Mathematik Zentralmatura September 2017: Teil 2 Aufgaben mit Lösungen, Abiturprüfungen von Mathematik

Nur auf Docsity: Lade Mathematik Zentralmatura September 2017: Teil 2 Aufgaben mit Lösungen und mehr Abiturprüfungen als PDF für Mathematik herunter!

AHS

28. September 2017

Mathematik

Teil-2-Aufgaben

Korrekturheft

Standardisierte kompetenzorientierte

schriftliche Reifeprüfung

Aufgabe 1

Aktivität und Altersbestimmung

a) Lösungserwartung:

Mögliche Vorgehensweise: A(t) = |N′(t)| = λ ∙ N 0 ∙ ℯ–λ^ ∙^ t A 0 = λ ∙ N 0

N 0 =

A 0 λ =^

17 4,92 ∙ 10–18^ ≈ 3,46 ∙ 10

18

Zum Zeitpunkt t = 0 befinden sich ca. 3,46 ∙ 10^18 Atomkerne von 238 U in der Probe.

Lösungsschlüssel:

• Ein Punkt für eine korrekte Formel. Äquivalente Formeln sind als richtig zu werten.
• Ein Punkt für die richtige Lösung. Toleranzintervall: [3,4 ∙ 10^18 Atomkerne; 3,5 ∙ 10 18 Atomkerne]

b) Lösungserwartung:

Mögliche Vorgehensweise: lebender Organismus: A 0 = 25 ∙ 0,267 = 6,675 Bq für 25 g Kohlenstoff 4 = 6,675 ∙ ℯ–1,21^ ∙^10 –4^ ∙^ t t ≈ 4 232 Jahre

Mögliche Vorgehensweise: τ ... Halbwertszeit N 0 2 =^ N^0 ∙^ ℯ

• λ ∙ τ ln(2) = λ ∙ τ τ = ln(2)λ ≈ 5 730 Zum Zeitpunkt des Fundes sind weniger als die Hälfte der ursprünglich vorhandenen Atom- kerne zerfallen, da die Halbwertszeit von 14 C ca. 5 730 Jahre beträgt, das Holz aber erst vor ca. 4 232 Jahren abgestorben ist.

Lösungsschlüssel:

• Ein Punkt für die richtige Lösung. Toleranzintervall: [4 225 Jahre; 4 240 Jahre] Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Er- gebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
• Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Begründung dafür, dass weniger als die Hälfte der ursprünglich vorhandenen 14 C-Atomkerne zerfallen sind. Andere korrekte Begründungen (z. B. über das Absinken der Aktivität) sind ebenfalls als richtig zu werten.

Aufgabe 2

Schwimmzonen

a) Lösungserwartung:

A(x) = x ∙ (180 – 2 ∙ x) = 180 ∙ x – 2 ∙ x^2

Mögliche Vorgehensweise: A′(x) = 180 – 4 ∙ x = 0 ⇒ x = 45 ( A″(45) = –4 < 0 ⇒ lokales Maximum Aus A″(x) < 0 für alle x folgt, dass A rechtsgekrümmt ist und das lokale Maximum daher ein globales Maximum ist.) Länge = 90 m Breite = 45 m Flächeninhalt = 4 050 m^2

Lösungsschlüssel:

• Ein Ausgleichspunkt für einen korrekten Nachweis. Andere korrekte Nachweise sind eben- falls als richtig zu werten.
• Ein Punkt für die Angabe aller drei richtigen Werte. Der Nachweis für das Vorliegen eines Maximums ist nicht erforderlich.

b) Lösungserwartung:

alle Werte, die x bei h = 40 m annehmen darf: x ∈ [40; 90] alle Werte, die h bei x = 50 m annehmen darf: h ∈ [0; 50]

Lösungsschlüssel:

• Ein Punkt für die Angabe eines korrekten Intervalls für x. Andere Schreibweisen des Intervalls (offen oder halboffen) sowie korrekte formale oder ver- bale Beschreibungen sind ebenfalls als richtig zu werten.
• Ein Punkt für die Angabe eines korrekten Intervalls für h. Andere Schreibweisen des Intervalls (offen oder halboffen) sowie korrekte formale oder ver- bale Beschreibungen sind ebenfalls als richtig zu werten.

c) Lösungserwartung:

A( α) = 3 600 ∙ cos( α) + 3 600 ∙ cos( α) ∙ sin( α) oder: A( α) = 3 600 ∙ cos( α) + 1 800 ∙ sin(2 ∙ α)

Mögliche Vorgehensweise: größtmöglicher Flächeninhalt: bei α = 30° 30 + 60 + 30 = 120 Der Strandabschnitt ist dabei 120 m lang.

Lösungsschlüssel:

• Ein Punkt für eine korrekte Formel. Andere korrekte Formeln sind ebenfalls als richtig zu werten.
• Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „m“ nicht angeführt sein muss. Toleranzintervall: [115 m; 125 m]

c) Lösungserwartung:

Mögliche Deutung: Der angeführte Ausdruck gibt die Anzahl derjenigen Personen an, die die Einwohnerzahl xn im Zeitintervall [n; n + 1] aufgrund von Geburten und/oder Todesfällen erhöhen (bzw. verringern).

Mögliche Vorgehensweise: x 2015 ≤ 1,01 ∙ x 2014 x 2014 + x 2014 ∙ 14,6 – 6,6 1 000 + m 2014 ≤ 1,01 ∙ x 2014 daher m 2014 ≤ (^) (1,01 – 1 – 14,6 – 6,6 1 000 ) ∙ x 2014 m 2014 ≤ 0,002 ∙ 202 740 000 = 405 480

Damit die Einwohnerzahl im Jahr 2015 gegenüber der Einwohnerzahl im Jahr davor maximal um 1 % größer wird, dürfen höchstens 405 480 Personen mehr zuwandern als abwandern.

Lösungsschlüssel:

• Ein Punkt für eine korrekte Deutung.
• Ein Punkt für die richtige Lösung. Toleranzintervall: [405 000 Personen; 406 000 Personen] Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.

Aufgabe 4

Wachstumskurve von Kindern

a) Lösungserwartung:

Stichprobenanteil: 0, Anteil laut Diagramm: 0, Unterschied: 4 Prozentpunkte

Mögliche Berechnung: 0,9465 = 0,9 + 1,96 ∙

 0,9 ∙ (1 − 0,9) n ⇒^ n^ ≈ 160 Buben

Lösungsschlüssel:

• Ein Punkt für die richtige Lösung.
• Ein Punkt für die richtige Lösung. Toleranzintervall: [155 Buben; 165 Buben] Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.

b) Lösungserwartung:

Die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit in diesem Zeitraum entspricht einem Drittel der Größenzunahme. oder: g(9) – g(6) 3

Das ungefähre Alter von Buben, bei dem deren momentane Wachstumsgeschwindigkeit am größten ist, liegt bei ca. 13 Jahren.

Lösungsschlüssel:

• Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Antwort bzw. eine richtige Formel. Äquivalente For- meln sind als richtig zu werten.
• Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „Jahre“ nicht angeführt sein muss. Toleranzintervall: [12 Jahre; 14 Jahre]