Mathematik Zentralmatura September 2019: Teil 1 und 2 Aufgaben, Abiturprüfungen von Mathematik

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AHS

20. September 2019

Mathematik

Teil-1- und Teil-2-Aufgaben

Standardisierte kompetenzorientierte

schriftliche Reifeprüfung

Name:

Klasse:

Hinweise zur Aufgabenbearbeitung

Sehr geehrte Kandidatin! Sehr geehrter Kandidat! Das vorliegende Aufgabenheft enthält Teil-1-Aufgaben und Teil-2-Aufgaben (bestehend aus Teilaufgaben). Die Aufgaben bzw. Teilaufgaben sind unabhängig voneinander bearbeitbar. Ihnen stehen insgesamt 270 Minuten an reiner Arbeitszeit zur Verfügung. Verwenden Sie für die Bearbeitung ausschließlich dieses Aufgabenheft und das Ihnen zur Verfügung gestellte Arbeitspapier. Schreiben Sie Ihren Namen und Ihre Klasse in die dafür vorgesehenen Felder auf dem Deck- blatt des Aufgabenhefts sowie Ihren Namen und die fortlaufende Seitenzahl auf jedes verwendete Blatt Ar- beitspapier. Geben Sie bei der Beantwortung jeder Teilaufgabe deren Bezeichnung auf dem Arbeitspapier an. In die Beurteilung wird alles einbezogen, was nicht durchgestrichen ist. Die Lösung muss dabei klar ersichtlich sein. Wenn die Lösung nicht klar ersichtlich ist oder verschiedene Lösungen angegeben sind, gilt die Aufgabe als nicht gelöst. Sie dürfen die für diesen Klausurtermin freigegebene Formelsammlung sowie zugelassene elektronische Hilfs- mittel verwenden, sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Bluetooth, Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und der Zugriff auf Eigendaten im elektronischen Hilfsmittel nicht möglich ist. Eine Erläuterung der Antwortformate liegt im Prüfungsraum auf und kann auf Wunsch eingesehen werden. Das Aufgabenheft und alle von Ihnen verwendeten Blätter sind abzugeben.

Bewertung Die Aufgaben im Teil 1 werden mit 0 Punkten oder 1 Punkt bzw. 0 Punkten, ½ oder 1 Punkt bewertet. Die zu erreichenden Punkte pro Aufgabe sind bei jeder Teil-1-Aufgabe im Aufgabenheft angeführt. Jede Teilaufgabe im Teil 2 wird mit 0, 1 oder 2 Punkten bewertet. Die mit A markierten Aufgabenstellungen werden mit 0 Punkten oder 1 Punkt bewertet. Zwei Beurteilungswege

1. Wenn Sie mindestens 16 von 28 Punkten (24 Teil-1-Punkte + 4 A -Punkte aus Teil 2) erreicht haben, gilt der folgende Beurteilungsschlüssel: Genügend 16 – 23,5 Punkte Befriedigend 24 – 32,5 Punkte Gut 33 – 40,5 Punkte Sehr gut 41 – 48 Punkte

2. Wenn Sie weniger als 16 von 28 Punkten (24 Teil-1-Punkte + 4 A -Punkte aus Teil 2) erreicht haben, aber insgesamt 24 Punkte oder mehr (aus Teil-1- und Teil-2-Aufgaben) erreicht haben, dann können Sie auf diesem Weg ein „Genügend“ oder „Befriedigend“ erreichen: Genügend 24 – 28,5 Punkte Befriedigend 29 – 35,5 Punkte Ab 36 erreichten Punkten gilt der unter 1) angeführte Beurteilungsschlüssel. Die Arbeit wird mit „Nicht genügend“ beurteilt, wenn im Teil 1 unter Berücksichtigung der mit A markierten Aufgabenstellungen aus Teil 2 weniger als 16 Punkte und insgesamt weniger als 24 Punkte erreicht wurden.

Viel Erfolg!

So ändern Sie Ihre Antwort bei Aufgaben zum An- kreuzen:

1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreuzen Sie dann das gewünschte Kästchen an.

Hier wurde zuerst die Antwort „5 + 5 = 9“ gewählt und dann auf „2 + 2 = 4“ geändert. 1 + 1 = 3 (^)  2 + 2 = 4 (^) T 3 + 3 = 5 (^)  4 + 4 = 4 (^)  5 + 5 = 9 (^) 

So wählen Sie eine bereits übermalte Antwort:

1. Übermalen Sie das Kästchen mit der nicht mehr gültigen Antwort.
2. Kreisen Sie das gewünschte übermalte Kästchen ein. Hier wurde zuerst die Antwort „2 + 2 = 4“ übermalt und dann wieder gewählt. 1 + 1 = 3 (^)  2 + 2 = 4 3 + 3 = 5 (^)  4 + 4 = 4 (^)  5 + 5 = 9 (^) 

Lineares Gleichungssystem

Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem in den Variablen x 1 und x 2. Es gilt: a, b ∈ ℝ.

I: 3 · x 1 – 4 · x 2 = a II: b · x 1 + x 2 = a

Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie die Werte der Parameter a und b so, dass für die Lösungsmenge des Gleichungs- systems L = {(2; –2)} ist.

a =

b =

[0 / 1 Punkt]

Darstellung im Koordinatensystem

Im nachstehenden Koordinatensystem sind der Vektor v sowie die Punkte A und B dargestellt. Die Komponenten des dargestellten Vektors v und die Koordinaten der beiden Punkte A und B sind ganzzahlig.

y

x

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2

1 0

4

3

6 5

8

9

7

B

A →v

Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie den Wert des Parameters t so, dass die Gleichung B = A + t · v erfüllt ist.

t =

[0 / 1 Punkt]

Drehkegel

Gegeben ist ein Drehkegel mit einer Höhe von 6 cm. Der Winkel zwischen der Kegelachse und der Erzeugenden (Mantellinie) beträgt 32°.

Aufgabenstellung:

Berechnen Sie den Radius r der Grundfläche des Drehkegels.

r ≈ cm

[0 / 1 Punkt]

Winkel mit gleichem Sinuswert

Gegeben sei eine reelle Zahl c mit 0 < c < 1. Für die zwei unterschiedlichen Winkel α und β soll gelten: sin( α) = sin( β) = c. Dabei soll α ein spitzer Winkel und β ein Winkel aus dem Intervall (0°; 360°) sein.

Aufgabenstellung:

Welche Beziehung besteht zwischen den Winkeln α und β? Kreuzen Sie die zutreffende Beziehung an.

α + β = 90°

α + β = 180°

α + β = 270°

α + β = 360°

β – α = 270°

β – α = 180°

[0 / 1 Punkt]

Schwingung einer Saite

Die Frequenz f der Grundschwingung einer Saite eines Musikinstruments kann mithilfe der nach- stehenden Formel berechnet werden.

f = (^21) · l · (^) ϱ F∙ A



l … Länge der Saite A … Querschnittsfläche der Saite ϱ … Dichte des Materials der Saite F … Kraft, mit der die Saite gespannt ist

Aufgabenstellung:

Geben Sie an, wie die Länge l einer Saite zu ändern ist, wenn die Saite mit einer doppelt so hohen Frequenz schwingen soll und die anderen Größen (F, ϱ, A) dabei konstant gehalten werden. [0 / 1 Punkt]

Kerzenhöhe

Eine brennende Kerze, die vor t Stunden angezündet wurde, hat die Höhe h(t). Für die Höhe der Kerze gilt dabei näherungsweise h(t) = a · t + b mit a, b ∈ ℝ.

Aufgabenstellung:

Geben Sie für jeden der Koeffizienten a und b an, ob er positiv, negativ oder genau null sein muss.

[0 / 1 Punkt]

Funktion mit einer besonderen Eigenschaft

Für eine nicht konstante Funktion f : ℝ → ℝ gilt für alle x ∈ ℝ die Beziehung f(x + 1) = 3 · f(x).

Aufgabenstellung:

Geben Sie eine Gleichung einer solchen Funktion f an.

f(x) =

[0 / 1 Punkt]

Periodenlänge

Gegeben ist die Funktion f : ℝ → ℝ mit f(x) = 13 ∙ sin(3 · π 4 · x).

Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie die Länge der (kleinsten) Periode p der Funktion f.

p =

[0 / 1 Punkt]

Ableitungsfunktion und Stammfunktion

Es sei f : ℝ → ℝ eine Polynomfunktion.

Aufgabenstellung:

Zwei der folgenden Aussagen über die Funktion f treffen auf jeden Fall zu. Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.

Die Funktion f hat genau eine Stammfunktion F.

Die Funktion f hat genau eine Ableitungsfunktion f′.

Ist F eine Stammfunktion von f, so gilt: f′ = F.

Ist F eine Stammfunktion von f, so gilt: F″ = f′.

Ist F eine Stammfunktion von f, so gilt: ∫

1 0 F(x)^ dx^ =^ f(1) –^ f(0).

[0 / 1 Punkt]

Geschwindigkeit und Beschleunigung

Die nachstehenden Abbildungen zeigen die Graphen von vier Beschleunigungsfunktionen (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) und von sechs Geschwindigkeitsfunktionen (v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 , v 6 ) in Abhängigkeit von der Zeit t.

Aufgabenstellung:

Ordnen Sie den vier Graphen von a 1 bis a 4 jeweils den zugehörigen Graphen von v 1 bis v 6 (aus A bis F) zu.

A

v 1 (t) v 1

t (^00)

B

v 2 (t) v 2

t 0

0

C

v 3 (t)

v 3

t (^00)

D

v 4 (t)

v 4

t (^00)

E

v 5 (t)

v 5

t 0

0

F

v 6 (t)

v 6

t (^00)

a 1 (t)

a 1 t (^00)

a 2 (t)

a 2 t (^00)

a 3 (t)

a 3

t (^00)

a 4 (t)

a 4

t (^00)

[0 / ½ / 1 Punkt]

Bestimmen eines Koeffizienten

Gegeben ist die Funktion f: ℝ → ℝ mit f(x) = a · x^2 + 2 mit a ∈ ℝ.

Aufgabenstellung:

Geben Sie den Wert des Koeffizienten a so an, dass die Gleichung ∫

1 0 f(x)^ dx^ = 1 erfüllt ist.

a =

[0 / 1 Punkt]

Wurfhöhe eines Körpers

Ein Körper wird aus einer Höhe von 1 m über dem Erdboden senkrecht nach oben geworfen. Die Geschwindigkeit des Körpers nach t Sekunden wird modellhaft durch die Funktion v mit v(t) = 15 – 10 ∙ t beschrieben (v(t) in Metern pro Sekunde, t in Sekunden).

Aufgabenstellung:

Geben Sie diejenige Höhe (in Metern) über dem Erdboden an, in der sich der Körper nach 2 s befindet.

[0 / 1 Punkt]