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LINEARE ALGEBRA

Lineare

Abhängigkeit

von

Vektoren

:

besteht

,

wenn zwei

Vektoren kollinear oder

parallel verlaufen

lineare

Abhängigkeit

zweier Vektoren

ist

gegeben ,

wenn einer das

Vielfache

des anderen Vektors

mathematisch

bedeutet das

: ä

=

d-

Ü

von

3 Vektoren

:

besteht

,

wenn

drei Vektoren

komplanar

,

d.

h

. in einer Ebene sind & man

mit ihnen

eine

geschlossene

VektorKette bilden kann

Vektoren ä

,

Ü

,

Ö linear

abhängig ,

wenn

sich einer als

Linearkombination

der

anderen beiden darstellen lässt

mathematisch

bedeutet das

: Ö

= d

,

Ütdz

.

Ö

& d.

da

EIR

Beispiel

:

Überprüfe auf

lineare

Unabhängigkeit

!

a.

=L

!

)

ai.IE/as=Hl

ii.

| !

/

da

.

/

f)

• d

}

.

/ F) =/

§

)

Gauß

Verfahren

O

0

0-1 1 0

I

II

I

1 0 -1 O

O

1 1 0

☒

II

O

1

Multiplikation

von

Vektoren

=/

. .

)

¥

! !

)

2

Multiplikation

nur

möglich ,

wenn innere Werte übereinstimmen

Äußeren Werte

geben

Dimension der

Ergebnis

matrix an

|

! !

)

✗

|! !!

)

=

/

3 ×2+5× 4 3 ×1+5× 0 3 ×3+5× 1

) =/

% ; 1, )

1 ×2+6× 4 1 ×1+6× 0 1 ×3+6× 1

Gauß Verfahren

Zxtytz

=

✗

2-

=

✗

Schritt

:

1 0 1

5

In erster Reihe linke Zahl

zur

machen

,

dafür

können

die Reihen

beliebig

vertauscht

werden

2 2 3

1 0 1 5 2. Schritt

:

2 1 1 2 I

II

2. I

Durch

Addition & Subtraktion der verschiedenen Reihen

eine

Pyramide

aus Nullen

erschaffen

2

1 1 2

3

.

Schritt

:

O 1 -1 -

Lösung interpretieren

11-1-

I

eindeutige

Lösung

:

für jede

Variable

genau

eine Zahl

unendlich viele

Lösungen

:

in dritter

Gleichung

nur

Nutten

1

5

keine

Lösung

:

Z.B .

0.x

,

✗

2+0×3=

1 -1 -

-1 -

III

II

1

1

5

0

1 -

8

O O

O O

Diagonal

matrix

Überall Nullen

außer auf

den

Haupt diagonalem

Beispiel

:

2 0

0

1 D= 0

(

G

o

a)

Operator diag

a-

}

☒

diaga

= } 3°

A-

= }

§

☒

diag

A

= }

Ökonomische

Anwendung

Berechnung

:

Rohstoff

verbrauch

gegeben

:

P

,

Pz

P

}

Neuproduktion

(

Endnachfrage

)

q

'

=

100,200,

R

,

1

0 2

Rz

2

1 3

Schritt

:

Überprüfung

/

ggf

. Transponierten

g

Vorprodukte

stehen links /

Input

)

Endprodukte

stehen oben /

Output

→ ist

gegeben

2. Schritt

:

Transponder

ung

von

q

'

100

y

=

200

3. Schritt

:

Berechnung

M

.

y

=

Rohstoff

verbrauch

1 0 2

.

=

A

:

Wenn wir 200

Einheiten von

Rohstoff

haben &

Einheiten von

Rohstoff

,

dann erhalten wir 100

Einheiten von

Produkt 1

,

200 Einheiten von

Produkt 2

50

Einheiten

von Produkt 3 .

Determinante

gibt

es nur zu

reellen Zahlen &

quadratischen

Matrizen / Anzahl Zeilen

=

Anzahl

Spalten

)

Bestimmung

der Determinante

1 2 3

1 2 3 1 23

A

=

456 det

456

=

45

6

7

8 9 78 9 7 8 9

Regel

:

Determinante von Dreiecks matrizen

= Produkt der Zahlen in der

Diagonalen

Beispiel

:

12 3

D

,

=

05 6

= 1

.

57

=

42

gilt

auch

für Diagonal

Matrix

007

Allgemeine

Berechnung

:

1 2 1 2

2 × 2 Matrix

:

A

=

3 4 34

=

1. 4- 3.

=

det / A)

=

1 2 3

1 2 3

1 2 3 1 2

4

5 6 4

5 6

= 4 5 6 45

=

1-5-91-26-71-3.4.

=

0

3 × 3

Matrix

:

7 8 9 7

8 9

7- 9 78

7.5.

8.6.

9- 4- 2

!

für größere

Matrizen

:

Einheits dreieck bilden

mit

Gauß

Verfahren

dann

Regel

anwenden

Determinante

der Inversen

5 4

A

=

1

2 det /

A)

=

_

!

1

A-

"

=

.

4

,

5

det (

A-

^

)

= 6 •

Determinante der Inverse

=

Kehrwert

6

Eigenschaften

von

Determinanten

det /

A)

=

LGS nicht

eindeutig

lösbar

,

Matrix ist nicht invertierbar

Fachbegriff

:

Matrix ist

singulär

(

kann nicht invertiert werden )

Inverse Matrix

A

A-

^

=

E

→ Produkt von Matrix & ihrer invertierten Matrix

=

Einheitsmatrix

1 00

0

Diagonal

Matrix

:

o 20

Inverse Matrix

:

040

0 0 3

0

Produktions

verflechtung

Fragestellung

:

Wie viele

Vorprodukte

sind

nötig ,

um

jeweils

Endprodukte

herzustellen

1. Matrix

:

2. Matrix

:

V

,

V

Z

,

Z

,

Z

} Zq

Z

,

Es

D=

A-

=

E

,

Z

}

Es

1

.

Schritt

:

beide Matrizen müssen

transponiert

werden

,

damit

Input

links steht &

Output

oben steht

10 20

4 0

pj

=

^

A-

'

=

&

Regel für

Matrix

verflechtung

:

Vor

produkt

Zwischenprodukt

Endprodukt

Schritt

:

Verflechtung

beider Matrizen durch

Multiplikation

in oben

angegebener

Reihenfolge

20

B

'

.

A

'

=

.

=

4 4 1 2

2

1 4

129 252 70

Ergebnis zeigt

an wie viele

Vorprodukte für

die

Endprodukte

benötigt

werden

r

Schritt

:

berechnen wie viele

Vorprodukte für jeweils

5

Endprodukte benötigt

werden

,

indem man

Ergebnis

matrix

mit 5- er Vektor multipliziert

80 58

=

129 108

70

"

5

5

A

:

Um

jeweils

5

Endprodukte

herzustellen

,

benötigt

man

mal das

Vorprodukte

und 1. mal das

Vor

produkt

.

gr

a. falls

man wissen möchte

,

wie viele

Vorprodukte

nötig

sind

,

um

1 ✗

Es

,

2x

Ez

Es

herzustellen

,

muss man mit dem

Vektor Ü

=

,

3) die

Ergebnis

matrix

multiplizieren

.

Kosten

funktion

✗ 10 15

KIX ) 2700 3475

gegeben

:

Funktion

dritten Grades

f-

IN

=

a-

✗

'

t b.

✗

'

• c- ✗ +

d

=

a.

)

}

• b. 11012

c. 110 ) t

d

a

=

=

a. 115 )

}

b-

(

1512T c. (

)

t

d

GTR

:

b

=

16

=

a.

120

}

• b. (

)

'

t c. ( 20

) t d (

=

=

a- 125 )

}

+ b.

(

25 )

'

t c

.

125 ) t d d

=

Direkt

bedarfs

matrix

☒

A ist

gesucht

✗

=

A. ✗

tb

v.

=

? }

vi.

= } }

D=

/

&

)

s

. Sz

b

✗

S

,

=

20 110+8+2 )

Sz

4

5

=

Verflechtung

s matrix

:

V

.

V

,

= ¥

%

10120 8/

A-

=

4120 11/

Nutzenfunktion

(

Optimierungsproblem

Ziel

funktion

:

U

( ✗

„

✗

=

×

,

t 2. ✗

,

→

Max

Funktion

1-

I )

für simplex

Tableau

Nebenbedingungen

: ✗

e.

×

,

E 14

10Mt

✗

2<-

×

,

E 10

Nicht

negativ

itäts

bedingung

:

✗

„

×

,

Schritt

:

Schlupf

Variablen

in

Nebenbedingungen

einsetzen

✗

e.

• ✗

zty

,

=

IOX

,

✗

zt

✗

zt

Y

}

=

Schritt

:

Ziel

funktion

maximieren

U

IX.

,

✗

z

)

=

6h

<

Max

3. Schritt

:

Simplex

Tableau

aufstellen

^

z Y, Yz

Y

}

b

Quotienten

=

=

4

1

=

fällt

weg

, Teilung

mit null

→

unmöglich

O O O O

4. Schritt

:

Iteration Schritte anwenden

Vor

phase

nicht

nötig ,

da

b-

Spalte

nur

positive

Werte hat

kleinsten Wert in Ziel

funktionszeit

bestimmen

=

Pivot

spalte

aus

b-

Spalte

&

Pivot

spalte

Quotienten bilden

kleinster Quotient

=

Pivotzeile

Kreuzung

Pivot

spalte

&

Pivot

zeile

=

Pivotelement

Pivotzeile

durch

Pivot

element teilen

& aus

Pivot spalte einen

Einheitsvektor bilden mit

Hilfe

des

Gauß

Verfahrens

n

z

Yn Yz

Y

}

b

1 I

I

1

:

10

0 0

1

O O O

O

I

☒

6. II

1

z

%

Yz

Y

}

b

0,

0,

0

10 II

0,

.

0,

0,

0 4

I

II

0,

.

-1,

0,

I

1111=+1,

III

^

✗

z Yn Yz Y}

b

-0,1 -0,

0,

-0,

0 1 10

0, 1,

38

A

:

Der Nutzen

ist

maximal

,

wenn ✗

e.

=3 & ✗

2=

ist

.

Interpretation

:

x

,

=

,

✗

2=

y,

=

1

:

Budget

ist noch nicht

ausgeschöpft

,

die Schatten

preise

für

die Restriktion

2 & 3

betragen y,

0,

&

.

Eine

Erhöhung

der zweiten Restriktion

führt

zu

einer Abnahme von × ,

um 0,

Einheiten

,

einer Zunahme von ×

,

um 0,

Einheiten

& einer

NutzenZunahme von 0,

Einheiten

Interpretation

:

Wenn ✗ i.

& ✗ 2=

,

dann

ist der Absatz maximal mit

b.

=

900

.

Gleichzeitig

gäbe

es eine Rest

Kapazität

von 10

Mengen

einheiten

.

In der letzten Zeile können die

sogenannten

Schatten

preise

( Opportunitätskosten

)

abgelesen

werden

,

um

wie viel sich der

Gewinn verändert

,

wenn die

wirksame

Restriktion um 1

Einheit verändert wird

.

Wenn man

die Einsatz

menge

von

Rohstoff

2

um

1

Mengen

einheit erhöht

,

so könnte ein

um % höherer Gewinn

pro

Mengen

einheit

erwirtschaftet

werden

.

Die

Koeffizienten

in den

entsprechenden

Spalten

der

Nichtbasisvariablen

geben

an

,

um

wie viel sich die Werte

auf

der rechten Seite

bei

Änderung

der Restriktion 2 um eine

Mengen

einheit ändern .

Dies wird als

Sensitivität

sanatyse

bezeichnet

.

Mathe buch

Beispiel

Sonderfälle

im

Simplex

Algorithmus

Unbeschränkte

Lösung

in einer

Spalte

mit

negativen

Ziel

funktions

werten treten

ebenfalls

alle

Koeffizienten negativ auf

bei realen Problemen

darf

es keine

unbeschränkten

Lösungen geben ,

da

Gewinn

,

Umsatz oder

Deckungsbeitrag

nicht über alle Grenzen wachsen können

→ Indiz

für falsche

unvollständige

Modellierung

des Problems

Degeneration

im

simplex

Tableau

liegt

eine

Auswahlmöglichkeit für

die Pivot zeile vor

verschiedene

Möglichkeiten

können zu

verschiedenen

Lösungen führen ,

daher müssen

immer alle

möglichen

Optimal lösungen

berechnet

werden

graphische

Bedeutung

:

bei n

Variablen schneiden

sich mehr als

n Restriktionen

in einem Punkt

Mehrdeutige Lösung

Ziel

funktion

ist

steigung sogleich

mit einer

Nebenbedingung

Optimal lösung liegt

dann nicht in einem Eckpunkt

,

sondern auf einer

Restriktion

sgeraden

zwischen

2

Eckpunkten

Nichtbasisvariable besitzt

eine

Null in der Ziel

funktionszeit

lineares

Gleichungssystem

hat z.B .

drei

Gleichungen

,

aber vier

Variablen

→ LGS ist

dann unter bestimmt

Minimierung

problem

Ziel

funktion

:

0,10Mt 0,15×2+0,12×3=

→

min

Nebenbedingungen

:

5011^+30112+20×3>-29 20Mt 10 ×2+30×3>-20 10%+50×2+20113>-

Nichtnegativitcisbedingung

:

✗

^ ,

Xz

,

×

}

Vorzeichen

Umkehr

:

-50×1-30× 2

20 ×3=-

ZOX

,

-10×2-30×3=-

-10× 1

50 ×2-20×3<-

0,1× 1

0,15×2-0,12×3=

→

max

VI.

Funktion

1-

I )

für Simplex

n

Xz

×

}

% % Y }

b

Vorphase

muss

angewendet

werden

,

andernfalls

wird

Nichtnegativitätsbe

50 -30 -20 1 O

O

dingung

verletzt .

20 -

0 1 O

Vorphase

:

• 10

21 kleinster

Wert b- Spalte

=

Pivotzeile

0, 0,15 0,

O

O

O 0 kleinster Wert z

Zeile

=

Pivotspalte

n

z

✗

}

% Yz Y }

b

-50 -30 -20 1 O

O

29 | :(

-50)

20 -

0 1 O

I

10

I ☒ +

10

I

0, 0,15 0,

O

O

O O I III

0,

I

n

z

×

} % Yz

Y

}

b

1 3/5 45

1/

0 0 29/50 I

I

315

.

HI

0 2 -22 -

1

-4215 I II

-44 -

-7615 |

:|-44)

0, 0,08 0,

O

O

0,

☒

0,

III

n

z

×

}

Yn

Yz Y

}

b

3/

41/

I

I

II

-250/

9/

1122

-100/

:|

• )

1

4/11 4220 0 -

19155

/

III

.

I

O

O

0,047 0,

0,

-0, /

☒

0,

.

II

n

z

×

}

%

Yz

Y }

b

1

O O

13/500 1/125 71550 3/

0 1

9/

-1%

1/500 2/

0

21125

• "

1500 1/

0

0

-0,

FINANZMATHEMATIK

Zins

berechnung

konform

:

q

=

"

Ati

☒

relative

Umrechnung

, gute Näherung

i

relativ

:

q

=

m + 1

☒

konforme

Umrechnung

,

berücksichtigt

Zinseszins

f-

exakt

)

m=

Zins

perioden

i

=

Zinssatz

Fallunterscheidungen

:

1. Fall

:

Zahlung pro

Jahr

jährlicher

Zinssatz

8%

für

5

Jahre

→ keine

Berechnung nötig ,

4=1,

Fall

:

Zahlung pro

Monat

(

unter

jährige

Verzinsung

)

jährlicher

Zinssatz 8%

für

Jahre

linear

: i

=

12

=

q

=

I.

OOÖ

konform

:

q

=

"

"

=

Fall

:

Zahlung pro

Halbjahr

jährlicher

Zinssatz

[

ir

Jahre

linear

:

i

=

=

0, 4=1,

konform

:

4--21+0,

=

1,

4. Fall

:

Zahlung pro

Quartal /

Vierteljährige

jährlicher

Zinssatz 8%

für

Jahre

linear

:

i

=

4

=

0,

konform

:

y

=

"

=

1,

Renten

rechnung

☒

Reihe von

gleichen Zahlungen ,

die

regelmäßig geleistet

werden

r

:

Renten rate

f-

Zahlung ,

die

regelmäßig

getätigt

wird

)

Rn

:

Renten

endwert

=

zukünftiges Kapital

,

welches bei

gegebener Verzinsung

aus einer konstanten

I

Betrag ,

am Ende der Laufzeit Sparrate

über eine bestimmte

Laufzeit

resultiert

Ro

:

Renten barwert

=

heutiges Kapital

,

welches bei

gegebener Verzinsung

zur

Finanzierung

einer

Betrag ,

am

Anfang

der

Laufzeit

)

Rente in

spezifischer

Höhe & mit bestimmter

Laufzeit

benötigt

wird

wie

viel Geld

brauchst du

heute um

Jahre

lang

Auszahlung

von 20.000€

zu bekommen

?

\

Formel

sammlung

:

Rn

=

Renten

endwert

vorschüssig

:

nachschüssig

:

vor nach

Rn

=

rror

.

y

• I

Rn

=

rnacn

'

I

Ro

=

Renten

barwert

(

=

diskontierte Renten

endwert

vorschüssig

:

vor

|

vor

4

Ro

=

"

.

Rn

Oder

Rj

"

=

ruor

'

q

"

y

• I

nach

schlüssig

:

nach

|

nach

1

Oder

Ro

=

rnacn

.

q

"

Ro

=

qn

.

Pin

"

"

q

I

r

Rentenrate

vorschüssig

:

,

Tor

=

RI

"

.

4

"

.

oder

gar

=

Rj

"

"

"

t

q

.

qn

nach

schlüssig

:

nach

4-

|

hach

=

Rnnach

.

-4-

y

"

l oder

nach

=

Ro

.

y

"

.

q

"

I

n

=

Laufzeit

in

Jahren

vorschüssig

:

I Y

"

.

q

nur

=

1h

)

.

In r

" "

.

q-RY.ly

nachschüssig

:

I

nach

nnacn

=

1h

)

.

In

Rn

'

rnacn

I

I

p

nach

hvor

=

1h

.

In

rnacn

Ron

"

"

.

Ig

l )

Umstdlbeispiel

:

q

"

1

=

44

.

q

1

|

.

44

44

• 1

2.000.

=

521.503,

y

1

t.ly

000.000.45-2.000.00044--521.503,

521.502,

|

& + die

Summen

2.000.

Äquivalenz

ansätze

nach

.

"

• 1

bezogen auf

Rentenbarwert

Ro

=

r

y

"

q

• 1

Fall

:

Bonus

am

Anfang

:

am Ende

:

1 Bonus 1

=

f

.

qn

.

Bonus +

RY

"

=

r

.

qn

.

q

1

"

y

2. Fall

:

Gebühr

am

Anfang

:

am

Ende

:

1 4

"

1

1

R

!

"

=

r

.

qn

'

q

• 1 + Gebühr R !

"

"

=

r

.

qn

.

Geführt

t

t

Annuitäten

rechnung

:

immer

Barwert

nehmen

Annuität

=

regelmäßige Zahlung

,

die sich aus

Tilgungs

&

Zinsrate

zusammensetzt .

Man möchte

jeden

Monat den

gleichen Betrag

an die Bank überweisen .

Dadurch muss

der

Kredit

getilgt

& die Zinsen bezahlt werden .

A

=

Ttt

(

A

=

konstant)

1

4

"

1

nach

Ro

=

r

.

q

"

q

☒ Formel wird

für

Annuität

umgeleitet

in

_

Ko

=

A

.

4

" '

q

nach A

umstellen

q

1

A

=

Ko

.

q

"

.

q

"

1

Besonderheit

:

Annuität

im

Verlauf

der

Kredit

laufzeit

sinkt der Zins

betrag

,

da

sich die

Schuld

verringert

,

weil die Annuität aber konstant ist

,

steigt

somit die

Tilgung

I

☒

dadurch

verringert

sich die Restschuld

anfangs

nur

langsam

4h

qt

Restschuld

:

Kt

=

Ko

'

"

1

Tilgung

splan

:

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Kt

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