Musterlösungen zur Klausur Grundlagen der Regelungstechnik, Prüfungen von Regelungstechnik

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Musterlösungen zur Klausur

Grundlagen der Regelungstechnik

vom 04.09.

Aufgabe 1: Linearisierung (20 Punkte)

A. Linearisierung des nichtlinearen Terms der Modellgleichungen

E E ( h t hE )

h

h t h 1 1

1

( )≅ +^1 − (1)

E E ( h t hE )

h

h t h 2 2

2

( )≅ +^1 − (2)

, wobei h 1 E und h 2 E die Füllstände im Gleichgewicht sind.

B. Linearisiertes Modell

= − E^ + E h t − hE

h

h

F

k

F

q t

dt

dh t

1 1 1

1 1

1 1

− +^ −

= E^ + E − E E E h t hE

h

h

F

k

h t h

h

h

F

k

dt

dh t

2 2 2

2 2

2 1 1 1

1 2

()^1

C. Im Gleichgewichtszustand gilt:

E E

h

F

k

F

q

1 1

1 1

E h E

F

k

h

F

k

2 2

2 1 2

D. Übergang zum ∆ –System :

Übergang zum ∆–System bezogen auf Gleichgewichtszustand (entsteht als Differenz zwischen den Gleichungen (3) und (4) und den Gleichungen (5) und (6):

( E^ ) E ( h t hE )

F h

k

q t q

dt F

dh t

1 1 1 1

1 0 0 1

E^ (^ E )^ E (^ h t hE )

F h

k

h t h

F h

k

dt

dh t

2 2 2 2

2 1 1 2 1

Aufgabe 2: Strukturbildreduktion (20 Punkte)

a) Die vorgegebenen Modellgleichungen führen auf folgendes Strukturbild:

s

s

+

+

-

+

+

y 1

y 2

y 1

y 2

e^ x

-

b) Nach grafischer Strukturbildreduktion erhält man:

ᠱ䙦ᡱ䙧 㐄^

ᡱ⡰^ ㎗ 4ᡱ ㎗ 4 㐄^

c) Endwertsatz:

ぇ፲⦘^ lim ᡘ䙦ᡲ䙧 㐄^ lim う፲⡨

䙦ᡱ ㎗ 2䙧䙦ᡱ ㎗ 2䙧 㐄^

Aufgabe 3: Strukturbildreduktion (20 Punkte)

Analyse der vorgegebenen Ortskurve:

Die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises hat einen positiven Pol in s = 1 , also r 0 (^) = 1.

Somit ergibt sich die Stabilitätsforderung nach NYQUIST (4.61) zu ᡉ⡸ 㐄 ․.

Die Koordinaten, bei denen die Ortskurve die negative reelle Achse durchläuft, geben die kritschen Verstärkungen an:

K 1 = (^0). 11111 =9.0009; K 2 = 0_._ 04151 = 24.

Bei diesen Verstärkungen der Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises kommt es zu dem Grenzfall für Stabilität, wenn diese Schnittpunkte mit dem kritischen Punkt „-1“ identisch sind.

Für 0 < K < K 1 liegt der kritische Punkt links außerhalb der positiven Ortskurve. Das heißt, dass die

Winkeländerung der gesamten Ortskurve ᡉ⡸ 㐄 0 beträgt, also der Regelkreis nicht stabil ist.

Für K 1 (^) < K < K 2 liegt der kritische Punkt im Bereich der linken Schleife, wobei sein Zeiger zur

Ortskurve entgegen der Richtung der Uhrzeiger, also in positiver Richtung, den Winkel π überstreicht, der Regelkreis wird stabil sein.

Für (^) K (^) 2 < K liegt der kritische Punkt im Bereich der rechten Schleife und sein Zeiger überstreicht den

Winkel – ․, so dass der geschlossene Regelkreis nicht stabil arbeitet.

Folglich ist der geschlossene Regelkreis nur stabil für

00415 9.0009^1 01111

1 K 1 = (^). = < K < K 2 =. =

Dasselbe kann man durch die Hurwitz-Determinante bestätigen. Wenn man das charakteristische Polynom des geschlossenen Regelkreises

A ( s ) = s^3 + 5 s^2 + 3 s + K − 9

Betrachtet, müssen hier alle Hurwitz-Determinanten positiv sind, also:

( )

1 24 0 3 1

9 5 0

3 1 0

5 15 9 0 24 9 1

3 1

9 0 9

3 2

2

1

= ⇒ < 



 







 

 = −

= − − > ⇒ < − =

= − > ⇒ >

H K H K

K K K H

H K K

Diese Ergebnisse bestimmen (mit höherer Genauigkeit) die mittels des Nyquistkriteriums berechneten Grenzwerte.

Der folgende Graph zeigt detailliert den Bereich, in dem die kritischen Stellen $s_4$ und $s_5$ liegen müssen. Sie sollen außerdem rechts von der Nullstelle $s_3$ liegen, damit sie mit der steigenden Verstärkung $K$ des Regelkreises dominant werden (die dritte Pollstelle des geschlossenen Regelkreises bewegt sich von der Polstelle $s_6 = 0$ nach links zur Nullstelle $s_3$).

Als eine mögliche Lösung werden die Polstellen ᡱ⡱,⡲ 㐄 ㎘2 ㎙ ᡢ 3 gewählt.

Die Übertragungsunktion des offenen Regelkreises ist:

䙦ᡱ ㎗ 4䙧䙦ᡱ⡰^ ㎗ 4ᡱ ㎗ 13䙧

ᡱ 䙦ᡱ⡰^ ㎘ 10 ᡱ ㎗ 29䙧

Die neugeordneten kritischen Stellen des Systems sind:

ᡱ⡩,⡰ 㐄 5 ㎙ ᡢ 2 , ᡱ⡱ 㐄 0 , ᡱ⡲ 㐄 ㎘4 , ᡱ⡳,⡴ 㐄 ㎘2 ㎙ ᡢ 3

Der Regelkreis besitzt 3 Polstellen ( ᡱ⡩, ᡱ⡰, ᡱ⡱ ) und 3 Nullstellen ( ᡱ⡲, ᡱ⡳, ᡱ⡴ $s_4), es gilt also ᡦ 㐄 3 und ᡥ 㐄 3.

Die Konstruktion der WOK ist in folgenden Schritten beschrieben.

I. WOK auf der reellen Achse

Auf der reellen Achse liegen eine Pol- und eine Nullstelle und der Teil der reellen Achse dazwischen. Weil ᡦ 㐄 ᡥ, streben mit wachsendem K keine Wurzelortsäste ins Unendliche, sondern enden alle in den vorhandenen Nullstellen.

II.Wurzelschwerpunkt

Gegenstandslos, da keine Wurzelortsäste ins Unendliche führen.

III. Asymptotenwinkel

Gegenstandslos, da keine Wurzelortsäste ins Unendliche führen.

IV. Verzweigungspunkte

Gegenstandslos, da keine Teile der WOK die reelle Achse verlassen.

V. Verzweigungswinkel

Gegenstandslos, da es keine Verzweigungspunkte gibt.

VI. Schnitt der WOK mit der j-Achse

Dazu ist es erforderlich, die Gleichung

ᠷ ᡂ⡨䙦ᡢ ″䙧 ㎗ ᡃ⡨䙦ᡢ ″䙧 㐄 0

zu lösen. Für den offenen Regelkreis lautet sie:

ᠷ 䙦ᡢ ″ ㎗ 4䙧䙦㎘ ″⡰^ ㎗ 4 ᡢ ″ ㎗ 13䙧 ㎗ ᡢ ″ 䙦 ㎘ ″⡰^ ㎘ 10 ᡢ ″ ㎗ 29䙧 㐄 0

ᠷ 䙦 ㎘ᡢ ″⡱^ ㎘ 8 ″⡰^ ㎗ 29 ᡢ ″ ㎗ 52䙧 ㎘ ᡢ ″⡱^ ㎗ 10 ″⡰^ ㎗ 29 ᡢ ″ 㐄 0

Aus dieser komplexen Gleichung erhält man zwei Bestimmungsgleichungen (eine für den Realteil und eine für den Imaginärteil):

㎘ 8 ᠷ ″⡰^ ㎗ 52 ᠷ ㎗ 10 ″⡰^ 㐄 0

″⡱䙦㎘ᠷ ㎘ 1䙧 ㎗ ″ 䙦29 ᠷ ㎗ 29䙧 㐄 0

Aus mehreren Lösungen dieses Gleichungssystems ist nur die für ″ 㐈 0 und ᠷ 㐈 0$ interessant:

ᠷ 㐄 1.61 , ″ 㐄 5.39 rad/Sek.

Die WOK schneidet die imaginäre Achse also in den Punkten ㎙ 5.39.

Damit ist der Anstiegswinkel ‰う,⡲ :

‰う,⡲ = 1.98 [rad] = 113.71°

Die vollständige WOK ist in folgender Zeichnung dargestellt. Damit der Regelkreis stabil ist, muss die Verstärkung ᠷ 㐈 1.61 betragen. Damit der Regelkreis die gegebenen Anforderungen erfüllt, muss die Verstärkung noch größer sein, so dass die Polstellen des geschlossenen Regelkreises unter den beiden Geraden liegen und sich den Nullstellen ᡱ⡳ und ᡱ⡴ nähern.

Aufgabe 5: Reglerentwurf (20 Punkte)

a) Zusammenhang zwischen Reglerverstärkung ᠷ〙⡩ und Zählerkonstante ᡓ

2 ᡱ⡱^ ㎗ ᡱ⡰^ ㎗ 2 ᡱ ㎗ ᠷ〙⡩ᡓ

ergibt nach HURWITZ als Stabilitätsbedingung:

0 㐉 ᠷ〙⡩ᡓ 㐇 1

b) Betragsoptimum

Daraus folgt: ᠷ〙⡰ 㐄 3,25 und ᡆぁ 㐄 3,71.

c) Minimierung des quadratischen Güteintegrals

Für das Güteintegral ergibt sich:

2 ᡱ⡲^ ㎗ ᡱ⡱^ ㎗ 2 ᡱ⡰^ ㎗ 䙦0.5 ㎗ ᠷ〙⡰ᡆ〙⡰ᡱ䙧 ㎗ ᠷ〙⡰

Zu analysieren ist somit die Funktion ᠶ_4 ; eine einfache Lösung ergibt sich auf deren Rand für ᠶ⡲ 㐄 0. Dann muss gelten:

ᠷ〙⡰⡰^ ᡆ〙⡰⡰^ ㎘ 2 ᠷ〙⡰⡰^ ᡆ〙⡰ ㎗ ᠷ〙⡰ 㐄 0

Dies führt auf die quadratische Funktion: ᡆ〙⡰⡰^ ㎘ 2 ᡆ〙⡰ ㎗

ᠷ〙⡰^ 㐄^0

mit der Lösung:

ᡆ〙⡰ 㐄 1 ᒖ 㒖1 ㎘