Mathematik 2 Übungsaufgaben, Übungen von Mathematik

Nur auf Docsity: Lade Mathematik 2 Übungsaufgaben und mehr Übungen als PDF für Mathematik herunter! Heilbronn, den 15.11.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22 Übungen zu Mathematik 2 Blatt 8 Zu bearbeiten bis 22.11.2021 Name: Matrikelnr.: Pflichtaufgabe. Vergleichen Sie Ihre Lösungen des letzten Aufgabenblatts mit den Musterlösungen. • Geben Sie die Nummern der Aufgaben an, die Sie richtig bzw. nicht richtig gelöst haben. • Schreiben Sie jede Aufgabe, die Sie nicht richtig gelöst haben, von der Musterlösung ab und geben Sie an wo Ihr Problem lag (z.B. Rechenfehler, Aufgabenstellung nicht verstanden, Wissenslücke im Stoff der Vorlesung, usw.). Aufgabe 1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL y′′ + y = cos(x). Aufgabe 2. Berechnen Sie Realteil, Imaginärteil und Betrag der komplexen Zahl z = 2j(1− j) (2j + 1)2 . Aufgabe 3. Berechnen Sie den Betrag der komplexen Zahl 2 1 + j . Aufgabe 4. Berechnen Sie eine Stammfunktion von f(x) = 1 cos(x) im Intervall −π/2 < x < π/2. Verifizieren Sie Ihr Ergebnis durch Ableiten. Hinweis: Wenn Sie den Bruch zuerst mit cos(x) erweitern und ausnutzen, dass sin2(x) + cos2(x) = 1 ist, können Sie mit der Substitution u = sin(x) komplexe Zahlen vermei- den. Aufgabe 5. Berechnen Sie( 1 −2 1 −3 0 1 ) 0 1 1 2 −1 0 −3 1 2  . Führen Sie die Berechnung zuerst nach der Regel “Zeile mal Spalte” durch und danach unter Verwendung von Matrix-Vektor Multiplikationen. 1 Aufgabe 6. Folgendes Bild zeigt einen elektrischen Schwingkreis. i(t) R L C q(t) • Wie groß darf der Widerstand R in Abhängigkeit von L und C höch- stens sein, damit der Schwingkreis tatsächlich eine gedämpfte Schwin- gung ausführt? • Berechnen Sie für diesen Fall die Kreisfrequenz der Schwingung. Aufgabe 7. Berechnen Sie eine partikuläre Lösung der DGL y′ + y = cos2(x). Aufgabe 8. In nachfolgendem Bild ist ein Kondensator C direkt an eine kom- plexe Wechselspannungsquelle mit Spannung u(t) = u0e jωt angeschlossen. u(t) q(t) i(t) C Für die Ladung des Kondensators gilt somit q(t) = Cu(t). Die Ladungsänderung des Kondensators ist gleich der Stromstärke, d.h. i(t) = q′(t). • Berechnen Sie die Stromstärke i(t) in Abhängigkeit von u0, C und ω. • Berechnen Sie hiermit den komplexen Widerstand des Kondensators aus R = u(t) i(t) und zeigen Sie, dass R unabhängig von t ist. Wäre dies auch der Fall, wenn u(t) keine komplexe Wechselspannung wäre? Aufgabe 9. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL y′′ + 2y′ + 5y = 0. 2