexe Wi- derstand der Spule plus Vorwiderstand ist Z = R + iwL. Wir brauchen den Magnetstrom h = V IZ = YV mit dem Leit- wert Y = z-I = 1I(R + iwL) = (R- iwL)I(R2 + w 2L2). Der Elektrolytstrom h ist phasengleich mit der Spannung, die Lorentz-Kraft F ,..._, hh ,..._, Y. Physikalisch interessiert der Realteil der Kraft; er ist proportional zum Realteil von Y, nämlich RI(R2 + w2L2). Diese Funktion von R hat ein Maximum der Höhe 1l(2wL) bei R = wL. Versuchen Sie es zur Abschreckung auch ohne komplexe Rechnung mit Sinus und Cosinus. Noch eleganter als die komplexe Rech- nung ist die Ortskurvenmethode. 7 .5.11. Spiegelgalvanometer Die Spule des Galvanometers bewegt sich bei S~romfluß so, daß die bei der Drehung induzierte Spannung qy den Ohm- sehen Spannungsabfall ausgleicht. Das gilt, bis der mechani- Kapitel 7' Lösungen I sehe Widerstand des Spiegelsystems gegen Verdrehung we- sentlich wird. Die stationäre Auslenkung rp ist durch Gleich- heit von Feldenergie und mechanischer Energie LP = Drp2 festgelegt. Man kann auch sagen: Die innerhalb der Zeitkon- stanten LIR erzeugte Joule-Energie R/2 · LIR = LP ist gleich der mechanischen Energie Dqi. Diese hat aber, selbst ohne eingeprägten Strom, infolge der thermischen Schwan- kungen des als Riesenmolekül aufgefaßten Spiegelsystems den Mittelwert ~ kT; ebensogroß ist die mittlere kinetische Energie der Schwingung. Man kann das so deuten: Die Zit- terschwingungen, die dem kinetischen Anteil entsprechen, induzieren in der Spule, die ja immer im Permanentfeld hängt, einen Strom, dessen Zeitmittel durch LI~ ~ kT gege- ben ist. Ursache und Wirkung sind hier aber nicht zu trennen, und man kann sagen: Die Elektronen im Spulendraht erzeu- gen durch ihre thermische Zitterei einen Strom, der durch Wechselwirkung mit dem Permanentmagnetfeld die Spule zu den mechanischen Zitterschwingungen zwingt. Beson- ders verallgemeinerungsfähig ist das Ergebnis in der Form I~ = kT I (Rr) = ,1w kT IR, wo r die Zeitkonstante des Systems und ,1w die Breite des Frequenzbereichs ist, den die Schaltung mit merklicher Intensität durchläßt Beim Spiegelgalvanometer ist r = LIR und ,1w = RIL. 7.5.12. Rauschen Wir betrachten einen einfachen Kreis, in dem eine Kapazität C und ein Widerstand R hintereinanderliegen. Auch ohne Spannungsquelle muß der Kondensator, als Riesenmolekül aufgefaßt, die mittlere Energie kT haben. Sie kommt so zustande, daß sich durch thermische Schwankungen bald in der einen, bald in der anderen Platte in regellosem Wechsel winzige Überschußladungen ansammeln, so daß Q21C = CV2 = kT wird. Der entsprechende "Ladestrom" fließt durch den Draht und den Widerstand und ist gegeben durch /~ = V 21R2 = kTI(RRC) = kTI(Rr) = kT,1wiR. Wieder wie in Aufgabe 7.5.11 ist das Quadratmittel des Rauschstroms gegeben durch kT IR mal dem Frequenzbe- reich der Schaltung, deren Widerstand ja ab w = 1 I (RC) rein ohmsch wird. Der Strom ist völlig unperiodisch, d. h. alle Frequenzen sind in seiner Zeitabhängigkeit gleich stark vertreten: Er hat ein horizontales, "weißes" Fourier-Spek- trum. Nur Frequenzen unterhalb 1 I (RC) kommen für die Kondensator-Aufladung in Betracht. Allgemein fällt in den Frequenzbereich ,1w eine Leistung RI~ = kT ,1w des Wider- standsrauschens (Nyquist-Formel). 7.5.13. Meßbrücke Das Voltmeter ist abgeglichen, d. h. spannungsfrei, wenn für die Spannungsabfälle in den einzelnen Zweigen gilt VI = v4 und V2 = V3. Dabei verhalten sich V1 und V2 wie die Widerstände in diesen Zweigen, entsprechend für die Zweige 4 und 3. Natürlich muß man hierbei komplexe Widerstände betrachten: R3IR4 = Z2/Z1 = (R2 + Il(iwC2))(R]1 + iwC1) = R2/R1 + C1IC2 + i(wC1R2- Il(wC2RI)). 1113 1114 I Lösungen zu den Aufgaben Es folgt w = y'1I(CtC2RtR2) = 1I(CR) und R3IR4 = R2IR1 + C1IC2 = 2. Mit C = 1 J.!F müßteRzwischen 8Q und 3 kQ verstellbar sein. Mit zwei gleichartigen Gliedern kann man zwar C messen, aber nicht w, denn w fällt dann aus der Abgleichbedingung heraus. 7.5.14. Schwingkreis Die homogene Gleichung wird gelöst durch Q = Qo elt, wo- bei durch Einsetzen folgt c-1 + RA. + LA. 2 = 0, also A. 1, 2 = -RI(2L) ±y'R21(4L2)- li(LC). Bei R < 2VLfC (schwache Dämpfung, Schwingfall) ist A. komplex: Q = Q1 e-i5t eiwot + Q2 e-i5t e-iwot, wobei 6 = RI(2L) die Dämpfungskonstante, wo= Jli(LC)- R21(4L2) die ge- genüber der Thomson-Frequenz Jli(LC) (dämpfungsfrei- er Fall) verstimmte Kreisfrequenz ist. Bei R = 2VLfC (aperiodischer Grenzfall) folgt At= A.2 = -RI(2L), also Q = Q1 e-i5t. Bei R > 2VLfC (Kriechfall) sind beide A. reell: Q = Q1 e-(i5+i5J)t + Q2 e-(i5-i5J)t, wobei 61 = y' R2 I ( 4L 2 ) - 1 I ( LC). Der Strom ergibt sich amplituden- und phasenmäßig durch Multiplikation mit iw, die Span- nung am Kondensator durch Division durch C, am Ohm- sehen Widerstand durch Multiplikation mit iwR, an der Spule durch Multiplikation mit -w2 L. Bei der inhomogenen Gleichung überlagert sich der i. allg. schnell abklingenden freien Schwingung die angeregte mit der Anregungsfre- quenz und einer Amplitude und Phase, die durch die Resonanzkurven Abb. 4.18 und 4.19 dargestellt sind. Das Amplitudenmaximum liegt im Schwingfall bei Wm = y' 1 I (LC) - R2 I ( 4U), die Amplitude ist dort Qo = Uoi(Ry'li(LC)- R21(4L2)), die Breite des Berges ist Llw ~ woR-1 ViJC (Abstimmschärfe des Schwingkreises). 7 .5.15. Transformator mit Schmelzrinne Man investiert primär 220V · 1,5A = 0,33kW, in 15 s also 5 kJ. Die Wärmekapazität des Kupferringes ist 8 J/K (Volumen 7r(25 - 9) 120 = 2,5 cm3 , Masse 22 g). Zinn schmilzt bei 231 oc. Sekundär hat man also etwa 1 700 J ausgenutzt. Wirkungsgrad 35 %. Die Verluste sind wohl hauptsächlich Wärmestrahlungs- und Konvektionsverluste aus dem heißen Ring, denn in der Sekundärwicklung mißt man annähernd 750 A und 0,44 V. 7.5.16. Trafo-Gewicht B darf höchstens am Anfang des Sättigungsbereichs liegen, sonst werden der Magnetisierungsstrom und die Eisen- verluste zu hoch. Damit ist B auf weniger als 1 T festge- legt, ebenso die Spannung/Windung U IN = wAB und N rv 1 I A, wenn u = 220 V. Der Kupferverlust RP2 I U2 darf nur einen kleinen festen Bruchteil von P betragen: R rv U2 I P. Zum Wickeln haben wir auch etwa A zur Verfügung: Drahtquerschnitt rv A { N rv A 2, Drahtlänge rvNVA rv1IVA, also RrvA-51 rv1IP, Eisen- und Kupfermasse rv A312 rv P315 . Ob der Trafo zu heiß wird, ist damit noch nicht gefragt. Reine Strahlungskühlung verlangtA rv P, also m rv p 312 . 7.5.17. Trafo-Brummen Man könnte das Brummen auf ein Scheppem der Bleche des Trafo-Kerns zurückführen, die ständig mit 50 Hz um- magnetisiert werden, also sich mit 100Hz abwechselnd ab- stoßen oder nicht (gleichsinnige Magnetisierung). Das mag sein, aber dieser Anteil des Brummens ändert sich kaum mit der Belastung, denn in erster Näherung sind cJ> und B im Eisen unabhängig von der Belastung, nämlich so groß, daß sie die Primärspannung ul induzieren: NI if> = NtAB = Ut. Unter Berücksichtigung der Kupferverluste, also des Ohmsehen Widerstandes R1 der Primärspule z. B., verteilt sich allerdings diese Spannung U1 je nach Belastung verschieden auf den ohmseben und den induktiven Teil: Bei Belastung, also i. allg. größerem Primärstrom ft, entfällt mehr Spannung auf R 1, also müßte danach ein belasteter Tra- fo leiser brummen. Er brummt aber i. allg. lauter. Das kann nicht am Eisen liegen, sondern an den Wicklungen. Das B- Feld, das z. B. die Primärspule außerhalb des Eisens durch- setzt, hängt von dem eigenen Strom ft ab und ist bei Bela- stung größer (wenn auch nicht so groß wie im Eisen mit sei- nem hohen Jl). Nicht ganz fest vergossene Wicklungen, von parallelen Strömen durchflossen, scheppem infolge der ge- genseitigen wechselnden Anziehung. 7.5.18. Gleichstrommotor: Wirkungsgrad Reihenschluß: Yf = wL' I ( wL + R) steigt mit wachsendem w, kein Maximum. Nebenschluß: Yf = L' x( 1 - x) I [L( 1 + z - x)] mit x = w Wm, z = Rr/R5 • Extrema bei x = 1 + z ± z(l + z). Die +-Lösung zählt nicht, denn sie liegt bei x > 1. Die --Lösung ergibt ein Maximum, denn YJ(x) steigt für kleine x. Das Maximum liegt um so näher an x = 1, je kleiner z ist. Bei z--+ oo wandert es nach x = !, wo auch die Leistung maximal ist. Bei großem z ist aller- dings Yf auch bestenfalls sehr klein: Yfmax = L' I ( 4zL). Die Leistung wird fast ganz in Rr verzehrt. Bei z « 1 ist dagegen Yfmax ~ L' I L. 7.5.19. Gleichstrommotor: Regelung Nebenschluß: Vergrößerung von Rr senkt Tm. während Wm bleibt; die Kennlinie wird flacher, "weicher", der Wirkungs- grad sinkt ( vgl. Aufgabe 7.5 .18), I sinkt auch; kurzzeitig beim Anlassen verwendet. Vergrößerung von Rs steigert Wm und senkt Tm. Der unbelastete Motor dreht sich immer so schnell, daß die induzierte Gegenspannung gleich der angelegten Spannung ist Ur = 0, weil T = 0); bei kleinerem / 5 , also kleinem cJ> ist dazu eine höhere Drehfrequenz er- forderlich. Wenn U5 und Ur unabhängig sind, folgt T = L'u;(UriUs- wLIRs)I(RrR5 ). Die Kennlinie ver- schiebt sich nach unten, wenn man Ur senkt, ohne daß sich bei unverändertem Us die Steigung ändert. Der Dreh- sinn kehrt sich um, wenn man entweder Ur oder Us umpolt. 7 .5.20. Dynamo Die feststehende Spule wird von einem wechselnden B-Feld durchsetzt, wenn sich der Hohlzylinder dreht. Wenn nämlich die Eisenstäbe dicht vor den Polschuhen des Magneten ste- hen, bilden sie praktisch einen Teil der Polschuhe, d. h. der d fO I ++++++++ ++++++ X X X X X X X X X X X X X X X X X t t E~ X X X X X X X X X X X X X X X X d ,X, X X X X X X X X X ,x, X ,X, X X x ~x, • I I I Abb. L. 6. Lecher-Leitung aus parallelen Blechen mit La- dungsverteilung, elektrischem Feld (!!!) und Magnetfeld ( x x x) C* = q/U = 27feeo/ ln(r2 / rt). Das Magnetfeld um den Innenleiterstrom I ist so, daß 21rrB = pp0I . Mit i ist eine Flußänderung durch die Innen- und Außenleiter eines Kabelstücks dx begrenzte Fläche dcP = dx f'2 iJ dr = . ln pp0/ln(r2/rt)/(27r) verbunden, also ein Spannungsabfall dU/ dx = L*i = Jlfloiln(r2/ri)/(27r), d.h. L* = w0 In(r2/ r1) /(21r). Für das Doppelblech wie das Koaxialkabel ist C*L* -2 = eeoflflo = c efl. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • xxxxxxxxxxxxxxxxxx X X X X X X X X X fJ X X X X X -- Abb. L. 7. Verteilung des Magnetfeldes in einem Koaxial- kabel 7.6.11. Wellenleiter Wir schalten eine Reihe von Spulen hintereinander und ebensoviele Kondensatoren quer dazu. Induktivität bzw. Kapazität pro Längeneinheit seien L * bzw. C*. Längs des Kapitel 7: Lösungen 1117 ·-I - I - I - I - r------Ic* I I I T _:~ L* (a) R* L* :~W1t1f1Ln_-_~n (b) Abb. L. 8. Ein ideales Kabel als Strickleiter aus Spulen und Querkapazitäten (a) und ein reales Kabel (b) Leiterstücks dx fällt die Spannung um dU= L* clxi, wenn sich der Strom zeitlich wie i ändert, speziell bei einem Si- nussignal dU = iwL *I dx. Dies ist die Maschenregel für diesen Fall. Die Knotenregel liefert längs derselben Strecke einen Stromabfall, der gleich dem Querstrom über die Kapa- zität ist: di = q dx = C* iJ dx, für ein Sinussignal di = iwC*Udx. Beide Gleichungen U' = iwL*I, I'= iwC*U (Strich: Ableitung nach x) liefern zusammen U" = - w2 L * C* U und dieselbe Gleichung für I. Die Lösung ist U = Uo sin(wvL*C*x). Zu einer festen Zeit hat die Span- nungs- und auch die Stromverteilung eine Wellenlänge A. J21rj(wvL*C*) . Die Welle läuft mit wA.j(21r) = 1/ L*C* über die Leitung. Nach Aufgabe 7.6.10 ist das gleich c / Jf,: Die Geschwindigkeit einer Welle im Isolations- medium hängt nicht davon ab, ob Leiter darin sind, nur ihre Amplitude hängt davon ab. Wenn die Leitung den Ohm- sehen Widerstand R* und den Querleitwert G* pro Längen- einheit hat, wird der Spannungsabfall U' = (iwL* + R*)I , der Stromabfall I' = (iwC* + G*) U, es folgt U" = (iwL* + R*j(iwC* + G*) '!, also eine abklingende Welle U = Uo e- x e•w(r-xj c) . D1e Größen (j und k = w j c ergeben sich in ziemlich komplizierter Weise als Real- und Imaginär- teil von J(iwL* + R*)(iwC* + G*). Nur für hohe Frequen- zen w » J R*G* / (L*C*) kann die Welle mehrere Perioden machen, bevor sie ganz abklingt. Aus U' = J(iwL* + R*)(iwC* + G*) U = (iwL* + R*)I folgt U / I= Z = J(iwL* + R*) /(iwC* + G*). Das ist der Wellenwider- stand der Leitung. 7.6.12. TV-Kabel Nach Aufgabe 7.6.11 ist der Wellenwiderstand Z tatsächlich unabhängig von der Kabellänge. Wenn er auch frequenz- unabhängig sein soll, muß R* « wL * und G* « wC* sein, also z = J L* I c•. Beim Koaxialkabel ist nach Aufgabe 7.6.10 Z = J L* /C* = J Jlo(ln r2/rt)2 /(47r2eeo) = 600. Für das Vakuum gilt Z = ~ = 326,70, also folgt 4~ e / (In r2 / r1 )2 = 29 ,6. Da r2 ~ 2 mm, r1 ~ 0,3 mm, muß die Isolation e ~ 2,7 haben. Für die 1118 Lösungen zu den Aufgaben 240 Q-Doppelleitung, aufgefaßt als Doppelblech mit d ~ b, folgt aus Z ~ J flo / ( cco) = 240 Q ein non ähnlicher Größe. Wenn Sie die Doppelleitung wählen sollten, malen Sie sie nicht etwa an und legen Sie sie nicht unter Putz: Es ist eben kein Doppelblech, die Felder dringen teilweise aus dem Kabel heraus, und wenn dort keine Luft ist, stimmt der Wellenwiderstand nicht mehr. 7.6.13. Kabelabschluß Hin- und rücklaufende Welle überlagern sich zu einer stehen- den Welle, in der Energie nur stellenweise hin- und her- schwappt, aber nicht kontinuierlich fließen kann. Schließt man die Kabelenden über einen Widerstand zusammen, der gleich dem Wellenwiderstand des ganzen Kabels ist, dann "denkt"die Welle, das Kabel gehe immer so weiter, und wird nicht reflektiert. Die Betrachtung der Widerstands- leiter (Aufgabe 6.3.9) liefert mit allgemeinen komplexen Wi- derständen Z1 im Holm und Zz quer dazu in jeder Sprosse einen Gesamtwiderstand Z = Z1/2 ± Jzr /4 + Z1Zz, der gleichzeitig der Abschlußwiderstand ist, bei dem vom nie- mand merken kann, ob die Leiter hinten unendlich weiter- geht oder nicht. Wenn ein Kabelstück d.x die Längsinduktivi- tät L*d.x und die Querkapazität C*dx hat, ist der Abschluß- widerstand Z = !iwL*d.x (1 ± Jl- 4/(w2L*C* dx2)). Hier muß man sinngemäß d.x gegen 0 gehen lassen. Dadurch wird das zweite Glied in der Wurzel beliebig groß, und Z = J L* / C* wird ein Ohmscher Widerstand, der genauso- groß ist wie der Wellenwiderstand des Kabels. Dies stimmt auch, wenn das Kabel einen Längswiderstand und eine Quer- leitfähigkeit hat (Aufgabe 7 .6.11 ), nur ist der Abschlußwider- stand dann i. allg. nicht reinohmschund wird frequenzabhän- gig. Der richtig angepaßte Empfänger hat ebenfalls den Ein- gangswiderstand Z, z. B. 60 Q oder 240 Q. 7.6.14. Wellenwiderstand Für die Doppelleitung ist E = U / d und H = I/ b, also stim- men beide Definitionen des Wellenwiderstandes nur für d = b überein (wo aber unsere Betrachtungsweise nicht mehr stimmt, denn sie setzt d « b voraus). Das Koaxialka- bel hat E = U/(rln(r2 /ri)), H = I/(27rr); nur bei ln(r2/ri) = 21r, d. h. rz = 535rl ist U /I= E/H. Da man so extreme Geometrien im Hausgebrauch kaum wählen kann, hätte die Fernseh- oder Ultrakurzwelle, sogar abgese- hen vom Einfluß des Isoliermaterials, beim Übergang aus der Luft ins Antennenkabel ähnliche Schwierigkeiten wie eine Schallwelle beim Übergang von der Luft ins Wasser (Auf- gabe 4.2.7) oder Licht beim Übergang von Luft in Glas. Die "Anpassung" zwischen den beiden Medien besorgen im Mittelohr die Gehörknöchelchen (Hammer, Amboß, Steigbügel), in der Antenne tut es ein Übertrager, d. h. ein 1 : 1-Trafo. - Innerhalb der Doppelleitung ist der Poynting- Vektor S = EH = UI / ( db ), er zeigt in Richtung der Lei- tung, denn E und H stehen quer dazu und senkrecht auf- einander. Insgesamt fließt durch den Leiterquerschnitt db die Leistung Sdb = UI: Man kann diese Leistung ebensogut durch Strom und Spannung in den Blechen wie aus der reinen Feldvorstellung ausdrücken. Beim Koaxialkabel ist E = U/(rln(rz/ri)), H = I/(27rr), S = UI/(2u2 ln(rz/ri)). Die Leistung ergibt sich durch Integration über den Quer- schnitt: P= J~2 21rrSdr = UI/ln(rz/ri) · J~2 dr/r = UI, auch hier. 7.6.15. Widerspruch? Wir haben für Doppelblech und Koaxialkabel nur Wellen- modes betrachtet, die sich um die Existenz der leitenden Wände eigentlich gar nicht kümmern, weil ihrE-Feldüberall senkrecht auf den Wänden steht. Für solche Modes sieht zwi- schen den Wänden das Feld genauso aus wie im Vakuum und breitet sich auch ebensoschnell aus. Anders z. B. im rechtek- kigen Hohlleiter: Wenn E z. B. senkrecht zu einem Wandpaar steht, ist es parallel zum anderen und würde darin gewaltige Ströme auslösen, es sei denn, es nimmt an diesen Wänden auf 0 ab. Das Feld hat also nicht mehr die Vakuum-Konfigura- tion, der Einklemmeffekt läßt die Welle schneller fortschrei- ten: Dasselbe passiert auch im runden Koaxialkabel mit allen Wellenmodes, deren E-Feld nicht überall radial gerichtet ist. 7.6.16. Tscherenkow-Strahlung In dem Feldimpuls, der das geladene Teilchen begleitet, herrschen die Felder E = e/(47rcor2 ), B = vEjc2 = ev/(47rcoc2r) = eVf1o/(47rr2 ), H = evj(47r~). E und H stehen senkrecht aufeinander, also hat der Poynting-Vektor den Betrag S =EH= e2v/(16Jr2cor4 ), seine Richtung ist parallel zur Teilchenbahn. Betrachten wir ihn trotzdem als radial, so erhalten wir eine Abstrahlungsleistung P = 4u2S = e2 vj(47rco~). Diese Leistung ist, vom Ab- stand r aus betrachtet, in einem Impuls der Dauer t ~ r / v konzentriert, hat also die beherrschende Fourier-Kompo- nente w ~ t- 1 ~ vjr. Wir ersetzen also r durch vjw und erhalten P = e2w2 /(47rcov). Diese Leistung wird in Form von Photonen Tiw abgestrahlt. Ihre Anzahl/s ist P / ( Tiw) ~ e2 w / ( 4Jrcliv), ihre Anzahl/rn Bahnlänge ist dN / d.x = P / ( Tiwv) ~ e2 w / ( 4Jrcoliv2 ). Da der Tscheren- kow-Effekt nur bei v ~ c auftritt, gilt auch dN /d.x ~ 11.wjc, wo 11. = e2 /(47rcolic) = 1j7 die Feinstruktur- konstante ist. w gibt hier die Maximalfrequenz an, mit der Photonen noch ausgesandt werden können. Dies ist nur der Fall, wenn die Brechzahl n > 1 ist (Aufgabe 17.3.8), d. h. nur bis zur höchsten Resonanzfrequenz des Atoms (Abschn.l0.3.3). Für ein H-Atom entspricht dieses wjc = r 1 der höchsten Lyman-Frequenz, d. h. der Rydberg-Kon- stante (Abschn.12.3.3): w/c ~ 107 m- 1. Im Feld eines Kerns mit der Ordnungszahl Z werden Maximalenergie und Maximalfrequenz um den Faktor Z2 größer. Wir erhal- ten dN/dx ~ 11.Z2 I07 ~ 105Z2 (Weglänge in Meter). Dies weicht nur um den Faktor 2 von der beobachteten und streng berechneten Photonenzahl ab. Diese Emission bremst natür- lich das Teilchen so schnell ab, daß es selten meterweit kommt. Die Anzahl der Photonen ist proportional Z2 , ihre Maximalenergie ebenfalls, und zwar etwa W max = Z2 · lOeV. Damit wird die Wellenlänge x ~ W jZ4 (W in MeV, x in Meter). 7.6.17. Pulsar Abschätzungen für Radius R des 1,5 ms-Pulsars: (1) R < clw = 72km; (2) w2R < GMIR2 =;. R < ijGMiw2 ~ 20km; (3) L ~ R2w = const =? R ~ liJW, R ~ 10km; (4) Radius des Neutrons 1 ,2 · 10-15 m, Sonne enthält etwa 1057Nukleo- nen, also R ~ 20 km. Strahlung: Hier ändert sich ein magne- tischer Dipol und strahlt ähnlich wie ein sich ändernder elek- trischer hauptsächlich mit seiner Änderungsfrequenz. Den Anschluß an den Hertz-Strahler findet man am besten, wenn man an den Strom denkt, der das Magnetfeld B er- zeugt. Angenommen, er fließt durch den ganzen Sternquer- schnitt, dann ist außen B ~ f.lol l(27rR). Den Strom kann man darstellen I= 1rR2J = 1rR2env. Insgesamt fließt im ganzen ~tern die Ladung Q = 11rR3ne, also B = if1oQvl(7rR2 ), B = if10 Qvl(7rR2 ). Nach (7.130) strahlt eine beschleunigte L~dung mit der Leistung P = iQ2v2l(1re0c3 ), hier P ~ 7rB2R4 1(f.1Öeoc3 ) = 7rB2w2R41(f.1Öe0c3 ). Allein durch sein kreiselndes Magnetfeld strahlt ein Pulsar also etwa millionenmal stärker als die Sonne, wenn auch haupt- sächlich im kHz-Bereich. Sonst könnte man solche Objekte auch nicht in den 104 - 105 Lichtjahre entfernten Kugelsternhaufen entdecken. Diese Strahlungsleistung kann nur entnommen werden aus der Rotationsenergie W = !Jw2 = kMR2w2. Die Lebensdauer der Rotation ist also r = W IP ~ MJ.1Öeoc3 I(S1rR2B2 ). Daraus ergibt sich - -8.1.1. Austrittsarbeit Die Feldlinien strahlen zunächst radial vom Elektron aus, biegen dann aber bald auf die Metallplatte zu und münden überall senkrecht in sie ein. Täten sie es nicht, verschöbe die zur Oberfläche parallele Feldkomponente die Ladungen im Metall so lange, bis die senkrechte Stellung erreicht ist. Genauso sieht eine Hälfte eines Dipolfeldes aus: Auch hier stehen die Feldlinien senkrecht auf der Mittelebene. Metall und Elektron (Abstand d) ziehen sich also an wie zwei La- dungen +e und -e im Abstand 2d, nämlich mit der Kraft e2 l(l67rBod2 ), genannt Bildkraft oder Spiegelkraft; die posi- tive Ladung ist ja das Spiegelbild des Elektrons am Spiegel der Metalloberfläche. Das gilt aber nur bis zu Abständen, die etwa gleich dem Atomabstand im Metall sind, denn für noch kleinere Abstände ist das Metall sicher nicht mehr glatt. Das Elektron aus diesem Abstand do bis ins Unendliche zu ent- fernen, kostet die Energie W = e2 l(87reodo). Cs und Ba ha- ben große do, also kleine W. Aus der Dichte 2 000 kglm3 des Cs folgt do = 5 ·10- 10 m, also W = 1,4eV, was hervorra- gend stimmt. 8.1.2. Glühemission Ein Elektron hat die Wahrscheinlichkeit e-w I (kT), beim An- rennen gegen die Metalloberfläche ins Freie zu kommen. Die n Elektronen1m3 laufen mit v = J3kT Im, also rennen i nv Elektronen m-2 s- 1 an, genau wie bei der kinetischen Her- leitung des Gasdrucks. Die Emissionsstromdichte sollte also sein KapHel 8: Lösungen 1119 B ~ 3 · 106 T für den 30 ms-Pulsar, 104 T für den 1,5 ms- Pulsar. Hier ist natürlich nur die zur Drehachse senkrechte Feldkomponente gemeint. Das Gesamtfeld kann etwa hundertmal größer sein. Wenn bei der Kontraktion der Magnetfluß erhalten bleibt, kommt man von den 0,001 T der Sonne tatsächlich auf ähnliche Werte. Die Periodizität kommt natürlich daher, daß ein Dipol nicht in alle Richtun- gen gleichzeitig strahlt (Leuchtturmeffekt). 7.6.18. Röntgenquelle Ein Pulsar als Neutronenstern enthält keine getrennten Kerne mehr, geschweige denn solche mit Elektronen- schalen. Auch die Materie, die um ihn kreist oder die er ein- fängt, ist einschließlich der innersten Schale ionisiert. Ein Atom um Z = 65 könnte eine K-Linie in dieser Gegend haben, aber warum sollte ausgerechnet eine seltene Erde so überwiegen? Für eine Kreisbahn im B-Feld muß neben mv2 Ir = evB die Quantenbedingung mvr = nli gelten. Da- mit folgen die Bahnenergien zu Wn = !mv2 = neBlil(2m) (äquidistante Terme). Die 58 ke V verlangen B ~ 109 T. Die Sonne mit ihren 10-3 T könnte auch bei Kontraktion auf 10 km höchstens ein normaler Pulsar mit 107 T wer- den, aber es gibt Hauptreihensterne mit dem 100- bis 1 000-fachen Magnetfeld. - -Je= ienve-W/(kT) = ienJ3kT lme-W/(kT). Die Integration der Maxwell-Verteilung liefert etwas genauer Je = enJkT I ~21rm) e-w /(kT). Hier steht vor dem Exponen- ten VT statt T wie in (8.1 ). Das wäre noch nicht so schlimm, aber der eben berechnete Zahlenwert stimmt ganz und gar nicht: n ~ 1029 m-3, v ~ 2 · 105 rnls bei 1 000 K, also sollte der Faktor ienv ~ 5 · 1014 Alm2 sein. Gleichung (8.1) mit C=6·105 Am-2 K-2 und die Messung liefern nur 6 · 10ll Alm2, also 800mal weniger. Außerdem sollte die Dichte n der freien Elektronen in den einzelnen Metallen ziemlich verschieden sein, während experimentell für alle fast der gleiche Faktor herauskommt. Hier zeigt sich deut- lich, daß die Metallelektronen nicht der Maxwell-Boltz- mann-, sondern der Fermi-Dirac-Statistik gehorchen (vgl. Aufgabe 18.3.1). 8.1.3. Arrhenius-Auftragung Die Arrhenius-Auftragung einer Größe x, die als Funktion der Temperatur T gemessen wurde, also die Auftragung lnx über liT zeigt sofort anschaulich, ob es sich um ein Gesetz der Form x = xo e-w /(kT) handelt. Wenn das der Fall ist, stellt In x = In xo - W I ( kT) eine Gerade mit der Neigung W lk und dem Ordinatenschnittpunkt bei lnx0 dar. Dabei ist allerdings zu beachten, daß die Ordinatenachse T = oo entspricht. Genauere Analyse der "Geradheit" der gemessenen Punkteschar in dieser Auftragung (lineare Regression mit den Variablen In x und 1 IT) liefert Bestwerte 1122 Lösungen zu den Aufgaben messung trennt e und m. Für ß-Teilchen ist e / m fast 4 OOOmal größer als für IX-Teilchen, also kann B bei gleichem elektri- schen Feld 20mal kleiner sein. Bei y-Strahlung läßt die Nicht- ablenkbarkeit selbst in den größten Feldern auf sehr kleines e oder sehr großes Wund p schließen. Nimmt man an, die Ele- mentarladung sei unteilbar, dann ergeben sich z. B. aus dem mit 0,1 o Genauigkeit festgestellten Ausbleiben der Ablen- kung in einem 10cm langen 10kV/cm-Feld Energien von mindestens 30 MeV. Da alle übrigen Zerfallsenergien bei der natürlichen Radioaktivität viel kleiner sind, schloß man bald, daß die y-Strahlung keine Ladung hat. 8.2.4. Oszillograph Legt man an die x-Platten die Spannung Ux = u, sin wt, an die y-Platten Uy = U2 sin(wt + 6), dann erhält man bei ver- schiedenen Werten von UJ/U2 und 6 Kreise, Ellipsen und Gerade mit den verschiedensten Halbachsen, Orientieron- gen und Exzentrizitäten: Kreis bei u, = U2 und 6 = 1rj2, Gerade mit tan IX = U2/ U1 bei 6 = 0, sonst Ellipsen mit dem gleichen KippwinkeL Diese Amplituden-und Phasen- verhältnisse lassen sich am einfachsten herstellen, wenn man Spulen, Kondensatoren, Widerstände in verschiedener Kombination in die Zuleitungen legt. Ist die Frequenz an x doppelt so groß wie die an y, ergibt sich eine 8, im umgekehr- ten Fall ein oo (Phasenverschiebung 1r /2). Inkommensurable Frequenzverhältnisse lassen Lissajous-Figuren entstehen, d. h. Schleifen, die nach und nach das ganze Reckteck u,' u2 abtasten. 8.2.5. Fernsehröhre Der Elektronenstrahl muß 625 Zeilen mit je 833 Bildpunkten in 1125 s zeichnen, also 1,3 · 107 Bildpunkte/s. Wenn man zuläßt, daß die Punkte immer abwechselnd hell und dunkel sein können, brauchte man eine Frequenz der Helligkeits- steuerung von 6,5 MHz (praktisch genügen 5 MHz). Die Bildinformation muß auf Trägerwellen von wesentlich hö- herer Frequenz aufmoduliert sein ( 40-800 MHz, entspre- chend Wellenlängen von 5 m bis 25 cm). Bei Frequenz- wie bei Amplitudenmodulation bedingt nämlich die Signal- frequenz eine entsprechende Verbreiterung des Trägerban- des. Die Zeilen- und die Zeilensprung-Ablenkung könnten durch Kondensatoren mit der Kipp- bzw. Sprungfrequenz 25 · 625 = 15,5 kHz erfolgen (in Wirklichkeit durch Magnet- spulen). Hunde und manche Kinder hören diese Frequenz. Die Ablenkung um 50° in Flachröhren würde bei 1 kV Röhrenspannung 2,4 kV am Zeilenkondensator erfordern (taniX = VK/(2Ue)). Solche Elektronen laufen mit 1 ,6 · 104 km/s, brauchen also bis zum Bildschirm nur 20 ns, was noch zehnmal kleiner ist als die minimale Hellig- keitsperiode. Die Raumladungen aufeinanderfolgender Elektronenimpulse beeinflussen einander also nicht. In der Praxis ist die Anodenspannung noch 20mal größer. Da die entsprechende Ablenkspannung kaum noch zu handhaben wäre, benutzt man zum Ablenken Spulen. 8.2.6. Thomson-Parabel Bei einheitlicher Energie wird die Thomson-Parabel zu einem Punkt bei x = eBla/(mv), y = eElaj(mv2 ). Ein Rein- nuklid sendet ß-Teilchen mit einem kontinuierlichen Ener- giespektrum aus, das von 0 bis zur Maximalenergie Wm reicht. Wm ist i. allg. eine relativistische Energie (größer als 500 ke V). Daher erhält man einen Ast der zugespitzten "Parabel" Abb. 8.23, der nicht ganz bis zum Scheitel ausge- zeichnet ist. 8.2. 7. Triode A sei ein charakteristischer Querschnitt des felderfüllten Raumes. Dann ist der Strom durch die Diode I~ Aj ~Aso 2e m U312 jd2 . Differenzieren liefert Ri = dU jdi ~ m/(2e) d2 /(As0u112). Mit d ~ 1 mm, A ~ 1 cm2, U ~ 100 V erhält man Ri ~ 103 Q. 8.2.8. Durchgriff D = CAKICaK, Gitter ist näher an Kathode, und C rv 1ld. Maximale Spannungsverstärkung ist 1 I D. Ein Eingangs- signal soll ja nur seine Höhe, nicht seine Form ändern. Anderenfalls erhält z. B. ein Sinus Oberschwingungen (Klirrfaktor). 8.2.9. Anoden-Basisschaltung In dieser Schaltung lädt ein winziger Strom das Gitter stark auf und ändert damit den Anodenstrom gewaltig: Hohe Stromverstärkung. 8.2.10. Logarithmische Kennlinie Anlaufstrom der Röhre und Strom durch Halbleiterdiode folgen der Boltzmann-Kurve I= Io exp( -eU l(kT)), also U= (kTie)ln(Ioll). 8.2.11. Phasenschieberoszillator Da praktisch kein Gitterstrom fließt, ergeben sich aus der Knoten- und der Maschenregel folgende Beziehungen (x = wCR): h = UI/R, h = U2/R, h = URIR, UA = U1 + (Ut + U2 + UR)I(ix), U1 = U2 + (U2 + UR)I(ix), U2 = UR(l + 1/(ix)). Elimination von U1 und U2 liefert UA = (1 + 6l(ix)- 5lx2 - 1l(ix3))UR. Damit K, der rezi- proke Klammerausdruck, die verlangte Phasenverschiebung 1r liefert, muß er negativ reell sein, d. h. die i-Glieder müssen einander wegheben: x = j176, also w = 1/( v'6RC). Es folgt K = - -fcy. Der Verstärker muß also den merkwürdigen Wert V= -29 haben. Ein RC-Glied dreht die Phase um weniger als 1r 12, daher braucht man mindestens drei. Mit zwei RC-Gliedern ergibt sich 1IK = 1 + 3l(ix)- 11~, woraus das i-Glied nicht wegzubringen ist. 8.2.12. Meißner-Dreipunktschaltung CA bedingt keinen Spannungsabfall, weil das Gitter stromlos arbeitet. Der Schwingkreis aus C und L = L, + L2 ist leicht zu Schwingungen mit w = 1 I /LC zu erregen. Von der Spulenspannung greift UR dann einen Teil ab, nämlich UR= iw~I. Da andererseits UA = I(1l(iwC) + iwL2), folgt K = URIUA = w2L2CI(w2L2C- 1). Dies ist negativ reell für alle w < 1 I ,;r;;E. Mit dem w des Schwingkreises folgt K = - L2/ L1. Mit diesem Verhältnis kann man sich dem V des Verstärkers anpassen. 8.2.13. Brückenschaltung Aus VA = I(R1 + 1l(iwCJ) + 1I(1IR2 + iwC2)) und UR= II(1IR2 + 1l(iwC2)) folgt 1IK = 1 +RI/R2 + C2/C1+ iwC2R1- il(wC1R2). Bei w = 1I)R!R2C1C2 ist K reell, aber positiv (deswegen ein zweistufiger Verstärker, der zwei- mal die Phase umdreht, also positives V hat). V = 1 I K = 1 + RI/R2 + C2IC1 kann jeden Wert größer als 1 haben. 8.2.14. Quarzuhr Quarz ist einer der besten Isolatoren, aber wenn er piezo- elektrisch schwingt, d. h. wenn sich die positiven gegen die negativen Ionen verschieben, bedeutet dies einen Wech- selstrom (Verschiebungsstrom, Influenz auf den anliegenden Elektroden). Dies gilt für jedes Dielektrikum. Aber beim Quarz als polarem Kristall sind diese Verschiebung und ihre Phase nach einer Resonanzkurve abhängig von der Fre- quenz des erzwingenden Feldes. Wenn x die Dickenänderung des Quarzes ist, geht der Strom mit x. Bei kleinen Frequenzen ist x "' U, der angelegten Spannung, der Quarz verhält sich wie ein Kondensator bzw. dessen Dielektrikum. Bei der Ei- genfrequenz des Quarzplättchens, die sich berechnet wie bei der geschlossenen Pfeife, ist x "' I in Phase mit U, der Quarz wirkt als Ohmscher Widerstand. Bei hohen Frequenzen ist .X"' I"' U, der Quarz wird zur Spule. Wegen der geringen Dämpfung ist die Resonanz der Quarzschwingung sehr scharf; man kann auch sagen: Das quasistatische Anfangs- plateau I = iwCU liegt wegen des winzigen C eines Quarz- kondensators ( ~ 1 pF) sehr tief, also ist die Güte 1 I ( wCR) dieses Elements sehr hoch. So scharf könnte die Resonanz eines rein elektrischen Schwingkreises nie sein. Im Kreis Abb. 8.31 sperrt also der Quarz bei w « wo, weil sein Cq so klein ist, bei w » wo auch, weil I wie 1 I w abgefallen ist. Nur ganz nahe der Quarzresonanz kann der Kreis schwin- gen. Dann ist der Quarz so "weit offen", daß es auf evtl. kleine Änderungen von L und C z. B. infolge Temperatur- schwankungen nicht ankommt. Diese Resonanzschwin- gung, über einen Transistor rückgekoppelt, hält sich selbst aufrecht, falls man für Gegenphasigkeit der Spannungen an 34 bzw. 12 sorgt. Exakt in der Resonanz sind die Span- nungen um 1r 12 auseinander (Quarz~ R). Schon ganz wenig oberhalb von wo aber wirkt der Quarz als Spule (die rp( w )- Kurve macht ja bei hoher Güte eine steile Stufe bei wo). Dann haben wir die Situation der Dreipunktschaltung mit der richtigen Phase der rückgekoppelten Spannung. 8.3.1. Rekombinationskoeffizient Rekombination findet statt, wenn ein negatives Ion einem positiven näher als bis auf einen kritischen Abstand ro kommt, d. h. wenn das eine Ion in eine Scheibe vom Stoß- querschnitt A = u6 um das andere trifft. Im m3 sind n positive Ionen, also n solche Scheiben mit der Gesamtfläche nA. Die Wahrscheinlichkeit, daß das negative Ion auf einem Weg dx eine davon trifft, ist nA dx, oder daß es in der Flugzeit dt eine trifft, nAvdt. Da im m3 auch n negative Ionen sind, finden in diesem Volumen in jeder Sekunde n2 Av Rekombi- nationsakte statt. Der Rekombinationskoeffizient läßt sich also darstellen als ß = Av. Wie groß ist aber A, d. h. welches Kapitel 8: Lösungen 11123 ist der kritische Abstand ro? Die Ionen können einander bestimmt nicht einfangen, wenn ihre kinetische Energie größer ist als die potentielle in dem Moment, wo beide einander am nächsten sind. Andernfalls ist Einfang mög- lich, falls ein dritter Partner in der Nähe ist, der den über- schüssigen Impuls abführt. Sieht man dies zunächst als ga- rantiert an, ergibt sich ro aus Wkin = ~ kT = Wpot = e2 l(4m:oro), also ro = e2 l(67rcokT), A = e4 l(367rcÖk2T2), ß = e4vl(367rcÖk2T2 ) = ,;3e41(367rcÖm112 (kT) 312 ). Bei 300 K, wo kT = fo e V, wird ro = 500 A (Vergleich mit dem H-Atom, wo Wpot = 2 · 13,6eV für r = 0,5 A), also A ~ 10-10 cm2 , v = 5 · 104 cm/s, d. h. ß = 5 · 10-6 cm3 ls, was der Erfahrung ganz gut entspricht. Falls die Bedingung über den dritten Partner, der den Impuls abführt, immer er- füllt ist, hängt ß nicht vom Druck ab. Freie Elektronen brau- chen kaum berücksichtigt zu werden, da sie sehr schnell unter Bildung negativer Ionen weggefangen werden. In der kineti- schen Betrachtung sind natürlich die Worte "negativ" und "positiv" vertauschbar. 8.3.2. Glimmentladung Der Strom der unselbständigen Entladung bei ständiger Auslösung von No Elektronen/s an der Kathode ist nach Townsend I= eNoead 1(1- y(ead_ 1)). Solange y(ead_ 1) sich der 1 nähert, biegt I nach oben ab und schnellt bei ad = ln(1 + 1/y) ins Unendliche (Durchschlag). Bei y » 1 bedeutet die Durchschlagsbedingung ad ~ 1/y; dann kommt die etxd_Abhängigkeit gar nicht zum Tragen, sondern der Durchschlag erfolgt praktisch vom Anfangs- strom Io = eNo aus. Bei y « 1 liegt der Durchschlag bei ad ~ ln(1/y), was nie viel größer als 1 wird. Als Funktion der Spannung dargestellt, verläuft I noch viel steiler, denn ad = pdf(Eip) ist nach Abb. 8.40 eine sehr steile Funktion von E. Die Summation der geometrischen Reihe, die zu dieser Kennlinie führt, ist nur gültig bei y ( etxd - 1) ;;; 1. Schon deshalb hätte es keinen Sinn, die Kurve hinter dem Durchschlag weiterzeichnen zu wollen. 8.3.3. Zündspannung Im Feld U I d gewinnen die Elektronen längs einer freien Weglänge l die Energie elU I d. Wenn das Elektron beim nächsten Stoß seinen ganzen Energiegewinn wieder herge- ben muß, lautet die Zündbedingung, daß dieser Gewinn gleich der Ionisierungsenergie sein muß: elU ld = Wion· Da l = 1l(nA) und p = nkT, kann man auch schreiben U = ApdWionl(ekT). Bei p = 1 bar= 105 Nlm2 und Wion ~ 1 e V folgt U I d ~ 104 V /cm, bei 0,1 Torr nur etwa 1 V /cm. Die Townsend-Theorie enthält nicht die Annahme vollständigen Verlusts nach einer freien Weglänge. Ihre Zündbedingung lautet ad = pdf(U l(pd)) = ln(1 + 1/y). Da f( U I (pd)) eine sehr steile Funktion ist, kommt man praktisch auch wieder auf eine Bedingung der Form U = const pd, wobei ebenfalls const ~ 104 V cm -I bar-1. 8.3.4. Durchschlag E = alr, U = aln(rt/ro), E = U l(rln(riiro)) ~ 107 V/rn; Bereich hat r ~ 100 ~m. 1124 Lösungen zu den Aufgaben 8.3.5. Funken Im Feuer oder Feuerzeug spielen Felder und Ströme keine direkte Rolle, also handelt es sich nicht um Entladungs- erscheinungen. Die "Funken" sind einfach glühende makro- skopische Teilchen, die zwar auch nicht heißer sind als die umgebenden Flammengase, aber ein höheres Emissionsver- mögen haben und sich deshalb vom schwach leuchtenden Gashintergrund abheben. Beim Feuerzeug oder Feuerstein sind es mechanisch oder chemisch erhitzte Mineralsplitter- chen. Die eigentlichen Entladungen kann man so klassifizie- ren: Glimmentladung stromschwach, weil wenig Spannung oder wenig Ladung, ohne konzentrierte Stromfäden. Funken stromstark, aber kurzlebig, weil geringe, rasch verpuffende Ladung, die aber in konzentrierter Stromröhre entladen wird. Bogen stromstark trotz meist geringer Spannung, Selbsterzeugung von Ladungsträgern. Die Zündspannung steigt mit dem Druck. Entladungen in Normalluft sind daher meist stromstark (Funken oder Bogen), außer bei sehr kleiner, weit verteilter Ladung (Nylonhemd). Erst für schwa- che Vakua sind Glimmentladungen typisch. Bei Konzentra- tion durch gutgeerdete Gasleitungen schlägt auch Kleider- Reibungselektrizität in Funken über. Die Spannungen gehen offenbar bis über 10 k V. Trotzdem sind die Ladungen so ge- ring, daß außer einem Schreckeffekt nichts passiert. Daß die Aufladung während der Autofahrt etwas mit der Übelkeit zu tun haben soll, haben sich wohl die Schleifriemenfabrikanten ausgedacht. Der Blitz steht zwischen Funken und Bogen (beschränkte Ladungsmenge). 8.3.6. Blitz Aus einer Wolkenfläche 10 km2 , Höhe 500 m, mögen 30 Blitze kommen. Durchschlagsspannung 500 MV, Ladung des Kondensators Wolke-Erde Q = eoAE = 90 A s, Blitz- dauer 1 ms, Strom 3 kA, Leistung 1,5 TW(!), Energie 1,5 GJ = 420 kWh. 3 A s fließen durch die 100 W-Lampe in 7 s, durch den 20 W-Rasierer in 35 s. 8.3.7. Leuchtstoffröhre Schließt man den Schalter, dann zündet die Glimmentladung und heizt den Bimetallstreifen, so daß er nach kurzer Zeit schließt. Dann bricht die Spannung am Glimmzünder zusam- men (die 220 V fallen jetzt voll an der Drosselspule ab), die Glimmentladung erlischt. Daher kühlt sich der Bimetallstrei- fen wieder ab und öffnet. Diese plötzliche Stromänderung induziert in der Drosselspule einen hohen Spannungsabfall (höher als beim Schließen des Schalters und des Glimmzün- ders, weil die Stromänderung plötzlicher ist). Diese erhöhte Spannung zündet endlich die Leuchtstoffröhre. Sollte das nicht der Fall sein, wiederholt sich der Zyklus so oft, bis die Lampe schließlich doch brennt, wie man gelegentlich beobachtet. 8.3.8. Elektronenmühle Der Impuls der aufprallenden Elektronen treibt das Rad direkt. Bei 1 kV Anodenspannung und einem Strom von 1 mA ist die Leistung (Energie/Zeit) P = 1 W, die Kraft (Impuls/Zeit) F = Pjv, wo v die Elektronengeschwindig- keit ist. Elektronen mit 1 keV fliegen mit 2 · 107 m/s, also F = 10-7 N. Der Strahlungsdruck würde solche Kräfte, z. B. auf A = 1 cm2 Schaufelfläche, erst bei einer Intensität I= cF /A ~ 105 W m-2 aufbringen, d. h. bei hundertfachem vollen Sonnenlicht. Das Rädchen dreht sich bei viel weniger Licht, aber nicht infolge des Strahlungsdruckes, sondern infolge der Erwärmung des Restgases vor den Schaufeln (Radiometereffekt, Aufgabe 5.8.2). 8.3.9. e/m In ein gegebenes Kathodenstrahlrohr kann man i. allg. nicht hinein. Zur Ablenkung muß man also ziemlich weiträumige Felder verwenden, z. B. einen Kondensator mit U = 5 kV, d = 5 cm, Breite 10 cm. Wenn die Anodenspannung U A be- kannt ist (z.B. lOkV), erhält man aus dem Ablenkwinkel (hier 2. 5kV /(2 · lOkV) ~ 30°) die Ladung e, aber keine Aussage über die Masse. Schon das erdmagnetische Feld (B ~ 0,2G = 2 · 10-5 Vs/m2) krümmt einen sehr feinen Strahl merklich Ct o auf 1 m Länge), woraus man schließt e/m = 2rxUA/(z2B2 ) ~ 2 · 1011 C/kg. Der höchste e/m- Wert für Ionen (Protonen) wäre 108 C/kg. 8.3.10. Elektronenschatten Wenn die Elektronen, die am Rand des Hindernisses vorbei- gehen, alle genau gleiche Geschwindigkeit und Flugrichtung hätten, würde die Lorentz-Kraft im Magnetfeld (das streng homogen sei) das Elektronenbündel als Ganzes verschie- ben, der Schatten bliebe scharf. Die v-Werte sind aber nicht alle gleich, denn in der Ebene des Hindernisses herrscht nicht überall exakt das gleiche Potential. Das wäre zwischen un- endlich großen, parallelen Elektroden der Fall. Man will ja aber den Schatten auf der Glaswand sehen, das Hindernis muß also die Anode überragen. Dazu kommt der Rich- tungsunterschied, der bei punktförmiger Kathode an den ver- schiedenen Stellen des Hindernisses gilt, bei ausgedehnter Kathode sogar an der gleichen Stelle. Für die Lorentz-Kraft zählt nur die Komponente senkrecht zum B-Feld. Die ein- zelnen Teile des Bündels werden also verschieden stark ab- gelenkt, der Schatten wird unscharf. 8.3.11. Fallende Kennlinie Je größer der Strom im Bogen ist, desto heißer werden das Plasma und die Kohlen, desto leichter wird die Erzeugung von Ladungsträgern, desto weniger Spannung ist also nö- tig, um den Bogen aufrechtzuerhalten. Hält man die Kohlen- spannung trotz wachsenden Stroms konstant, dann wächst der Strom weiter unbegrenzt: Die Entladung "geht durch". Man kann sie stabilisieren, indem man den Strom selbst an einem Vorwiderstand einen Spannungsabfall erzeugen läßt, der sich von der Kohlenspannung subtrahiert. Der Bo- gen brennt sich dann auf einen Punkt seiner /(V)-Kennlinie ein, wo deren (negative) Steigung gerade so groß ist wie der Vorwiderstand. Es soll vorkommen, daß einer sich "verstöp- selt" und den Widerstand parallel zum Bogen legt. Dann bringt er nur den Moment näher, wo die Zuleitungsdrähte durchschmelzen. durchmesser hat und 30 Erddurchmesser entfernt ist. Mit Hilfe dieser Daten schätzte er Entfernungen und Größen von Sonne und Fixsternen und stellte das heliozentrische Weltbild auf. 9.1.4. Finsternisse auf dem Mars Phobos und Deimos erscheinen vom Mars aus nur 0, l bzw. 0,02° breit, die Sonne 0,33° (vgl. Tabelle 1.2). Sie können also höchstens partielle Sonnenfinsternisse mit l 0 % bzw. 0,4 % Verfinsterung erzeugen, die kein Marsmensch ohne Hilfsmittel wahrnimmt. Dagegen ist der Marsschatten im Abstand seiner Monde noch so breit, daß bei jedem Voll- phobos bzw. -deimos Verfinsterung eintritt. 9.1.5. Was vertauscht der Spiegel Das Herz meines Spiegelbildes ist, absolut betrachtet, auf der gleichen Seite wie meines, sein Kopf ist auch auf der gleichen Seite wie meiner. Nur für Bauch und Rücken trifft das Gegenteil zu. Absolut betrachtet, vertauscht der Spiegel also nur vom und hinten, oder allgemeiner, er kehrt die Rich- tung senkrecht zu seiner Ebene um. Relativ, d. h. in bezugauf den Kerl, der mir da gegenübersteht, sage ich nicht, vom und hinten seien vertauscht, muß dann aber in Kauf nehmen, daß sich eine andere Richtung umkehrt. Welche? Das ist reine Definitionssache. Ob ich sage: Seitenrichtig, aber auf dem Kopf stehend, oder: Aufrecht, aber seitenverkehrt, kommt im Effekt auf dasselbe heraus. Da ich gewohnt bin, die Mit- telachse des Körpers als etwas Grundlegenderes zu betrach- ten, wälze ich die Vertauschung auf die Rechts-Links-Rich- tung ab. Diese Betrachtung setzt voraus, daß ich in Normal- stellung vor dem senkrechten Spiegel stehe. Zur Nachprü- fung denke man sich auf einem Spiegelfußboden. 9.1.6. Brennspiegel Im Rasierspiegel will man sich aufrecht und vergrößert sehen. Dazu muß man den Kopf zwischen Spiegel und Brennpunkt bringen. Solche Spiegel haben daher Brennwei- ten um l m. Das Bild der Sonne (g ~ oo, Winkelgröße Gig= 0,5° ~ 1 ~0) wird dann zu einem Brennfleck mit dem Durchmesser B = fG I g = f I 120 ~ 1 cm. Alles Licht, das auf die Spiegelfläche (Durchmesser D ~ 15 cm) fällt, sammelt sich idealerweise im Brennfleck, dessen Intensität also um den Faktor D2 IB2 = D2g2 I(PG2 ) ~ 152 größer ist als im normalen Sonnenlicht. Nach Stefan-Boltzmann (/ "' T4 ) bedeutet das eine Gleichgewichtstemperatur eines schwarzen Körpers im Brennfleck von T = JDgl(fg) To (To: Gleichgewichtstemperatur im normalen Sonnenlicht, ~ 300 K). Das setzt allseitige Bestrahlung und Verlustfrei- heit voraus. Bei einseitiger Bestrahlung und allseitiger Ab- strahlung verliert man den Faktor /2 in T. Ohne Konvekti- onsverluste im Vakuum würde man also etwa 700 K ~ 400 oc erreichen. In Luft wird das Papier nicht einmal braun. Lupen leisten mehr, wenn ihre Öffnung Dlf größer ist als 0,15. 9.1.7. Wunderwaffe Die Wunderwaffe hat nur Sinn, wenn die Brennweite f einem Schiffsabstand entspricht, über den man keine Brandfackel Kapitel 9: Lösungen 1127 mehr werfen kann, also f ;<:; 50 m. Um dann auch nur Papier anzuzünden, das völlig still gehalten wird, müßte man nach Aufgabe 9.1.6 einen Spiegel von weit mehr als 20m Durch- messer haben. Da Leinwand und sogar geteertes Holz viel schwerer brennen und nicht still halten, wird alles noch viel ungünstiger. Man braucht allerdings keinen Kugel- spiegel: Sehr viele sauber ausgerichtete Planspiegel tun es auch. Ein griechischer Ingenieur hat so im Hafen von Piräus tatsächlich ein Modellschiffchen in Brand gesetzt. 9.1.8. Brennlinie Die "Herzlinie" macht die optische Nichtidealität von Ku- gel- und Zylinderflächen augenfällig. Sie ist der geometri- sche Ort der Schnittpunkte von Strahlen, die an benachbar- ten Punkten der kreisförmigen Querschnittslinie· aus einem Parallelbündel reflektiert werden. Der eigentliche Brenn- punkt ist die Spitze, in der die beiden Bögen des "Her- zens" zusammenlaufen. Sie halbiert also den Ringradius. Ei- gentlich sollten sich alle Strahlen dort schneiden. Bei einem parabolisch gebogenen Blech tun sie das auch. Der Ring be- rührt dieses Parabolblech von innen, lenkt weiter außen auf- treffende Strahlen zu stark ab; sie schneiden die Achse zwi- schen Scheitel und Brennpunkt, um so näher am Scheitel, je achsenferner sie sind. Zwei solche Strahlen schneiden sich also, schon bevor sie die Achse erreichen, auf der herzförmi- gen Brennlinie. Wir zeigen: ( 1) Wenn das Rad das Glas in A berührt, geht der in A reflektierte Strahl durch den entspre- chenden Epizykloidenpunkt P auf seiner Felge. (2) Wenn das Rad vom BerührpunktA aus ein bißeben weiterrollt, wandert der Punkt P auf seiner Felge zunächst längs des in A reflek- tierten Strahls. Beweis für (1): M sei die Nabe des Rades. Seit dieses auf der Mittelachse lag, ist es auf dem Leitkreis um rx abgerollt, hat sich also selbst um 2rx gedreht: BMP = 2rx. MAP ist halb so groß, also genau wie der Winkel des reflek- tierten Strahls. Beweis für (2): Wir drehen das Bild so, daß das Rad ganz oben ist. Wenn es nur ganz wenig weiterrollt, ist es egal, ob dies auf einem Leitkreis oder einer Leitgeraden erfolgt. Die Kurve, die P beschreibt, steigt wie bei der nor- malen Zykloide um 90° - ß 12 an (ß sei der Winkel, um den das Rad von der tiefsten Lage desPunktesPaus abgerollt ist). Hier ist aber ß = 2rx, also die Steigung gegenüber dem Leit- kreis 90° - rx, dieser selbst steigt um 90° - rx, die Brennlinie steigt also insgesamt um 180° - 2rx, und das ist genau die Richtung des in A reflektierten Strahls. Laut (1) kommen wir so aber auch zu dem an einem zu A benachbarten Punkt reflektierten Strahl, bleiben also auf der Brennlinie. 9.1.9. Weltraumspiegel Ein stationärer Satellit steht a = 36 000 km über dem Erd- boden (Aufgabe 1.7.2). Dies muß seine Bildweite und gleich- zeitig seine Brennweite sein, denn die Gegenstandsweite g ist viel größer. Der Krümmungsradius ist 68 000 km. Das Son- nenbild hat den Durchmesser B = fG I g ~ 300 km. Auf diese Fläche verteilt sich das Sonnenlicht, das auf die um den Faktor 5002 kleinere Spiegelfläche als direktes Sonnenlicht auftraf. Es ist dort also nur 2501000 so hell wie bei Tage, da- gegen viermal heller als bei Vollmond (vgl. Aufgabe 11.2.7). 1128 Lösungen zu den Aufgaben Die Beugungsringe haben einen Abstand aJcl d ~ 3 cm, ver- größern also, da ihre Intensität nach außen rasch abnimmt, das beleuchtete Gebiet nicht merklich. Infolge Spiegel- unebenheiten und atmosphärischer Streuung werden sie in der Unschärfe des Bildrandes untergehen. Da der Spiegel über dem Äquator stehen muß (sonst wäre er nicht statio- när), taucht er auf einem Stück seiner Bahn, das den Winkel 2RI a ~ 0,36 ~ 60° einschließt, also in 4 h durchlaufen wird, in den Erdschatten ein. Dann ist Ruhe. Für einen Astronauten, der dicht vor dem Spiegel schwebt, ist er völlig eben. Eine vergrößernde Wirkung hat er also nicht. 9.1.10. Echo-Satellit Im Satelliten (Konvexspiegel vom Radius r) erscheint ein virtuelles Bild der Sonne vom Durchmesser B = fGig, z. B. bei r = 15m von B = 6 cm. Dieses Bild hat die gleiche Leuchtdichte wie die Sonnenscheibe (die Kugel fängt den Bruchteil 1rr2 l(47rg2 ) der Gesamtstrahlung der Sonne auf und konzentriert sie auf die um den Faktor B2 I G2 = j 2 I g2 = i? I g2 kleinere Fläche des Bildes; allgemein bleibt die Leuchtdichte konstant bei jeder Abbildung, bei der nur Reflexion und Brechung, nicht aber Absorption beteiligt sind). Aus einem Abstand a erscheint also der Satellit, genauer das Sonnenbild in ihm, um den Faktor B2 g2 1 ( G2 a2 ) = j 2 1 a2 = i r2 1 a2 weniger hell als die Sonne. Bei der Höhe h = 1 000 km über dem Erdboden und r = 15m ergibt sich bei Zenitstand (a = h) ein Faktor 2 · 10-10, d. h. knapp 27 Größenklassen: Der Satellit ist heller als Wega, die 0,05 Größenklassen hat. Bis zum Hori- zont (a = 3 600 km) nimmt er um den Faktor 13, also um drei Größenklassen ab. 9.1.11. Parabolspiegel Achsenparallele Strahlen werden im Parabolspiegel exakt im Brennpunkt vereinigt. Dafür werden aber die Abbildungs- eigenschaften für nichtachsenparallele Strahlen schon bei ziemlich kleinen Winkeln noch schlechter als beim Kugel- spiegel, der wenigstens für alle Richtungen gleich schlecht ist. Bei der Kugel gehen z. B. wenigstens die achsennahen Strahlen alle durch den Geweiligen) Brennpunkt, beim Para- boloid nicht. Wo sollte auch die Achse der Parabel für ein schiefes Bündel sein, vielleicht durch den Brennpunkt F ge- hen? Aber der Strahl durch F wird doch bestimmt zum Par- allelstrahl (Abb. 9.13b). 9.1.12. Riesenfernrohr Der Schacht wäre natürlich nur für Sterne brauchbar, die ge- nau darüberstehen. Sowie der Strahl nicht mehr ganz achsen- parallel ist, geht die Überlegenheit über den Kugelspiegel bald verloren. Die Brennweite f (Halbparameter der Para- bel) ergibt sich nach Abschn. 3.1.2 als f = gl(2w2 ). Damit das Zwischenbild immer an der gleichen Stelle bleibt, muß die Drehzahl ( w) hochgradig konstant sein. Damit die vergrößerte Auflösung ausgenutzt werden kann, darf das Zwischenbild höchstens um 0,5 J..Lm zittern. Bei f = 50 m bedeutet das einen Fehler in w um höchstens 10-8 ( llf I f = - ~w I ( 2w)), was schwer zu erreichen ist. Das Projekt hat noch mehrere ähnliche "Würmer". 9.1.13. Schärfentiefe Die Schärfentiefe eines optischen Gerätes kann so definiert werden: Wenn bei gegebener Brennweite f und Bildweite b die Gegenstandsweite von dem durch I I b = I I f - 1 I g ge- gebenen Wert abweicht, wird ein Punkt nicht mehr als Punkt, sondern als Scheibchen dargestellt. Ist dieses Scheib- chen kleiner als das "Korn" des Registrierorgans (Photo- emulsion, Netzhaut), so ist diese Abweichung unschädlich. Wir verlangen z. B. von der Kleinbildkamera, daß ein Kon- taktabzug, mit bloßem Auge betrachtet, gestochen scharf aussehen soll. Das ergibt eine Komgröße des Films von höch- stens bK = 20 J..Lm (die Netzhaut hat ein 5 J..Lm-Kom, entspre- chend dem Auflösungsvermögen des Auges; Bild- und Ge- genstandsgröße im Nahpunkt des Auges verhalten sich wie Augapfellänge zur Nahpunktweite, also etwa wie 1: 4). Für die Photographie interessieren Gegenstände mit g » f, die nahe der Brennebene abgebildet werden. Der bildseilige Öffnungswinkel des Lichtbündels, das von einem Gegen- standspunkt kommt, ist dann 1dlf (dl2: Blendenradius), also sein Durchmesser, wenn die Bildweite um ~b "falsch" ist: <5 = 1d ~blf. Nach der Abbildungsgleichung hängt der Bildweitenfehler ~b mit dem Fehler der Gegen- standsweite ~g bei g » f so zusammen: b = fg I (g - f) ~ f( 1 + f I g), also ~b ~ - ~g ! 2 I g2 . Es folgt für die Schärfen- tiefe, d. h. das ~g, das einem <5 gleich der Komgröße ent- spricht: l~gl ~ ~b g2 IP = 2<5Kg2 l(fd). Für eine f = 50 mm-Optik ergibt sich bei Blende 2,8, d. h. d = 5012,8: ~g ~ 0,04g2. Wenn ~g ~ g wird ( d. h. hier bei g = 25 cm), muß man natürlich die Näherung ~b ~ -~gf2 I g2 aufgeben und mit b = f( 1 - f I g) rechnen. Sie erhalten so die Begrenzung des Schärfebereichs, die meist gegenüber den Blendenzahlen auf dem drehbaren Ring der Entfernungs- einstellung Ihrer Kamera aufgedruckt sind. Rechnen Sie nach! Diese Unschärfe hat weder mit Beugung noch mit Linsenfehlern zu tun. 9.1.14. Refraktometer Die Flüssigkeitsschicht mit der Brechzahl n zwischen den beiden Glasprismen erlaubt Durchtritt des Lichtes aus dem unteren Prisma nur bei genügend steilem Einfall. Das schwenkbare, schwach divergente Bündel der Lichtquelle wird genau zur Hälfte durchgelassen, zur Hälfte nicht, wenn seine Achsenrichtung dem Totalreflexionswinkel ent- spricht. Dann halbiert im Okular die Hell-Dunkel-Grenze genau das Blickfeld. 9.1.15. Asymmetrischer Durchgang Das Lichtbündel tritt unabgelenkt durch die eine Fläche und fällt auf die andere unter dem Winkel y auf, tritt also unter rx mit sin rx = n sin y wieder aus. Die Ablenkung ist <5' = rx - y, also sin y = n-1 sin(y + <5'). Bei symmetrischem Durchgang gilt nach (9.10) sin(yl2) = n- 1 sin((y + 6)12). Welche Ablenkung ist größer, <5 oder <5'? Wir schreiben <5 = 2 arcsin(n sin(y 12)) - y, 61 = arcsin(n sin y) - y. Ein Blick auf das Bild der arcsin-Funktion zeigt, daß sie im interessie- renden Winkelbereich stärker als linear ansteigt (ihr Spiegel- bild, die sin-Funktion, steigt schwächer als linear), daß also für jedes interessierende x gilt 2 arcsin(xl2) < arcsinx. Es folgt (J < J': Bei symmetrischem Durchgang ist die Ablen- kung schwächer als bei senkrechtem Einfall. 9.1.16. Minimale Ablenkung Wir zeichnen nur die Symmetrieebene des brechenden Win- kels y. rx sei der Winkel, unter dem ein Strahl gegen diese Ebene einfällt, ß der Ausfallwinkel, definiert wie in Abb. L.9. Der Strahl wird dann um 6 = 180° - rx- ß abge- lenkt. Wir tragen ß als Funktion von rx auf. Da der Strahlen- gang umkehrbar ist, muß die Beziehung zwischen rx und ß symmetrisch sein. Wenn z. B. der Ausfallwinkel ß = 53° zum Einfallswinkel rx = 48° gehört, muß beim Einfall unter 53° der Ausfall unter 48° erfolgen. Man kann also rx und ß in der Beziehung ß = f(rx) vertauschen, d. h. die Funktion f muß gleich ihrer eigenen Umkehrfunktion sein, d. h. das Bild von ß =f(rx) muß, an der 45°-Geraden rx = ß gespie- gelt, in sich selbst übergehen. Unter den steigenden Funktio- nen ß = f ( rx) gibt es nur eine, die das tut, nämlich rx = ß selbst. Das würde bedeuten, daß der Durchgang immer sym- metrisch ist, bei r:t. = 90° z. B. müßte auch ß = 90° sein, als ob gar kein Prisma da wäre. Die Lösung r:t. = ß trifft also nicht zu. Die einzige andere Möglichkeit ist eine fallende ß(r:t.)- Kurve. Sie muß irgendwo die 45° -Gerade rx = ß schnei- den: Der Schnittpunkt entspricht dem symmetrischen Durch- gang. Die Kurve ß( rx) kann durch diesen Punkt konvex, kon- kav oder gerade laufen (a, c, bin Abb. L.9). Der Fall b würde bedeuten, daß die Ablenkung 6 = 180° - rx - ß immer gleich ist. Im Fall a ist rx + ß bei symmetrischem Durchgang maximal, 6 also minimal; im Fall c ist es umgekehrt. Welcher der drei Fälle zutrifft, läßt sich jetzt durch Vergleich der sym- metrischen Ablenkung mit einem anderen Fall feststellen, z.B. mit dem senkrechten Einfall (Aufgabe 9.1.15). Dort war die Ablenkung stärker, also ist sie allgemein bei symme- trischem Durchgang minimal. 9.1.17. Dreikantprisma Ein Prisma mit rechteckigem Querschnitt wird entweder so vom Lichtbündel durchsetzt, daß dieses einfach an zwei Grenzflächen gebrochen wird (dann benutzt man effektiv wieder ein Dreikantprisma mit rechtwinklig-dreieckigem Querschnitt), oder daß es an zwei oder mehr Grenzflächen gebrochen und an einer oder mehreren reflektiert wird. Bei zwei Brechungen und einer Reflexion heben sich aber die beiden Dispersionseffekte ganz oder teilweise auf, ganz z. B. bei symmetrischem Durchgang: Das rote und das blaue Bündel fallen zwar leicht gegeneinander ver- setzt, aber parallel zueinander wieder aus. 9.1.18. Rückstrahler Schwenkt man einen Spiegel um den Winkel rp in einer Ebe- ne, die das Lot zum Spiegel und den einfallenden Strahl ent- hält, dann wird der ausfallende Strahl um 2rp geschwenkt. Das nutzt man in allen Lichtzeigerinstrumenten aus (Spie- gelgalvanometer, Drehwaage). Bei zweimaliger Reflexion im Winkelspiegel dagegen kommt es auf eine Schwenkung des Spiegels nicht mehr an: Der reflektierte Strahlläuft gegen den einfallenden immer unter dem Winkel 2r:t., falls er in der Kapitel 9: Lösungen 1129 ß (J. Abb. L. 9. In symmetrischer Lage lenkt ein Prisma minimal ab Ebene der beiden Spiegellote einfällt. Bei rx = 90° z. B. kommt er immer genau in umgekehrter Richtung zurück. Die Beschränkung auf die Lotebene fällt auch noch weg, wenn man einen dritten Spiegel senkrecht zu den beiden an- deren setzt. Der Rückstrahler am Fahrrad, bestehend aus vie- len solchen rechtwinkligen Eckspiegeln, strahlt also unab- hängig von seiner Stellung im Idealfall alles Licht auf dessen Erzeuger zurück. Die Totalreflexion in einem Prisma vermei- det noch die Spiegelverluste. Mein zweimaliges Spiegelbild im Winkelspiegel sieht so aus, als stünde mir einer gegen- über, der das Herz wieder links hat. Im Prismenfeldstecher erfolgt zweimalige 180° -Ablenkung durch Totalreflexion in zwei 90° -Prismen (Verlängerung des Lichtweges, um die Brennweite von Linsen großer Öffnung ausnutzen zu können). Alle Durchtritte durch Luft-Glas-Grenzflächen er- folgen dabei entweder überhaupt senkrecht, oder so, daß sich die aufeinanderfolgenden Dispersionen gegenseitig aufheben (vgl. Aufgabe 9.1.17). Die verschiedenfarbigen Bündellau- fen also evtl. etwas gegeneinander versetzt, aber parallel, was dem Auge nichts ausmacht: Es vereinigt sie trotzdem auf einen Punkt, man sieht keine farbigen Ränder. 9.1.19. Camera obscura Im Bild sind oben und unten vertauscht, rechts und links auch, also ist es nach Umdrehen seitenrichtig. Ein ferner Ge- genstandspunkt erzeugt einen Lichtfleck vom Lochdurch- messer d, wozu aber bei kleinem d das Beugungsscheibchen vom Durchmesser = A.a/ d kommt (a: Abstand zur ~en­ wand,~l. (4.74)). d + A.a/d hat ein Minimum 2v'A.a bei d = v' A.a, d. h. nur 1 mm für a = 2m. Die Helligkeit ist dann natürlich sehr gering; sie geht wie d2 . 9.1.20. Kommen wir da durch? Aus der Konstruktion eines Büschels, das von P ausgeht, aber von P' herzukommen scheint, ergibt sich nach Abb. L.lO (s. nächste Seite) die Parameterdarstellung x = -lcosy- h/tan y, y = -lsiny mit l = dsin2 yj(nsin3 ß). Nach y(x) läßt sich das nicht auflösen. 9.2.1. Gärtnerlatein? Wasser hat die Brechzahl n = 1,33. Ein kugeliger Tropfen, als dünne Linse betrachtet, hätte die Brennweite f = !r/(n- !) = 1,5r. Für die dicke Linse ist die Brenn- weite nicht vom Mittelpunkt, sondern von der Hauptebene an zu rechnen, die nach (9.19) um 2r/ (2n) = 0,75r vom rückwärtigen Scheitel der Kugel entfernt ist. Der Brenn- punkt (der, wie jedes Experiment zeigt, herzlich schlecht aus-