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Mathematik II für Naturwissenschaftler∗innen, Grafiken und Mindmaps von Mathematik

Friedrich-Schiller-Universität JenaMathematik

12.1 Bereichsintegrale als iterierte Integrale. Wir definieren das Bereichsintegral über B ⊆ R2 als iteriertes Integral:.

Art: Grafiken und Mindmaps

2021/2022

Hochgeladen am 09.08.2022

Tilo_Kipping
Tilo_Kipping 🇩🇪

4.3

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bg1
Universität Tübingen, Mathematisches Institut Sommersemester 2020
Dr. Stefan Keppeler
Mathematik II für Naturwissenschaftler
∗
innen
Anleitung 15 zur Vorbereitung auf die Vorlesung am 18.06.20
9.5 Existenz und Eindeutigkeit für DGL-Systeme
und für DGLn beliebiger Ordnung
In diesem Abschnitt des Skripts lernen wir, dass der Satz von Picard und Lindelöf auch
für Systeme von DGLn gilt. Dafür müssen wir nur ein paar Vektorpfeilchen ergänzen,
der Rest kann wörtlich übernommen werden. Wegen der Äquivalenz von Systemen und
DGLn höherer Ordnung (siehe Einschub auf Anleitung 4 und Übungsaufgabe 26) haben
wir damit auch Existenz und Eindeutigkeit für APWe mir DGLn höherer Ordnung. Wenn
Sie Lust haben, werfen Sie mal einen Blick auf den Abschnitt.
12 Integration im
Rn
Wir möchten Volumina und Flächeninhalte berechnen sowie Funktionen über mehrdimen-
sionale Bereiche integrieren oder mitteln.
12.1 Bereichsintegrale als iterierte Integrale
Wir denieren das Bereichsintegral über
B⊆R2
als iteriertes Integral:
https://youtu.be/0wH4ObHuqKg
(5 min) (1)
Wenn zusätzlich eine Funktion im Integranden steht, können wir uns das auf zweierlei
Weise vorstellen:
https://youtu.be/ra8ke_-fi-Q
(4 min) (2)
Über was für Bereiche können wir so integrieren?
Am einfachsten sind
Rechtecke
(höherdimensional dann Quader etc.):
https://youtu.be/SBgeQorv4rk
(3 min) (3)
Auch gut sind sogenannte
Normalbereiche
:
https://youtu.be/AfUr401_r4s
(6 min) (4)
Und wenn der Bereich mal kein Normalbereich ist? Dann
zerschneiden
wir ihn!
https://youtu.be/m5d-8ZYGlhE
(2 min) (5)
Ergänzen Sie selbst
die fehlenden Grenzen
bei den folgenden Integralen über den rechts
skizzierten Normalbereich,
|B|=Z5
0Z...
...
dydx=Z...
0Z...
0
dxdy
(6)
pf2

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Nur auf Docsity: Lade Mathematik II für Naturwissenschaftler∗innen und mehr Grafiken und Mindmaps als PDF für Mathematik herunter!

Universität Tübingen, Mathematisches Institut Sommersemester 2020 Dr. Stefan Keppeler

Mathematik II für Naturwissenschaftler∗innen

Anleitung 15 zur Vorbereitung auf die Vorlesung am 18.06.

9.5 Existenz und Eindeutigkeit für DGL-Systeme

und für DGLn beliebiger Ordnung

In diesem Abschnitt des Skripts lernen wir, dass der Satz von Picard und Lindelöf auch für Systeme von DGLn gilt. Dafür müssen wir nur ein paar Vektorpfeilchen ergänzen, der Rest kann wörtlich übernommen werden. Wegen der Äquivalenz von Systemen und DGLn höherer Ordnung (siehe Einschub auf Anleitung 4 und Übungsaufgabe 26) haben wir damit auch Existenz und Eindeutigkeit für APWe mir DGLn höherer Ordnung. Wenn Sie Lust haben, werfen Sie mal einen Blick auf den Abschnitt.

12 Integration im Rn

Wir möchten Volumina und Flächeninhalte berechnen sowie Funktionen über mehrdimen- sionale Bereiche integrieren oder mitteln.

12.1 Bereichsintegrale als iterierte Integrale

Wir denieren das Bereichsintegral über B ⊆ R^2 als iteriertes Integral:

https://youtu.be/0wH4ObHuqKg (5 min) (1)

Wenn zusätzlich eine Funktion im Integranden steht, können wir uns das auf zweierlei Weise vorstellen: https://youtu.be/ra8ke_-fi-Q (4 min) (2)

Über was für Bereiche können wir so integrieren?

Am einfachsten sind Rechtecke (höherdimensional dann Quader etc.):

https://youtu.be/SBgeQorv4rk (3 min) (3)

Auch gut sind sogenannte Normalbereiche:

https://youtu.be/AfUr401_r4s (6 min) (4)

Und wenn der Bereich mal kein Normalbereich ist? Dann zerschneiden wir ihn!

https://youtu.be/m5d-8ZYGlhE (2 min) (5)

Ergänzen Sie selbst die fehlenden Grenzen bei den folgenden Integralen über den rechts skizzierten Normalbereich,

|B| =

0

...

dy dx =

0

0

dx dy (6)

Wir fassen das, was wir uns bis hier überlegt haben, in der folgenden Denition zusammen:

Denition: (Bereichsintegral) Seien φ 1 , 2 (x) stetig auf [a, b] und ψ 1 , 2 (x, y) stetig auf

B =

x y

∈ R^2

∣ a^ ≤^ x^ ≤^ b , φ^1 (x)^ ≤^ y^ ≤^ φ^2 (x)

und sei

K =

x y z

 ∈ R^3

x y

∈ B , ψ 1 (x, y) ≤ z ≤ ψ 2 (x, y)

Weiter sei f stetig auf B und g stetig auf K. Dann heiÿt

∫

B

f dV =

B

f dx dy =

∫ (^) b

a

∫ (^) φ 2 (x)

φ 1 (x)

f (x, y) dy dx (9)

bzw. (^) ∫

K

g dV =

K

g dx dy dz =

∫ (^) b

a

∫ (^) φ 2 (x)

φ 1 (x)

∫ (^) ψ 2 (x,y)

ψ 1 (x,y)

g(x, y, z) dz dy dx (10)

Bereichsintegral von f über B bzw. von g über K (analog für höhere Dimensionen). Speziell heiÿen |B| =

B dV^ Fläche(ninhalt) von^ B^ und^

K dV^ Volumen von^ K.

Beispiele:

Flächeninhalt eines Kreises B =

~x ∈ R^2

∣|~x| ≤ R}^ https://youtu.be/P128N9h9n8E^ (7 min)^ (11)

Volumen unter einem Parabeldach B =

( xy ) ∈ R^2

∣ (^) |x| ≤ 1 , |y| ≤ 1 }

f (x, y) = 2 − x^2 − y^2

https://youtu.be/1Pamxa8x4w0 (7 min) (12)

Berechnen Sie nun selbst

B f^ dV^ für

B =

x y

∈ R^2

∣ |x| ≤ 1 , x^2 ≤ y ≤ 1

und f (x, y) = y − x^2. (13)