Mathematik Mündliche Abiturprüfung 2021 und 2022, Prüfungen von Mathematik

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Mündliche Abiturprüfung

2021 und 2022

Allgemeine Informationen

Aufgabenbeispiele

Aus dem Bildungsplan 2016

„Im Basisfach erwerben und erweitern die Schülerinnen und Schüler Kompetenzen, die ihnen das Erkennen und Erläutern mathematischer Zusammenhänge und verständiges mathematisches Handeln ermöglichen. Die Inhalte werden dazu im Unterricht stärker vorstrukturiert und Argumentationen erfolgen häufig anschaulich oder durch heuristische Betrachtungen. Der Unterricht im Basisfach fördert durch verstärktes realitätsbezogenes Vorgehen die Einsicht, dass Mathematik auch ein geeignetes Mittel zur Bearbeitung von Fragestellungen außerhalb der Mathematik ist.“

Mündliche Abiturprüfung 2021 und 2022 Allgemeine Informationen

Struktur der Prüfung

Jede mündliche Prüfung besteht aus zwei Prüfungsteilen (ca. 10 Minuten Vortrag und ca. 10 Minuten Prüfungsgespräch) und erstreckt sich auf zwei Sachgebiete:

• Analysis und
• entweder Analytische Geometrie oder Stochastik Das Sachgebiet Analysis kann dabei entweder im ersten oder im zweiten Prüfungs- teil Gegenstand der Prüfung sein. Struktur einer Aufgabe

Für jede Prüfung ist eine Aufgabe schriftlich auszuarbeiten, die aus der Kombina- tion zweier Teile besteht: Die Aufgabe für den ersten Prüfungsteil (den Vortrag), enthält vollständig ausfor- mulierte, mit Operatoren versehene Teilaufgaben. Nur diese Aufgabe wird dem Prüfling für die Vorbereitung schriftlich vorgelegt. Die Aufgabe für den zweiten Prüfungsteil (das Prüfungsgespräch) besteht aus

• einem kurzen schriftlichen Input (den der Prüfling erst zu Beginn des zweiten Teils der Prüfung erhält) sowie
• einer ausreichenden Anzahl denkbarer Aspekte für das Prüfungsgespräch, die alle Anforderungsbereiche (die jeweils auszuweisen sind) abdecken. Nur die dem Prüfling schriftlich vorgelegte Aufgabe für den ersten Prüfungsteil ist „Prüfungsaufgabe“ im Sinne der AGVO. Anforderungen Die Aufgabe für den ersten Prüfungsteil „muss einen einfachen Einstieg erlauben und muss so angelegt sein, dass unter Beachtung der Anforderungsbereiche, die auf der Grundlage eines Erwartungshorizontes zugeordnet werden, grundsätzlich jede Note erreichbar ist.“ (KMK-Standards) Es gibt also keine „leichten“ Aufgaben (bei denen man nicht zwischen „guten“ und „sehr guten“ Leistungen differenzieren kann) und keine „schwierigen“ Aufgaben (bei denen man nicht zwischen „ausreichend“, „mangelhaft“ und „ungenügend“ dif- ferenzieren kann). Jede Aufgabe enthält somit Teilaufgaben aus jedem Anforderungsbereich (I, II, III). Inhalte Die Aufgaben erwachsen aus dem Unterricht der Kursstufe. Sie stellen hinsichtlich der inhaltsbezogenen Kompetenzen eine angemessene Verbindung von Breite und Tiefe her: Sie decken einerseits ein breites Spektrum inhaltlicher Kompetenzen ab (ohne zu flach und unzusammenhängend-vielfältig zu sein) und setzen anderer- seits auch einen vertiefenden Schwerpunkt (ohne zu eng und zu spezialisiert zu werden). Kompetenzen „Die Prüfungsaufgabe ist so zu gestalten, dass mehrere Leitideen und allgemeine mathematische Kompetenzen berücksichtigt werden, sodass mathematisches Ar- beiten in der gymnasialen Oberstufe hinreichend erfasst wird. Die Aufgabenstellung für die mündliche Prüfung unterscheidet sich von der für die schriftliche Prüfung. Umfangreiche Rechnungen und zeitaufwändige Konstruktio- nen sind zu vermeiden. Vielmehr sollen die Prüflinge mathematische Sachverhalte im freien Vortrag darstellen und im Gespräch zu mathematischen Fragen Stellung nehmen. Besonders geeignet sind Aufgabenstellungen, die sich auf die Erläute- rung eines Lösungswegs beziehen, ohne dass die zugehörigen Rechnungen im Einzelnen auszuführen sind, und solche, bei denen Ergebnisse, Skizzen, Lö- sungswege usw. vorgegeben werden, an denen wesentliche Gedankengänge zu erläutern sind. Aufgaben, die sich in Teilaufgaben zunehmend öffnen, bieten dem Prüfling eine besondere Chance, den Umfang seiner Fähigkeiten und die Tiefe seines mathema- tischen Verständnisses darzustellen.“ (KMK-Standards) An der Verwendung vielfältiger Operatoren wird sichtbar, dass ein breites Spekt- rum prozessbezogener Kompetenzen eingefordert wird.

Mündliche Abiturprüfung 2021 und 2022 Aufgabenbeispiele

Aufgabe 1

Teil 1: Analysis

Die Abbildungen zeigen die Graphen einer ganzrationalen Funktion f, einer trigonometri- schen Funktion g und einer Exponentialfunktion h.

Abbildung I Abbildung II Abbildung III

a) Ordnen Sie die Funktionen f, g und h den abgebildeten Graphen zu und begründen Sie Ihre Zuordnung.

b) Geben Sie für einen der abgebildeten Graphen einen möglichen Funktionsterm an. Erklären Sie, wie Sie dabei vorgegangen sind.

c) Der Graph der Funktion in Abbildung II schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man den Inhalt dieser Fläche berechnen kann, und geben Sie einen entsprechenden Rechenausdruck an.

d) Gegeben ist die Funktion i mit i(x)  ex.

Berechnen Sie a so, dass

0

a

(^)  i(x) dx   2 gilt.

Bestimmen Sie eine nichtkonstante ganzrationale Funktion j und Werte für b und c, so

dass gilt

c

b

(^) ^ j(x) dx^  ^8.

Mündliche Abiturprüfung 2021 und 2022 Aufgabenbeispiele

Aufgabe 1

Teil 1: Analysis – Erwartungshorizont

a) Zuordnung (AB I) f: Abb. II; g: Abb. III; h: Abb. I; Begründung anhand typischer Funktionseigenschaften

b) Funktionsterm (AB II)

f(x) 1 (x 2) (x 3) (x 4) 6

        (Graph von k mit k(x)  (x  2) (x  3) (x 4)an der

x-Achse gespiegelt und gestreckt, da k(0)  24 ist, beträgt der Streckfaktor^1 6

g(x)  2 sin(x)   1 (Graph von l mit l(x) sin(x)an der x-Achse gespiegelt, mit dem Faktor 2 in y-Richtung gestreckt und um 1 in y-Richtung verschoben)

h(x)  2 e x (Graph von m mit m(x) ex an der y-Achse gespiegelt und mit dem Faktor

2 in y-Richtung gestreckt)

c) Verfahren (AB II)

1. Schritt: Bestimmung der Nullstellen
2. Schritt: Berechnung der Inhalte der beiden Teilflächen mithilfe von Integralen
3. Schritt: Addition der beiden Flächeninhalte 2 3

4 2

A f(x) dx f(x) dx 

  (^)  

d) Integral (AB II) (^0 ) x a a a

^ i(x) dx^ ^ e^ ^  ^1 e^ , der Ansatz^1 ^ e^ a ^2 führt auf^ a^  ln(3).

Funktion und Werte (AB III) Z. B. j(x)  x und b  0 und c  4.

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Aufgabe 2

Teil 1: Analysis

Die Geschwindigkeit eines Autos auf einer Teststrecke wird beschrieben durch eine Funktion

f mit f(x)  24  24 e 0,08 x^  ; 0  t  60 (x in Sekunden, f(x) in Meter pro Sekunde).

a) Berechnen Sie (^) f(0)und (^) f '(0)und

60

0

(^)  f(x) dx.

Deuten Sie diese Werte im Sachzusammenhang.

Das Auto und ein Motorrad befinden sich zum Zeitpunkt x  0 nebeneinander und fahren in den nächsten 60 Sekunden in die gleiche Richtung. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion f und den Graphen der Funktion g, die die Geschwindigkeit des Motorrads beschreibt.

b) Beschreiben Sie die Bewegungen des Autos und des Motorrads.

c) Abbildung 2 stellt für einen Ausschnitt der Fahrt den Abstand der beiden Fahrzeuge dar. Beschreiben Sie, wie man die x-Koordinate des Punktes H mithilfe von Abbildung 1 ermitteln kann. Entscheiden Sie, ob die y-Koordinate von H größer als 500 ist, und Abb. 1 begründen Sie Ihre Entscheidung.

d) Das Motorrad überholt das Auto zum Zeitpunkt x 0. Bestimmen Sie eine Gleichung, mit der man bei gegebenem Funktionsterm von g den Zeitpunkt x 0 berechnen kann.

Abb. 2

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Aufgabe 2

Teil 1: Analysis – Erwartungshorizont

a) Berechnung und Deutung (AB I) f(0)  48. Das Auto hat bei Beobachtungsbeginn die Geschwindigkeit 48 Meter pro Sekunde.

f '(x)   1 ,92 e 0,08t , also f '(0)   1 ,92. Das Auto hat bei Beobachtungsbeginn eine

Beschleunigung von  1 ,92^ ms 2. (^60 ) 0,08 t 0 0

^ f(x) dx^ ^ 24t^ ^ 300 e^ ^  1737,

Das Auto legt in den ersten 60 Sekunden ca. 1,7 km zurück.

b) Beschreibung (AB II) Die Geschwindigkeit des Autos nimmt stets ab, wobei die Abnahme immer geringer wird. Das Motorrad hat zu Beobachtungsbeginn die Geschwindigkeit 0 Meter pro Sekunde, seine Geschwindigkeit nimmt stets zu, wobei die Zunahme immer geringer wird.

c) Beschreibung (AB II) Die x-Koordinate von H ist die Schnittstelle der beiden Graphen. Entscheidung (AB II) Die y-Koordinate von H entspricht dem Inhalt der Fläche, die von den Graphen von g und h und der y-Achse eingeschlossen wird. Dieser Wert ist offensichtlich kleiner als 500.

d) Bestimmung einer Gleichung (AB III) Zum Zeitpunkt x 0 haben beide Fahrzeuge die gleiche Strecke zurückgelegt.

x 0 ist Lösung der Gleichung

x 0 x 0

0 0

(^)  f(x)dx g(x)dx.

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Aufgabe 3

Teil 1: Analysis

Gegeben ist die Funktion f mitf(x) 2 sin x 3 2

  ^  

a) Abbildung 1 zeigt den Graphen von f. Erläutern Sie, wie man den Graphen von f aus dem Graphen der Funktion g mit g(x) sin(x) erhält.

Abbildung 1

b) Eine der Abbildungen 2 und 3 zeigt den Graphen von f '.

Abbildung 2 Abbildung 3 Entscheiden Sie, in welcher der Abbildungen der Graph von f 'dargestellt ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung.

Begründen Sie ohne Rechnung, dass f '(x) dx 0





(^)   gilt.

c) Berechnen Sie das Integral   0

5 f(x) dx

 (^) ^  und interpretieren Sie Ihr Ergebnis

geometrisch.

d) Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung. Eine trigonometrische Funktion ist durch die Angabe der Koordinaten eines beliebigen Hochpunktes und eines beliebigen Tiefpunktes ihres Graphen eindeutig bestimmt.

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Aufgabe 3

Teil 1: Analysis – Erwartungshorizont

a) Entstehen des Graphen (AB I)

Streckung um 2 in y-Richtung, Verschiebung um 2

 in x-Richtung, Verschiebung um 3

in y-Richtung.

b) Zuordnung und Begründung (AB I) Der Graph von f ' ist in Abbildung 2 dargestellt. Denn der Graph von f weist an der Stelle x (^1 ) ^  eine positive Steigung auf, also ist f ' 0 2

Integral (AB II) Die Fläche zwischen dem Graphen von f ' und der x-Achse über dem Intervall[ ; 0] und die über dem Intervall [0; ]sind wegen der Punktsymmetrie des Graphen gleich

groß. Da die eine unterhalb und die andere oberhalb der x-Achse liegt, ist f '(x) dx 0





(^)  .

c) Integral (AB II)

  0 0 0

5 f(x) dx 2 2 sin x dx 2 x cos x 2 2 2

         ^ 

    (^)    

Geometrische Interpretation (AB II) Die Fläche zwischen der Geraden mit der Gleichung (^) y  5 und dem Graphen von f über dem Intervall [0; ]hat den Inhalt 2 FE.

d) Aussage (AB III) Die Aussage ist falsch. Durch die Festlegung eines Hochpunkts und eines Tiefpunkts ist die Periode nicht festgelegt, denn es können beliebig viele weitere Extrempunkte dazwischen liegen.

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Aufgabe 4

Teil 1: Analysis (ohne WTR)

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f.

a) Bestimmen Sie f '(0).

b) Ermitteln Sie

2

0

(^)  f(x) dx.

c) F ist eine Stammfunktion von f. Untersuchen Sie mit Hilfe des Graphen von f, ob der Graph von F im abgebildeten Bereich Hoch-, Tief- bzw. Wendepunkte besitzt. Geben Sie gegebenenfalls die entsprechenden Stellen an.

d) Entscheiden Sie, welche der folgenden Funktions- gleichung zu f gehört: x f (x) 1 (x 2) e     ; x f (x) 2  (x  2) e ; x f (x) 3  x e  2 Begründen Sie Ihre Entscheidung.

e) Der Graph der Funktion g mit g(x)  (x  2)^2 exbesitzt den Hochpunkt H(0 | 4).

Skizzieren Sie den Graphen von g in das beigefügte Koordinatensystem und erläutern Sie Ihr Vorgehen.

Koordinatensystem:

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Aufgabe 4

Teil 1: Analysis – Erwartungshorizont

a) Bestimmung von f‘(0) (AB I) f '(0)   1. Skizzieren der Tangente im Punkt P(0 | f(0))und Ablesen der Steigung.

b) Integral (AB II)

Kästchenzählen ergibt A  17 Kästchen, also ist

2

0

f(x) dx 17 4, 4 ^  ^  

c) Graph von F (AB II) Der Graph von F besitzt an der Stelle x 1  2 einen Tiefpunkt (Nullstelle von f mit VZW von – nach +) und an der Stelle x 2  1 einen Wendepunkt (Extremstelle von f). Er besitzt im abgebildeten Bereich keinen Hochpunkt (keine Nullstelle von f mit VZW von + nach – ).

d) Zuordnung und Begründung (AB II)

Die Funktionsgleichung f 2 gehört zu f, dennf (1) 1 1 1 e

    und f (2) 3  2 e 2  2  0.

e) Graph von g (AB III)

Begründung z. B. anhand der Nullstelle, des Wertebereichs und des Verhaltens für x  ^.

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Aufgabe 5

Teil 1: Analysis

Die Funktion f beschreibt für t  0 die Wachstumsrate einer Pflanze. Die Zeit t wird dabei in Tagen und die Wachstumsrate f(t) in cm pro Tag angegeben. Die Abbildung zeigt einen Aus- schnitt des Graphen von f.

a) Bestimmen Sie anhand der Abbildung (^) f '(2)und

2

0

(^)  f(t)dt.

b) Bestimmen Sie die ungefähre Höhe der Pflanze nach dem zweiten Tag, wenn die Pflanze zu Beobachtungsbeginn 20 cm hoch war.

c) Die Funktion f hat den Funktionsterm f(t)  8t e t.

Für die Ableitung f ' von f gilt: f '(t)  e t (8 8t). Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wachstumsrate der Pflanze am stärksten abnimmt.

d) F ist eine Stammfunktion von f. Formulieren Sie eine Fragestellung im Sachzusammen- hang, die auf die Gleichung F(t  1)  F(t) 2,5führt. Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Abbildung eine Lösung dieser Gleichung ermitteln kann.

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Aufgabe 5 Teil 1: Analysis – Erwartungshorizont

a) Bestimmung von f ‘ (2)

f '(2)   1 Bestimmung des Integrals Kästchenzählen ergibt (^) A 19 Kästchen, somit ist 2

0

f(t)dt 19 4, 4 ^ ^ 

(AB I)

(AB I)

b) Höhe (AB II)

20  4,75 24,75. Die Pflanze ist nach dem zweiten Tag

ca. 24,75 cm hoch. c) Maximale Abnahme (AB II) f ''(t)  8 (t  2) e t. Der Ansatz f ''(t)  0 führt auf t 1  2. Die Wachstumsrate nimmt nach 2 Tagen am stärksten ab. d) Fragestellung (AB III) Innerhalb welchen 1-Tages-Zeitraums nimmt die Höhe der Pflanze um 2,5 cm zu? Lösungen (AB III) Gesucht ist ein senkrechter Streifen der Breite 1, der aus der Fläche zwischen dem Graphen und der t-Achse eine Fläche mit dem Inhalt 2,5 ausschneidet. Die Lage des linken Randes des Streifens stellt eine Lösung der Gleichung dar.