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Integralrechnung

X ↓

Milch

f(x)

=

2x

fif()

g

:

=

g(x) ,

vi

=

u(x)

;

vi

=

v(x)

bestimmt

unbestimmt

('(x)

= f(x)

Definition

Softeis

f -Maschine

F(x)

= X

E

u

stetig

e

↓

Stammfruktion

Lösungsschau-Menge

Y

m

Softeis

unstetig

i

Differential-Regelv Integrations-Regeln

Bsp

.:

i)

x

sinx'

=

xsinx

x

.

sinx

=

1

.

sinx

x cox

ii)

(

sinx + x

20Xdx

=

(sinxdx

(x

csxdx + C

--

--

1. const.

Funktion A B

I

I

(

I

/sinxdx

=

-cox

Gi

f(x)

=

a

=

0 Konstante = odx

=

c oder a

c

.

f

=

c

.

f

Sc

. f +dx

=

c(f(x)dx

=

c

.

f(x)

G

I

(x

• cosxdx

=

x

=

sinx

. sinx

dx

• 1

. n

=

. V

Su

v

Fx

Summenregel

X sinx --cox

Cit

f

g

=

f

g (f

g(dx

=

(

+ x dx

(g(x)dx

= f

G + =

X

.

sinx

cox +

Gi

• ~

F(x)

G(x)

iii

/sinx

x

cosxdx

=

x

• Sinx

cyx

Gy

coxx

• Ca

Produktregel

=

X

.

sinx

Cy

~

U

.

v

=

i

.

1

• 1

.

Soivdx

=

u

.

(nv'dx

=>

x sinx

G

[u.

v]

. u'

=

[] m

[]

w

=

v

v.w

n

.

v' w

v

-w

Su

.

v'de

=

u

. v

(v

vdx

oder :

(x

coxdx

=

X

cosX

(x)

sinxdx

Si

.

~ =...

fu

v

↑

unnötig

4

Lieblingsregel"

(dx

= In

(f)

G

unständlich

Bsp

.

einfach machen

und dazudichten

5. Substitutionsregel Umkehrung

Kettenregel

fr

.

(nxdx

= x

• (x -

(x.

dx =

x

(nx

x

G

man

ersetzt

Variablen der

Funktion durch

=

Ex]

Si

...

So

einfachere um

das

Integral

zu lösen

f(z(x))

z'(x)dx

Das

Integral

wird dann

in

Bezug

auf die neue

f(z)

dz

Variable

gelöst

#x

=

(f(z

x)

z xdx

=

f(zx]

C

(tanxdx

=

(-

x

=

(x)

Tz

=

ffzda

zx

=

...

(fx)dx

=

(n(f

1

E

dz

dx

=

z

X

=

...

dz

= z xdx

Anwendung von Integralrechnung

x

E-

,

ix

St

...

Bsp

5

[x

=

(dx

=

i

=

iz

: = 2e

• 1

Cluxdx

=

2- die es

ij

=

z = 2

dz

= 2e

dx

=

• 1

=

42

2 z

=

2e

1()e

=

2z

(x'

:

(

f

=

C

f +

3 if

z

• z - 1

= 2

• 2e -

1

f

= [f + )

i

f x 0 -

e

• 1

in

Ix

Jede

Subst .

'

dx

=

= =

dx

·

dz

im IRL

Ix

=

(

dx

=

)am

1z +

=

ES

Z

d

jedu

-Flächenberechnung

i

falls

eine

Umkehrfunktion existiert

z

1 -

2 z

• 1

.

z

• 1

-Schwerpunkt

fi

-1"

y

=

:X- 2

B

x

z

• 1

Bogenlänge

X 107x

=

Y

unabhängig abhängig

·-

E

de

↑

Werl 7

(Rotations-Volumen Argument

Bild f

anschließend Variablentausch"

4

T

Urbild

Ober-Mantelflächen

Ursache

Folgerung

14 AY

f

x

=

y

da

=E

(nz

• G

①

unabhängig

abhängig

(A

=

(

.

A

=

*(X

• A

·

abh

2

.B. x

:R

41 x

↓

sin

[Inx]

=

[ainlux

ja

&

f

:

De

IWf

&

& x

unabhängig

X

, Y

1

fx

,

=:

z

Bsp

.

za

Ix

=

Sectx

cosx dx

zx

: =

Sin

X

·

z

=

fx ,

y

f

Ix

=

(7xdx

unbestimmtes

Integral =

cos

X

X

= b

dz

=

cos(x)

• dx
• 4

i

=

(f

xdx

=

[fx)]

=

fb

F

n + 1

x = a ,

=

X

x , y) -

(zdx

=

2

=

32

G (x

n

1

um

JX

&

Stammfunktion

in 2

4b

·

/////

[

sin

x + G

=

z - x +

C

·

Rücksubstitution

Xa

Bogenlänge

Anwendung Schwerpunktberechnung

M

Ages

Gleichgewicht

bei Hebel um

die

y-Achse ;

diskret

i(a

=

(as

Ar

fx

d

ii da

=

dx

di

M

Yges

An

· S

↓

ges

X

ges

Ari

xn

Ar

.

X

ds

=

dx

di

&

lerweitern

mit dx

4321

·

Sges

An

xn

.

xz

1

ddy

4511

·

Su

Xges

Ages

I

ds

=

Vn +

fixdx

a

mit

Aixi

allgemeine

iii

[a

=

(dsfxd

Schwerpunktformel

X

3

yges

=

[Di

XS

<

X

Sgy

ii

stetige

Betrachtung

d

schwerpunkt

Bsp

unter

41 f(x)

Integralen

27

. N

1

ges

:

Halbkreislänge

r

Top

=

7xdx

d

2

i

x

y

=

r

= F

.

coy

sinty

a

cosy

=

r

dX

·

Zei

Y

· S b

y

= f(x)

cosy

sin y

= 1

1

a(z

dA

.

fxdx

↓

= /fx'dx Cost

=

1-sin

b

X =a

= 0

x

=

bX

Yg

(fxdx

Sfxdx

~

1 - x2 =

1-sinty'

=

cosy

7

iii Volumen-Schwerpunkt

Tray

b

X

:

sin

Y

Z

A

Grund- (x

av

1x , 4)

Volumen

↓

the

Axe

Vox

ii fx

=

y

=

m

V

I Sy

7

lav

dV

=

da

dy

=

fx , y

dxdy

" S

↑

"

Fläche

v

=

(2)

x

, ydxdy

iii f'x

=

2

+2 - x)

=

"m

x

y

= cX = d

in fix

=

m

A

einfügen

Faktore kürzen

iii Massenschwerpunkt I

rx

dm

= 2

.

di

-4x

.

(

1

2

x

= 2

.

)

r

• x

dx

Mgns

=

(dm

=

(

. dV

=

(2xyndV

Mxs

:

Sind -d

=

.

/

xdx

.

) x

dx

UT

Wurzel

rals

↑

auflösen

Konst

.

wenn & X

, 4.

2 Konstant aus

Integral

Substitution

M

=

(dM

=

(

. dv

=

e)av

nehmen

1

• '

=

1

2 b

=

Vatb

• Va

v

Mantel- / Oberfläche eines

Rotationskörpers

Matrizen

LGS — Determinanten — Eigenwerte

Cramer-sche Regel

Laplace

Sarrus

Rotationsvolumina

Hauptdeterminante

:

D = det [A]

=

(1)

=

det

[a]

=

an

an

an a

41

refx Nebendeterminante

:

Dr

=

det [b]

Dz

=

det

[

,

5]

Di

= det

[

n]

r ↑

Kreisfläche

a

b

7x

k- te Stelle

A

X

=

M

M

r

Uk

=

.

T r

j

ds

I

Bsp

.

m

xz

= - 1

xy

=

P

=

1

1

=

2

26

=

28

= 4

xn

=

3xz

= 4

dV

=

A

.

dx

Pr

25

• 2 - 5

=

M

. fix

.

dX

Umfang

=

(xn

5xz

=

26

1 - 1

'dx

2

26

=

. M

.

f(x) n

• 7

   7 

V

Oxx

=

(do

=

Ju

d

nur

bei

.

3

X

= A

BSP

. 1

-Ei-e

fix

dx

det (A)

=

Cai]

r

• Viertelkreis - >

aufgefächert"

X

= C

u

I

Halbkugel

aus

Bogenlänge

letzte

VL

7 X

8

↓

• A ... bei

x-beliebiger

Stelle vorzeichen

wissen

dx 2 2

Kugelvolumen

Vi

24 Sen

-Herleitung

!

j

M

1

...

di

,j

i

j

x

y

=

r

s

4

↑

• H ...

it

j

gerade

a ,

x + a , 24

=

b gi

9

g

............

itj

ungrade

to

=

24)"n

• x dx

y

X

anx

ann -

(

92

7 i

1

nach

wegstreichen

bleibende

g

y

=

fx

= m

• x

& 7

↑

Matrix

g

det [N]

=

ai 1

· det

[U] i

=

Zeile

=

2x [r*x

x]

bei

inhomogenen

g

. cgz

= S

g

. 1gz

= 0

g

.

=

giig

i

• 1

LGS

eindeutige

LSG

Widerspruch b

mehrdeutige

Lösung

det [1]

=

anj

det

[U]

i

=

Spalte

inhomogen

• o min.

Variable

muss +O

=

24 [vir

Er3]

• [4]

r

Er

• oder Laplacescher Entwicklungssatz

frei

gewählt

3 re

1 -

i + j

=

. r

bei

homogenen

:

det

[A]

:

Ein

wiij

det

[V]

X

& 7 &

Der

Radius ist kein

veränderlicher Faktor wiex

mehrdeutige

sondern je

nach Aufgabe festgelegt

und

eindeutige

Lösung

muss somit

wie

eine Konstante

behandelt

werden

LSG

8

x , 4

=

=

0

EW, EV — Fortführung

reel

somit sind

die

NS

:

Xon

=

27

;

Xo

=

13

;

Xou

= 7

x

: L

ist nicht

symmetrisch

Bsp

..

A

=

[2]

s

nicht

symmetrisch

er

BSP

[

&

erkennbar an

Diagonalspiegelung Bsp

. A

= [2]

ixn

real

,

nicht

sym.

reelle

Matrix

i) det [A-XE]

0

(3x3)

kein

i

vorhanden

det (

)

=

n

• x -

x)

• 2

=

i)

det

[A

X E)

=

x)(

5 x)

• 2 = x) + 7x

12'0() xx

3x

• 4

Bestimmung

der

Determinante mit

P(x)

=

x

2x

• 2

0 mit

sp[A]

=

=

Exi

(x +

3)(x

i det [A

XE]

:

0

9

. 3

in

pq-formel

:

Xon

,

on

=

• 1

Vn

und

det

[A]

=

12

=

TTx :

1

X

I

92

Xa

I

keine

reelle

Lsg

Xon ,

02 17 i

det

on DX

asox

komplex

ii)

Inverse

Matrix

la Place

(

1

x de+

[10X]

Erklärung

spur[A]

Summe

Diagonalelemente

: = A

E

=

Ar

. 1

nocharssem.

1 A

:

[]

Bsp

.

A

=

[ ]

existiert nur wenn

dat 8

Falksches

Schema

Diagonalwerte

tauschen

Plätze ,

der Rest (Nebens

ii)

Pax

:

=

1 - x

.

[(

x - x

2]

0

spur

[A)

=

F"

J

=

1

10 + 0 = m

= [xi

[]

=

Kontrol 5

:

(1)

diagonalwerte)

wechseln

Vorzeichen

erste

ausklammen

X.z

=

7

Nullstelle

[x

• 10x +

21]

=

0

Bsp

.

A

Xoz

= 3

401

= 1 entweder

durch

pq-Formal

A

=

[3]

rell

a symmetrisch

[i]]

·

[E]

2x

·

der Satz von Vieta

Kontrolle

=

Spur(A]

=

Exi

det

[A]

=

#Xi det

[A-XE]

0

[i)]i]

=

(ii)

:

er

x

+x*

:

det

[3= xx)

=

(

x)

Satz

von

Vieta

• hier

ist die

algebraische

Xaa

= 3

alles auf eine

Seite

bringen Vielfachheit von

X

= 2

doppelte

Nullstelle

in det

[A"

Xt)

:

det

[

Jo-(

(ax +

cx + d

= 0

und

a

loswerden

a

bringen

• ---

dann a

=

Xe

X und d

=

Xn

· X Notiz

: A

=

[33][]

3 pq-Formel

2 ·

eder

Vektor ei

ist

(xn

,

xz

sind

die Nullstellen

↓schon) EV von

D. =)

Man

zu

3) Xn

und 2

raten und

auf

Korrektheit

mit v

=

ve

ve

Xedamit

verrechenbar

mit

(

S

prüfen

wei

linear

unabhängige

Vektor,

eine

=V

Der

Grad eines

Polynams

sagt

aus wieviele Nullstellen

Eigenraum

A(x)

Eig

.

A(x)

=

[

;

LEV --

n

I

dieses

maximal

hat

, Polynome

3 .

Grades schneiden die

dim [Eig

A(x)]

=

2

=:

geometrische

Vielfachheit

=

Achse im

unendlichen

mindestens

1mal

,

2. Grades

müssen

( a)

(Vietal

die

x-Achse nicht

unbedingt

schneiden

BSP

.

/

)

bei

Dreiecksmatrizen stehen

die

(4)

·

(3)

:

m

#Wimmer auf der

Diagonalen

alle EW

haben

die

algebraische

Vielfachheit

1x Xi

obere

Dreiecksmatrix

5

6 3

Fazit

: Ew

:

CEW(Al]"*

=

27

• X - 13 -

X

ein

Polynom

kann

auch diese

Schreibweise

haben

:

= det

(A

XE]

= det

[P

·

7 x 5

I

Py(x)

=

(x

x)(x

xz)(x

xz)

op

• 21 - x

laplace

=

(27-x))

• 13

   X](7- x/(- 

21

x) =

Spatprodukt von 3 Vektoren

[ään

,

)

(

allgemein

:

änän

=

(a)

b (a)t

V

:=

C

,

b

,

:

L

,

Löx

=

det [,,

] er

e

aix ,

• a

. 2x

=

be

unbekannt

a2X

,

a22x

=

bz

=

((@xb

,

·

6

det

[b

,

a] det

[

, 5]

(xb)

1 X

det

[i]

Xn

det

L

M 2

A 2

1

h

1

na

7

67

Spat

-M

.

Be

:

M

z

• ↑

M

Ma

läxl

=

Grundfläche

~u

E

Volumen

Spat

=

G

.

h

[

,

b

,

i]

=

<(xb)

)

14

(âxb

(c)

·

cos(exb , i)

M

-w

--

G

W

Bsp

.

7X

geg

.

Län

,

än

,

ab 3

Vektoren

aus

dem R

h)

()(2)

ei

Einheitsvektoren

und

Vektor

(

=

(3) eben i

Spat-Volumen

:

det

[

=

22-1.

.

/I

=

2

.

1

.

(3)

=

Gäs ,

än

,

ab

sind

linear

unabhängig

Ziel

:

=Män

[b ,

,

as]

[än

,

,

as]

↑

Cän

,

än

,

äu]

X

Län

,

ään]

X

=

Sän

,

im Bsp

.

Xn

=

2

; x

=

• 1

Xy

= 3

-(

L

4

-an

-(E-(

geben

die

Richtungen

des

gesuchten

Kos

un , wan

Y

1

EVz

Vz

Enarctan

(

)

=

arctan (E)

&

M

D

&

1 I > X =

26

.

Y

1

P L

JEV

,

63 .....

↓

J

L

X

Ju

,

1. Transformation

= p

.

m

Transponiert

YT

=

T .

pT

vi)

einsetzen

in ii)

T

• A .

=

36

IT

.

(PT

A

: P) .

=

= 1

22

T

D

. 8

=

36 4

S

[u

.,

un i

= 33

9u?

42

= 36

Fazit

:

im m

, Ve-System

stellt

eine Ellipse

im

Mittelpunkt

dar

um

den Winkel

...

vii)

P

2

• 21

A

I

5

2

a

[x)

=

Diagonalmatrix

PT 1 -

2450

mit EW auf

der

Diagonalen

Taylorpolynome

BSP·

geg

.

f(x)-sinxiXo

= Di

n

=

5

M

ges

.

Taf

x ,

0

=

Ersatzfunktion

zur

Annäherung Ma

i .

d. N. Stelle xo

= 8

i

fit"if"if" fu sinx

;

ungerade

punktsymmetrisch

Idee

Polynomansatz

in f(x)

=

sinx

f(0)

=

8

n - 1

Ten(xiXo

=

=

an(x

-d) +

an

x

...

ax

a ,

x

a .

f(x)

=

rosx

f(0)

=

1

ist

eindeutig

bestimmt

,

wenn

man alle an , an .....,

a , do

kennt

&

"(x)

=

sinx

=

0

cosxi :

gerade

"

&

"(x)

=

• cX

f"(0)

= -

1

Wes

achsensymmetrisch

(n

Koeffizienten

+" (x)

=

sinx

=

f(x)

f

bestimmt

über

(n

Bedingungen

f(x)

=

cosx

=

f(x)

(

(0)

=

1

1

f(x)*

Tuf(x0 ,

xo)

=

Tu(0)

=

do

:

flo

iii)

To

(x

,

=

0

2. 5'(x)

T'(d)

E(x,

)

=

x

=

Ti(x)

=

n

• anx +

(n

1)an

1x +...

2ax

a

Tr (0)

=

a.

=

f(0)

Bsp

.

f(x)

=

coxix

=

;

n

=

5

=

1

Klausurtipp

n

• 2

n

• 3

'(x)

=

sinx

• f'(0)

=

T"(x)

=

n

. (n

.

an

• X

+ (n -

.

(n

an

• 1x

...

• 3

. 2

azx

2

• 1 -

a

so 10

standartfunktionen

T"

(0)

=

2an

+"(0)

=

an

=

f)

=

fi

f"(x)

= -

cox

f" (0)

=

skizzieren

"(x)

= sinx

• f"(0)

=

0

n

• 3 n - 4

fü(x)

=

cosX

=

Th

"

(x)

= n

.

(n -

(n

anx

(n - 1)(u

• 2)(n -

2)an

1x

3

. 2

1

.

as

↑

"

(0)

=

3

.

2

·

as"(0)

an

f ↑

(x)

=

sinx

=

3!

"*

T

h

""(x

,

an

= t USw

. an

= f()(0)

Trax(x ,

a)

=

1

Ex

x

Tecosx

=

Técinx

n

=> Tuf(xo)

=

F

~

fo() falls

die

Nullstelle

nicht im Dunkt xo-O

liegt

oder

nicht bekannt ist

, gilt

: t

-[x-

4]" = binom .

Formeln

Tn(X

,

Xo

= 0

S

X

k

Tut Xxo

=

fi(x

xo]

Taylor

unnötig

,

da

Polyrom

und

7

.

(x" -8x

16]

k

= 0

leichen

Grad

haben

,

dadurch

Taylor

Bsp

.

f(x)

= 7x

• 5x +

4ix

=

= 4

;

n

= 2

/

Taylor

= Polynom

1

&

i)

f(x)

=

14x

• 5

ii)

f(4)

=

.

16

• 20

4

= 112

16

= 96

Th

x,

=

by(x

+ [x

4]

24(x

f"(x)

=

14

f(4)

=

14

. 4 - 5 - = 51 = 96

51

.

(x

7(x

1

f"(4)

=

14

=

14

=

96

• 51x

=

204

7x

• 56x + 112

=

7x

5x

4

Dividierte Differenzen

Lagrange

Polynome

M

·

pr(x)

=

Toni

Li(x) mit

h(x)

=

X

Xi

Xi

X] -

j

= 0

↑

hier

i unverändert

jai

i Xi yi

=

f(xi)

4

J

1 5

M

1

8

I

i

&

~

I

I

h

1

·*

~

27

1 3

& 3

2

4

41

L

aquidistante

1 1

1

Schnittstellen

lich)

/Abstand

immer

g 1174

günstigen

Fall

·

mili

in

in

o

Li

n

=

f

3

(i

Werte)

3

[oYi

Li(x)

aus

Tabelle

(x

• x1)(x

xz)(x

xy)

Lo (x)

=

Exoxil(xoxalxo X3]

=

5.x. (1)

t

↑

i-Wert

(x

1)(x

• 1)(x - 2)

L(x)

=

G

(1)

. ( 1)

. (2)

=

E

.

(x +

1)(x

1(x

=

(x

(x x +

La(x)

(

-xo)(x

• xe)(x

xy)

(

1)(x 0)(x

• x)

= -

E

. x

.

(x

. (x

=

[X

• x - 2x)

(x

• xb)(xz

x1)(xz

• xx) (2)

.

(n)

. (

(x

x)(x

• x1)(x -

xz)

(x +

1)(x

• 0)(x -

Ly(x)

(xy

x((xz

• xe)(xa -

x2)

=

(3)

.

5 x

.

(x +

1)(x

=

E(x

x]

ps(x)

=

y

.

(o

y

2

y2(z

yz

.

L

= 5

.

(

• (

.

(

.

(z

.

4

Kubische Splines

M

Praktisches

Vorgehen

[xo

;

xn]

=

(-

1

,

0]

i

=

1

6

Fxin

Ti iml

74

Grundidee

:

Ein

Polynom

3 .

Grades 1 Bilde

:

M.

Mi

2 M

:

1-M

: Mixn--

für

i = 1

....,

(n

C =

Yv

40

(Mn

Mo)

Po(x)

=

a(x

• xo)3 +

b(x

xo) + c(x

• x)

• d

1

↓

e

3

also

für i

= 1

:

MM

• 2

M

.

(

My

=

f(xo

, x

=

38

,

4

= 13

,

4

lim

f(x)

=

f(xo)

=

limf(x)

jeweils

zwischen

2

Stützstellen aufstellen

:

i

=

2

:

McM

.

• 2

M

(

4)Mz

=

6

(x

,

2 +

X + x]

X = xto

i = n-

:

MM-MM

=

6

f

[acite

D

=

42 40- (M

=

+ Mo)

• L +

5

Xi

• Xi - 1 &

Def

:

1 S

:

[a ,

b] -R

heißt Kubischer Spline mit

Mi

=

Xi + 1

• Xi - 1 - 2 -

2

.

(

,

4 +

=

1

,

7

mit a

=

x0(XXz

... <xz

= b

bei

äquidistanten

Stützstellenabstand

1

111 1

I 2

S" existiert ,

und ist

stetig

h

: =

Xi

Xi

• 1

Se(x)

= 0

• (x

1)] + (

13

,

.

(x

Xo

=

a

b

3 Si

mit i = 0

, ...,

ist auf

den

Intervallen

= 6

,

4x + 19

,

2x +

5

,

8x

• 2 in

[

• 1

,

0]

[Xi

i

Xi +

]

Berechnung

der

Splines

1

X

2

X

3 ein

Polynom

3 .

Grades mit

heißt interpolierendes

geg

: i Xi 4i

=

hi

= (xi-vire) dann

gilt

für

[xi-n

,

Xi] (

nix)

=

[in]

;

i

=

2

I 11

I

1

23

4

Splire 0 Xo

40

und i = 1

, ...,

n

I

12

Sii)

=

yi

:

:

Mi

= S"(xi)

C

=

2

45

,

6

• 38

.

=

E

man

unterscheidet

folgende

Splines

:

V Xn

Yu

a)

periodische

Splines b)

natürliche Splines

5 > (x)

= M

Mi

c

.

(x

**)

D

D

=

in [

45

,

3

38

,4)

=

S(a)

=

S(b)

S" (a)

= 0 =

S"(b)

mit (

:=

Mini-E-M ..

)

Il Di

: =

Mitir (Mit Mit

S'(a)

=

S'(b) :

vorgegeben

Su(x)

=

(x

x)) +ma

(x

x y

.

(x

"

+ ]

Di

S" (a)

=

S" (b)

S'(xd)

=

yo

Bsp

.

=

x(

(

45,6)(x

25(x

0

7 ,

6

S"(x)

=

y'm

i Xi

Yi=fi fixiz

,

xi] f(xi -

,

Xi ,

Xi+ ]

=

• 14x + 19

,

2x2 +

5

,

8x +

5

in [0;

1]

0 - 1 5

8

(f[xo ,

X

,,

xn]

= 9

1 D

• 2

Konstruktion

der

Splines

21 (xz

;

x3]

=

[ ;

2]

mit ;

= 3

2

30

< +Exe

,

An ,

xs]

= -

12

Pr

haben

je

4

Koeffizienten

D.n

Bedingungen

für

n-Intervalle

pro

Intervall

2

Interpolationsbedingungen

In

mit natürlichen

Splines

Mo

= 0 =

Me

Cy

= (

7

3

.

45

,

6

Z

und

Ableitung

S

und S"

für Xn

,

....

Xn-n

• 2(n -

=> i = 1 : 0 ,

/o

• 2M

,

• 0

,

5

.

My

=

6

.

9

=

5

W

ungen

Insgesamt heißt

das

: In

2(n-1)

4n- Bedingungen

I

Fieding

i

=

2

:

0 .

5

·

M.

2M2 +

My

=

6

.

=

Dy

= (

• 4 + 9) -

i (

45

,

=

für In Koeffizienten

d. h. man darf

2

weitere

Bedingungen

stellen n

• 1

B. für periodische/natürliche/vollständige

Splines

Kubische Splines

Mu

: det

(b

]

:

Il

=

149

S(x)

= 45 (

x)

y

f

20

,

4)(x

8

,

8

s'

(a)

= s'(0)

s"

(a)

= G

s'(x)

=

yo

damit Pu

Bedingungen

Cramer-

Mr M

by

e

=

478x

• 2868x

• 5118x

• 2633

in [

;

2]

s"(a)

= s"(b)

s"

(b)

= 0

s'(xn)

=

y'n

.

&

für

In Koeffizienten

22

• 7

Mu

:

det (än

;

b)

:

(2)

=

• 171

38

Sca)

= S(b)

eindeutige

(sg

. des

A

144

. 4

GLS

der

(

,

a)

= 4

=>

M

= 15

=

38

,

4

=

Mr

M2 =

• ,

6

Fassung

: das

Interpolationspolynom

mit Newton-Polynom

aufstellen

an

lokalem KOS

x-y

wird zu

S-o-System

⑨

qu(s)

&

U Uz

Un

5

's S

S

11 S

h h

Newton-Tabelle

Steigung

i

Si flsi]

fasim

, Si]

fasive

,

...,

Sinn

1 Sith

VI (Vz

• Un

2 Sz

= 0

Uz

h

Un-Zuztun

(2)

(2)

(v

uz)

2u

E Seh

W

h

h -

h)

=> v(s)

= v =

(s

• 1 -

4))

Ent [s-(h)][s

-8]

..

h

danach

S

v(s)ds

=

I- [u+

4un

ra]

pro

Doppelfeld

T

-h

auch

Kepler-Formel

genannt

bei

n-Doppelfeldern

(2n) Feldern

I

=

Sexdx

=

(

2yz

44

2n+

4yy

4z]

bei 7

Schnittstellen

global

6

= 2(3)

Doppelfelder

=