Mathe Baden-Württemberg Klausur 2024, Prüfungen von Mathematik

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Leistungsfach Mathematik

Schriftliche Abiturprüfung

ab 202 4

Informationen

Beispielaufgabe

Hinweis

Dieses Konvolut „Abitur ab 202 4 “ führt die entsprechende Zusammenstellung „Abitur ab

2023 “ fort

Inhaltliche Änderungen gibt es nur in geringem Umfang (entsprechend markiert auf den

Seiten 3, 4, 5 und 7). Ansonsten gelten die inhaltlichen Aussagen des Konvoluts „Abitur ab

2023“ unverändert weiter.

Die strukturellen Änderungen der Prüfungsaufgaben sowie die Einführung des IQB-

Formeldokuments anstelle der bisherigen Merkhilfe ergeben sich durch Vereinbarungen

auf KMK-Ebene.

Zur Illustration der neuen Struktur dient eine aus unveränderten IQB-Aufgaben

(überwiegend aus dem Prüfungsjahr 2021 ) zusammengestellte Beispielaufgabe.

Aus Platzgründen enthält dieses Konvolut nicht noch einmal die Beispielaufgabe und den

Aufgabenfundus aus der Zusammenstellung „Abitur ab 2023“. Alle dort gesammelten

Aufgaben sind weiterhin uneingeschränkt zur Prüfungsvorbereitung für die Abiturprüfung

auch ab 2024 geeignet.

Leistungsfach Mathematik

Schriftliche Abiturprüfung ab 2024 Struktur und Rahmenbedingungen

Seite 1

Struktur eines Aufgabensatzes

Teil A (ohne Hilfsmittel) 30 BE

Zu bearbeiten sind sechs Aufgaben à 5 BE.

Block 1: vier „elementare“ Aufgaben (ohne AB III)

keine Auswahlmöglichkeit

P1, P2 Analysis

P3 Geometrie

P4 Stochastik

Block 2: sechs „komplexere“ Aufgaben (mit AB III)

Prüfling wählt zwei beliebige Aufgaben aus

W1, W2 Analysis

W3, W4 Geometrie

W5, W6 Stochastik

Teil B (mit Hilfsmitteln)

Analysis 40 BE

Die Lehrkraft wählt zwischen I 1 und I 2.

Geometrie 25 BE

Die Lehrkraft wählt zwischen II 1 und II 2.

Stochastik 25 BE

Die Lehrkraft wählt zwischen III 1 und III 2.

I 1

(40 BE)

I 2

(40 BE)

II 1

(25 BE)

II 2

(25 BE)

III 1

(25 BE)

III 2

(25 BE)

Block 1

(20 BE)

Block 2

(10 BE)

Leistungsfach Mathematik

Schriftliche Abiturprüfung ab 2024 Inhalte

Seite 3

Inhaltsbezogene Kompetenzen

Vorbemerkung

Die Angabe „nicht“ bedeutet jeweils, dass Schülerinnen und Schüler in Bezug auf diesen

Inhalt über keine spezifischen Kompetenzen verfügen müssen; sie bedeutet aber nicht, dass

dieser Inhalt in keiner Form Gegenstand der schriftlichen Prüfung sein kann.

Die Angabe „ neu “ bedeutet jeweils, dass dieser Inhalt erstmals im Abitur 202 4 Gegenstand

der schriftlichen Prüfung sein kann.

Gleichungen

s. unten: „Erwartete Kompetenzen im Bereich der Gleichungslehre“

Analysis

 Kenntnis grundlegender Funktionstypen und ihrer charakteristischen Eigenschaften:

ganzrationale Funktionen

natürliche Exponentialfunktionen

Sinus- und Kosinusfunktionen

einfache Wurzelfunktionen

einfache gebrochen-rationale Funktionen

einfache natürliche Logarithmusfunktionen

einfache allgemeine Exponentialfunktionen ( neu )

 Wirkung von Parametern, insbesondere:

Verschiebungen in x- und y-Richtung

Streckungen in x- und y-Richtung

Spiegelungen an x- bzw. y-Achse

 Zusammengesetzte Funktionen:

Summen, Differenzen

einfache Produkte, Quotienten

einfache Verkettungen

 Umkehrfunktion

Definitions- und Wertemenge, Graph, Funktionsterm

 Bestimmung von Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften

 Funktionenscharen

nicht: Ortslinien

 Ableitung (auch höhere Ableitungen)

 Änderungsrate

 Ableitungsfunktion

 Tangente und Normale

 Ableitungsregeln:

Summen- und Faktorregel

Potenzregel

Produktregel

Kettenregel

nicht: Ableitung allgemeiner Exponentialfunktionen

Leistungsfach Mathematik

Schriftliche Abiturprüfung ab 2024 Inhalte

Seite 4

 Untersuchung von Funktionen und Graphen, insbesondere:

Definitions- und Wertemenge

Nullstellen

elementare Symmetrie

Grenzverhalten, senkrechte und waagerechte Asymptoten

Monotonie, Krümmungsverhalten

Extrempunkte, Wendepunkte

 Anwendung der Differenzialrechnung, insbesondere:

Extremwertbestimmungen, auch mit Nebenbedingungen

 Stammfunktionen:

Summenregel

Faktorregel

lineare Substitution

nicht: Stammfunktion der ln-Funktion

nicht: Stammfunktionen allgemeiner Exponentialfunktionen

 Integral

 Integralfunktion

 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

 Anwendungen der Integralrechnung:

rekonstruierter Bestand

Volumen von Rotationskörpern

nicht: Mittelwert

nicht : Flächenberechnung unbegrenzter Flächen, uneigentliche Integrale

 nicht: Näherungsverfahren (zur Bestimmung von Nullstellen bzw. der Eulerschen Zahl e)

Analytische Geometrie

 Vektor, Ortsvektor, Linearkombination, Betrag

 Geraden

 Ebenen (Parameter-, Koordinaten-, Normalenform)

 Geraden- und Ebenenscharen

 Lagebeziehungen

 Skalarprodukt

 Vektorprodukt

 Orthogonalität

 Spiegelungen

 Abstands- und Winkelberechnungen

auch: Abstand windschiefer Geraden

 Flächen- und Volumenberechnungen

 zeichnerische Darstellung von Objekten im Raum:

Schrägbilder, Spurpunkte, Spurgeraden

 Anwendung der analytischen Geometrie:

Bewegungen im Raum

 nicht: Beweise mit Hilfe von Vektoren

Leistungsfach Mathematik

Schriftliche Abiturprüfung ab 2024 Kompetenzen Gleichungslehre

Seite 6

Erwartete Kompetenzen im Bereich der Gleichungslehre

1. Grundtechniken

 Faktorisierung durch Ausklammern

 Anwendung einer binomischen Formel „rückwärts“

 Substitution

 Einsetzungsverfahren

 Fallunterscheidung in einfachen Fällen (z. B. bei Gleichungen mit Parametern, Betrags-

gleichungen)

1. Lineare Gleichungen

Beispiel

1.1 ax  x 3 1.2 t x 3t

2. Quadratische Gleichungen

Beispiele

2

x 4x 2

2 2x  1 ,8x 0,

2

x x 0

2 9 x  3ux  1  0

3. Potenzgleichungen

 Lösen von Potenzgleichungen mit natürlichen Exponenten

 bei negativen Exponenten: siehe 6.

Beispiele

3.1 4 x 35 21

3   3.

12 (1  x) 0,

4. Exponentialgleichungen

 Lösen von Exponentialgleichungen mit beliebiger Basis

Beispiele

4.1 4 e 1

x  

 4.2 2 3 8

x  

4.3 (^2) e 3

2 x 1  



Leistungsfach Mathematik

Schriftliche Abiturprüfung ab 2024 Kompetenzen Gleichungslehre

Seite 7

5. Wurzelgleichungen

 Lösen von Wurzelgleichungen durch Quadrieren, ggf. nach Isolieren des Wurzelterms

 Überprüfung der ermittelten Lösung

 nicht: Mehrfaches Quadrieren (bei mehreren Wurzeltermen)

 nicht: Optimierung bei Wurzelfunktionen mit Mitteln der Differentialrechnung

Beispiele

2 4

x  x  20 5.

2 2 (x  2)  9  (2x)  13

5.3 3x  5  4 2x

6. Bruchgleichungen

 Lösen von Bruchgleichungen, die mit elementarem Bruchverständnis lösbar sind

 Lösen von Bruchgleichungen, die durch einmalige Multiplikation mit x

n oder einem Line-

arfaktor auflösbar sind

 Überprüfung einer ermittelten Lösung

Beispiele

x 2

x



x

x

2

2x 7

x 3

6.4 x 81

4 



2

2x 1

15x 4

7. Trigonometrische Gleichungen

 Bestimmung der Lösungen trigonometrischer Gleichungen in einem vorgegebenen

Intervall bzw. (neu) in einfachen Fällen auf ganz IR.

Beispiele

7.1 sin(3x)   1 ; x IR (neu)

7.2 cos(2x)   0,8 ; 0  x 2  (mit WTR)

Leistungsfach Mathematik

Schriftliche Abiturprüfung ab 2024 Notationen

Seite 9

Neben den in bisherigen Abituraufgaben verwendeten mathematischen Schreibweisen wer-

den im Zuge der Übernahme von IQB-Aufgaben sowie der Einführung des IQB-

Formeldokuments auch die folgenden Notationen innerhalb der schriftlichen Abiturprüfung

verwendet und daher bei den Schülerinnen und Schülern als bekannt vorausgesetzt:

Notation Erklärung

 IR ,



0

IR ,^ IR \ {2}^ Mengen reeller Zahlen

 a;b^ ,^  a;b^ ,^  ;b^  Intervalle reeller Zahlen





n

i 1

i

x Summationszeichen

lim f(x )

0 xx

f(x)   für x  

x f(x)

  

Limes-Schreibweisen

,  griechische Parameter (bei Geraden-, Ebenengleichungen)

u v

 Skalarprodukt

AB

AB

Strecke

Länge einer Strecke

 2 |^ ^3 ,^  2 |^ 3 | 1^ 

alternative Notation für einen Punkt im zwei- bzw. dreidi-

mensionalen Koordinatensystem ohne Bezeichner

A  B, A  B

Verknüpfungen von Ereignissen

(Negation, Vereinigung, Schnitt)

A

P (B) bedingte Wahrscheinlichkeit

 

n

p

P X  k , (^)  

n

p 1 2

P k  X  k

Wahrscheinlichkeit bei binomialverteilter Zufallsgröße X mit

den Parametern p und n

Leistungsfach Mathematik

Schriftliche Abiturprüfung ab 2024 Schülerlösungen / Operatoren

Seite 10

Anforderungen an Schülerlösungen und deren Dokumentation

Von den Schülerinnen und Schülern wird eine saubere und nachvollziehbare Dokumentation

erwartet, dazu gehören insbesondere:

 durch Verbalisierung des Vorgehens und Ergebnissätze strukturierte Darstellung

 angemessener sprachlicher Ausdruck, insbesondere korrekte Fachsprache

 Definition neu eingeführter Bezeichnungen

 keine Angaben über Tastenfolgen von WTR-Eingaben

Operatoren

Die Bedeutung der bei Arbeitsaufträgen verwendeten Operatoren entspricht in den meisten

Fällen (z. B. bei deuten, interpretieren, erläutern) dem allgemein üblichen Sprachgebrauch.

Die folgenden Hinweise beschreiben bei typischen und häufig vorkommenden Operatoren

Umfang und Qualität der erwarteten Lösung.

Operator Hinweise

angeben

nennen

darstellen

 kein Ansatz, keine Begründung, kein Lösungsweg

beschreiben (^)  sprachlich (auch fachsprachlich) angemessene Formulierungen

 keine Begründung

begründen

nachweisen

zeigen

 logisches Schließen bzw. Argumentieren

beurteilen (^)  mit Begründung

berechnen (^)  mathematischer Ansatz

 nachvollziehbar dokumentierter rechnerischer Lösungsweg

bestimmen

ermitteln

untersuchen

 Art des Vorgehens frei wählbar (grafisch, rechnerisch),

sofern nicht anders angegeben

 nachvollziehbarer dokumentierter Lösungsweg

grafisch darstellen

zeichnen

 möglichst genaue Darstellung

skizzieren (^)  bei Koordinatensystemen: beschriftete und skalierte Achsen

 Reduktion auf charakteristische Eigenschaften

Wird in einer Aufgabenstellung ein „exakter Wert“ gefordert, dann ist damit ein mathematisch

exakter Ausdruck (z. B.

, ln 2 ,

) gemeint, nicht eine gerundete Dezimalzahl.

Abiturprüfung an de n allgemein bildenden Gymnasien

Prüfungsfach: Mathematik

Beispielaufgabe 2024 Teil A Blatt 2 von 4

P4 Die Vierfeldertafel gehört zu einem Zufallsexperiment mit Ereignissen A und B. Für die

Wahrscheinlichkeit p gilt p  0.

B B

A p 3p

A 1 3p

4p

a Vervollständigen Sie die Vierfeldertafel. Zeigen Sie, dass p nicht den Wert

1

5

haben kann. (3 BE)

b Für einen bestimmten Wert von p sind A und B stochastisch unabhängig.

Ermitteln Sie diesen Wert von p. (2 BE)

Wahlaufgaben

Bearbeiten Sie zwei der Aufgaben W1 bis W6.

W1 Gegeben sind die in IR definierten Funktionen f und g. Der Graph von f ist symmet-

risch bezüglich der y-Achse, der Graph von g ist symmetrisch bezüglich des Koor-

dinatenursprungs. Beide Graphen haben einen Hochpunkt im Punkt  2 |1^.

a Geben Sie für die Graphen von f und g jeweils die Koordinaten und die Art ei-

nes weiteren Extrempunkts an. (2 BE)

b Untersuchen Sie die in IR definierte Funktion h mit (^)       

3

h x  f x  g x im Hin-

blick auf eine mögliche Symmetrie ihres Graphen. (3 BE)

W2 Die Abbildung zeigt den Graphen f

G einer in IR

definierten Funktion f sowie den Graphen der

ersten Ableitungsfunktion von f.

a Geben Sie die Steigung der Tangente an f

G

im Punkt (^)  0 | f 0 an. (1 BE)

Abiturprüfung an de n allgemein bildenden Gymnasien

Prüfungsfach: Mathematik

Beispielaufgabe 2024 Teil A Blatt 3 von 4

b Betrachtet wird die Schar der Funktionen c

g mit c IR

 . Der Graph von c

g

geht aus f

G durch Streckung mit dem Faktor c in y-Richtung hervor. Die Tan-

gente an den Graphen von c

g im Punkt (^)    c

0 | g 0 schneidet die x-Achse. Be-

stimmen Sie rechnerisch die x-Koordinate des Schnittpunkts. (4 BE)

W3 a Die Ebene 1 2 3

E: 3x  2x  2x  6 enthält einen Punkt, dessen drei Koordina-

ten übereinstimmen. Bestimmen Sie diese Koordinaten. (2 BE)

b Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koor-

dinaten übereinstimmen. (3 BE)

W4 Gegeben sind die Punkte A 0 | 0 | 0  , B 3 | 4 | 1  , C 1| 7 | 3  und D (^)  2 | 3 | 2 (^) .

a Weisen Sie nach, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist. (1 BE)

b Der Punkt T liegt auf der Strecke AC. Das Dreieck ABT hat bei B einen rech-

ten Winkel. Ermitteln Sie das Verhältnis der Länge der Strecke AT zur Länge

der Strecke CT. (4 BE)

W5 In einem Behälter befinden sich Kugeln, von denen jede dritte gelb ist.

a Aus dem Behälter wird zweimal nacheinander jeweils eine Kugel zufällig ent-

nommen und wieder zurückgelegt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit da-

für, dass beide Kugeln gelb sind. (1 BE)

b Im Behälter werden zwei gelbe Kugeln durch zwei blaue Kugeln ersetzt. An-

schließend wird aus dem Behälter erneut zweimal nacheinander jeweils eine

Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt. Die Wahrscheinlichkeit

dafür, dass beide Kugeln gelb sind, beträgt nun

1

16

. Ermitteln Sie, wie viele

gelbe Kugeln sich nach den beschriebenen Vorgängen im Behälter befinden. (4 BE)

Abiturprüfung an de n allgemein bildenden Gymnasien

Prüfungsfach: Mathematik Aufgabe I 1

Beispielaufgabe 2024 Teil B: Analysis Blatt 1 von 2

Die Abbildung 1 zeigt modellhaft den Längsschnitt einer dreiteiligen Brücke aus Holz für eine

Spielzeugeisenbahn. Die Züge können sowohl über die Brücke fahren als auch darunter hin-

durch.

Abb. 1

Die obere Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe des Graphen der in IR definier-

ten Funktion f mit

1 4 2 2

20 5

f(x)  x  x  1 beschrieben werden. Dabei werden die Endpunkte die-

ser Randlinie durch die beiden Tiefpunkte des Graphen von f dargestellt. Im verwendeten Ko-

ordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht einem

Dezimeter in der Realität.

1 a Zeigen Sie rechnerisch, dass die obere Randlinie achsensymmetrisch ist. (2 BE)

b Bestimmen Sie rechnerisch die Höhe und die Länge der Brücke.

(zur Kontrolle: Ein Tiefpunkt des Graphen von f hat die x-Koordinate 2.)

(5 BE)

c Betrachtet wird derjenige Punkt der oberen Randlinie, der sich am Übergang

vom mittleren zum rechten Bauteil befindet. Prüfen Sie, ob dieser Punkt auf

halber Höhe zwischen dem höchsten Punkt der oberen Randlinie und deren

rechtem Endpunkt liegt. (3 BE)

d Geben Sie die Bedeutung des Terms

f 2  f 1 

2 1





im Sachzusammenhang an

und berechnen Sie seinen Wert. (2 BE)

e Berechnen Sie die Größe des größten Steigungswinkels der Brücke, der

beim Überfahren zu überwinden ist. (5 BE)

Der parabelförmige Teil der unteren Randlinie des Längsschnitts der Brücke kann mithilfe

des Graphen einer in IR definierten Funktion q mit

2

q(x)  0,8  a x mit a IR



 beschrie-

ben werden.

Abiturprüfung an de n allgemein bildenden Gymnasien

Prüfungsfach: Mathematik Aufgabe I 1

Beispielaufgabe 2024 Teil B: Analysis Blatt 2 von 2

f In der Abbildung 1 ist die Länge einer der beiden Bodenflächen des mittleren

Bauteils mit s bezeichnet. Bestimmen Sie alle Werte von a, die für diese

Länge mindestens 0,1 dm liefern. (4 BE)

g Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass für die Beschreibung der unte-

ren Randlinie beliebig große Werte von a nicht infrage kommen. (2 BE)

h Für die Brücke gilt a  1,25. Die drei Bauteile der Brücke werden aus massi-

vem Holz hergestellt; 1 dm

3 des Holzes hat eine Masse von 800 Gramm. Die

Brücke ist 0,4 dm breit. Ermitteln Sie die Masse des mittleren Bauteils. (7 BE)

2 Während der Planung der Brückenform kamen zur Beschreibung der oberen

Randlinie für das linke Bauteil eine Funktion g 

und für das rechte Bauteil eine

Funktion r

g infrage. Auch bei Verwendung dieser Funktionen wäre die obere

Randlinie achsensymmetrisch gewesen. Beurteilen Sie jede der folgenden Aus-

sagen:

I (^)     r

g x  g x



für  2  x   1 II (^)     r

g x  1  g x  1



für  1  x  0 (4 BE)

3 Die Form und die Größe der Brücke werden verändert, indem im bisher verwendeten Mo-

dell die obere Randlinie des Längsschnitts mithilfe der in IR definierten Funktion k mit

 

3 π 4

5 3 5

k(x)   cos x  beschrieben wird. Die Bauteile der veränderten Brücke lassen sich

nach dem in der Abbildung 2 dargestellten Prinzip aus einem quaderförmigen Holzblock

sägen. Der beim Sägen auftretende Materialverlust soll im Folgenden vernachlässigt wer-

den.

Abb. 2

a Der Graph von k ist symmetrisch bezüglich jedes seiner Wendepunkte. Be-

schreiben Sie, wie diese Eigenschaft mit dem in der Abbildung 2 dargestell-

ten Prinzip zusammenhängt. (2 BE)

b Ermitteln Sie mithilfe des Funktionsterms von k den Flächeninhalt der gesam-

ten in der Abbildung 2 gezeigten rechteckigen Vorderseite des Holzblocks. (4 BE)