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Materialien zum Modellversuch:
Vorschläge und Anregungen zu einer
veränderten Aufgabenkultur
(10) Zum Themengebiet
Wurzeln, Potenzen und
reelle Zahlen
(erstellt in Zusammenarbeit mit der Friedrich-Wöhler-Schule in Kassel)
Wurzeln
Vorschlag 10.1: Zahlenpartner.....................................................................
Einführung der Begriffe Wurzel und Quadratzahl durch Finden von Zahlenpartnern
Vorschlag 10.2: Wurzelregeln.......................................................................
Einführung der Wurzelregeln durch Überprüfung von Spezialfällen
Vorschlag 10.3: Übungen zur Multiplikation und Division von Wurzeln.....
Übungen mit Möglichkeit der Selbstkontrolle durch Lösungswort
Vorschlag 10.4: Straßenreinigungsgebühr....................................................
Ausgehend von zwei Artikeln der Lokalpresse können die Schüler eine "gerechte" Gebühren- ordnung entwickeln
Vorschlag 10.5: Vermischtes zum Thema Wurzeln......................................
Vermischte, kürzere Anregungen zum Thema Wurzeln
Potenzen
Vorschlag 10.6: Projekt Schätzen und Recherchieren................................
Einheitsbegleitende Anregung, in der Schüler alltagsrelevante Probleme bearbeiten und dabei den Umgang mit (Zehner-)Potenzen trainieren
Vorschlag 10.7: Europas größtes Kaffeelager.............................................
Ausgehend von einem Zeitungsartikel wird untersucht, wie Trillionen Kaffeebohnen gelagert werden müssten
Vorschlag 10.8: Die indische Schachlegende...............................................
Die Schüler sollen die verschiedene Anzahl von Reiskörner in der indischen Schachlegende durch geeignete Symbole repräsentieren
Vorschlag 10.9: Spielerische Übungsformen...............................................
Spiele zur Übung der Multiplikation und Division von Potenzen, die gute Differenzierungs- möglichkeiten bieten
Vorschlag 10.10: Übungen zu Wurzeln und Potenzen................................
Übungen mit Möglichkeit der Selbstkontrolle durch Lösungssatz
Vorschlag 10.11: Vermischtes zum Thema Potenzen..................................
Vermischte, kürzere Anregungen zum Thema Potenzen
Reelle Zahlen
Vorschlag 10.12: Sokrates und der Sklave Menon......................................
Dialog zwischen Sokrates und Menon zur Quadratverdopplung inkl. Lösungshilfen
Vorschlag 10.13: Wir suchen eine Quadratzahl, deren Doppeltes wieder eine
Quadratzahl ist ...........................................................................................
Irrationalitätsbeweis von 2 , der einen handelnden und entdeckenden Zugang ermöglicht
Vorschlag 10.14: Konstruktion irrationaler Zahlen...................................
Schüler sollen selbständig irrationale Zahlen konstruieren und so die Zahlbereichserweiterung besser nachempfinden können
Vorschlag 10.15: Intervallschachtelung mit Telefonnummern ...................
Die Telefonnummer einer Mitschülerin bzw. eines Mitschülers wird durch Intervallhalbierung 'erraten'
Vorschlag 10.16: Heron-Algorithmus .........................................................
Veranschaulichung des Heron-Algorithmus durch Rechtecke, die sich einem Quadrat annähern
Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms "Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts", das vom Bund und den Ländern gefördert wird.
Vorschlag 10.2: Wurzelregeln
Vergleiche die Terme der linken und
rechten Tafelhälfte miteinander.
Was vermutest du?
Quelle: Schnittpunkt 9 (1995), S. 71.
Vergleiche die Terme der linken und
rechten Tafelhälfte miteinander.
Was vermutest du?
Quelle: Schnittpunkt 9 (1995), S. 73.
Wurzelregeln: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
- Einführung der Wurzelregeln
- Selbständige Regelfindung
Variationen der Aufgabe:
- Ggf. keine Zahlen vorgeben, sondern Schüler selbständig Strategien entwickeln lassen, z.B.:
Untersuchung von 70 + 30. Vermutung: gleich 100. Überprüfung /Widerlegung mit TR. "Wie ist es bei anderen Grundrechenarten?" Schüler stellen selbständig Regeln auf und überprüfen sie anhand von Beispielen. Möglicher Hinweis: "Wähle geschickte Zahlen für a und b! Welche sind geschickt?" (Quadratzahlen)
- Gleichzeitige Behandlung der Multiplikation und Addition oder Stufung: erst Multiplikation, dann Addition von Quadratwurzeln
Eignung, (mögliche) Methoden:
Bemerkungen:
- Die Darstellung in der unteren Abbildung könnte Gleichheit suggerieren
- Anschließende Begründung der Wurzelregeln für höhere Niveaus nötig
Vorschlag 10.3: Übungen zur Multiplikation und Division von Wurzeln
Welcher Film läuft im Kino?
Wenn du richtig gerechnet hast, verraten es dir die Lösungsbuchstaben!
Quelle: Schnittpunkt 9 (1995), S. 72.
Vorschlag 10.4: Straßenreinigungsgebühr
In zahlreichen Schulbüchern finden sich Aufgaben der folgenden Art:
Denke dir die beiden Grundstücke G 1 und G 2
aus dem nebenstehenden Beispiel jeweils in
ein flächeninhaltsgleiches Quadrat mit den
Seitenlängen a 1 bzw. a 2 verwandelt.
a) Gib die Seitenlänge a 1 an.
b) Zwischen welchen Werten (in vollen Metern)
liegt die Seitenlänge a 2?
c) Gib die Seitenlänge a 2 auf volle Meter
gerundet an. Ermittle dazu zunächst eine
Dezimalstelle mehr.
Quelle: Elemente der Mathematik 9 (1995), S. 7 (leicht abgewandelt).
Zur Öffnung bieten sich
insbesondere die folgenden
Artikel aus der Lokalpresse an:
Straßenreinigungsgebühr: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
- Einführung des Wurzelbegriffs
- Reflexion am Ende der Einheit
- Horizontale Vernetzung
Variationen der Aufgabe:
- "Wie sollten die Straßenreinigungsgebühren 'gerecht' festgelegt werden?"
- Konstruktion von Grundstücken (eines Stadtplans) so, dass alle Anwohner die gleichen Straßenreinigungsgebühren zahlen.
- Erklärung des Frontlängen- und des Quadratwurzelmaßstabes. Vorgabe zweier Grundstücke mit konkreten Längenangaben. "Vergleiche die Gebühren für die dargestellten Grundstücke (Preis pro angefangener Meter 7,92 DM. Berechne für verschiedene rechteckige Grundstücke, die 900m^2 groß sein sollen, die Straßenreinigungsgebühren".
Bemerkungen:
- Das Thema Straßenreinigungsgebühren ist möglicherweise zu schülerfern.
Vorschlag 10.6: Projekt Schätzen und Recherchieren
Die Literaturangaben können im Modellversuchsraum eingesehen werden.
Europa größtes Kaffeelager: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
- Rechnen mit großen Zahlen
- Vielfältige vertikale Verknüpfungen (Quadervolumen, Prozentrechnung)
- Horizontale Verknüpfungen
Variationen der Aufgabe:
- Schüler entwickeln eigene Aufgabenstellungen.
- (1) Schätze das Volumen einer Kaffeebohne ab und berechne mit diesem Wert das Volumen von einer Trillion gemahlener Kaffeebohnen.
- (2) Wie könnte eine quaderförmige Lagerhalle aussehen, in der eine Trillion gemahlene Kaffeebohnen gelagert werden?
- (3) Schätze ab, welche Masse eine Kaffeebohne besitzt und berechne aus den Angaben im ersten Absatz die Anzahl der Kaffeebohnen, die in dem Depot tatsächlich gelagert werden.
- (4) Um welchen Faktor hat sich der Autor des Artikels verschätzt?
- (5) Wie könnte der Autor des Artikels zu der Angabe "Trillionen" gekommen sein?
(Mögliche) Lösungen:
- (1) Kaffeebohne: Länge: ca. 10 mm; Breite: ca. 7 mm; Höhe: ca. 4 mm. Dies entspricht einem rechnerischen Volumen von 280 mm^3. Abschätzung durch 100 mm^3. Also gilt für das Volumen V von einer Trillion gemahlener Kaffeebohnen: V ≈ 1 Trillion ⋅ 100 mm^3 = 1018 ⋅ 10 −^6 km^3 = 100 km^3
- (2) Beispiel einer Lagerhalle: Länge = Breite = 10 km, Höhe = 1 km. Eine Halle dieses Volumens gibt es auf der Erde sicher nicht.
- (3) Masse einer Kaffeebohne: ca. 0,1 g. Also enthält ein Pfund (500g) ca. 5000 Kaffeebohnen. Bei 24.800 Paletten à 60 Kartons à 12 Päckchen zu 500g könne n maximal 24800 ⋅ 60 ⋅ 12.5000 = 8,928 ⋅ 1010 ≈ 1011 , also 100 Milliarden Kaffeebohnen gelagert werden.
- (4) Für den Faktor f , der das Verhältnis von angeblicher Anzahl und maximaler Anzahl von
Kaffeebohnen in der Lagerhalle angibt, gilt ungefähr: 10 10 Millionen 10
11
18 f ≈ = =.
Im Depot lagert also nur der zehnmillionste Teil.
- (5) Der Verfasser wollte wohl ausdrucken, dass eine sehr große (unvorstellbar große) Anzahl von Kaffeebohnen im Depot lagert, hat aber den Realitätsgehalt seiner Aussage nicht geprüft.
Vorschlag 10.8: Die indische Schachlegende
Die indische Schachlegende
Vor langer Zeit hatte ein weiser Brahmane in
Indien das Schachspiel erfunden und es
seinem König zum Geschenk gemacht. Der
König war so begeistert von dem Spiel, dass
er dem Brahmanen einen freien Wunsch
gestattete. Dieser erbat sich für das erste
Feld des Schachspiels ein Weizenkorn und
für die restlichen 63 Felder jeweils doppelt so viele Körner wie auf den
vorherigen. Der König, erfreut über den bescheidennen Wunsch des
Weisen, ließ ihm aus einer Schüssel ein Feld nach dem anderen mit der
gewünschten Anzahl Körner belegen. Bald...
Quelle: MUED: Materialien für den Mathematikunterricht in der Sek. I – Nr. 5, S. 40.
Die indische Schachlegende: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
- Einführung von 2-er Potenzen
- Aufbau einer Vorstellung von Wachstumsprozessen
Variationen der Aufgabe:
- Schachbrett und andere Materialien bereitstellen (Weizenkorn, Streichhölzer, verschiedene Zeichnungen). Schüler sollen verschiedene Anzahlen von Weizenkörner berechnen, durch diese Symbole repräsentieren und jeweils das Gewicht angeben (vgl. Vester: Unsere Welt – ein vernetztes System, 1993, S. 45ff.). Anmerkung: 40 Reiskörner wiegen ca. 1 g.
- Vereinfachung durch 2^10 ≈ 1000 (vgl. Kirsch: Vorschläge zur Behandlung von Wachstumsprozessen und Exponentialfunktionen im Mittelstufenunterricht. In: DdM 4 (1976)).
(Mögliche) Lösungen:
• Auf dem 64. Feld müssten 2^63 ( ( )
63 3 10 6 2 = 2 ⋅ 2 ≈ 8 Trillionen) Weizenkörner liegen. Nach Vester entspricht dies der tausendfachen Weltjahresproduktion.
- Graphische Darstellung der Ergebnisse.
Eignung, (mögliche) Methoden:
Alternativen:
- Zehn hoch (Video von 1978; Bildstelle Mediennummer: 4246574). Der Film zeigt ein Pärchen beim Picknick. Die Kamera bleibt auf das Paar gerichtet, entfernt sich jedoch zunehmend bis sie schließlich in Randgebiete der Galaxie Milchstraße gelangt. Die Entfernungen (als Zehnerpotenz) werden jeweils veranschaulicht. Auf der Rückreise dringt die Kamera tiefer in den Körper des Menschen ein (negative Exponenten).
- Geologische Uhr. Markieren der Entwicklungsgeschichte des Menschen bzw. des Lebens auf der Erde auf einem Kreis (vgl. MAT(H)ERIALIEN, S. 195f).
Vorschlag 10.9: Spielerische Übungsformen
(1) Potenzen würfeln
Quelle: mathematik lehren 64 (1994), S. 60-61.
(2) Potenzen-Bingo
Quelle: mathematik lehren 90 (1998), S. 68-69.
Vorschlag 10.10: Übungen zu Wurzeln und Potenzen
Übungen zu Wurzeln und Potenzen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
- Übung mit Möglichkeit der Selbstkontrolle
Lösung: Der Lösungssatz lautet: BILLY DER SCHLAUE
Variationen der Aufgabe:
- Alternative Arbeitsblätter: vgl. MAT(H)ERIALIEN 7-10: Algebra (1996), S. 200 und unter http://www.zum.de/schule/dwu/depot/mpo001k.gif.
