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Mathe 10. Klasse Wiederholung
Seitenverhältnisse im rechtwingligen Dreieck
Beweis der Beziehung zwischen Sinus, Kosinus und Tangens
sin(𝛼) = cos (90°- 𝛼)
cos(𝛼) = sin (90°- 𝛼)
sin²(𝛼) + cos²(𝛼) = 1
sin(𝛼) =
cos
tan(𝛼) =
Laut der Winkelsumme ist der letzte fehlender Winkel 180°
- 90° - 𝛼 und wenn man dies verkürzt, kommt man auf die
Gleichung 90° - 𝛼. Somit heißt es, dass „90° - 𝛼” nur der
übrige Winkel, den man bspw. als ß bezeichen kann. Somit
hieß die Formel also: sin(𝛼) = cos (ß). Laut den
Seitenverhältnissen stimmt es auch, da
𝑎
𝑐
𝑎
𝑐
. Hier mit hat
man bewiesen, dass sin(𝛼) = cos (90°- 𝛼)
Da wir schon wissen, dass “ 90 °- 𝛼” der übrige Winkel ist
(den wir bspw. als ß bezeichnen), heißt die Formel dann:
cos(𝛼) = sin(ß). Laut den Seitenverhältnissen stimmt die
Gleichung auch, da
𝑏
𝑐
𝑏
𝑐
. Und somit haben wir bewiesen,
dass cos(𝛼) = sin (90°- 𝛼)
Die vollgeschriebene Version dieser Gleichung würde so
aussehen: (
𝑎
𝑐
2
𝑏
𝑐
2
= 1. Wenn man die Klammer dann
auflöst:
𝑎
2
𝑐
2
𝑏
2
𝑐
𝑎
2
2
𝑐
2
. Laut dem Satz des Pythagoras
ergibt 𝑎
2
2
2
und so könnten wir den Zähler mit 𝑐
2
ersetzen. Somit hieße die Gleichung
𝑐
2
𝑐
2
= 1 , was ja auch
stimmt. Somit haben wir bewiesen, dass sin²(𝛼) + cos²(𝛼) = 1
- tan(𝛼) =
sin (𝛼)
cos (𝛼)
- tan(90°- 𝛼) =
1
tan(𝛼)
- 1 + tan²(𝛼) =
1
cos²(𝛼)
Potenzen und Potenzgesetze
Die Gleichung mit den Seitenverhältnissen würde so aussehen:
𝑎
𝑏
𝑎
𝑐
𝑏
𝑐
. Wenn wir die rechte Seite auflösen kommt das raus:
𝑎
𝑐
𝑐
𝑏
und wenn wir diesen Term kürzen, kommt
𝑎
𝑏
raus, was der
linken Seite entspricht. Somit wäre die Gleichung
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
richtig.
Hiermit haben wir bewiesen, dass tan(𝛼) =
sin (𝛼)
cos (𝛼)
“ 90 °- 𝛼” ist lediglich der übrige Winkel (den wir als ß
bezeichnen). Somit wäre die Gleichung tan(ß) =
1
tan(𝛼)
. Mit den
Seitenverhältnissen wäre es:
𝑏
𝑎
𝑎
𝑏
. Die rechte Seite
entspricht 1 𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
und somit hieße die Gleichung
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
, was
auch stimmt. Hier mit haben wir bewiesen, dass tan(90°- 𝛼) =
1
tan(𝛼)
Die Gleichung mit den Seitenverhältnissen aufgeschrieben:
𝑎
𝑏
𝑏
𝑐
) ². Die linke Seite aufgelöst würde so aussehen:
𝑎²
𝑏²
𝑏²
𝑏²
𝑎²
𝑏²
𝑎
2
+b²
𝑏²
und laut dem Pythagoras würde dieser
Term
𝑐²
𝑏²
entsprechen. Die rechte Seite berechnet: 1: (
𝑏
c
𝑏²
𝑐²
1 x
𝑐²
𝑏²
𝑐²
𝑏²
. Und somit ist die Formel
𝑐²
𝑏²
𝑐²
𝑏²
was auch stimmt.
Hiermit haben wir bewiesen, dass 1 + tan²(𝛼) =
1
cos²(𝛼)
Zylinder
O = 2r²π + 2rπh V = r²πh M = 2rπh
Kegel
O = r²π + rπs
M = rπs
Kugel
O = 4r²π
Trigonometrie (fortgeführt)
Exponentialfunktionen
Eine Funktion mit dem Funktionsterm 𝑓
𝑥
heißt Exponentialfunktion. Dabei ist a> 0 , a≠ 1 , und b≠0.
Bei jeder Exponentialfunktion ist im Potenzterm 𝑎
𝑥
die Basis 𝑎 eine fest gewählte positive reelle Zahl (ungleich 1 ).
Der Exponent enthält die Funktionsvariable 𝑥. Daher die Bezeichnung "Exponentialfunktion". Der Faktor 𝑏 ist eine
beliebige von Null verschiedene reelle Zahl.
Verschiebung auf x-Achse: 𝑓
𝑥− 2
Verschiebung auf y-Achse: 𝑓
𝑥
Logarithmen
Bei der Verschiebung auf der x-Achse unbedingt darauf achten, dass - 2 ein Schub nach
rechts bedeutet und +2 ein Schub nach links!!
