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(b) Bestimmen Sie die Elastizität E f. (x) der Funktion f(x)=3x. 2. + xe. 1−x . Mit welchem Faktor überträgt sich (ungefähr) eine relative¨Anderung von.
Art: Skripte
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f¨ur Studierende des Bachelorstudiengangs BWL an der Mercator School of Management der Universit¨at Duisburg-Essen
konzipiert und erstellt von Hermann Hoch (Dipl.-Volksw., Dipl.-Math. Dr. rer. nat.)
gelesen von PD Dr. Volker Kr¨atschmer
Universit¨at Duisburg-Essen, Campus Duisburg, SoSe 2016
Vorbemerkungen
Aufgaben zu Thema 7 (A- und T-Aufgaben)
Aufgaben zu Thema 8 (A- und T-Aufgaben)
Aufgaben zu Thema 9.1 (A- und T-Aufgaben)
Aufgaben zu Thema 9.2 (A- und T-Aufgaben)
Aufgaben zu Thema 11 (A- und T-Aufgaben)
Aufgaben zu Thema 12.1 (A- und T-Aufgaben)
Material zur Multiplikatoren-Methode von Lagrange (A- und T-Aufgaben)
Weitere Aufgaben (H-Aufgaben)
Testaufgaben
1
Die Nummerierung der Aufgaben zu Mathematik II beginnt (neu) bei 51
A 51 Eine Funktion f wird aus stetigen St¨ucken zusammengesetzt. Bestimmen Sie die einseitigen Grenzwerte an den ”Nahtstellen“ und legen Sie die Funkti- onswerte an den Nahtstellen so fest, dass die Funktion insgesamt stetig wird, oder — falls dies nicht m¨oglich ist — linksseitig stetig wird.
(a) f (x) =
x + 1 f¨ur 0 ≤ x < 3 ? f¨ur x = 3 1 x− 1 +^
3 2 f¨ur 3^ < x^ ≤^5
(b) f (x) =
2 x/^2 f¨ur 0 ≤ x < 2 ? f¨ur x = 2 (x + 1)e2(x−2)^ f¨ur 2 < x ≤ 3 A 52 Eine Funktion f wird aus stetigen St¨ucken zusammengesetzt. Legen Sie f¨ur jedes f die Werte der Parameter a und b so fest, daß die Funktion an der jeweiligen ”
Nahtstelle“ stetig wird, oder — falls dies nicht m¨oglich ist — rechtsseitig stetig wird.
(a) f (x) =
2 x + b f¨ur 0 ≤ x < 3 a f¨ur x = 3 x^2 − 1 f¨ur 3 < x ≤ 11
(b) f (x) =
x(x + a) f¨ur 0 ≤ x < 3 b f¨ur x = 3 x 3 (x
(^2) − 3) f¨ur 3 < x ≤ 11
A 53 Bestimmen Sie f¨ur die in A52 angegebenen Funktionen f die Tangentenglei- chung an f im Punkt (2/ 3 , f (2/3)) und damit n¨aherungsweise den Funk- tionswert f (
Bestimmen Sie jeweils die ersten beiden Ableitungen (a) g(x) = (1 + x)^3 /^2 · ln(e^2 · (1 + x)^3 /^2 ) f¨ur x > 0 (b) g(x) = e^1 −(1+x)
2
(c) g(x) = f^ ( xx ) f¨ur x > 0 Durchschnittsfunktion/St¨uckverhalten von f
SoSe 2016 Vorlesung/Übung Mathematik 2: Thema 7 - Aufgaben
Bestimmen Sie f¨ur die in A51 bzw. A52 angegebenen Funktionen f an den jeweiligen ”
Nahtstellen“ die linksseitigen bzw. die rechtsseitigen Ableitungen (und ggf. die Ableitungen).
A 56. Nr. 74a Bestimmen Sie f¨ur die Funktionen z = g(x) aus A54 jeweils (1) den x-Bereich D, in dem x > 0 und z = g(x) > 0 ist (2) jeweils f¨ur x ∈ D: die erste Ableitung von (i) z^2 (ii) ln z (iii) ez
A 57 Bilden Sie die Grenzwerte:
(a) lim x→∞
1 + x − x^2 x − 2 x^2
(b) lim x→ 0
ex−^1 + e^1 −x^ − 2 (x − 1)^2
(c) lim x→ 1
ex−^1 + e^1 −x^ − 2 (x − 1)^2
A 58 Gegeben f (x) = 2 − x + e 1 −x
2 mit D(f ) = [0, 2]. (a) Bestimmen Sie alle Extrempunkte (Extremstellen und zugeh¨orige Funk- tionswerte) von f ¨uber dem angegebenen Definitionsbereich. (b) Untersuchen Sie das Kr¨ummungsverhalten (Konvexit¨at/Konkavit¨at) von f und skizzieren Sie die Funktion f.
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(Nur die berechneten Funktions- werte aus (a), die Hilfswerte und die Information aus (b) ben¨utzen, bitte keine detaillierte Wertetabel- le anlegen)
Hilfswerte f¨ur die Skizze : e^1 /^2 ≈ 1 .65, e−^3 ≈ 0 .05, √ 1 /2 = 1/
SoSe 2016 Vorlesung/Übung Mathematik 2: Thema 7 - Aufgaben
Bestimmen Sie jeweils die ersten beiden Ableitungen: (a) g(x) = (7 − x)e^1 −x (b) g(x) = ln(1/x) f¨ur x > 0 (c) g(x) = x + 1/x f¨ur x > 0 (d) g(x) = (1 + x) ln(1 + x) f¨ur x ≥ 0
(e) g(x) = x
(^2) − 2 x+ x− 2 f¨ur^ x >^2 (f ) g(x) = 3x^2 + x e^1 −x
T 56 Bestimmen Sie f¨ur die in T51–53 angegebenen Funktionen f an den jeweiligen ”
Nahtstellen“ die linksseitigen und rechtsseitigen Ableitungen (und ggf. die Ableitungen).
T 57. Nr. 74a Bestimmen Sie f¨ur die (oder einige der) Funktionen z = g(x) aus T55 jeweils (1) den x-Bereich D, in dem x > 0 und z = g(x) > 0 ist (2) jeweils f¨ur x ∈ D: die erste Ableitung von (i) z^2 (ii) ln z (iii) ez
T 58 Bilden Sie jeweils die Grenzwerte der Funktionen f f¨ur x → x 0 (mit x 0 = 1 bzw. x 0 = ∞ wie angegeben). Sie k¨onnen dabei kommentarlos die Stetigkeit und das Grenzverhalten der Grundfunktionen verwenden. (a) Grenzwert f¨ur x → 1 von f (x) = (^) ln(x−x^12 )
(b) Grenzwert f¨ur x → 1 von f (x) = (x − 1) · ln(x − 1) f¨ur x > 1
(c) Grenzwert f¨ur x → 1 von f (x) = (x+1)
(^2) −2(x+1) (x+1)− 2 (d) Grenzwert f¨ur x → ∞ von f (x) = x
1024 ex (e) Grenzwert f¨ur x → 1 von f (x) = x
(^2) − 1 ln(x^2 ) und^ f^ (x) =^
(x−1)(x+1) 2 ln(x)
(f ) Grenzwert f¨ur x → 1 von f (x) =
(^23) + x 33 −x 1 −x+x ln x (g) Grenzwert f¨ur x → ∞ von f (x) = (x−1)
3 ex−^1
SoSe 2016 Mathematik 2: Thema 7 - Aufgaben Tutorien
Bestimmen Sie die Extrempunkte von f uber dem angegebenen Definitions-¨ bereich, untersuchen Sie das Kr¨ummungsverhalten von f und skizzieren Sie grob die Funktion f : Hilfswerte (a) f (x) = (1 + x^2 )e^1 −x^ − x/2, D(f ) = [0, 2] 5 /e ≈ 1. 8 (b) f (x) = (1 + x) ln(1 + x), D(f ) = [0, 2] 3 ln 3 ≈ 3. 3
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Gegeben f (x) = 1 + x · e^2 −x^ mit D(f ) = [0, 2]. (a) Bestimmen Sie alle Extrempunkte (Extremstellen und zugeh¨orige Funk- tionswerte von f uber dem angegebenen Definitionsbereich.¨ (b) Untersuchen Sie das Kr¨ummungsverhalten von f und skizzieren Sie grob die Funktion f.
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(Nur die berechneten Funktions- werte aus (a) und die Informati- on aus (b) ben¨utzen — bitte keine detaillierte Wertetabelle anlegen)
SoSe 2016 Mathematik 2: Thema 7 - Aufgaben Tutorien
T 61 Stammfunktionen, HDIR Berechnen Sie die Fl¨ache (zwischen x-Achse und Funktionskurve) unter der st¨uckweise stetigen Funktion:
f (x) =
2(x^2 + 1) f¨ur 0 ≤ x < 1 α f¨ur x = 1, wobei α ∈ R fix 3 /x f¨ur 1 < x ≤ 2
T 62 Stammfunktionen, ISF (a) Bestimmen Sie die Funktion F (x) := F (0) +
∫ (^) x 0 f^ (x)^ dx, wobei^ f^ wie in T 61 gegeben ist. (b) Berechnen Sie F ′(x) f¨ur x 6 = 1 sowie F (^) −′(1) und F (^) +′(1). Ist F an der
”
Nahtstelle“ x = 1 differenzierbar?
T 63 Stammfunktionen, HDIR Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale:
(a)
∫ (^) b a 2
t (^) dt (c) ∫^ b a ln(t
n) dt f¨ur n ∈ N und 0 < a ≤ b fix
(b)
1 −t
3 / (^2) dt (d) ∫^ a+ a t
− 1 / (^2) dt (a > 0 fix)
T 64 Stammfunktionen, HDIR Berechnen Sie die bestimmten Integrale, wobei 0 < a < 1 und b > 0 fix:
(a)
∫ (^) b 0 3 e
− 3 t (^) dt (b) ∫^ b 1 t
− (^2) dt (c) 1 4
a t
− 3 / (^4) dt
T 65 Uneigentliche Integration Berechnen Sie die uneigentlichen Integrale: (a)
0 3 e
− 3 t (^) dt (b) ∫^ ∞ 1 t
− (^2) dt (c) 1 4
0 t
− 3 / (^4) dt
T 66 Uneigentliche Integration F¨ur welche Zahl λ > 0 ist das uneigentliche Integral
0 λ^ ·^ e
− 2 t (^) dt = 1?
T 67 Einfache Substitution Berechnen Sie die bestimmten Integrale: (a)
5 (2^ t^ −^ 1)
− 1 / (^2) dt (b) ∫^3 0 (−^2 t^ + 3)
1 / (^3) dt
SoSe 2016 Mathematik 2: Thema 8 - Aufgaben Tutorien
F¨ur 0 ≤ x ≤ 45 sei F (x) := F (45) −
x
90 t+15 dt, wobei^ F^ (45) fix. (a) Berechnen Sie den Wert F (15). (b) Skizzieren Sie grob das in (a) durch das Integral
15
90 t+15 dt^ berech- nete Fl¨achenst¨uck. (F¨ur die Skizze des Integranden bitte keine detaillierte Wertetabelle anlegen, es gen¨ugen (sehr) wenige Funktionswerte und das Wissen um die Kr¨ummung die- ser Grundfunktion) 10 20 30 40 50 60 70
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F¨ur 0 ≤ x ≤ 45 sei F (x) := F (15) +
∫ (^) x 15
1 + (t/5) dt, wobei F (15) fix. (a) Berechnen Sie den Wert F (40). (b) Skizzieren Sie grob die in (a) mit dem Integral
15
1 + (t/5) dt berechnete Fl¨ache. (F¨ur die Skizze des Integranden bitte keine detaillierte Wertetabelle anlegen, es gen¨ugen (sehr) wenige Funktions- werte und das Wissen um die Kr¨um- mung dieser Grundfunktion)
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T 70 (Als Fragestellung: Erg¨anzung) Berechnen Sie den Barwert des konstanten Zahlungsstromes A(t) := 3 g bei stetiger Verzinsung mit der Zinsintensit¨at α = 0.02 im Zeitintervall [5, 8].
Erl¨auterung: Zu berechnen ist K5,8 = e^0
5 3 ·^ e
−αt (^) dt mit α = 0. 02
SoSe 2016 Mathematik 2: Thema 8 - Aufgaben Tutorien
Bestimmen Sie die kubische Approximation der folgenden Funktionen an der Entwicklungsstelle x 0 = 0 (a) f (x) = (1 + x)r^ (b) f (x) = (1 + x)−r^ mit r ∈ [^12 , 2] fix Welchen maximalen Wert hat die ”
Exponentenkontrolle“ r + (^1) r (. Nr. 97c)? (c) Beantworten Sie die Frage nochmals nach einer Extremwertbestimmung f¨ur f (x) = x + (^1) x mit D(f ) = [^12 , 2].
T 71 (a) Bestimmen Sie die Wachstumsrate der Funktion f (x) = x · e−x
2 an der Stelle x 0 = 1. (b) Bestimmen Sie die Elastizit¨at Ef^ (x) der Funktion f (x) = 3 ·
x · ex. Mit welchem Faktor ¨ubertr¨agt sich (ungef¨ahr) eine relative Anderung von¨ x 0 = 1 um p% auf die relative Anderung des Funktionswertes?¨ T 73. T 72 n¨achste Seite Bestimmen Sie f¨ur einige Funktionen f der Aufgabe T 72 jeweils (a) die Elastizit¨at von f −^1 (falls es f −^1 gibt) bei f (x 0 ), x 0 ∈ D(f ) (b) die ungef¨ahre relative Anderung des Funktionswertes bei einer Erh¨¨ ohung von x 0 = 2 (Basisstelle) um 5% (c) die ungef¨ahre absolute (d.h. nicht-relative) Anderung des Funktionswer-¨ tes beim Ubergang von¨ x 0 = 2 (Basisstelle) zu x 1 = 2.2. (d) Ist die N¨aherung aus (c) auch eine sichere Absch¨atzung nach oben oder nach unten? T 74 (a) Berechnen Sie zu f (x) = ln(x^2 + x + 1) (x > 0) das Taylorpolynom vom Grad n = 2 am Entwicklungspunkt x 0 = 0 (b) Approximieren Sie mit Hilfe des berechneten Taylorpolynoms den Funk- tionswert f ( 101 ) = ln(1.11) T 75 zu Themen 7, 9. Gegeben f (x) = e(1 − e−x
2 ), D(f ) = [0, 2], n = 2, x 0 = 1, x 1 =
SoSe 2016 Mathematik 2: Thema 9.1 - Aufgaben Vorlesung/Übung/Tutorien
Interessierender Bereich D(f ): 1 ≤ x ≤ 4 (z.B. ein Zeitraum von 3 Perioden) (a) Berechnen Sie f¨ur jedes x 0 ∈ D(f ) jeweils
Halblogarithmischer Maßstab logarithmisches y-Gitter
Halblogarithmischer Maßstab normales y-Gitter
1.00 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.00 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
f (x) 1.61 ln f (x)
1.00 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.00 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
f (x) 1.61 ln f (x)
1.00 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.00 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
f (x) 1.61 ln f (x)
SoSe 2016 Mathematik 2: Thema 9.1 - Aufgaben Tutorien
Betrachtet wird die Funktion f (x, y) = 4x^3 − 3 y^2 (x > 0 , y > 0) (a) Geben Sie eine Absch¨atzung f¨ur die relative Ver¨anderung der Funktion f an der Basisstelle (2,3), wenn sich dort die x-Variable um +1% ver¨andert und die y-Variable um −2% ver¨andert. (b) Die Abh¨angigkeit zwischen den Variablen x und y sei auf dem konstanten (noch unbestimmten) Niveau z gegeben durch eine implizite Darstellung mittels der obigen Funktion, d.h. z = f (x, y) = 4x^3 − 3 y^2 (x > 0 , y > 0). Berechnen Sie (auf dem Niveau z) die Grenzrate der Substitution der Variablen x durch die Variable y: dydx (x 0 , y 0 ) =? Geben Sie einen Punkt (x 0 , y 0 ) an, der die Niveaubedingung z = 20 erf¨ullt, und f¨ur diesen den Wert dydx (x 0 , y 0 ). Um ungef¨ahr wieviel Prozent ¨andert sich auf dem Niveau 20 der Wert von x gegen¨uber x 0 , wenn sich y gegen¨uber y 0 um −2% ¨andert?
A 73 Berechnen Sie f¨ur die Funktion f (x, y) = (1 + y) e^1 −x^ (x > 0 , y > 0) (a) die partiellen Ableitungen f (^) x′, f (^) y′ (b) die beiden partiellen Wachstumsraten an der Basisstelle (x 0 , y 0 ) = (1, 1) (c) die ungef¨ahre relative Anderung von¨ f beim Ubergang vom Basiswert¨ f (1, 1) zu f (0. 97 , 1 .1).
A 74 Erg¨anzung Eine Produktionsfunktion ist f¨ur positive x, y, z (die Produktionsfaktoren) definiert und hat die Form f (x, y, z) = xα^ · yβ^ · zγ^ mit α, β, γ > 0 fix. (a) Berechnen Sie die partiellen Elastizit¨aten (auch Produktionselastizit¨at von x bzw. y bzw. z genannt). (b) Um ungef¨ahr wieviel Prozent ¨andert sich die Produktion, wenn jede der Variablen x, y, z um den gleichen (kleinen) Prozentsatz i = p% ver¨andert wird? (Das Ergebnis f¨ur i = 1% heißt auch Skalenelastizit¨at von f )
A 75 Wie A 72 mit f (x, y) = y + x^1 /^2 · y^1 /^2 , der Basisstelle (4, 9) und z = 10
SoSe 2016 Vorlesung/Übung Mathematik 2: Thema 11 - Aufgaben
Gegeben ist die Funktion f (x, y) = x^5 + xy + 2y^5 (x > 0 , y > 0) (a) Berechnen Sie das totale Differential der Funktion f. (b) Die Abh¨angigkeit zwischen den Variablen x und y sei auf dem konstanten Niveau z = 4 gegeben durch eine implizite Darstellung mittels der obigen Funktion, d.h. 4 = f (x, y) = x^5 + xy + 2y^5 (x > 0 , y > 0). Berechnen Sie (auf dem Niveau z = 4) die Grenzrate der Substitution der Variablen x durch die Variable y: dydx (x 0 , y 0 ) =? Geben Sie einen Punkt (x 0 , y 0 ) an, der die Niveaubedingung erf¨ullt, und f¨ur diesen den Wert dydx (x 0 , y 0 ). Um ungef¨ahr wieviel Prozent ¨andert sich auf dem Niveau 4 der Wert von y gegen¨uber y 0 , wenn sich x gegen¨uber x 0 um +2% ¨andert? T 80 Berechnen Sie f¨ur die Funktion f (x, y) = ln(x^2 /^5 · y^3 /^5 ) (x > 0 , y > 0) (a) die partiellen Ableitungen f (^) x′, f (^) y′ und f (^) yx′′ (b) die partielle Elastizit¨at bzgl. der Variable x im Punkt (x 0 , y 0 ) = (1, e) (c) die Tangentialebene zu f im Ausgangspunkt (x 0 , y 0 ) = (1, 1) und damit eine N¨aherung f¨ur den Funktionswert f (1. 1 , 0 .9). T 81 F¨uhren Sie alle Berechnungen des Beispiels 2 der Vorlesung f¨ur die allgemei- nere Funktion f (x, y) = xα^ · y^1 −α^ durch, wobei 0 < α < 1 fix. Stellen Sie danach eine ”
α-Regel“ bei diesem Funktionstyp (= ”
linear homo- gene Cobb-Douglas-Funktion“) auf f¨ur (a) die partiellen Elastizit¨aten, (b) die Grenzraten der Substitution, (c) die Proportionalit¨atsfaktoren zwischen relativen Anderungen der Varia-¨ blen x und y, die das Niveau z des Funktionswertes konstant belassen.
t!^
vorsicht Falls eine (Teil-)Aufgabe dieses Typs in der Klausur vorkommt, reicht es nicht, als ”L¨osung“ nur eine α-Regel aufzuschreiben. Sie k¨onnen aber z.B. die Aufgabe allgemein mit α l¨osen und danach das konkrete α einsetzen. T 82 Lernziel: Wo f¨uhrt die Verschiebung um 1 zu Unterschieden zu T 81? Wie T 79 mit f (x, y) = 1 + x^2 /^3 · y^1 /^3 und z = 5 T 83 Wie T 79 mit f (x, y) = x + x^2 · y^1 /^2 und z = 6 T 84 etwas schwieriger, aber gut zur Ubung¨ Wie T 80 mit f (x, y) = x · e^1 −y
2
SoSe 2016 Mathematik 2: Thema 11 - Aufgaben Tutorien
Material zur Multiplikatoren-Methode von Lagrange
Hier wird einiges Zusatzmaterial zur Muliplikatoren-Methode von Lagrange bereitge- stellt. Zun¨achst wird anhand eines Eingangsbeispiels das Schema (vgl. Skript N. 120) illustriert. Danach folgen Aufgaben, die in den Tutorien/ ¨Ubungen besprochen werden sollen. Schließlich finden Sie noch zus¨atzliches ¨Ubungsmaterial mit Ergebniskontrollen.
Eingangsbeispiel
Die Gesamtkosten eines Produktes werden beschrieben durch die Funktion
f (x, y) = 2 · x^2 + y^2 (Kapitaleinsatz x > 0 , Arbeitseinsatz y > 0).
Die Kosten sollen minimiert werden unter der aussch¨opfenden Kapazit¨atsbedingung
4 · x + 2 · y = 12.
L¨osung mit der Lagrange-Methode: (vgl. Skript Nr. 120)
1
L′ x(x, y, λ) = 0 L′ y(x, y, λ) = 0 L′ λ(x, y, λ) = 0
⇔
4 · x + 4 · λ = 0 2 · y + 2 · λ = 0 4 · x + 2 · y − 12 = 0
⇔
4 · x + 4 · λ = 0 2 · y + 2 · λ = 0 y = 6 − 2 · x
⇔
4 · x + 4 · λ = 0 2 · (6 − 2 · x) + 2 · λ = 0 y = 6 − 2 · x
⇔
λ = −x 12 − 4 · x + 2 · (−x) = 0 y = 6 − 2 · x
⇔
λ = − 2 x = 2 y = 2
Also einziger station¨arer Punkt: P 1 = (2, 2) mit λ 0 = − 2
2
