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Matrizen und Determinanten
Im Abschnitt „Vektoralgebra – Rechenregeln für Vektoren“ (Multiplikation - Skalarprodukt, Vektor-
produkt, Mehrfachprodukte) wurde in einem Vorgriff bereits eine interessante mathematische Kon-
struktion benutzt - die Matrix.
Eine Matrix ist dabei ein rechteckiges Schema, dessen Elemente meist Zahlen sind.
Elemente der Matrix können aber auch Variable oder Funktionen sein.
Eine Matrix besteht aus m Zeilen und n Spalten und wird ( m , n )-Matrix genannt.
Die Dimension einer Matrix mit m Zeilen und n Spalten ist m n.
Die Position eines Elementes aij wird mit einem Doppelindex gekennzeichnet.
Der erste Index i gibt dabei die Zeile, der zweite Index (^) j die Spalte an des Elements an.
Beispiel: (^) ( 2 , 3 )-Matrix, also 2 Zeilen und 3 Spalten; das Element ist beispielsweise a 21 4
A
Merkregel Indexreihenfolge: z uerst die Z eile, die S palte s päter
- als Schreibweise hat sich eine Anordnung in Zeilen und Spalten zwischen großen Klammern
(meist runde Klammern) durchgesetzt. Die Matrix selbst wird durch Großbuchstaben bezeichnet.
- einzelne Zeilen und Spalten der Matrix werden oft als Spalten- oder Zeilenvektoren bezeichnet:
21 22
11 12 a a
a a A Spaltenvektoren:
21
11 a
a und
22
12 a
a
Zeilenvektoren: a 11 a 12 und a 21 a 22
- die Dimension einer Matrix ergibt sich aus der Anzahl ihrer Zeilen und Spalten - z.B. wird einer
m n - Matrix die Zeilendimension m und die Spaltendimension n zugeschrieben.
- Bei einer quadratischen Matrix stimmen Zeilen- und Spaltenanzahl überein.
- Hat die Matrix nur eine Spalte, nennt man sie einen Spaltenvektor ; hat sie nur eine Zeile, nennt
man sie einen Zeilenvektor.
Matrix m n : aij n^ Spalten, Index^ j
m Zeilen, Index i
a mn
a a a
a a a
a a a
31 32 33
21 22 23
11 12 13
Besondere Matrizen
Einige Matrizen haben eine besondere Gestalt und werden mit ihrer besonderen Struktur gern in
Rechnungen benutzt:
quadratische Matrix
besitzt die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten( m n ) häufig benutzt werden die 2 2 - und 3 3 - Matrix
21 22
11 12 a a
a a A
die Elemente mit (^) i j bilden die Hauptdiagonale der Matrix
Nullmatrix
alle Elemente der Matrix sind gleich Null
A - hier: 2x2-Nullmatrix.
Einheitsmatrix
die Elemente der Hauptdiagonalen sind gleich Eins und alle anderen Elemente sind Null
A
Diagonalmatrix
alle Elemente - außer den Elementen der Hauptdiagonalen – sind gleich Null
A
Einheitsmatrix und Nullmatrix sind spezielle Formen der Diagonalmatrix
obere Dreiecksmatrix
alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen sind gleich Null
A
untere Dreiecksmatrix
alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen sind gleich Null
A
3. Determinante einer m m - Matrix – hier ist die Zuordnung komplizierter:
m m mm
m
m
a a a
a a a
a a a
A A
1 2
21 22 2
11 12 1
det
hier hilft der LAPLACEschen Entwicklungssatzes :
- Durch Entwicklung in Unterdeterminanten reduziert man den Rang, bis die Berechnung (z.B. für eine 3x3-Matrix) möglich ist.
Dazu legt man eine Zeile oder Spalte (was immer bequemer ist) fest, welche die sogenannten Pivot-Elemente enthält. Legen wir beispielsweise die 2. Zeile fest, sind a (^) 21 , a 22 ,..., a 2 m diese Pivot-Elemente. Die Unterdeterminanten zu diesen Pivot-Elementen erhält man, indem man in der Ausgangsmatrix jeweils die entsprechende Spalte und Zeile „streicht“. So heißt beispielsweise die Unterdeterminante zum Pivot-Element a 21 :
m m mm
m
m
a a a
a a a
a a a
A A
2 3
32 33 3
12 13 1
21 det^21
Die Determinante von A lässt sich nun aus einer Summe von Produkten darstellen. Jeder Summand setzt sich dabei folgendermaßen zusammen:
Summand (ij) = Pivot-Element (ij) vorzeichenbestimmender Faktor Unterdeterminante (ij).
Entwickelt man nach der i - ten Zeile ( i wird festgehalten) ergibt sich die Determinante A zu:
^
m
j
ij
i j A aij A 1
det ( 1 )
Entwickelt man nach der j - ten Spalte ( j wird festgehalten) ergibt sich die Determinante A zu:
^
m
i
ij
i j A aij A 1
det ( 1 )
Die Strategie bei der Berechnung der Determinante einer m m - Matrix ( m 3 ) ist also die
Entwicklung nach einer Spalte bzw. Zeile, um die Dimension der Matrix, deren Determinante man berechnen soll, sozusagen Schritt für Schritt zu „reduzieren“.
Anmerkungen:
Der Wert einer Determinante ist unabhängig von der Auswahl der Entwicklungszeile/-spalte
Eine Determinante ist gleich Null, wenn
- eine Zeile/Spalte aus lauter Nullen besteht
- zwei Zeilen/Spalten gleich sind
- eine Zeile/Spalte eine Linearkombination anderer Zeilen/Spalten ist
det A det AT - die Determinanten der Matrix A und der transponierten Matrix AT sind
gleich
Vertauschung zweier benachbarter Zeilen oder Spalten ändert das Vorzeichen der Determinante
Falls k eine Zahl ist und A vom Typ ( m , m ), dann gilt:
det( kA ) km^ det A
Nützlich sind Determinanten in vielfältiger Weise.
Beispiel:
Lösung eines Gleichungssystems mit n unabhängigen Gleichungen und n Unbekannten.
Solche Gleichungssysteme kommen beispielsweise bei der Analyse von Stromkreisen mit den
Kirchhoffschen Gesetzen vor.
Cramersche Regel
Im wichtigen Spezialfall, in dem die Anzahl der Unbekannten mit der Anzahl der Gleichungen in
n n nn n n
n n
n n
a x a x a x a
a x a x a x a
a x a x a x a
11 2 2
211 22 2 2 2
11 1 12 2 1 1
übereinstimmt und die Koeffizienten-Determinante nicht verschwindet, d.h.
det 0
1 2
21 22 2
11 12 1
n n nn
n
n
a a a
a a a
a a a
D A
kann die Lösung des inhomogenen Gleichungssystems explizit und eindeutig angegeben werden:
1 1 ;^22 ; ......; ;
D
D
x D
D
x D
D
x n n
D 1 , D 2 ,..., Dn bezeichnet dabei Determinanten, die entstehen, wenn jeweils die i - te Spalte der
Ausgangsdeterminante D durch den Vektor mit den Komponenten der rechten Seite des Glei-
chungssystems ersetzt wird.
Rechnen mit Matrizen
Addition / Subtraktion
Voraussetzung: Matrizen lassen sich nur addieren bzw. subtrahieren, wenn die beteiligten Matrizen jeweils die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten besitzen.
Beispiel:
21 22 23
11 12 13 a a a
a a a A ;
21 22 23
11 12 13 b b b
b b b B
A und B lassen sich addieren bzw. subtrahieren, da Zeilen- und Spaltenzahl übereinstimmen.
Beispiel:
21 22 23
11 12 13 a a a
a a a A ;
21 22
11 12 b b
b b B
A und B lassen sich nicht addieren bzw. subtrahieren, da Zeilen- und Spaltenzahl nicht überein- stimmen.
Wie addiert / subtrahiert man Matrizen? indem man die sich entsprechenden Einträge der Ausgangsmatrizen addiert / subtrahiert Ergebnis ist eine Summen- oder Differenzmatrix Summen- oder Differenzmatrix haben die gleiche Dimension, wie A und B ( m n ).
Beispiel:
21 22
11 12 a a
a a A ;
21 22
11 12 b b
b b B ;
21 21 22 22
11 11 12 12 a b a b
a b a b A B
A ;
B ;
A B
Rechenregeln es gilt das Kommutativgesetz A B B A es gilt das Assoziativgesetz ( A B ) C A ( B C )
Multiplikation
Voraussetzung Matrizen lassen sich nur dann miteinander multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmt. A und B müssen zueinander passen!
Beispiel:
31 32
21 22
11 12
21 22 23
11 12 13 ( 2 , 3 ) ( 3 , 2 ) b b
b b
b b
a a a
a a a A B
A und B lassen sich multiplizieren, da die Zeilenzahl von A der Spaltenzahl von B entspricht
Beispiel:
21 31
11 12 21 22 23
11 12 13 ( 2 , 3 ) ( 2 , 2 ) b b
b b a a a
a a a A B
A und B lassen sich nicht multiplizieren, da die Zeilenzahl von A der Spaltenzahl von B nicht ent- spricht
Wie multipliziert man Matrizen?
Bei der Multiplikation einer Matrix A mit einem Skalar werden alle Elemente der Matrix mit dem Skalar k multipliziert.
B k A mit
21 22
11 12 21 22
11 12 k a k a
k a k a b b
b b B k
Zwei Matrizen A und B werden multipliziert C A B , indem das Element cik in der i - ten Zeile und k - ten Spalte von C durch eine Produktsumme der i - ten Zeile von A und der k - ten Spalte von B gebildet wird:
m
j
cik aij bjk 1 Dimensionsbetrachtung: Die Multiplikation von einer m n - Matrix A mit einer l m - Matrix B (Spaltenzahl von A ist m , Zeilenzahl von B ist m - A und B passen zueinander!) ergibt A B - eine l n - Matrix.
Das Matrixprodukt C A B hat so viele Zeilen wie die Matrix A und so viele Spalten wie die Matrix B.
Rechenregeln
( AT ) T^ Zweimaliges Transponieren einer Matrix führt wieder zur ursprünglichen Matrix. ( A B ) T^ AT BT^ Die Transponierte einer Summe von Matrizen entspricht der Summe aus den Transponierten der Matrizen. ( A B ) T^ BT AT^ Die Transponierte eines Matrizenproduktes entspricht dem Produkt der transponierten Matrizen
- in umgekehrter Reihenfolge (!).
Symmetrische und antisymmetrische Matrizen
- gilt A AT bzw. aik aki , so handelt es sich bei A um eine symmetrische Matrix.
- gilt A AT bzw. aik aki , so ist die Matrix antisymmetrisch für alle Elemente auf der Hauptdiagonalen einer antisymmetrischen Matrix muss daher aii 0 gelten.
Vektoren
- wie leicht vorzustellen, lassen sich auch Vektoren in Form einer Matrix darstellen
- häufig begegnen uns dabei die Begriffe Spaltenvektor bzw. Zeilenvektor:
( xyz ) z
y
x
T
hat man 2 Spaltenvektoren a und b der Länge (Dimension) n , so ist ein Matrixprodukt
der Form a b nicht definiert. Die beiden „Matrizen“ a und b passen nicht zueinander; die Spaltenanzahl von a und die Zeilenanzahl von b stimmen nicht überein.
definiert sind dagegen die Produkte aT^ b und a bT
aT^ b : ab ab ab X b
b
b a b aa a T
3
2
1 ( 1 2 3 )
aT sei ein Zeilenvektor mit n Spalten; b sei ein Spaltenvektor mit n Zeilen die Matrizen „passen zueinander“ Ergebnis ist eine 1 1 - Matrix (eine Zahl), das Skalarprodukt
a bT :
31 32 33
21 22 23
11 12 13 1 2 3 3
2
1 ( ) ab ab a b
ab ab ab
ab ab ab bbb a
a
a a b T
a sei ein Spaltenvektor mit n Zeilen; bT sei ein Zeilenvektor mit n Spalten die Matrizen „passen zueinander“ Ergebnis ist eine n n - Matrix, das dyadische Produkt oder Tensorprodukt
Invertieren einer Matrix
Multipliziert man eine Zahl mit ihrem Kehrwert, lautet das Ergebnis stets 1. Das sollte so auch für Matrizen gelten!
Multipliziert man eine Matrix A mit ihrer inversen Matrix A ^1 , ergibt sich die Einheitsmatrix.
Beispiel:
A A E
0 0 1
1
Wir sehen hier eine „fertige“ inverse Matrix. Leider lässt die sich nicht so einfach ermitteln, wie der Kehrwert einer Zahl.
Im Lichte der Matrixmultiplikation betrachtet besteht die Ermittlung der Komponenten der inversen Matrix darin, ein Gleichungssystem aus 9 Gleichungen mit 9 Unbekannten zu lösen.
Das ist langwierig. Zur Berechnung hat man sich daher Verfahren erdacht, die z.T. noch langwieriger sind: mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus mit Hilfe der Adjunkten mit Hilfe der Cramerschen Regel
Voraussetzung für die Existenz einer Inversen Nur quadratische Matrizen können eine Inverse besitzen. nicht für jede quadratische Matrix existiert allerdings eine Inverse existiert für A die Inverse A ^1 , so heißt die Matrix regulär - andernfalls heißt sie singulär
Oft lohnt es sich, zu prüfen, ob eine inverse Matrix existiert! Matrizen, deren Zeilen oder Spalten linear abhängig sind (Determinante = 0 ) haben keine inverse Matrix; Voraussetzung alsodet( A ) 0
Wie berechnet man eine inverse Matrix? wir betrachten ein Vorgehen nach der Cramerschen Regel
Beispiel: Gegeben ist eine Matrix A. Berechne die Inverse!
E
x x x
x x x
x x x A A
0 0 1
31 32 33
21 22 23
11 12 13 1
wir schauen uns die Multiplikation an:
A
A
Rechenregeln
Die Inverse eines Matrizenproduktes entspricht dem Produkt der jeweiligen Inversen.
( A B )^1 B ^1 A ^1 (Reihenfolge bei der Multiplikation beachten!)
Die Inverse der transponierten Matrix entspricht der Transponierten der inversen Matrix.
( AT )^1 ( A ^1 ) T
Die Inverse einer Matrix ist ebenfalls invertierbar.
Die Inverse der Inversen ist wieder die Matrix selbst. ( A ^1 )^1 A
Multipliziert man die inverse Matrix mit einem Skalar k 0 , so gilt
( k A )^1 k ^1 A ^1
Anwendungen; Gauß-Jordan-Verfahren
- oben wurde bei der Lösung verschiedener Probleme (insbesondere das Lösen von linearen
Gleichungssystemen) auf die Cramersche Regel zurückgegriffen
- gern wird zur Lösung derartiger Probleme auch der Gauß-Jordan-Algorithmus verwendet
- mit dem nach Carl Friedrich Gauß und Wilhelm Jordan benannten Verfahren lässt sich die
Lösung eines linearen Gleichungssystems berechnen; es erweitert das nach Gauß benannte Eliminationsverfahren.
es sei beispielsweise folgendes Gleichungssystem gegeben:
x y z
x y z
x y z
Mit den Koeffizienten wird eine s.g. erweiterte Koeffizientenmatrix des gebildet:
1. Spalte: Faktoren von x , 2. Spalte: Faktoren von y , 3. Spalte: Faktoren von z
- Spalte: rechte Seite des Gleichungssystems.
umformen mit dem Ziel, im linken Teil die Einheitsmatrix zu erhalten:
zu Zeile 2 addieren wir ( 4 Zeile 1 ); zu Zeile 3 addieren wir ( 9 Zeile 1 )
Zeile 2 dividieren wir durch ( 2 ); zu Zeile 3 addieren wir ( 3 Zeile 2 )
zu Zeile 1 addieren wir ( (^) 1 Zeile 3 ); zu Zeile 2 addieren wir ( (^) 3 / 2 Zeile 3 )
zu Zeile 1 addieren wir ( (^) 1 Zeile 2 )
Diese Matrix stellen wir wieder als Gleichungssystem dar: x 1 / 2 ; y 1 / 2 ; z 0
Invertieren einer Matrix mit Hilfe der Adjunkten
die Formel zur Berechnung der inversen Matrix mit Hilfe der Adjunkten lautet
( )
AdjA A
A
die Adjunkte ist die Transponierte der Kofaktormatrix (siehe oben); es folgt also für die Berechnung der inversen Matrix:
Cof AT A
A ( )
Beispiel 1: wir verwenden die Matrix aus dem Abschnitt „Adjunkte“:
A
A det( A ) 4 7 3 5 13
21 22
11 12 A A
A A
Cof A - siehe oben
12 22
11 21 A A
A A
Adj A Cof AT - siehe oben
AdjA A
A
Beispiel 2 : wir verwenden die Matrix aus dem Abschnitt „Invertieren“:
A
A det( A ) 4 1 4 1
31 32 33
21 22 23
11 12 13
A A A
A A A
A A A
Cof A - selbst rechnen
T AdjA Cof A - selber prüfen
1 2 5
AdjA A
A - stimmt! Lösung siehe oben
Orthogonale Matrix Q
Eine orthogonale Matrix ist eine quadratische, reelle Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren paarweise orthonormal zueinander sind.
Wann sind Vektoren orthonormal zueinander?
- die Vektoren stehen senkrecht aufeinander - rechnerisch sind zwei Vektoren orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist.
- die Vektoren sind normiert; sie haben die Länge 1; es sind Einheitsvektoren.
Es folgt also: Bilden die Spalten einer quadratischen Matrix ein System zueinander orthogonaler Einheitsvektoren, so heißt diese Matrix orthogonale Matrix.
Eigentlich müsste man die beschriebene Matrix orthonormale Matrix nennen. Dieser Begriff ist aber unüblich.
Eigenschaften
- die Inverse einer orthogonalen Matrix ist gleichzeitig ihre Transponierte. Q ^1 QT
- die transponierte Matrix QT ist ebenfalls eine orthogonale Matrix
- das Produkt einer orthogonalen Matrix mit ihrer Transponierten ergibt die Einheitsmatrix. Q QT^ E
- das Produkt zweier orthogonaler Matrizen ist wieder orthogonal
- eine orthogonale Matrix ist über den komplexen Zahlen diagonalisierbar
- die Determinante einer orthogonalem Matrix hat entweder den Wert +1 oder - 1.
- eine orthogonale Matrix mit der Determinante +1 beschreibt eine Drehung. Man spricht dann auch von einer eigentlich orthogonalen Matrix.
- eine orthogonale Matrix mit der Determinante - 1 beschreibt eine Drehspiegelung. Man spricht dann auch von einer uneigentlich orthogonalen Matrix.
- eine orthogonale Matrix, die die Drehung eines Vektors beschreibt, heißt Drehmatrix
Anwendungen Multiplikation mit einer orthogonalen Matrix dreht oder spiegelt Vektoren. Länge und Winkel zwischen den Vektoren bleibt erhalten. Solche Abbildungen heißen Kongruenzabbildungen
Beispiele orthogonaler Matrizen
- Die orthogonale Matrix
Q
beschreibt eine Spiegelung an der Geraden y x.
Drehmatrix
- bereits oben erwähnt wurde:
eine orthogonale Matrix, die die Drehung eines Vektors beschreibt, heißt Drehmatrix diese Drehmatrix hat die Determinante +1. oft nennt man sie auch Rotationsmatrix.
Drehmatrix im R^2
- im zweidimensionalen Raum lautet die Rotationsmatrix
sin cos
cos sin R
- die Drehung eines Vektors r
im mathematisch positiven Sinn (gegen den Uhrzeigersinn) um einen Winkel erreicht man mit
' '
sin cos
cos sin sin cos
cos sin r y
x x y
x y y
x R r
die Komponenten des Bildvektors r '
ergeben sich demnach zu
x ' x cos y sin
y ' x sin y cos
Beispiel
Der Vektor
r
soll um 30° Grad gedreht werden.
sin 30 cos 30
cos 30 sin 30 R 30 (^) r
mit x ' 2 cos 30 1 sin 30 1 , 23
y ' 2 sin 30 1 cos 30 1 , 87
Ergebnis
sin 30 cos 30
cos 30 sin 30 R 30 (^) r r
Drehmatrix im R^3
- eine Drehung im 3-D-Fall ist schwieriger zu beschreiben, als im zweidimensionalen Fall.
- dreht sich der Körper nur um einen festen Punkt, so genügen zur eindeutigen Lagebeschreibung
drei voneinander unabhängige Winkel
- die Drehung kann als Hintereinanderschaltung von elementaren Drehungen um Achsen des
körperfesten Systems aufgefasst werden dabei ist die Reihenfolge der Drehungen von besonderer Bedeutung
- relativ einfach gestaltet sich die Drehung um jeweils eine Achse:
Drehung um die x - Achse
0 sin cos
0 cos sin
Rx ( )
Drehung um die y - Achse
sin 0 cos
cos 0 sin Ry ( )
Drehung um die z - Achse
sin cos 0
cos sin 0
Rz
die dabei verwendeten Drehwinkel werden als „ Kardan-Winkel “ bezeichnet eine Drehung um alle 3 raumfesten Achsen nacheinander in der Reihenfolge x , y , z
ergibt eine Drehmatrix
sin sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos cos
cos sin sin sin cos cos cos sin sin sin sin cos
cos cos cos sin sin
sin cos 0
cos sin 0
sin 0 cos
cos 0 sin
0 sin cos
0 cos sin
R
Führt man die Elementardrehungen nacheinander um die
momentanen Achsen aus
dann die gedrehte x - Achse und dann wieder um die (nun gedrehte) z - Achse,
so heißen die Drehwinkel „ Euler-Winkel “ ,,
