Mathematik 2 Übungsaufgaben, Übungen von Mathematik I

Nur auf Docsity: Lade Mathematik 2 Übungsaufgaben und mehr Übungen als PDF für Mathematik I herunter! Heilbronn, den 8.11.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22 Übungen zu Mathematik 2 Blatt 7 Zu bearbeiten bis 15.11.2021 Name: Matrikelnr.: Pflichtaufgabe. Vergleichen Sie Ihre Lösungen des letzten Aufgabenblatts mit den Musterlösungen. • Geben Sie die Nummern der Aufgaben an, die Sie richtig bzw. nicht richtig gelöst haben. • Schreiben Sie jede Aufgabe, die Sie nicht richtig gelöst haben, von der Musterlösung ab und geben Sie an wo Ihr Problem lag (z.B. Rechenfehler, Aufgabenstellung nicht verstanden, Wissenslücke im Stoff der Vorlesung, usw.). Aufgabe 1. Zeigen Sie, dass für die Ableitung der Funktion f ∈ R+ → R, f(x) = ln(x) gilt f ′(x) = 1/x. Gehen Sie wie folgt vor: Die Ableitung der e-Funktion darf als bekannt vorausgesetzt werden. Da die e-Funktion die Umkehrfunktion der ln Funk- tion ist, gilt ef(x) = x für alle x ∈ R+. Leiten Sie beide Seiten nach x ab und lösen Sie die Gleichung nach f ′ auf. Aufgabe 2. Berechnen Sie folgende unbestimmte Integrale. Geben Sie an, wel- che Integrationsregeln Sie verwendet haben. Berechnen Sie dann den Wert des bestimmten Integrals von −3 bis 2. • ∫ xaxdx. • ∫ sin(x) cos(x)dx. Hinweis: Produktintegration klappt nicht, Substi- tution geht. • ∫ sin(x)/ cos(x)dx. Hinweis: Substitution g(x) = cos(x). • ∫ (x − 3) sin(2x)dx. Hinweis: Erst Produktintegration, dann Substi- tution. Aufgabe 3. Die reelle e-Funktion ist streng monoton steigend und damit in- jektiv. Ist auch die komplexe e-Funktion f ∈ C→ C, f(z) = ez injektiv? Begründen Sie Ihre Antwort. 1 Aufgabe 4. Die Funktion f ∈ R→ R, f(x) = x2 ist weder injektiv noch surjektiv. Ist die Erweiterung f ∈ C→ C, f(z) = z2 injektiv bzw. surjektiv? Begründen Sie Ihre Antwort. Aufgabe 5. Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von allen Lösungen z der Gleichung (z + 1)5 = 7. Aufgabe 6. Berechnen Sie alle Lösungen z der Gleichung ez = (1 + j)7. Aufgabe 7. Sei f ∈ Rn → Rm definiert durch f(~x) = x1~a1 + x2~a2 + . . .+ xn~an wobei ~a1,~a2, . . . ,~an ∈ Rm konstante Vektoren sind. Zeigen Sie, dass f die beiden Linearitätsbedingungen erfüllt. Aufgabe 8. Sei f ∈ Rn → R definiert durch f(~x) = 1. Entscheiden Sie von beiden Linearitätsbedingungen, ob f sie erfüllt. Geben Sie jeweils eine kurze Begründung. Aufgabe 9. Berechnen Sie die allgemeine Lösung der DGL y′ = y2(2x+ e−x) sin(1/y) . Aufgabe 10. Berechnen Sie die allgemeine Lösung der DGL y′ √ x = y2 cos( √ x). Aufgabe 11. Berechnen Sie die allgemeine Lösung der DGL y′(x)(1 + x2) = xy(x) Aufgabe 12. Gegeben sei die DGL y′′ + g(x)y′ + h(x)y = 0. Zeigen Sie, dass wenn y1 und y2 Lösungen der DGL sind, auch y1 + y2 eine Lösung ist, d.h. dass die Lösungsmenge der DGL abgeschlossen unter Addition ist. 2 Aufgabe 16. Gesucht ist eine partikuläre Lösung der DGL y′ + y = 5e−x. Aufgrund der Linearität der DGL kann man nun zuerst eine partikuläre Lösung y1 von y′ + y = e−x. Damit ist yP = 5y1 eine partikuläre Lösung der gegebenen DGL. Allge- mein kann man auf diese Weise vorgehen, wenn man auf der rechten Seite r(x) einen konstanten Faktor hat: Man lässt den Faktor zuerst weg, löst die DGL und multipliziert die Lösung mit dem Fakor. Berechnen Sie hiermit eine partikuläre Lösung der o.g. DGL. Aufgabe 17. Gesucht ist eine partikuläre Lösung der DGL y′ + y = cos(x). Man kann die Cosinusfunktion darstellen als cos(x) = 1 2(ejx + e−jx) und die DGL mit rechter Seite ejx und rechter Seite e−jx lösen, die Lö- sungen addieren und dann mit 1/2 multiplizieren. Schneller geht’s jedoch wie folgt. Da cos(x) = re(ejx), geht man von der komplexen DGL y′ + y = ejx aus und nimmt auf beiden Seiten den Realteil. re(y′ + y) = re(ejx) re(y′) + re(y) = cos(x) re(y)′ + re(y) = cos(x). Wenn also yc die komplexe DGL y′ + y = ejx löst, dann löst yP = re(yc) die ursprüngliche DGL y′ + y = cos(x). Folglich muss man nur eine partikuläre Lösung yc der komplexen DGL berechnen und hiervon den Realteil yP = re(yc) nehmen. Dieses Vorgehen lässt sich immer anwenden, wenn die rechte Seite r(x) als Real- oder Imaginärteil einer komplexen Funktion dargestellt werden kann, insbesondere also bei Schwingungen. Berechnen Sie hiermit eine partikuläre Lösung der o.g. DGL und prüfen Sie Ihr Ergebnis durch Einsetzen. 5 Aufgabe 18. Berechnen Sie eine partikuläre Lösung der DGL y′ + y = ex cos(x). Im Ergebnis dürfen keine komplexen Zahlen auftreten. Aufgabe 19. Berechnen Sie eine partikuläre Lösung der DGL y′′ + y = sin(x+ 1). Aufgabe 20. Ein LGS A~x = ~b kann unendlich viele Lösungen haben. Sei XH = {~x |A~x = ~0} die allgemeine Lösung des homogenen LGS A~x = ~0 und ~xP eine partiku- läre Lösung, d.h. A~xP = ~b. Zeigen Sie, dass die Menge aller Lösungen des LGS gleich der Menge X = {~x | es gibt ein ~xH ∈ XH so dass ~x = ~xP + ~xH}. ist. Man kann diese Menge auch kurz schreiben als X = {~xP + ~xH | ~xH ∈ XH}. Die allgemeine Lösung von A~x = ~b kann damit als Summe einer parti- kulären Lösung ~xP und der allgemeinen Lösung XH des homogenen LGS dargestellt werden. Gleiches gilt auch für die Lösung von linearen DGL und ist eine Folge der Linearität. Hinweis: Sie müssen die Gleichheit zweier Mengen zeigen, d.h. {~xP + ~xH | ~xH ∈ XH} = {~x |A~x = ~b}. Die Gleichheit zweier Mengen zeigt man in zwei Schritten, in denen man zeigt, dass jeweils eine Teilmenge der anderen ist. Führen Sie beide Schritte getrennt durch und schreiben Sie jeweils auf, was die Annahmen sind und was gezeigt werden muss. Aufgabe 21. Ein ungedämpftes Feder-Masse-System erfüllt die DGL my′′ +Dy = 0. Berechnen Sie die Kreisfrequenz ω, mit der man dieses System anregen muss, um Resonanz zu erhalten. Berechnen Sie dann für dieses ω eine partikuläre Lösung der DGL my′′ +Dy = cos(ωx). Pflichtaufgabe. • Was haben Sie in der vergangenen Woche in der Vorlesung gelernt (3 Sätze)? • Was fanden Sie besonders schwierig? • Was haben Sie noch nicht richtig verstanden? 6