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Abi Mathe LK Skript 2021
Marc Zweigle
= √𝑎
× 𝑎
௦
ା௦
௦
ି௦
Funktionen und Analysis
Funktionen als mathematische Modelle
Ableitungsregeln
ᇱ
= 𝑛 × 𝑥
ିଵ
𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) × 𝑣(𝑥)
ᇱ
(𝑥) = 𝑢(𝑥) × 𝑣
ᇱ
(𝑥) + 𝑢′(𝑥) × 𝑣(𝑥)
ᇱ
𝑢′(𝑥) × 𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥) × 𝑣
ᇱ
ଶ
𝑓′(𝑥) = 𝑔′(ℎ(𝑥)) × ℎ′(𝑥)
Tangente
Bestimmung von Extrema und Wendestellen
HB mit VZW:
× VZW von 𝑓′ von + zu - = HP
× VZW von 𝑓′ von - zu + = TP
× Kein VZW = Sattelpunkt
Wir betrachten also immer ein Intervall!
RANDWERTE PRÜFEN
Globalverhalten/Asymptote
RunMatrix-Math-d/dx
Graph-OPTN-CALC-d/dx
Graph-DRAW-GSolv
- ROOT
- MAX
- MIN
- Y-INSECT
Graph-DRAW-Sketch-Tangent
Gleichung lösen
RunMatrix-OPTN-CALC-
SolveN
Funktion benutzen
RunMatrix-VARS-GRAPH-Y
Bestimmen von Ganzrationale Funktionen
× 𝑥
ିଵ
× 𝑥
ିଵ
ଶ
× 𝑥
ଶ
ଵ
× 𝑥 + 𝑎
a. Steckbrief:
- Allgemeine Funktionsgleichung und Ableitungen aufstellen
- Bedingungen mathematisch
- LGS aufstellen und lösen
Funktionsgleichung notieren
b. Trassierung:
) lückenlos
ᇱ
) knickfrei
ᇱᇱ
ᇱᇱ
) krümmungsfrei
c. Extremwertprobleme
Wert der Maximal werden Soll
Nebenbedingungen
In Gleichung aus 1 einsetzten
Definitionsbereich bestimmen
Extremwerte aus der Funktion aus 3. Bestimmen
Randwerte
Fortführung der Differentialrechnung
Exponentialfunktionen
- Natürliche Exponentialfunktion + Ableitung
௫
( ௫
)
ᇱ
= 𝑔´(𝑥) × 𝑒
( ௫
)
௫
୪୬
(
) ௫
ᇱ
( ௫
)
= ln(𝑎) × 𝑒
୪୬
(
) ௫
= ln(𝑎) × 𝑎
௫
௫
ೌ
()
ଵ
௫
(𝑏) = ln(𝑏)
୪୬()
ln൫𝑒
𝑓(𝑥) = ln(𝑥) → 𝑓
ି ଵ
௫
Logarithmusgesetzte:
ln(𝑥𝑦) = ln(𝑥) + ln(𝑦)
Grundverständnis des Integralbegriffs
௫ାଵ
Integralrechnung
Rechenregeln
න 𝑐 × 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
Partielle und Substitionelle Inegration
RunMatrix-Math-∫dx
Graph
- OPTN-CALC-∫dx
- DRAW-GSolv-G↔T-∫dx
Graph
- OPTN-CALC-∫dx (Y1-Y2)
- DRAW-GSolv-G↔T-∫dx-
INSECT
Volumen
𝑉 = π × න (𝑓
ଶ
Unendliche Integrale
- Uneigentliche Integrale
- Rekonstruieren einer Größe
Rechnung mit 𝑙𝑖𝑚
௭→ஶ
ି௭
Mittelwert
× න 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Mittlere Änderungsrate
Koordinatengleichung: 𝑎𝑥
ଵ
ଶ
ଷ
= 𝑑 wobei 𝑑 = 𝑝⃑ ∗ 𝑛ሬ⃑
Normalenvektor von E ist: ቆ
(b) Normalengleichung → Koordinatengleichung
ଵ
ଶ
ଷ
ଵ
ଶ
ଷ
(c) Koordinatengleichung → Normalengleichung
ଵ
ଶ
ଷ
ଵ
ଶ
ଷ
൱ [𝑊𝑒𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛 𝐸 𝑒𝑖𝑛𝑠𝑒𝑡𝑧𝑒𝑛]
ଵ
ଶ
ଷ
Parameterform 𝑬: 𝒙ሬሬ⃑ = ൭
𝟏
𝟐
𝟑
𝟏
𝟐
𝟑
𝟏
𝟐
𝟑
(d) Koordinatengleichung → Parameterform
ଵ
ଶ
ଷ
ଶ
ଵ
ଷ
ଵ
ଵ
ଶ
ଵ
ଷ
ଷ
ଷ
Als GG ൭
ଵ
ଶ
ଷ
ௗ
ଵ
ଶ
(e) Parameterform →Koordinatengleichung / Normalengleichung
ଵ
ଶ
ଷ
ଵ
ଶ
ଷ
ଵ
ଶ
ଷ
𝑢ሬ⃑ × 𝑣⃑ = 𝑛ሬ⃑ → 𝑂𝑆
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
ଷ
ଷ
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
ଷ
ଷ
ଵ
ଶ
ଷ
ଵ
ଶ
ଷ
- Geometrische Objekte und Situationen im Raum
Spurpunkte und Spurgerade (mit Koordinatengleichung)
xy-Ebene: 𝐸: 𝑥⃑ = ቆ
ଵ
ଶ
xz-Ebene: 𝐸: 𝑥⃑ = ൭
ଵ
ଷ
yz-Ebene: 𝐸: 𝑥⃑ = ൭
ଶ
ଷ
x-Achse: 𝐸: 𝑥⃑ = ቆ
ଵ
Lagebeziehungen und Abstände
i. Punkt-Punkt:
ଵ
ଶ
ଷ
ଵ
ଶ
ଷ
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
ଷ
ଷ
ଶ
ii. Punkt-Gerade
Option 1:
ଵ
ଶ
ଷ
Orthogonalitätsbedingung: 𝑃𝐹
௧
௧
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
ଷ
ଷ
௧
bestimmen mit 𝑃𝐹
௧
௧
in Orthogonalitätsbedingung Einsetzen
t in ห𝑃𝐹
௧
ห einsetzen
Option 2
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
ଷ
ଷ
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
ଷ
ଷ
ଵ
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
ଶ
ଷ
ଷ
ଷ
௧
௧
P G E
P
G
E
v. Gerade – Ebene
ଵ
ଶ
ଷ
ா
𝑙 ∩ 𝐸 (𝐿𝑜𝑡𝑓𝑢ß𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡); 𝑂𝐹
vi. Ebene-Ebene
Ebenen sind Parallel: Siehe Punkt/Gerade – Ebene
Schnittwinkel
cos 𝜑 =
× ห𝑏
cos 𝛼 =
×
cos 𝛼 =
ா
ீ
ா
ሬሬሬሬ⃑ | × |𝑛
ீ
cos 𝛽 =
ா
ா
ሬሬሬሬ⃑ | × |𝑢ሬ⃑ |
Stochastik
Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen – Diskrete Zufallsgrößen
a. Daten darstellen und durch Kenngrößen beschreiben
Gegeben ist eine Urliste x 1
, x 2,
x 3,
…, x n.
Die zugehörige Kenngrößen sind:
Mittelwert
× (𝑥
ଵ
ଶ
ଷ
𝑥̅ = 𝑥 ×
ଵ
+ 𝑥 ×
ଶ
+ 𝑥 ×
ଷ
+ ⋯ + 𝑥 ×
𝑥̅ = 𝑥 × 𝑟
ଵ
+ 𝑥 × 𝑟
ଶ
+ 𝑥 × 𝑟
ଷ
+ ⋯ + 𝑥 × 𝑟
𝑥̅ = 0 ×
+ 1 ×
+ ⋯ + 6 ×
Empirische Standartabweichung
ଵ
ଶ
ଶ
ଶ
ଷ
ଶ
ଶ
Wenn eine relative Häufigkeitsverteilung mit den Werten m 1
, m 2,
m 3,
…, m k
und den relativen
Häufigkeiten h 1
, h 2,
h 3,
…, h k
voliegt so gilt auch:
ଵ
× ℎ
ଵ
ଶ
× ℎ
ଶ
ଷ
× ℎ
ଷ
× ℎ
ଵ
ଶ
× ℎ
ଵ
ଶ
ଶ
× ℎ
ଶ
ଷ
ଶ
× ℎ
ଷ
ଶ
× ℎ
b. Erwartungswert und Standartabweichung von Zufallsgrößen
Für eine Zufallsgröße X mit den Werten x 1
, x 2,
x 3,
…, x n
definiert man die Zufallsgrößen
Erwartungswert
ଵ
× 𝑃
ଵ
ଶ
× 𝑃
ଶ
ଷ
× 𝑃
ଷ
× 𝑃
Standartabweichung
ଵ
ଶ
× 𝑃
ଵ
ଶ
ଶ
× 𝑃
ଶ
ଶ
× 𝑃
Binomialverteilung und Normalverteilung
Binomialverteilung
Eine Bernoulli-Kette der Länge n besteht aus n unabhängigen Bernoulli-
Experimenten mit den Ergebnissen 1(„Treffer“) und 0(„Nieten“)
Beschreibt die Zufallsgröße X der Treffer und ist p die Wahrscheinlichkeit für
einen Treffer, so erhält man die Wahrscheinlichkeit für k Treffer mithilfe der
Bernoulli-Formel
;
ቁ × 𝑝
×
ି
Info:
RunMatrix-OPTN-G↔T-PROB-nCR
RunMatrix-OPTN-STAT-DIST-BINOMIAL
ఓ,ఙ
× 𝑒
(௫ିఓ )
మ
ଶఙ
మ
Hochpunkt bei 𝑥 = 𝜇
Wendestelle bei 𝑥 = 𝜇 ± 𝜎
ఓ,ఙ
ஶ
ିஶ
ఓ,ఙ
,ଵ
ିఓ
ఙ
ିఓ
ఙ
Eine stetige Zufallsgröße X heißt normalverteilt, mit den Parametern 𝜇 und 𝜎, wenn sie eine
Gauß’sche Glockenfunktion 𝜑 ఓ,ఙ
als Wahrscheinlichkeitsdichte Besitzt:
ఓ,ఙ
௦
𝑑𝑥 Ncd(r,s,σ,μ)
ఓ,ఙ
(𝑘) Ncd(k,σ,μ)
- Satz von Moviere und Laplace
Für binomialverteilte Zufallsgrößen X mit 𝜇 = 𝑛 × 𝑝 und 𝜎 = ඥ
𝑛 × 𝑝(1 − 𝑝) gilt:
(a)
,
𝜇,𝜎
(b) 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) ≈
𝜇,𝜎
𝑏+𝑜,
𝑎−0,
Testen von Hypothesen
a. Testen bei Signigikanztests
H
0
: H
Annahme
: Berechnung Intervalle
rechtsseitig
Bcd(0,x,n,p)
𝐴[ 0 ; 𝑏]
[𝑏 + 1 ; 𝑛]
linksseitig
Bcd(0,x,n,p)
[ 0 ; 𝑎 − 1 ]
𝐴[𝑎; 𝑛]
zweiseitig 𝑝 = 𝑝
𝐴[𝑎; 𝑏]
[
]
[𝑏 + 1 ; 𝑛]
RunMatrix-OPTN-STAT-DIST-NORM
b. Fehler beim Testen von Hypothesen - Fehler 1. Und 2. Art
Zustand der Wirklichkeit
Nullhypothese wahr Nullhypothese falsch
Nullhypothese wird…
verworfen Fehler 1. Art richtige Entscheidung
aktzeptiert richtige Entscheidung Fehler 2. Art
rechtsseitig linksseitig
Fehler 1. Art 𝑃(𝑋 ≥ 𝑘) 𝑃(𝑋 ≤ 𝑘)
Fehler 2. Art 𝑃(𝑋 ≤ 𝑘) ü𝑏𝑒𝑟 𝑝
ଶ
𝑃(𝑋 ≥ 𝑘) ü𝑏𝑒𝑟 𝑝
ଶ
Stochastische Matrizen
Grundlagen
- Addition und Skalare Multiplikation von Matrizen
ଵଵ
ଵଶ
ଶଵ
ଶଵ
ଵଵ
ଵଶ
ଶଵ
ଶଵ
ଵଵ
ଵଵ
ଵଶ
ଵଶ
ଶଵ
ଶଵ
ଶଵ
ଶଵ
ଵଵ
ଵ
ଵ
𝑘 × 𝐴 = ൭
𝑘 × 𝑎
ଵଵ
⋯ 𝑘 × 𝑎
ଵ
𝑘 × 𝑎
ଵ
⋯ 𝑘 × 𝑎
(ଶ,ଷ)
× 𝐵
(ଷ,ଶ)
(ଶ,ଶ)
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
𝐴 × 𝐵 = ൬
ଵ
× 𝑢
ଵ
ଶ
× 𝑣
ଵ
ଵ
× 𝑢
ଶ
ଶ
× 𝑣
ଶ
ଵ
× 𝑢
ଵ
ଶ
× 𝑣
ଵ
ଵ
× 𝑢
ଶ
ଶ
× 𝑣
ଶ
