Mathematik 2 Übungsaufgaben, Übungen von Mathematik

Nur auf Docsity: Lade Mathematik 2 Übungsaufgaben und mehr Übungen als PDF für Mathematik herunter! Heilbronn, den 22.11.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22 Übungen zu Mathematik 2 Blatt 9 Zu bearbeiten bis 29.11.2021 Name: Matrikelnr.: Pflichtaufgabe. Vergleichen Sie Ihre Lösungen des letzten Aufgabenblatts mit den Musterlösungen. • Geben Sie die Nummern der Aufgaben an, die Sie richtig bzw. nicht richtig gelöst haben. • Schreiben Sie jede Aufgabe, die Sie nicht richtig gelöst haben, von der Musterlösung ab und geben Sie an wo Ihr Problem lag (z.B. Rechenfehler, Aufgabenstellung nicht verstanden, Wissenslücke im Stoff der Vorlesung, usw.). Aufgabe 1. Berechnen Sie die inverse Matrix A−1 von A =  0 1 1 1 0 0 0 1 0  . Aufgabe 2. Gegeben sei folgender Schwingkreis, der aus einem ohmschen Wi- derstand R, einer Spule L und einem Kondensator C besteht: uR(t) uL(t) uC(t) u0(t) Für die Spannungen an den Bauteilen gilt uR(t) = Ri(t) uC(t) = q(t)/C uL(t) = Li′(t). wobei q(t) die Ladung des Kondensators ist. Weiterhin gilt i(t) = q′(t). Die Eingangsspannung sei u0(t) = cos(ωt). Berechnen Sie eine partikuläre Lösung für q(t) in Abhängigkeit von ω. Warum tritt bei diesem System nie Resonanz auf? 1 Aufgabe 3. Berechnen Sie die allgemeine Lösung der DGL y′ey+1 + 3 = 2 cos(x). Aufgabe 4. Berechnen Sie die allgemeine Lösung der DGL 1 + cos(x+ 2)y2 y′ e1/y = 0. Aufgabe 5. Zeigen Sie, dass ∫ t C f(τ)dτ eine Stammfunktion von f(t) ist für beliebiges C. Aufgabe 6. Berechnen Sie für eine beliebige Konstante C d dt (∫ t C sin(τ)dτ ) . Berechnen Sie dann mit der Produktregel d dt ( t ∫ t C sin(τ)dτ ) . Aufgabe 7. Die Sprungfunktion σ(t) ist definiert durch σ(t) = { 1 für t ≥ 0 0 für t < 0 Sei t eine beliebige Konstante und f(τ) = σ(τ)σ(t− τ). Berechnen Sie die Menge aller τ für die f(τ) 6= 0. Für welche Werte von t ist diese Menge leer? Aufgabe 8. Die Sprungfunktion σ ∈ R→ R ist definiert durch σ(t) = { 1 falls t ≥ 0 0 falls t < 0 Tritt die Sprungfunktion in einem bestimmten Integral auf, lassen sich die Integrationsgrenzen einschränken und die Sprungfunktion im Integrand eliminieren. • So ist z.B. ∫ ∞ −∞ σ(τ)f(τ)dτ = ∫ ∞ 0 f(τ)dτ da σ(τ) = 0 für negative τ . 2 wobei die Beschleunigung a(t) gleich der Ableitung der Geschwindigkeit h(t) ist. Damit wäre f(t) = mh′(t). Eine Lösungsfunktion ist somit h(t) = 1 m ∫ t −∞ f(τ)dτ. Dies sieht man leicht, wenn man h(t) in die DGL einsetzt. Sei F (t) eine Stammfunktion von f(t). Dann gilt h(t) = 1 m [F (t)]t−∞ = 1 m (F (t)− F (−∞)) h′(t) = 1 m f(t) mh′(t) = f(t), Unter Verwendung der Sprungfunktion σ(t) kann man h(t) auf die Form h(t) = 1 m ∫ ∞ −∞ σ(t− τ)f(τ)dτ bringen und mit g(t) = 1 m σ(t) gilt h(t) = ∫ ∞ −∞ f(τ)g(t− τ)dτ = (f ∗ g)(t). Das gleiche Problem soll nun mit einer zur Geschwindigket proportio- nalen Reibungskraft µh(t) gelöst werden. Das Trägheitsgesetz liefert die Gleichung f(t)− µh(t) = ma(t). • Stellen Sie hiermit eine DGL auf. Um was für einen Typ handelt es sich? • Zeigen Sie durch Einsetzen, dass die Funktion h(t) = 1 m e− µ m t ∫ t −∞ f(τ)e µ m τdτ diese DGL erfüllt. Nach dieser Formel kann die Geschwindigkeit h(t) in Abhängigkeit der Kraft f(t) berechnet werden. Für µ = 0 ergibt sich die o.g. hergeleitete Formel ohne Reibung. 5 • Bestimmen Sie die Impulsantwort g(t) des Systems, d.h. bringen Sie h(t) auf die Form h(t) = ∫ ∞ −∞ f(τ)g(t− τ)dτ. Sie benötigen hierfür die Sprungfunktion σ(t) um an der Obergrenze des Integrals t durch ∞ ersetzen zu können. Aufgabe 10. Sei f(t) = { t falls t > 1 0 sonst g(t) = et. Berechnen Sie (f ∗ g)(t). Aufgabe 11. Zeigen Sie, dass wenn f(t) = g(t) = 0 für t < 0 gilt ∫ ∞ −∞ f(τ)g(t− τ)dτ = ∫ t 0 f(τ)g(t− τ)dτ. Sei f(t) = g(t) = { et für t ≥ 0 0 sonst Berechnen Sie (f ∗ g)(t). Aufgabe 12. Zeigen Sie durch Umformen, dass für jede beliebige Funktion f(t) gilt (σ ∗ f)(t) = ∫ ∞ 0 f(t− τ)dτ. Zeigen Sie dann unter Verwendung einer Substitution, dass (σ ∗ f)(t) = ∫ t −∞ f(τ)dτ. Aufgabe 13. Sei f(t) = { e−t für t ≥ 0 0 sonst g(t) = t Berechnen Sie (f ∗ g)(t). 6 Aufgabe 14. Sei f(t) = σ(t) cos(t) g(t) = σ(t) sin(t). Berechnen Sie f ∗g. Hinweis: Lösen Sie das Integral mit komplexen Zahlen. Aufgabe 15. Berechnen Sie (σ ∗ σ)(t). Aufgabe 16. Die Faltung f ∗ g zweier Funktionen f, g ist definiert durch (f ∗ g)(t) = ∫ ∞ −∞ f(τ)g(t− τ)dτ. Sei f ∈ R→ R und c ∈ R. Die Funktion cf ist definiert durch cf ∈ R→ R, (cf)(t) = cf(t). Zeigen Sie, dass dann gilt (cf) ∗ g = c(f ∗ g). Aufgabe 17. Für a > 0 bezeichne der Index a die Stauchung einer Funktion um Faktor a, d.h. fa(t) = f(at). Zeigen Sie, dass fa ∗ ga = 1 a (f ∗ g)a. Aufgabe 18. Sei F (t) eine Stammfunktion von f(t) mit lim t→−∞ F (t) = 0. Berechnen Sie hiermit für beliebiges t̂ (σt̂ ∗ f)(t). Der Index t̂ bedeutet hierbei die Verschiebung, d.h. σt̂(t) = σ(t− t̂). Aufgabe 19. Sei f(t) eine Funktion mit gegebener Stammfunktion F (t). Be- rechnen Sie hiermit (σ − σt̂) ∗ f. Der Index t̂ bedeutet hierbei die Verschiebung, d.h. σt̂(t) = σ(t− t̂). Hinweis: Skizzieren Sie zunächst die Funktion σ(t)− σt̂(t) für t̂ ≥ 0 bzw. t̂ ≤ 0. 7