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Musteraufgaben Jahrgang 10 – Gymnasium
Die Musteraufgaben Mathematik für die Jahrgangstufe 10 beziehen sich auf die Inhalte,
die im Rahmenplan des Faches Mathematik als Anforderungen am Ende der Klasse 10 für
das Gymnasium aufgeführt sind:
• Arithmetik
• Stochastik
• Geometrie
Die Musteraufgaben dienen von den Anforderungen und der Aufgabenstellung her als
Beispiele bei der Arbeit an regionalen Parallelarbeiten. Für die Aufgaben sind die
Lösungen sowie ein Bewertungsraster angegeben. Bei den Lösungen soll der Lösungsweg
nachvollziehbar sein, unterschiedliche Lösungsstrategien sind bei einigen Aufgaben
möglich und entsprechend bei der Bewertung zu berücksichtigen.
Mehrere der vorgelegten Musteraufgaben beschränken sich nicht auf einen inhaltlichen
Bereich, sie beziehen sich auf mehrere Themenbereiche.
Hinweise für die regionalen Parallelarbeiten:
• die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten
• die einzelnen Aufgaben sind in Teilaufgaben gegliedert, in der Regel umfasst die
Parallelarbeit drei Aufgaben
• zwei der drei oben benannten Themenbereiche müssen durch entsprechende
Aufgaben berücksichtigt werden.
Themenbereich Potenzfunktionen
Gegeben sind drei Funktionsgrafen und die Funktionen f 1 , f 2 und f 3.
f 1 ( x )= ( x + 2 )−^2 − 3 f 2 ( x )= −( x − 1 )^3 + 1 , 5 f 3 ( x )= − x^4 + 1 , 5
Graf 1 Graf 2
Graf 3
a) Ordne die Zuordnungsvorschriften den abgebildeten Grafen mit Begründung zu.
b) Berechne die Nullstellen der Funktion f 1.
c) Mache eine begründete Aussage zur Anzahl der Lösungen der Gleichung f 3 (x) = a, wobei a eine beliebige reelle Zahl sein kann. Die Begründung kann grafisch oder rechnerisch erfolgen.
d) Welche der drei Funktionen besitzt eine Umkehrfunktion auf IR?
e) Für die Funktion, die zum Grafen 3 gehört, hat Hans die Nullstellen x = −5 und x = 4 berechnet. Was sagst du dazu?
Hilfsmittel: Taschenrechner, auch grafischer oder CAS-Rechner Zeit: 30 Min, bei grafischem/CAS-Rechner 20 Min
Themenbereich Exponentialfunktionen
Bei 0°C wird in einem Skilager heißer Kaffee ausgeteilt, der in den Bechern abkühlt. In der Abbildung ist die exponentielle Abkühlungs- kurve des Kaffees dargestellt.
I. B e i 0 ° C w i
rd
a) Bestimme aus der Zeichnung, welche Temperatur der Kaffee nach 20 min hat und wie lange man warten muss, wenn man den Kaffee mit 60° C trinken möchte.
b) Bestimme die zur Grafik gehörende Funktionsgleichung und überprüfe rechnerisch die in a) abgelesenen Werte.
II. In der Skihütte herrscht vor dem warmen Kamin die Umgebungstemperatur von 21,4° C. Auch dort wird Kaffee ausgeschenkt und Andi misst die folgenden Temperaturen:
Zeit in min 0 5 10 15 20 30 80
Temperaturen in °C 72 64,9^ 58,7^ 53,4^ 48,9^ 41,7^?
a) Zeichne zur Wertetabelle den Grafen in das obige Koordinatensystem und beschreibe, was sich am Abkühlungsprozess im Vergleich zu I) ändert. Gib für 80 min einen Schätzwert für die Temperatur an.
b) Erläutere, dass die Funktionsgleichung für die Abkühlung des Kaffees hier die Form y=a⋅bx+c hat und bestimme die zugehörigen Werte a, b, und c.
Zeit in Minuten
Temperatur in Grad
Erwartete Lösungswege
I. a)
b)
Bei 20 min liest man ca. 38°C (eben unter 40°C) ab. 60°C hat der Kaffee nach etwa 6 min (gut 5 min) Die Form der Funktionsgleichung ist y=a⋅bx, wobei y die Temperatur in °C und x die Zeit in min bedeutet. Zum Zeitpunkt x=0 ergibt sich die Anfangstemperatur a, also a? 72 [°C] Um b zu berechnen setzt man z. B. den abgelesenen Wert nach 20 min ein:
38 = 72⋅b^20? ??b = 20 3872 ≈ 0,97, d. h. y = 72⋅0,97x
(Da mit abgelesenen Werten gerechnet wird, kann das Ergebnis innerhalb der Ablesegenauigkeit verschieden sein.) Überprüfung für 20 min mit 0,97: 72⋅0,97^20 ≈ 39 °C und 72⋅0,97^6 ≈ 60 °C, die Werte liegen innerhalb der Ablesegenauigkeit.
2
6
2
II. a)
b)
Nach 80 min kann man annehmen, dass der Kaffee weitgehendst abgekühlt ist, an dieser Stelle muss die SchülerIn erkennen, dass er nicht kälter werden kann, als seine Umgebung. Der grafischen Darstellung entnimmt man, dass der Kaffee zwar noch exponentiell, aber im Vergleich zu I. langsamer abkühlt und die Werte nicht unter 21,4°C sinken.
Der Graf ist eine nach oben verschobene Exponentialfunktion, so dass c=21,4 [°C]. Der Anfangswert zum Zeitpunkt 0 ist weiterhin yo=72°C, also ergibt sich a=72-21,4=50,6 [°C] Wählt man einen der Tabellenwerte für x, z.B. x=10, so erhält man
50,6 b ⋅ 10 + 21,4 = 58,7 ⇒ b = 10 37,350,6≈0,
4
6
gesamt 20
Bemerkungen: Teil I. bezieht sich auf die Grundkenntnisse zu Exponentialfunktionen, die allen Schülerinnen und Schülern einer 10. Klasse bekannt sein sollten.
Themenbereich Körperberechnung / Funktionen
Einem Quadrat ist ein Kreis einbeschrieben und ein Kreis umbeschrieben (Inkreis und Umkreis).
- a) Berechne die Radien, Flächeninhalte und Umfänge beider Kreise für ein Quadrat mit der Seitenlänge 5 cm.
b) Führe die Berechnungen auch für ein Quadrat mit der „beliebigen“ Seitenlänge k durch.
- Was kannst Du über die Verhältnisse der Radien, Flächeninhalte und Umfänge von In- und Umkreis aussagen?
- Der Inkreis umschließt wiederum ein kleineres Quadrat, ebenso wird der Umkreis wiederum von einem größeren Quadrat umschlossen. Bestimme die Seitenlängen dieser beiden Quadrate in Abhängigkeit von k.
- Und wie geht es weiter?
Erwartete Lösungswege Bewertung 1a) 2
1b) Allgemein:
Umkreis:
Die "allgemeinen" Formeln zeigen, dass die Verhältnisse von der Seitenlänge des Ausgangsquadrates abhängig sind. Alternative: Die "allgemeinen" Formeln zeigen, das der Umkreis aus dem Kreis durch eine zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor
hervorgeht. Das muss dann auch das Verhältnis der (Längen der) Radien und Umfänge sein. Das Verhältnis der Flächeninhalte ergibt sich durch Quadrieren des Streckungsfaktors.
Streckungsfigur wird durch die "inverse" Problemstellung von Aufgabenteil 3 weiter aufgebaut.
Nach diesen Vorbereitungen sollen die Schülerinnen und Schüler das Verfahren in Aufgabenteil 4
iterativ fortsetzen, um so ihre Fähigkeit zur Lösung von Problemen auf der Grundlage tieferen
Verstehens nachzuweisen.
Quelle
Fachbezogene Leistungsprüfungen für das Gymnasium, Schuljahrgang 10, Mathematik,
Niedersächsisches Kultusministerium, Februar 2000
Themenbereich Körperberechnung / Funktionen
Über dem Hauptportal des Straßburger Münsters befindet sich eine gotische Fensterrosette mit dem Durchmesser von 14 m. Ihr unterer Rand ist 28 m über dem Boden.
- Die Touristin Jana steht 60 m von dem Hauptportal entfernt und hält ihre Kamera in Augenhöhe von 1, m. Der "Sehwinkel" ist der Winkel zwischen oberem Rosettenrand, Auge des Beobachters und unterem Rosettenrand. Berechne den Sehwinkel, unter dem Jana die Fensterrosette sieht.
- Jana will die Rosette mit ihrer Digitalkamera fotografieren. Sie läuft vor und zurück und stellt fest, dass sich dabei die Größe der Rosette auf dem Display verändert. Der Grund dafür ist die Abhängigkeit des Sehwinkels von der Entfernung zum Münster.
Die folgende Graphik gibt den Sachverhalt wieder:
a) In welcher Entfernung vom Münster ist der Sehwinkel am größten?
b) Gib zwei Entfernungen vom Münster an, für die der Sehwinkel gleich groß ist.
c) Beschreibe, wie sich der Sehwinkel verändert, wenn sich Jana vom Münster weg bewegt.
d) Warum wird der Sehwinkel nicht immer größer, je mehr sich Jana dem Münster nähert? Erkläre den Sachverhalt, eventuell an Hand von Skizzen.
Abstand x in Meter
Sehwinkel f in Grad
2d) Man kann z.B. mit einer Sequenz von Skizzen arbeiten. Die Skizzen entsprechen der aus Aufgabenteil 1. 3
gesamt 20
Bemerkungen:
Es sollte selbstverständlich sein, dass zum Lösungsweg von Aufgabenteil 1 eine Skizze gehört.
Daher wird in der Aufgabenstellung auf die Anweisung, eine Skizze anzufertigen, verzichtet.
Dieser Teil bezieht sich auf Grundkenntnisse der Trigonometrie und enthält nur die Schwierigkeit,
das beschriebene räumliche Problem in der Ebene geeignet darzustellen.
Aufgabenteil 2 verbindet Fragestellungen aus der Trigonometrie und der Funktionenlehre,
insbesondere der Auswertung und Interpretation eines vorgegebenen Graphen. Rechnungen spielen
keine Rolle. Die Bearbeitung verlangt eine Übertragung des geometrischen Sachverhalts in einen
funktionalen Zusammenhang und umgekehrt. Die gewählte Skalierung der Koordinatenachsen
macht das Ablesen der Werte durchaus anspruchsvoll.
Redaktionelle Anmerkungen
Quelle:
Fachbezogene Leistungsprüfungen für das Gymnasium, Schuljahrgang 10, Mathematik,
Niedersächsisches Kultusministerium, Februar 2000
Der Aufgabenteil 2 ist stark abgeändert worden, da Umkehrfunktionen (insbesondere die
Arcusfunktionen) im Bremer Lehrplan nicht vorgesehen sind. Anstelle der in Niedersachsen
durchgeführten Rechnungen wird hier eine Aufgabe konzipiert, die auf Auswertung und
Interpretation eines vorgegebenen Graphen abgestellt ist. Eine besondere Schwierigkeit besteht in
der Zusammenführung von Trigonometrie und Analysis in Verbindung mit einem räumlichen
Vorstellungsvermögen.
Themenbereich Wahrscheinlichkeitsrechnung
In der letzten Klassenarbeit der 10a gab es folgendes Zensurenergebnis:
Zensur 1 2 3 4 5 6 Anzahl der Arbeiten 2 8 11 6 3 ---
a) Wie viel Prozent der Schüler hatten jeweils die Noten 1, 2, 3,..., 6? b) Aus der Klasse wird zufällig ein Schüler ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Arbeit besser als 3 ist? c) Aus der Klasse werden zufällig zwei Schüler ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide eine 4 haben? d) Berechne für die Arbeit den Mittelwert und die Standardabweichung. e) In der Klasse 10b war kurz darauf das Ergebnis der entsprechenden Arbeit:
Zensur 1 2 3 4 5 6 Anzahl der Arbeiten 3 9 10 5 3 2
Berechne für die 10b den Mittelwert. Gib (ohne zu rechnen) an, wie sich für die 10b die Standardabweichung im Vergleich zur 10a verhält und erläutere den Unterschied.
Hilfsmittel: Taschenrechner Zeit: 20 Min
Themenbereich Körperberechnung / Funktionen / 3.Wurzel
- Das Innere eines zylindrischen Bierglases hat den Radius 5 cm und die Höhe 10 cm.
a) In das Glas wird Wasser gegossen.
- Gib die Funktionsgleichung an für die Funktion, die die Flüssigkeitshöhe dem Volumen des Zylinders zuordnet.
- Um welche Art von Funktion handelt es sich? Wie sieht ihr Graph im Prinzip aus?
b) In welcher Höhe müsste die Füllmarke für 0,5 Liter angebracht werden?
- Ein kegelförmiges Gefäß, dessen Spitze nach unten zeigt, hat ebenfalls den Radius 5 cm und die Höhe 10 cm.
a) Zeige, dass der Zusammenhang zwischen Flüssigkeitshöhe x und Flüssigkeitsvolumen V durch die Funktionsgleichung
V ( x ) =
⋅ π ⋅ x^3
beschrieben wird.
b) In welcher Höhe müsste die Füllmarke für 0,25 Liter eingezeichnet werden?
c) In welcher Höhe müsste die Füllmarke für die Hälfte des Gesamtvolumens angebracht werden?
d) In welcher Entfernung von der Spitze aus gemessen muss die Markierung für 0,25 Liter außen auf der Mantellinie angebracht werden?
r h x r h x
rx
Erwartete Lösungswege
a)
b)
f: x → V(x) = π ⋅ r^2 ⋅ x
Lineare Funktion / Graph ist eine Gerade.
500 = π ⋅ 52 ⋅ h ⇔ h =
⇔ h = 6,
0,5 Liter füllen das Gefäß bis zur Höhe 6,4 cm.
a)
b)
c)
Es muss gezeigt werden, dass
rx =
hx
V(x) =
⋅ π ⋅ rx^2 ⋅ x =
x
^
2
⋅ x =
⋅ π ⋅ x^3
⋅ π ⋅ x^3 ⇔ x =
Vges =
Vges
⋅ π ⋅ x^3 ⇔ x =
gesamt 14
Bemerkungen: Es ist sinnvoll die beiden Aufgaben im Zusammenhang bearbeiten zu lassen, wenn der Schwerpunkt auf den funktionalen Zusammenhang gelegt wird. Sie sind aber auch unabhängig voneinander einsetzbar. Es wird vorausgesetzt, dass die Umwandlung der Volumengrößen sicher beherrscht wird.
Hilfsmittel: Taschenrechner
Zeit: ca. 30 Minuten
Quelle: angelehnt an Aufgabenbeispiel aus Vergleichsarbeit Hamburg
Alternativen / Erweiterungen
- Zeichnung in der Aufgabenstellung weglassen
- Bestimmung der Funktionsgleichung der Funktion , die die Länge der Mantellinie dem Volumen zuordnet.
- Graphische Darstellung der auftretenden Funktionen.
Erwartete Lösungswege I. a) (^) a) Das gep lante Gesamtvolumen beträgt
Vges =
1 3
⋅ 30 2 ⋅ 45 = 1350 0
Das gep lante Gesamtvolumen beträgt 1350 0 m 3.
Das um 10% verringerte Volumen ist V90% = 0 ,9 ⋅ Vges = 12150
V90% =
1 3
⋅ G ⋅ h90% ⇔ h90% =
3 ⋅ 12150 30 2
= 40 ,
Die Höhe der Pyramide mit um 90% verringerten Volumen beträt 40 ,5 m.
Alternative: Bei fester Grundfläche ist V proportional zu h. Folglich gehört zum 0 ,9-fachen des Volumens auch das 0 ,9-fache der Höhe: Das ist h90% = 0, 9 ⋅ 45 = 40 ,
b) V^ 90 %^ =^12150 =^
1 3
⋅ a (^) 90 %^2 ⋅ 45 ⇔ a (^) 90 % = 3 ⋅^12150 45
= 28 , 46
Die Seitenlänge der volumengleichen Pyramide, deren Höhe um 90% verringert wurde, beträgt 28,6m.
Alternative: Bei fester Höhe ist V proportional zu a2. Folglich gehört zum 0,9-fachen des Volumens das v 0,9 -fache der Grundseite: Das sind:
c) Die Fläche der Aussichtsplattform ist ebenfalls quadratisch. Ihre Größe kann als Seitenlänge eines Quadrates oder als Flächeninhalt angegeben werden.
Nach dem Strahlensatz lässt sich etwa die folgende Verhältnisgleichung angeben:
a
aspitze
h
hspitze
Außerdem ist:
Vspitze = 0,1 ⋅ Vges = 1350 ⇒ 1350 =
⋅ aspitze^2 ⋅ hspitze
Dieses Gleichungssystem kann nach dem Einsetzungsverfahren gelöst werden.
aspitze =
3 ⋅ Vspitze ⋅ a
h
3 = 3 ⋅^1350 ⋅^30
Gesamt 13
Bemerkungen:
Diese Aufgabe kann als eine längere neben kürzeren „Standardaufgaben“ eingesetzt werden. Die Teile a und b sollten von allen Schülern gelöst werden können. Teil c ist eine anspruchsvolle Anwendung von 2 Gleichungen mit zwei Variablen, ein Unterrichtsinhalt, der ein Jahr zurückliegt und dort in der Regel auf lineare Gleichungen beschränkt ist. Ein Problem ähnlicher Art sollte vorher im Unterricht behandelt sein.
Hilfsmittel: Taschenrechner Zeit: ca. 30 Minuten
Quelle: angelehnt an Fachbezogene Leistungsprüfungen für das Gymnasium, Schuljahrgang 10, Mathematik, Niedersächsisches Kultusministerium, Februar 2 000
