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Für die schriftliche Fachhochschulreifeprüfung sind nur die Inhalte der Seiten 1 bis 6 der
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1 Zahlenmengen
ℕ = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ;...} Menge der natürlichen Zahlen ℕ
∗
Menge der ganzen Zahlen ℤ
∗
ℝ Menge der reellen Zahlen ℝ
∗
= { x ∣ x ∈ℝ∧ x ≥ 0 } Menge der nichtnegativen reellen Zahlen ℝ
∗
2 Geometrie
Ebene Figuren A : Flächeninhalt u : Umfang
Dreieck A =
⋅ g ⋅ h
Rechtwinkliges Dreieck
Satz des Pythagoras c
2
= a
2
2
sin( α ) =
a
c
cos( α ) =
b
c
tan ( α ) =
a
b
Parallelogramm
A = a ⋅ h
a
Raute
A =
⋅ e ⋅ f
Trapez
A =
⋅( a + c )⋅ h
Kreis A =π⋅ r
2
u = 2 ⋅π⋅ r
Körper V : Volumen
O : Oberfläche
M : Mantelfläche
G : Grundfläche
Prisma
V = G ⋅ h
Pyramide
V =
⋅ G ⋅ h
Gerader Kreiszylinder
V =π⋅ r
2
⋅ h
M = 2 ⋅π⋅ r ⋅ h
Gerader Kreiskegel
V =
⋅π⋅ r
2
⋅ h
M =π⋅ r ⋅ s
Kugel V =
⋅π⋅ r
3
O = 4 ⋅π⋅ r
2
3 Terme
Binomische Formeln
( a + b )
2
= a
2
2
( a − b )
2
= a
2
− 2 ab + b
2
( a + b )( a − b ) = a
2
− b
2
Potenzen und Wurzeln
mit a , b ∈ ℝ
∗
; n ∈ ℕ∖{ 0 ; 1 } ; r , s ∈ ℝ
a
r
⋅ a
s
= a
r + s
a
r
a
s
= a
r − s
a
r
⋅ b
r
=( ab )
r
a
r
b
r
(
a
b
)
r
a
− r
a
r
a
1
n
n
√
a ( a
r
)
s
= a
r ⋅ s
a
0
4 Funktionen und zugehörige Gleichungen
Potenzfunktion mit f ( x ) = x
k
mit k ∈ ℤ
∗
k gerade und positiv k ungerade und positiv
k gerade und negativ k ungerade und negativ
waagrechte Asymptote y = 0, senkrechte Asymptote x = 0
Wurzelfunktion mit
f ( x ) =
n
√
x = x
1
n
mit n ∈ℕ ∖{ 0 ; 1 }
Exponentialfunktion
f ( x ) = a ⋅ q
x
- d mit a ≠ 0 ; q > 0 ∧ q ≠ 1
f ( x ) = a ⋅e
bx
∗
Asymptote y = d
Exponentialgleichung mit q , y ∈ ℝ
∗
y = q
x
x =log
q
( y )
y =e
x
⇔ x =ln ( y )
q
x
=e
ln ( q )⋅ x
log
q
( y )=
ln ( y )
ln( q )
e
ln( y )
= y ln(e
x
)= x
Trigonometrische Funktion
f ( x ) = a ⋅sin( b ( x − c ))+ d mit a , b ≠ 0
Amplitude
| a |
Periode
p =
2 π
| b |
Bogenmaß x 0
π
π
π
π
sin( x ) 0
√
√
cos( x ) 1
√
√
Abbildungen
Das Schaubild von g entsteht aus dem Schaubild von f durch
Spiegelung an der x -Achse g ( x )=− f ( x )
an der y -Achse g ( x )= f (− x )
Streckung mit Faktor
b
( b > 0) in x -Richtung g ( x )= f ( b ⋅ x )
mit Faktor a ( a > 0) in y -Richtung
g ( x )= a ⋅ f ( x )
Verschiebung um c in x -Richtung
g ( x )= f ( x − c )
um d in y -Richtung
g ( x )= f ( x )+ d
Umkehrfunktion
Ist eine Funktion f auf einem Intervall streng monoton (wachsend oder
fallend), so ist f auf diesem Intervall umkehrbar.
Das Schaubild der Umkehrfunktion f
− 1
entsteht durch Spiegelung des
Schaubildes von f an der ersten Winkelhalbierenden.
5 Analysis
Änderungsrate
Durchschnittliche / Mittlere Änderungsrate im Intervall
[ x
0
; x
1
]
Δ y
Δ x
f ( x
1
)− f ( x
0
x
1
− x
0
Momentane / Lokale Änderungsrate (Ableitung) an der Stelle
x
0
f '( x
0
) = lim
x → x 0
f ( x )− f ( x
0
x − x
0
Ableitungsregeln
Summenregel f ( x ) = u ( x )+ v ( x ) ⇒ f '( x ) = u '( x )+ v '( x )
Faktorregel f ( x ) = a ⋅ u ( x ) ⇒ f '( x ) = a ⋅ u '( x )
Kettenregel f ( x ) = u ( v ( x )) ⇒ f '( x ) = u '( v ( x ))⋅ v '( x )
Produktregel
f ( x ) = u ( x )⋅ v ( x ) ⇒ f '( x ) = u '( x )⋅ v ( x )+ u ( x )⋅ v '( x )
Spezielle Ableitungen / Stammfunktionen mit C ∈ ℝ
f ( x ) = x
k
f '( x ) = k ⋅ x
k − 1
F ( x ) =
k + 1
⋅ x
k + 1
f ( x ) = e
bx
f '( x ) = b ⋅e
bx
F ( x ) =
b
⋅e
bx
b ∈ ℝ
∗
f ( x ) = sin( bx ) f '( x ) = b ⋅cos( bx ) F ( x ) =−
b
⋅cos( bx )+ C mit
b ∈ ℝ
∗
f ( x ) = cos( bx ) f '( x ) =− b ⋅sin( bx ) F ( x ) =
b
⋅sin( bx )+ C mit
b ∈ ℝ
∗
Tangente und Normale
Tangentensteigung m
t
= f '( u )
Tangentengleichung y = f '( u )( x − u )+ f ( u )
Normalensteigung m n
f '( u )
Normalengleichung y =
f '( u )
( x − u )+ f ( u )
6 Stochastik
Relative Häufigkeit
h
i
absolute Häufigkeit der i -ten Merkmalsausprägung
Stichprobenumfang n
Arithmetisches Mittel ¯ x =
x
1
2
3
+...+ x
n
n
Ereignis Teilmenge der Ergebnismenge S eines
Zufallsexperiments
Wahrscheinlichkeit P eines Ereignisses A 0 ≤ P (A) ≤ 1 P (S) = 1
Gegenereignis
A P (
A) = 1 − P (A)
Laplace-Experiment Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse
(Elementarereignisse) gleich wahrscheinlich sind
Laplace-Wahrscheinlichkeit P (A) =
|A|
|S|
Anzahl der für A günstigen Ergebnisse
Anzahl aller möglichen Ergebnisse
Zusammengesetzte Ereignisse
Additionssatz P (A∪B) = P ( A)+ P (B)− P (A∩B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit P
A
(B)=
P (A∩B)
P (A)
⇒ P (A)⋅ P
A
(B) = P (A∩B)
A und B stochastisch unabhängig P (A∩B) = P ( A)⋅ P (B)
Urnenmodelle
Aus einer Urne mit n unterscheidbaren Objekten wird k -mal gezogen.
Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen
- mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge n
k
- ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge
n!
( n − k )!
- ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge (d. h. mit einem Griff)
(
n
k
)
n!
k! ( n − k )!
Zufallsgröße X mit den Werten x
1
, x
2
, ... , x
n
Erwartungswert E ( X ) = x
1
⋅ P ( X = x
1
)+ x
2
⋅ P ( X = x
2
)+...+ x
n
⋅ P ( X = x
n
Varianz Var ( X ) = ( x
1
− E ( X ))
2
⋅ p
1
+( x
2
− E ( X ))
2
⋅ p
2
n
− E ( X ))
2
⋅ p
n
Standardabweichung σ ( X ) = √
Var ( X )
Binomialverteilung
Zahl der Versuche n , Trefferzahl k , Trefferwahrscheinlichkeit p
Wahrscheinlichkeit P ( X = k ) =
(
n
k
)
⋅ p
k
⋅( 1 − p )
n − k
Kumulierte Wahrscheinlichkeit P ( X ≤ k ) = P ( X = 0 )+ P ( X = 1 )+...+ P ( X = k )
Erwartungswert
E ( X ) = μ = n ⋅ p
Standardabweichung σ = √
n ⋅ p ⋅( 1 − p )
Sigma-Regeln
P ( μ − σ ≤ X ≤ μ + σ ) ≈ 68,3% P ( μ −1,64 σ ≤ X ≤ μ +1,64 σ ) ≈ 90,0%
P ( μ − 2 σ ≤ X ≤ μ + 2 σ )≈ 95,4% P ( μ −1,96 σ ≤ X ≤ μ +1,96 σ ) ≈ 95,0%
P ( μ − 3 σ ≤ X ≤ μ + 3 σ )≈ 99,7% P ( μ −2,58 σ ≤ X ≤ μ +2,58 σ )≈ 99,0%
Diese Näherungen sind besser, wenn der Stichprobenumfang n größer ist.
Nach einer Faustregel gelten sie für σ > 3 als brauchbar.
Vertrauensintervall
Näherungsweise bestimmtes Vertrauensintervall für die unbekannte Wahrscheinlichkeit p
[
h − c ⋅
√
h ( 1 − h )
n
; h + c ⋅
√
h ( 1 − h )
n
]
mit h =
X
n
Vertrauenswahrscheinlichkeit 90 % 95 % 99 % 99,9 %
c 1,64 1,96 2,58 3,
Das Vertrauensintervall hat höchstens die Länge l , wenn für den Stichprobenumfang n gilt n ≥
c
2
l
2
7 Vektorgeometrie
Betrag eines Vektors |
a |= √
a
1
2
2
2
3
2
Einheitsvektor ⃗ a
0
a
|⃗ a
|
mit ⃗ a ≠
Länge der Strecke AB |
AB
|
√
( b
1
− a
1
2
+( b
2
− a
2
2
+( b
3
− a
3
2
Mittelpunkt M einer Strecke AB
OM =
(
OA +
OB
)
Skalarprodukt
a ⋅
b =
(
a
1
a
2
a
3
)
(
b
1
b
2
b
3
)
= a
1
b
1
2
b
2
3
b
3
Winkel
φ
zwischen zwei Vektoren cos( φ ) =
a ⋅
b
| a ⃗ |⋅
|
b
|
mit
a ,
b ≠
Orthogonalität ⃗ a ⊥
b ⇔ ⃗ a ⋅
b = 0 mit ⃗ a ,
b ≠
Vektorprodukt
c =
a ×
b =
(
a
1
a
2
a
3
)
×
(
b
1
b
2
b
3
)
(
a
2
b
3
− a
3
b
2
a
3
b
1
− a
1
b
3
a
1
b
2
− a
2
b
1
)
c =
a ×
b
c ⊥ ⃗ a und
c ⊥
b
mit ⃗ a
und
b
keine Vielfachen voneinander
Flächeninhalt eines Parallelogramms A =
|⃗ a ×
b
|
Flächeninhalt eines Dreiecks A =
| ⃗ a ×
b
|
Gerade und Ebene im Raum
mit Stützvektor
OP =
p , Richtungsvektor
u , Spannvektoren ⃗ v , w ⃗ und Normalenvektor
n
Parameterform g : ⃗ x = ⃗ p + r ⋅ u ⃗ mit r ∈ ℝ E : ⃗ x = ⃗ p + s ⋅ v ⃗ + t ⋅ w ⃗ mit s , t ∈ ℝ
Normalenform E : (⃗ x −
p )⋅
n = 0
Koordinatenform
E : n
1
x
1
2
x
2
3
x
3
= b mit
b ∈ ℝ
Winkel
zwischen zwei Geraden cos( α ) =
| u ⃗
1
⋅ u ⃗
2
| u ⃗
1
|⋅| u ⃗
2
zwischen Gerade und Ebene sin( α )=
| u ⃗⋅
n |
u |⋅|
n |
zwischen zwei Ebenen cos( α ) =
n
1
n
2
| n ⃗
1
|⋅| n ⃗
2
Abstand
zwischen Punkt A und Ebene E : (⃗ x −
p )⋅
n = 0
d =
|
a −
p )⋅
n
| ⃗ n
|
|
zwischen Punkt A und Ebene E : n
1
x
1
2
x
2
3
x
3
= b d =
|
n
1
a
1
2
a
2
3
a
3
− b
√
n
1
2
2
2
3
2
|
zwischen zwei windschiefen Geraden
g : ⃗ x = ⃗ p + r ⋅⃗ u und
h : ⃗ x = ⃗ q + s ⋅ v ⃗ mit ⃗ n = ⃗ u × v ⃗
d =
|
( ⃗ q − ⃗ p )⋅⃗ n
| ⃗ n |
|
Produktionsprozesse
Ausgangszustand R; Zwischenzustand Z; Endzustand P
Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix A
Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix B
Rohstoff-Endprodukt-Matrix C
Verbrauchs- und Produktionsvektoren
Rohstoffe
r , Zwischenprodukte ⃗ z , Endprodukte
p
r = A ⋅⃗ z ⃗ z = B ⋅
p
r = A ⋅ B ⋅
p = C ⋅
p
Kostenvektoren (variable Kosten pro Mengeneinheit)
Materialkosten
k
R
, Fertigungskosten der Zwischenprodukte
k
Z
Fertigungskosten der Endprodukte
k
P
variable Herstellkosten (pro Mengeneinheit eines Endproduktes)
k
v
k
R
⋅ C +
k
Z
⋅ B +
k
P
Gesamtkosten K =
k
v
p + K
fix
Übergangsprozesse
Übergangsmatrix zum nebenstehenden Übergangsgraph
A =
(
a
11
a
21
a
31
a
12
a
22
a
32
a
13
a
23
a
33
)
Stochastische Matrix alle Elemente nicht negativ und Spaltensummen gleich 1
Aus Verteilung ⃗ x wird Verteilung ⃗ y A ⋅
x = A ⋅
(
x
1
x
2
x
3
)
y
Stabilitätsvektor ⃗ x A ⋅⃗ x = ⃗ x
Zyklischer Prozess A
k
= E für ein k > 1
Leontief-Modell
Input-Output-Matrix
X =
(
x
11
x
12
x
13
x
21
x
22
x
23
x
31
x
32
x
33
)
wobei
x
ij
die Lieferung des Sektors i an den
Sektor j darstellt.
Produktionsvektor ⃗ x =
(
x
1
x
2
x
3
)
Konsumvektor ⃗ y =
(
y
1
y
2
y
3
)
Technologiematrix
A =
(
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
)
mit
a
ij
x
ij
x
j
Es gilt: ( E − A )⋅⃗ x = ⃗ y
Interner Verbrauch ⃗ v = A ⋅⃗ x
Die Merkhilfe stellt keine Formelsammlung im klassischen Sinn dar. Bezeichnungen werden nicht
vollständig erklärt und Voraussetzungen für die Gültigkeit der Formeln in der Regel nicht dargestellt.
