Mathe Olympiade - Klasse 6 Aufgaben und Lösungen, Übungen von Mathematik

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Olympiade - Klasse 6

Aufgaben und Lösungen

OJM

1. Stufe (Schulolympiade)

Klasse 6

Aufgaben

Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar in logisch und grammatikalisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herangezogene Aussagen sind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge- meinschaften bekannt ist, genügt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzuführen.

Aufgabe 010611:

a) 9 154 · 138139 ,

b) 3 451 2335 − 2 868 2449.

Aufgabe 010612:

Bei den im Oktober 1961 durchgeführten sowjetischen Raketenversuchen lagen bei einer Zielentfernung von etwa 12 500 km alle Treffer innerhalb eines Kreises, dessen Radius kleiner als 1 km war.

Wie groß wäre der Radius des Trefferkreises bei einem Schüler, der mit gleicher Treffsicherheit auf ein 25 m entferntes Ziel einen Schlagball werfen würde?

Aufgabe 010613:

Ein „Trabant“ fährt bei einem Kilometerzählerstand von 17 880 km los. Nach der Rückkehr steht sein Kilo- meterzähler auf 18 030 km. Der Benzinverbrauch betrug 10 , 5 Liter.

a) Wieviel Kilometer hat der „Trabant“ zurückgelegt?

b) Wieviel Liter Treibstoff muß der Fahrer tanken, wenn er eine Strecke von 350 km fahren will?

Aufgabe 010614:

Kann eine Summe von vier beliebigen, aber aufeinanderfolgenden natürlichen (positiven ganzen) Zahlen (z. B. 11 , 12 , 13 , 14 oder 27 , 28 , 29 , 30 ) eine Primzahl sein? Begründe die Antwort!

Aufgabe 010615:

Wieviel verschiedene Arten von Personenzug-Fahrkarten II. Klasse braucht man für eine Strecke mit 15 Sta- tionen, wenn es für jede mögliche Verbindung eine Fahrkarte geben soll? Wie hast du die Anzahl ermittelt?

Aufgabe 010616:

Zeichne zwei Nebenwinkel und konstruiere ihre Winkelhalbierenden. Was für einen Winkel bilden die Win- kelhalbierenden? Begründe deine Antwort!

OJM

1. Stufe (Schulolympiade)

Klasse 6

Aufgaben

Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar in logisch und grammatikalisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herangezogene Aussagen sind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge- meinschaften bekannt ist, genügt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzuführen.

Aufgabe 020611:

Inge fragt ihren Bruder Klaus, der mit seiner Klasse in den Herbstferien einer LPG bei der Kartoffelernte geholfen hat, nach dem Ergebnis der Erntehilfe. Klaus antwortet: „Insgesamt wurden 15 000 dt Kartoffeln geerntet. 15 dieser Menge sammelten wir Schüler, 13 dieser Menge wurde von einigen Genossenschaftsbauern mit der Kartoffelkombine geerntet, den Rest sammelten die anderen Genossenschaftsbauern.“

Wieviel Dezitonnen Kartoffeln ernteten

a) die Schüler?

b) die Bauern mit der Kartoffelkombine?

c) die übrigen Genossenschaftsbauern?

Aufgabe 020612:

Von den bisher festgesetzten 296 Minuten wurden im Rahmen des Produktionsaufgebotes von den Arbeitern des VEB Druck- und Prägemaschinen Berlin bei einem Arbeitsgang 96 Minuten eingespart. Das macht je hergestellte Maschine 2 , 40 DM aus.

b) Wie groß ist die Einsparung, wenn 60 Prägemaschinen hergestellt werden?

b) Infolge des Produktionsaufgebotes konnten sogar 83 statt 60 Maschinen in der gleichen Zeit hergestellt werden. Wie groß ist dabei die Einsparung?

Aufgabe 020613:

Paul erzählt: „Mein Bruder Emil ist 3 Jahre älter als ich, meine Schwester Lotte ist 4 Jahre älter als Emil, und mein Vater ist dreimal so alt wie Lotte. Meine Mutter ist 5 Jahre jünger als mein Vater und ist gestern 40 Jahre alt geworden.“

Wie alt ist Paul? Die Antwort ist zu begründen!

Aufgabe 020614:

Drei Fluggäste aus der DDR fliegen mit der TU 104 von Prag nach Kairo. Ihre Namen sind Baumann, Eichler und Hahn. Einer von ihnen ist Elektriker, einer Monteur und einer Ingenieur. Aus ihrer Unterhaltung entnehmen wir folgendes:

a) Zwei Fluggäste, und zwar Herr Baumann und der Ingenieur, sollen in Bombay eine von der DDR gelieferte Anlage aufbauen helfen.

b) Zwei Fluggäste, und zwar Herr Hahn und der Elektriker, kommen aus Berlin, während der dritte aus Dresden kommt.

c) Herr Eichler ist jünger als der Monteur.

c) Herr Hahn ist älter als der Ingenieur.

Wie heißt der Ingenieur?

Wie heißt der Elektriker?

Wie heißt der Monteur?

Die Lösung ist zu begründen!

Aufgabe 020615:

In einer Ebene sollen vier Geraden so gezeichnet werden, daß genau

a) kein Schnittpunkt,

b) 1 Schnittpunkt,

c) 3 Schnittpunkte (zwei Möglichkeiten),

d) 4 Schnittpunkte (zwei Möglichkeiten),

e) 5 Schnittpunkte,

f) 6 Schnittpunkte entstehen!

Wie müssen die Geraden zueinander liegen? Zeichne!

Aufgabe 020616:

Gegeben sind zwei Strecken. Die eine ist gleich der Summe zweier Strecken, die andere ist gleich ihrer Differenz.

a + b =

a b =

6 cm

3 cm

Wie lang sind die Strecken a und b? Beschreibe, wie du die Lösung gefunden hast!

OJM

1. Stufe (Schulolympiade)

Klasse 6

Aufgaben

Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar in logisch und grammatikalisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herangezogene Aussagen sind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge- meinschaften bekannt ist, genügt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzuführen.

Aufgabe 030611:

Für kulturelle, soziale und gesundheitliche Zwecke gab unsere Regierung im Jahre 1958 rund 15 Milliar- den DM aus. Im Jahre 1962 war die entsprechende Summe um ein Drittel höher als 1958.

a) Wieviel DM wurden in der DDR im Jahre 1962 für die genannten Zwecke ausgegeben?

b) Wieviel DM waren das in beiden Fällen je Kopf unserer Bevölkerung, wenn man jeweils eine Ein- wohnerzahl von rund 17 Millionen annimmt?

Aufgabe 030612:

Eine Pioniergruppe fuhr um 16.00 Uhr mit einem Autobus aus der Stadt in ein Ferienlager. Als sie neun Zehntel des Weges zurückgelegt hatten, mußten die Pioniere 2 km vor dem Lager aussteigen, weil der Bus den Waldweg, der zum Lager führte, nicht mehr befahren konnte. Für den Rest des Weges benötigten sie eine halbe Stunde und trafen um 17.00 Uhr im Lager ein.

Mit welcher Geschwindigkeit fuhr der Bus? (Wieviel Kilometer legte er in einer Stunde zurück?)

Aufgabe 030613:

Gegeben seien drei beliebige, aber aufeinanderfolgende zweistellige natürliche Zahlen.

a) Zeige, daß unabhängig von der Wahl dieser Zahlen niemals alle drei Zahlen zugleich Primzahlen sein können!

b) Nenne alle Primfaktoren, die unabhängig von der Wahl dieser Zahlen in mindestens einer von ihnen enthalten sein müssen!

Aufgabe 030614:

Peter, ein junger Mathematiker, sagt zu seinem Vater:

„Ich weiß ein Kunststück. Jeder von uns beiden hat 30 Streichhölzer zur Verfügung und nimmt einige davon in die Hand. Du sagst mir, ob die Anzahl der Streichhölzer, die du in die Hand genommen hast, gerade oder ungerade ist. Ich werde dir dann, ohne nachzuzählen, sagen, ob die Gesamtzahl der übriggebliebenen Streichhölzer gerade oder ungerade ist.“

Wieso weiß Peter das?

Aufgabe 030615:

a) Zeichne 9 Punkte so, wie es die Abbildung zeigt. Lege durch diese Punkte acht verschiedene Geraden so, daß auf jeder dieser Geraden drei Punkte liegen! Fertige eine Zeichnung an!

b) Es sollen nun 2 von diesen 9 Punkten so verschoben werden, daß man genau zehn verschiedene Geraden zeichnen kann, wobei wieder auf jeder dieser Geraden drei Punkte liegen sollen. Fertige auch dazu eine Zeich- nung an!

Aufgabe 030616:

Gegeben seien neun Quadrate mit den Seitenlängen

a = 36 mm, d = 20 mm, g = 14 mm, b = 30 mm, e = 18 mm, h = 8 mm, c = 28 mm, f = 16 mm, i = 2 mm.

Füge diese Quadrate so zusammen, daß sie ein Rechteck bilden! Fertige dazu eine Zeichnung an!

OJM

1. Stufe (Schulolympiade)

Klasse 6

Aufgaben

Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar in logisch und grammatikalisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herangezogene Aussagen sind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge- meinschaften bekannt ist, genügt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzuführen.

Aufgabe 040611:

In 2 Minuten greifen und befördern 3 Bagger 108 m^3 Erde. Ein Erdarbeiter kann an einem achtstündigen Arbeitstag 5 m^3 Erde ausheben.

Verschaffe dir eine Vorstellung von der Leistungsfähigkeit eines solchen Baggers, indem du ausrechnest, wieviel Erdarbeiter erforderlich wären, um einen Bagger zu ersetzen!

Aufgabe 040612:

J U N G E W U N G E W E N G E W E L G E W E L T

Auf wieviel verschiedene Weisen kann man in der nebenstehenden Tabelle die Wörter ”Junge Welt” lesen, ohne dabei Zeilen oder Spalten zu überspringen?

Aufgabe 040613:

Eine 6. Klasse stellte verschiedenartige Pappdreiecke her. Die Schüler wollten diese Dreiecke im Mathema- tischen Kabinett ihrer Schule in einem Schränkchen aufbewahren, das neun Fächer enthielt. Jeweils drei Fächer hatten die Schüler für die gleichseitigen Dreiecke, für die nur gleichschenkligen Dreiecke (d.h. für die nicht gleichseitigen) und für die ungleichschenkligen Dreiecke vorgesehen. Innerhalb dieser Gruppen sollten die Figuren nämlich noch in spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke unterteilt werden.

Überprüfe, ob die Anzahl der Fächer richtig gewählt war!

Aufgabe 040614:

Zerlege die Zahl 390 in drei Summanden, von denen der zweite dreimal so groß wie der erste und der dritte 2 12 mal so groß wie der erste ist!

Aufgabe 040615:

Es ist die kleinste natürliche Zahl zu finden, die beim Dividieren

durch 2 den Rest 1, durch 3 den Rest 2, durch 4 den Rest 3, durch 5 den Rest 4 und durch 6 den Rest 5

aufweist.

Aufgabe 040616:

Die abgebildete Figur ist der Grundriß eines ebenflächig begrenzten Körpers. Die Bilder seiner Eckpunkte A , B , C , D , E , F , G , H sind mit A ′, B ′, C ′, D ′, E ′, F ′, G ′, H ′^ bezeichnet. Das Quadrat ABCD liegt auf der Grundrißebene; das Quadrat EF GH liegt parallel zur Grundrißebene im Abstand von 4 cm. Die Seite AB ist 5 cm, die Seite EF 3 cm lang.

Um welchen Körper handelt es sich? Baue ein Modell dieses Körpers! Das Material kannst du selbst wählen.

C’

G’

E’ F’

H’

D’

A’ B’

OJM

1. Stufe (Schulolympiade)

Klasse 6

Aufgaben

Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar in logisch und grammatikalisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herangezogene Aussagen sind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge- meinschaften bekannt ist, genügt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzuführen.

Aufgabe 050611:

Aus Leipzig und Dresden (Entfernung 119 km) fahren gleichzeitig zwei Radfahrer ab. Der Radfahrer aus Leipzig fährt nach Dresden, der aus Dresden nach Leipzig. Der eine von ihnen legt 15 km, der andere 20 km in der Stunde zurück.

a) Wie groß ist die Entfernung zwischen beiden Radfahrern nach 2 12 Stunden?

b) Wie weit sind sie von beiden Städten entfernt, wenn sie einander treffen?

Aufgabe 050612:

Eine zweistellige natürliche Zahl soll auf Grund folgender Bedingungen ermittelt werden:

Ihre Quersumme beträgt 10. Vertauscht man ihre Ziffern und addiert zu der dadurch entstehenden Zahl die Zahl 1, so erhält man das Zweifache der ursprünglichen Zahl.

Aufgabe 050613:

Gegeben sind die Winkel α , β und γ (siehe Abbildung)

α β^ γ A 2 A A 1

a) Konstruiere den Winkel β + γ − 2 α mit Zirkel und Lineal!

b) Beschreibe die Konstruktion!

Aufgabe 050614:

In einem Betrieb sollen 1 600 Pakete, die je 1 , 6 dm lang, 7 cm breit und 45 mm hoch sind (Außenmaße), zum Versand gebracht werden. Arbeiter wollen sie in Kisten von 64 cm Länge, 0 , 28 m Breite und 1 , 8 dm Höhe (Innenmaße) einschichten.

Welches ist die kleinste Anzahl von Kisten, die ausreicht, um alle diese Pakete gleichzeitig zu versenden?

OJM

2. Stufe (Kreisolympiade)

Klasse 6

Aufgaben

Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar in logisch und grammatikalisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herangezogene Aussagen sind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge- meinschaften bekannt ist, genügt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzuführen.

Aufgabe 050621:

In einer Möbelfabrik wurde die Produktion von Tischen monatlich um 10 Tische gesteigert. Die Jahrespro- duktion betrug 1 920 Tische.

Wieviel Tische wurden im Juni und wieviel im Dezember hergestellt?

Aufgabe 050622:

g 1

g 3 g 2

ωψ δ A αβγ

F (^) E

D

C

B

Die drei Geraden g 1 , g 2 und g 3 schneiden einander im Punkt M. Dabei entstehen Winkel mit den Maßen α , β , γ , δ , ψ und ω (siehe Abbildung). Wie groß sind diese 6 Winkelmaße, wenn

(1) γ + δ + ψ + ω = 252◦^ und

(2) α dreimal so groß wie β ist?

Aufgabe 050623:

Gesucht ist eine natürliche Zahl b , die folgenden Bedingungen genügt:

(1) 40 < b < 600 ;

(2) b ist sowohl durch 4 als auch durch 9 teilbar,

(3) b ist nicht durch 8 und nicht durch 27 teilbar,

(4) b läßt bei der Division durch 11 den Rest 6.

Wieviel solche Zahlen gibt es?

Aufgabe 050624:

Die Schüler Eva, Renate, Monika, Ingrid, Jürgen, Hans und Gerd haben sich in einer Reihe der Größe nach aufgestellt. Der größte steht vorn, und von zwei gleichgroßen steht der, dessen Vorname einen im Alphabet vorangehenden Anfangsbuchstaben hat, vor dem anderen. Folgendes ist bekannt:

(1) Es ist wahr, daß Ingrid 2 cm kleiner als Monika ist.

(2) Es ist falsch, daß Eva nicht dieselbe Größe wie Gerd besitzt.

(3) Es ist nicht wahr, daß keiner dieser Schüler kleiner als Hans ist.

OJM

1. Stufe (Schulolympiade)

Klasse 6

Aufgaben

Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar in logisch und grammatikalisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herangezogene Aussagen sind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge- meinschaften bekannt ist, genügt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzuführen.

Aufgabe 060611:

Berechne den Flächeninhalt der abgebildeten Figur! Runde das Ergebnis auf volle Quadrat- zentimeter! (Die Maßeinheit aller angegebenen Maßzahlen ist Millimeter.)

Aufgabe 060612:

Zu Beginn des Schuljahres kaufte Heinz zwei verschiedene Sorten von Heften, die eine kostet 8 Pf, die andere 15 Pf pro Stück. Er zahlte für 12 Hefte zusammen 1,31 MDN.

Wieviel Hefte kaufte er von jeder Sorte?

Aufgabe 060613:

Gegeben sind drei Strecken mit den Längen a , b und c (siehe Abbildung).

Konstruiere eine Strecke mit der Länge 2 · ( a + 3 b − 2 c )!

A

a B C D E c b F

Anmerkung: Bei der Konstruktion darf die Maßeinteilung des Lineals nicht benutzt werden. Eine Konstruk- tionsbeschreibung wird nicht verlangt.

Aufgabe 060614:

In einem Haus wohnen genau die Mietsparteien Albrecht, Becker, Conrad, Dietrich, Ermler, Fritsche, Geißler, Hamann, Ilgner, Keies, Lorenz, Männig, Nolte, Oswald, Richter und Pätzold. Im Erdgeschoß und in jeder Etage wohnen genau zwei Mietsparteien, außerdem ist folgendes bekannt:

Albrechts wohnen zwei Stockwerke tiefer als Beckers. Beckers wohnen sechs Stockwerke höher als Conrads.

Familie Fritsche wohnt neben Familie Geißler. Familie Männig wohnt vier Stockwerke höher als Familie Nolte und zwei Stockwerke tiefer als Familie Fritsche. Ein Stockwerk über Familie Nolte wohnt Familie Oswald.

Familie Albrecht wohnt drei Etagen über Familie Richter, und Familie Pätzold wohnt fünf Stockwerke unter Familie Geißler.

a) Wieviel Stockwerke hat das Haus?

b) In welchem Stockwerk wohnt Familie Albrecht?

OJM

1. Stufe (Schulolympiade)

Klasse 6

Aufgaben

Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar in logisch und grammatikalisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herangezogene Aussagen sind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge- meinschaften bekannt ist, genügt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzuführen.

Aufgabe 070611:

Zu einem Straßenbahnhof einer gewissen Großstadt gehören insgesamt 83 Straßenbahnwagen. Davon sind genau 46 Anhänger. Zu einem gewissen Zeitpunkt befinden sich insgesamt 8 Triebwagen mit je zwei Anhän- gern und 23 Triebwagen mit je einem Anhänger im Einsatz.

Welches ist die Anzahl aller Triebwagen und Anhänger, die sich zu diesem Zeitpunkt nicht im Einsatz befinden?

Aufgabe 070612:

D














C

A B

3cm

E F

H G

Die Abbildung stellt zwei Quadrate ABCD , EF GH dar. Sie sind so gelegen, daß die vier Diagonalen AC , BD , EG und F H einander in genau einem Punkt schneiden, und daß AB ‖ EF gilt.

Die Differenz der Flächeninhalte der beiden Quadrate ABCD und EF GH beträgt 96 cm^2. Berechne die Längen der Strecken BC und GH!

Aufgabe 070613:

In einem Speicher wurden insgesamt 2170 kg Getreide gelagert. Es waren genau 11 Sack Weizen zu je 80 kg, 6 Sack Gerste und 12 Sack Mais. Jeder Sack Gerste enthielt 5 kg mehr als jeder Sack Mais.

Wieviel Kilogramm Mais wurden im Speicher gelagert?

Aufgabe 070614:

Unter der Fakultät einer natürlichen Zahl n ≥ 2 (geschrieben n !) verstehen wir das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n.

Es gilt zum Beispiel:

3! = 1 · 2 · 3 = 6 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24

Ermittle, auf welche Ziffer die Summe s = 3! + 4! + 5! + 6! + 7! + 8! + 9! + 10! endet!

OJM

2. Stufe (Kreisolympiade)

Klasse 6

Aufgaben

Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar in logisch und grammatikalisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herangezogene Aussagen sind zu beweisen. Nur wenn eine so zu verwendende Aussage aus dem Schulunterricht oder aus Arbeitsge- meinschaften bekannt ist, genügt es ohne Beweisangabe, sie als bekannten Sachverhalt anzuführen.

Aufgabe 070621:

g 3 g 1

g 2

α^ g 4

γ

β

δ

Die Geraden g 1 , g 2 , g 3 und g 4 schneiden einander in der aus der Abbildung ersichtlichen Weise. Von den Größen α , β , γ und δ der dadurch entstehenden Winkel sei

α = 50◦ , β = 130◦ , γ = 70◦.

Ermittle δ!

Aufgabe 070622:

Jedes der beiden Vorderräder eines Wagens hat einen Umfang von 210 cm, jedes der beiden Hinterräder einen Umfang von 330 cm.

Ermittle die kürzeste Strecke (in m), die der Wagen auf einer ebenen geraden Straße durchfahren haben muß, damit jedes seiner Räder genau eine ganze Anzahl von Umdrehungen durchgeführt hat!

Aufgabe 070623:

Nach einem Scheibenschießen verglichen Elke, Regina, Gerd und Joachim ihre Schießleistungen. Es ergab sich folgendes:

(1) Joachim erzielte mehr Ringe als Gerd.

(2) Elke und Regina erreichten zusammen dieselbe Ringzahl wie Joachim und Gerd zusammen.

(3) Elke und Joachim erzielten zusammen weniger Ringe als Regina und Gerd.

Ermittle auf Grund dieser Angaben die Reihenfolge der Schützen nach fallender Ringzahl!