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Übungen zu Physik I für Physiker
Serie 2
Musterlösungen
Allgemeine Fragen
- Ein Auto fährt entlang einer Strasse von A nach D (vgl. Abb. 1). Zeichne für die Punkte 1 bis 7 den Beschleunigungsvektor (ungefähr) massstabsgerecht ein, wenn das Auto gemäss dem gegebenen Geschwindigkeits-Weg-Diagramm fährt.
Abb. 1: Trajektorie in der x-y-Ebene und Geschwindigkeits-Weg-Diagramm eines Autos
Lösung:
Abb. 2: Trajektorie mit eingezeichneten Beschleunigungsvektoren.
- Welche Kräfte wirken auf einen Basketballspieler während des Absprungs, Aufstiegs, Ballabgabe, Rückkehr zum Boden und beim Abfedern? Sind Aufstiegszeit (mit Ball) und Fallzeit (ohne Ball) gleich gross? Lösung: Die Gravitationskraft wirkt ständig auf den Spieler. Während des Absprungs wirkt zusätzlich noch eine Normalkraft, welche grösser als die Graviationskraft sein muss. Auch bei der Ballabgabe wirkt eine zusätzliche Kraft auf ihn, die reactio des Balles. Beim Abfedern macht sich wieder die Normalkraft bemerkbar. Die Fallzeit hängt von seinem Wurf ab: bei genau horizontalem Wurf wirkt in vertikaler Richtung weiterhin nur die Gravitation und die Fallzeit ist gleich der Aufstiegs- zeit. Ist sein Wurf nach oben gerichtet, erfährt er eine zusätzliche Beschleunigung nach unten und seine Fallzeit wird kleiner, bei einem Wurf nach unten wird sie grösser.
- Kommentieren Sie, welche der folgenden Kräftepaare Beispiele für actio = reactio im Sinne des dritten Newton’schen Prinzips sind:
(a) Die Erde zieht den Fussball an; der Fussball zieht die Erde an. (b) Die Erde zieht den Fussball runter an den Boden; der Boden drückt auf den Ball mit einer gleich grossen, entgegengesetzten Kraft nach oben. (c) Ein Flugzeugpropeller verdrängt Luft gegen das hintere Flugzeugende; die Luft schiebt das Flugzeug vorwärts. (d) Ein Pferd zieht einen Wagen, ohne ihn zu bewegen; der Boden, auf dem der Wagen steht, übt eine gleich grosse und entgegengesetzte Reibungskraft auf den Wagen aus. (e) Ein Pferd zieht einen Wagen und beschleunigt ihn; der Wagen zieht am Pferd.
Lösung:
(a) actio = reactio (b) kein actio = reactio Kräftepaar (beide Kräfte wirken auf den Ball) (c) actio = reactio (d) kein actio = reactio Kräftepaar (beide Kräfte wirken auf den Wagen) (e) actio = reactio
Für den Einfluss der Rotation auf die Erdbeschleunigung betrachte die Skizze in Abb. 3. Es wirkt zunächst einmal nur die Gravitationskraft G = mg mit der tatsächlichen Erdbe- schleunigung g. Die Summe aus Normalkraft N, und Zentri- petalkraft Fz muss daher gerade gleich G sein: G = N + Fz. Die gemessene Erdbeschleunigung g′^ ergibt sich beispiels- weise aus der Normalkraft auf eine Waage, und man erhält also g′^ = g − az, d.h. die lokal gemessene Erdbeschleunigung ist um die Zen- tripetalschleunigung reduziert. Ausser am Äquator muss man noch berücksichtigen, dass az und g nicht diesel- be Richtung haben (ein Faktor cos ϑ ). Der Einfluss der durch die Bahnbewegung um die Sonne resultierenden Be- schleunigung ist nicht so direkt erkennbar, hier muss man auch noch den gravitativen Einfluss der Sonne berücksich- tigen. Letztendlich kommt man damit auf das Problem der Gezeitenkräfte...
Abb. 3: Betrachtung zur loka- len Erdbeschleunigung.
- Schiefe Ebene [3 Punkte]
Die Körper mit den Massen m 1 = m 2 = 200 g und m 3 = 350 g können sich reibungsfrei gemäss der Anord- nung in Abb. 4 bewegen; Rollen- und Seilmasse werden vernachlässigt, g = 9. 81 m s−^2.
(a) Zeichne in eine Skizze alle auf die Körper wirken- den Kräfte ein. Zur klareren Zuordnung empfiehlt es sich, verschiedene Farben zu verwenden.
Abb. 4: 3 Massen unter dem Ein- fluss der Gewichtskraft
(b) Mit welcher Beschleunigung a bewegen sich die Körper und in welche Richtung? (c) Wie gross sind die Seilkräfte F 12 und F 23 während der Bewegung?
Lösung:
Abb. 5: Kräfte auf die Massen
(a) siehe Abb. 5, für m 2 wird nach rechts die positive x-Richtung gewählt, entsprechend für die beiden anderen Massen (b) Zur Aufstellung der Bewegungsgleichung verwende man F = ma, wobei m die gesamte zu beschleunigende Masse ist und F die Summe aller Kräfte. Aus der Abb. 5 erkennt man, dass sich alle Kräfte kompensieren, bis auf
F = m 1 g − m 3 g sin α und m = m 1 + m 2 + m 3.
Somit findet man für die Beschleunigung a
m 1 g − m 3 g sin α = (m 1 + m 2 + m 3 ) a
⇒ a = m 1 − m 3 sin α m 1 + m 2 + m 3 g ≈ − 0 .62 m/s^2.
Da m 1 g < m 3 g sin 45◦^ bewegt sich die Masse m 1 nach oben und die anderen beiden entspre- chend nach links.
(c) Um die Seilkräfte F 12 und F 23 zu berechnen, stellt man Bewegungsgleichungen für die Mas- sen m 1 bzw. m 3 auf und verwendet die im vorigen Teil berechnete Beschleunigung a. für m 1 ist die resultierende Kraft die Summe aller roten Kräfte:
m 1 a = m 1 g − F 21 F 21 = m 1 (g − a) ≈ 2 .09 N = F 12
für m 3 (Summe aller grünen Kräfte):
m 3 a = F 23 − m 3 g sin 45◦ F 23 = m 3 (g sin 45◦^ + a) ≈ 2 .21 N = F 32.
Hat der Affe nun die Kiste angehoben und hält sich nun wieder am Seil fest haben Affe, Kiste und Seil alle dieselbe Beschleunigung aA = aK = a. Und es folgt, dass die Differenz der Gewichtskräfte die Gesamtmasse beschleunigt:
GK − GA = (mK + mA)a
a = mK − mA mK + mA
g =
g ≈ 1 .96 m/s^2.
Dasselbe Ergebnis erhält man aus der weiterhin gültigen Forderung (3) und indem man die Diffe- renz (2) − (1) bildet. Die Seilspannung ist das arithmetische Mittel der beiden am Seil angreifenden Kräfte FAS und FKS. Mit der eben berechneten Beschleunigung a = m mKK^ −+mmAA g und den Gleichungen (1) und (2) erhält man die Seilspannung
FS =
FAS + FKS
= 2 g mK mA mK + mA = 12 kg · g = 117 .72 N.
Natürlich sieht man aus (3) sofort, dass FS = FAS = FKS gilt und man somit die Seilspannung auch etwas direkter aus (1) oder (2) berechnen kann.
- Schwingende Wassersäule [3 Punkte]
In einem dünnen U-Rohr befindet sich eine Flüssigkeit mit der Massendichte ρ. Die Flüssigkeitssäule der Länge L wird um eine Distanz s ausgelenkt, wodurch sie um die Ruhelage zu schwingen beginnt. Stellen Sie die Differentialgleichung für die Bewegung der Wassersäule auf. Wie gross ist die Schwingungsdauer T?
Abb. 8: Schwingende Wassersäule
Lösung: Im Gleichgewichtsfall müssen die Flüssigkeitsoberflächen im rechten und linken Schenkel des U-Rohres gleich hoch sein (→ Hydrostatik, später im Semester). Legen wir in dieses Niveau den Nullpunkt x = 0 und bezeichnen die Auslenkung z.B. der rechten Säule als s nach oben positiv, wie in der Abb. 8 gezeichnet. Dann wirkt die Gravitationskraft der „überstehenden“ Flüssigkeitssäule als rücktreibende Kraft
Fr = −mg = − 2 Asρg
mit A der Querschnittsfläche des U-Rohres und ρ der Dichte der Flüssigkeit. Beschleunigt wird natürlich die gesamte Flüssigkeitssäule der Länge L, deren Masse sich berechnet zu
M = ALρ.
Eingesetzt in die Bewegungsgleichung erhält man
− 2 Asρg = ALρ s¨
und nach wenigen Umformungen
s¨ +
2 g L s = 0 (4)
die DGL der harmonischen Schwingung. Wenn man dies nicht sofort erkennt, kann man das leicht durch einsetzen einer allgemeinen Sinus- oder Kosinusfunktion überprüfen, z.B. s(t) = A cos(ωt + ϕ). Man identifiziert
ω^2 = 2 g L
⇒ T = π
2 L
g
wobei die Schwingungsperiode unabhängig von der verwendeten Flüssigkeit ist. Für eine z.B. insgesamt 20 cm lange Säule erhält man
T ≈ 0 .63 s.
- Polarkoordinaten [2 Punkte]
Legt man ein Polarkoordinatensys- tem so über ein kartesisches xy- Koordinatensystem, dass der Pol mit dessen Ursprung (0,0) und die Polarachse mit der positiven x- Achse zusammenfällt, dann kann je- der Punkt sowohl in Polarkoordi- naten P(r, φ ) als auch in kartesi- schen Koordinaten P(x, y) angege- ben werden. Die beiden Darstellun- gen lassen sich ineinander umrech- nen. Führen Sie jetzt einige Um- rechnungen durch. Tragen Sie da- zu die Punkte zuerst in nebenstehen- der Abbildung ein und führen Sie dann die Umrechnung aus. Geben Sie die Winkel der Polarkoordinaten sowohl im Gradmass (deg) als auch im Bogenmass (rad) an:
Abb. 9: Koordinatensystem mit kartesischen Koordi- naten und Poloarkoordinaten
(a) P 1 ( 1 , 2 ) gegeben in kartesischen Koordinaten (b) P 2 (− 2 , 1. 5 ) gegeben in kartesischen Koordinaten (c) P 3 ( 1 , π 3 ) gegeben in Polarkoordinaten im Bogenmass
