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Fachbereich Produktion und Wirtschaft
Musterl¨osung
f¨ur die Klausur MA2_05.1 vom 11. Februar 2005
Labor f¨ur Mathematik und Statistik
Prof. Norbert Heldermann
Richard M¨under
Bei dem vorliegenden Dokument handelt es sich um eine Musterl¨osung f¨ur eine vom Labor f¨ur Mathe- matik und Statistik gestellte Klausur.
Die Anfertigung dieser Musterl¨osung wurde aus Studiengeb¨uhren der Studenten des Fachbereiches Pro- duktion und Wirtschaft der Fachhochschule Lippe und H¨oxter finanziert.
Die Reihenfolge der Aufgaben wurde bei der Darstellung ihrer L¨osungen gegen¨uber der Klausur beibehalten. Diese L¨osungen wurden ausf¨uhrlich dargestellt, reichhaltig kommentiert und verst¨andlich mit graphischen Darstellungen erg¨anzt.
Unter www.fh-luh.de/fb7 besteht eine Verbindung zur Internetseite des Labores f¨ur Mathematik und Sta- tistik. Hier k¨onnen die Klausuren und die Musterl¨osungen heruntergeladen werden. Dar¨uber hinaus exis- tiert eine Kontaktadresse f¨ur sinnvolle Verbesserungsvorschl¨age und zur Fehleranzeige sowie f¨ur eventuelle R¨uckfragen.
Die in der Musterl¨osung enthaltenen Zeichnungen sind mit AutoCAD (Lizenz Fachhochschule Lippe und H¨oxter) angefertigt worden.
Klausur Mathematik 2, 11.02.2005 M2 2005.
Prof. Dr. N. Heldermann
Dauer: 2 Stunde.
Erlaubte Hilfsmittel: Nicht-programmierbarer Taschenrechner.
Bitte beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und lassen Sie die R¨uckseite frei. Die Ermittlung aller Ergebnisse ist l¨uckenlos und nachvollziehbar zu dokumentieren.
- Betrachtet wird die Funktion
V (α, β, M ) =
M 1 −α sin β
(a) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von V. (9 Punkte) (b) Sch¨atzen Sie den linearen Fehler im Fall M = 100 ± 5, α = 0. 8 ± 0 .2, β = 3 ± 0 .05. (4 Punkte)
- Betrachtet wird x^2 + y^2 = r^2 im Bereich −r < x < r. Berechnen Sie die Kr¨ummung des oberen Halbkreises. (6 Punkte)
- (a) Zeigen Sie durch Ableitung der rechten Seite ∫ 1 cos x
dx = − ln(cos
x 2
− sin
x 2
) + ln(cos
x 2
x 2
) + c, c ∈ R.
[Hinweis: cos x = cos^2 x 2 − sin^2 x 2 !] (6 Punkte) (b) Skizzieren Sie die Funktion f (x) = − ln(cos x) im Bereich −π 2 < x < π 2. Berechnen Sie dazu die Nullstellen und Extremwerte. (4 Punkte)
(c) Zeigen Sie: 1 + tan^2 x =
cos^2 x
(2 Punkte)
(d) Berechnen Sie die L¨ange der Kurve von a = −π 3 bis b = π 3. Das auftretende Integral ist mittels (a) und (c) exakt zu l¨osen. (6 Punkte) (e) Berechnen Sie den Grenzwert lim x→ π 2
cos x · ln(cos x). (6 Punkte)
- L¨osen Sie die Differentialgleichung y′′^ = y′^ + (y′)^2. [Hinweis: Die Integrale k¨onnen durch eine einfache Partialbruchzerlegung und eine Substitution gel¨ost werden.] (8 Punkte)
- L¨osen Sie die Differentialgleichung y′′^ + 2y′^ + 2y = 10 sin x. (6 Punkte)
Aufgabe 2:
Betrachtet wird x^2 + y^2 = r^2 im Bereich −r < x < r. Berechnen Sie die Kr¨ummung des oberen Halbkreises.
Die gegebene Kreisgleichung liefert f¨ur den oberen Halbkreis folgenden Zusammenhang:
f (x) =
r^2 − x^2.
Zur Kr¨ummungsberechnung werden die ersten beiden Ableitungen ben¨otigt:
f ′(x) =
− 2 x 2
r^2 − x^2
−x √ r^2 − x^2
, und
f ′′(x) =
r^2 − x^2 + x · √r− (^2) −xx 2 r^2 − x^2
−r^2 + x^2 − x^2 (r^2 − x^2 )^1.^5
−r^2 (r^2 − x^2 )^1.^5
Die Kr¨ummung einer Funktion berechnet sich nach der Formel:
k(x) =
f ′′(x) [1 + (f ′(x))^2 ]^1.^5
Zur Vereinfachung des entstehenden Terms wird noch eine kleine Nebenrechnung durch- gef¨uhrt:
NR: 1 + (f ′(x))^2 =
r^2 − x^2 + x^2 r^2 − x^2
r^2 r^2 − x^2
Somit erh¨alt man f¨ur die Kr¨ummung des oberen Halbkreises:
k(x) =
−r^2 · (r^2 − x^2 )^1.^5 (r^2 − x^2 )^1.^5 · (r^2 )^1.^5
−r^2 r^3
r
Aufgabe 3:
(a) Zeigen Sie durch Ableitung der rechten Seite∫ 1 cos x
dx = − ln(cos
x 2
− sin
x 2
) + ln(cos
x 2
x 2
) + c, c ∈ R.
(b) Skizzieren Sie die Funktion f (x) = − ln(cos x) im Bereich −π 2 < x < π 2. Berechnen Sie dazu die Nullstellen und Extremwerte.
(c) Zeigen Sie: 1 + tan^2 x =
cos^2 x
(d) Berechnen Sie die L¨ange der Kurve von a = −π 3 bis b = π 3. Das auftretende Integral ist mittels (a) und (c) exakt zu l¨osen.
(e) Berechnen Sie den Grenzwert lim x→ π 2
cos x · ln(cos x).
3(a): Die rechte Seite der Gleichung lautet:
t(x) = − ln
cos
x 2
− sin
x 2
cos
x 2
x 2
Zur Ableitung ben¨otigt man mehrfach die Kettenregel:
t′(x) =
cos x 2 − sin x 2
− sin
x 2
− cos
x 2
cos x 2 + sin x 2
− sin
x 2
x 2
sin x 2 + cos x 2
− sin x 2 + cos x 2
cos x 2 − sin x 2
cos x 2 + sin x 2
sin^2 x 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos^2 x 2 + sin^2 x 2 − 2 sin x 2 cos x 2 + cos^2 x 2 2(cos^2 x 2 − sin^2 x 2 )
sin^2 x 2 + cos^2 x 2
2 cos x
cos x
3(b): F¨ur die hier gefragten Berechnungen m¨ussen die ersten beiden Ableitungen heran- gezogen werden: f (x) = − ln(cos x)
f ′(x) =
cos x
· (− sin x) = tan x
f ′′(x) =
cos^2 x
Eine kleine Nebenrechnung liefert:
f ′(x) = tan x ⇔ 1 + (f ′(x))^2 = 1 + tan^2 x =
cos^2 x
⇔
1 + (f ′(x))^2 =
cos x
Aus (a) folgt nun:
l = 2 ·
∫ π 3 0
cos x
dx = 2 ·
− ln
cos
x 2
− sin
x 2
cos
x 2
x 2
π 3
0
= 2 ·
[(
− ln
cos
π 6
− sin
π 6
cos
π 6
π 6
]
3(e): Da die Einsetzung von x = π 2 in cos x · ln(cos x) zu cos π 2 · ln(cos π 2 ) = 0 · ∞“ f¨uhrt, muß der Satz von H ospital angewendet werden. Dazu formuliert man das Produkt zun¨achst in einen Quotienten um. Dann streben Z¨ahler und Nenner beide nach ∞.
lim x→ π 2 cos x · ln(cos x) = lim x→ π 2
ln(cos x) cos−^1 x
Die erneute Anwendung des Satzes von H ospital liefert nun:
lim x→ π 2
ln(cos x) cos−^1 x
= lim x→ π 2
[ln(cos x)]′ [cos−^1 x]′^
= lim x→ π 2
− sin x cos x · cos−^2 x · sin x
= − lim x→ π 2
cos x = 0.
Aufgabe 4:
L¨osen Sie die Differentialgleichung y′′^ = y′^ + (y′)^2.
Da in der gegebenen Gleichung nur Terme der Form y′′^ und y′^ vorhanden sind, bietet es sich an, eine kleine Substitution durchzuf¨uhren und die Gleichung auf eine Differentialglei- chung erster Ordnung zu reduzieren.
z := y′^ ⇒ z′^ = y′′^.
So erh¨alt man die Gleichung:
z′^ = z + z^2 oder
dz dx
= z + z^2.
Trennung der Variablen f¨uhrt zu: ∫ 1 z + z^2
dz =
dx.
Der linke Integrand ist eine rationale Funktion und l¨aßt sich deshalb durch eine Partial- bruchzerlegung l¨osen: 1 z + z^2
z(z + 1)
A
z
B
z + 1
Nach Multiplikation mit dem Hauptnenner ergibt sich:
1 = A(z + 1) + Bz = (A + B)z + A.
Daraus folgt offenbar sofort:
A = 1 und B = −.
Die Integration der rechten Seite f¨uhrt nun zu: ∫ 1 z
dz −
z + 1
dz = x + c , c ∈ R ,
wobei man die Integrationskonstante c nicht vergessen darf. Die Integration der linken Seite ergibt (die Integrationskonstanten werden in c zusammengefaßt):
ln |z| − ln |z + 1| = x + c , c ∈ R.
Schreibt man diese Gleichung in der Form
ln |z| = ln |z + 1| + x + c , c ∈ R
f¨uhrt die Vorschaltung der Exponentialfunktion auf beiden Seiten zu:
|z| = |z + 1| · ex^ · ec^ , c ∈ R.
Durch eine Aufl¨osung der Betr¨age erh¨alt man
z = ±(z + 1)ex^ · ec^ , c ∈ R
und schreibt statt ±ec^ einfacher a ∈ R. Aufl¨osung nach z ergibt:
z = a · (z + 1)ex^ ⇔ z = azex^ + aex^ ⇔ z =
aex 1 − aex^
, a ∈ R.
Aufgabe 5:
L¨osen Sie die Differentialgleichung y′′^ + 2y′^ + 2y = 10 sin x.
Zur Ermittlung der Homogenen L¨osung wird die Diskriminante untersucht:
Es ist a 0 = a 1 = 2 , also D = 4 − 8 = − 4 und ω =
Somit lautet die Homogene L¨osung:
yH = e−x(A cos x + B sin x) , A, B ∈ R.
Da zweimalige Ableitung der St¨orfunktion sin x nur noch den Funktionstyp cos x als weite- res hervorbringt und beide Funktionen nicht im Homogenen L¨osungsraum liegen, lautet der Ansatz f¨ur die Partikul¨are L¨osung wie folgt:
y = a sin x + b cos x
y′^ = a cos x − b sin x
y′′^ = −a sin x − b cos x.
Einsetzung in die Ausgangsgleichung ergibt:
y′′^ + 2y′^ + 2y = (−a − 2 b + 2a) · sin x + (−b + 2a + 2b) · cos x
= (a − 2 b) · sin x + (2a + b) · cos x = 10 sin x.
Durch Koeffizientenvergleich erh¨alt man:
a − 2 b = 10 und 2 a + b = 0 ⇔ a = 2 , b = −.
Also lautet die Partikul¨are L¨osung:
yP = 2 sin x − 4 cos x.
Die Allgemeine L¨osung ergibt sich aus der Summe der Homogenen und Partikul¨aren L¨osung:
yA = yH + yP = e−x(A cos x + B sin x) + 2 sin x − 4 cos x , A, B ∈ R.
