Notizen zu Mechanik: Grundlagen und Statik, Mitschriften von Mechanik

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Notizen zu

Mechanik

Dominik Zobel

[email protected]

Version: Februar 2014

Änderung(en): Satzbau und Einheiten (S. 4 und S. 16)

Inhaltsverzeichnis

• 1 Grundlagen Vorwort i
  • 1.1 Begriffsklärung
  • 1.2 Koordinatensystem
  • 1.3 Sinus und Kosinus
  • 1.4 Geometrie an Dreiecken
  • 1.5 Additionstheoreme
  • 1.6 Vektorrechnung
  • 1.7 Koordinatentransformation
• 2 Statik
  • 2.1 Konventionen
  • 2.2 Belastungsarten
  • 2.3 Gleichgewichtsbedingungen
  • 2.4 Freischneiden
  • 2.5 Lager- und Gelenktypen
  • 2.6 Bestimmtheit
  • 2.7 Schwerpunkte
  • 2.8 Schnittverläufe
  • 2.9 Fachwerke
  • 2.10 Reibung
  • 2.11 Seilstatik

Abschnitte erklärt worden ist. Falls dem nicht so ist, oder wichtige Informationen fehlen, dann freue ich mich über entsprechende Anregungen und Kritik.

Die Gleichungen sind mit (#Seitenzahl.#Nummer) durchnummeriert. Es finden sich auch folgende Abkürzungen:

ANS : Eine Merkregel oder anschauliche Erklärung. EXT : Weiterführende Erklärungen oder Zusammenhänge, die für ein bes- seres Verständnis gut zu wissen sind. SYN : Synonyme werden gegenüber gestellt, die gleichbedeutend sind.

Quellen und Dank

Die meisten Informationen stammen aus den Vorlesungen bzw. offiziellen Unterlagen zu Mechanik 1–4 der TU Hamburg-Harburg zwischen 2008 und 2012. Aus dem Technischen Taschenbuch (INA) stammen die Werte einiger Tabellen (z. B. Trägheiten oder Schwer- punkte). Alle Zeichnungen dieser Zusammenschrift sind selbst erstellt (mit Ausnahme des CC-Logos auf Seite iii), wobei manche an den Vorlesungsunterlagen oder dem INA orientiert sind.

An dieser Stelle möchte ich mich bei Michael Szelwis und Robin Zinkmann bedanken. Durch Euch entstanden die Mechanik Lernwochenenden, die mich maßgeblich dazu veranlasst haben, das hier zu schreiben und zu veröffentlichen.

Teststadium

Abschließend möchte ich darauf hinweisen, dass sich diese Zusammenschrift noch nicht in ihrer Endversion befindet. Möglicherweise fehlen noch wichtige Informationen oder es haben sich Fehler eingeschlichen. Wie es sich für einen Ingenieur gehört, sollte man alles kritisch hinterfragen und bei Bedarf gegenprüfen oder widerlegen. Ich bin über jeden Hinweis auf Fehler dankbar und freue mich auch generell über konstruktive Kritik und Verbesserungsvorschläge.

Die neuste Version ist hinterlegt unter: http://seriousjr.kyomu.43-1.org/notizen/

Hamburg, 2013

iii

1 Grundlagen

In diesem Kapitel werden die mathematischen Grundlagen aufgeführt. Dabei werden wichtige Begriffe vorgestellt und Zusammenhänge verdeutlicht, die für das Verständnis und die Berechnung mechanischer Problemestellungen relativ zentral sind. Neben der Ausrichtung eines Koordinatensystems wird ein Schwerpunkt auf Winkelzusammenhän- ge und trigonometrische Funktionen gelegt. Abschließend werden wichtige Punkte der Vektorrechnung und die Koordinatentransformationen angesprochen.

1.1 Begriffsklärung – starr, homogen 1.2 Koordinatensystem – Rechtssystem 1.3 Sinus und Kosinus – Zusammenhang, Symmetrie, Bogen- maß, wichtige Werte 1.4 Geometrie an Dreiecken – beliebig, rechtwinklig, Pro- jektion, Winkelzusammenhänge 1.5 Additionstheoreme 1.6 Vektorrechnung – Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Matrix- multiplikation 1.7 Koordinatentransformation – Drehungen

Koordinatensystem

Es werden nur Orthogonalsysteme betrachtet (d. h. alle Koordinaten- achsen stehen senkrecht aufeinander). Dabei lassen sich zwei Typen unterscheiden: Linkssysteme und Rechtssysteme. Beliebige Drehungen und Verschiebungen ändern den Typ des Koordinatensystems nicht. Hier werden nur Rechtssysteme betrachtet, da sich in Linkssystemen Vorzei- chen im Kreuzprodukt und somit Momentengleichgewichte ändern. Ein Koordinatensystem kann – wenn nicht gegeben – frei gewählt werden.

y x z ′ y ′ x

z

y

x

z

z ′

y x z y (^) x

z

Beispielhaft sind hier zwei Linkssysteme auf der linken Seite und zwei Rechtssysteme auf der rechten Seite dargestellt. Zeigt die dritte Achse in die Zeichenebene hinein, so ist sie mit gekennzeichnet. Kommt sie aus der Zeichenebene heraus, so ist das mit angedeutet. In der Mitte ist zu sehen, wie durch Umkehren einer Achsenrichtung ein Linkssystem in ein Rechtssystem überführt werden kann. (Linkssystem x – y – z ′^ und Rechtssystem x – y – z ).

Um zu überprüfen, was für ein Koordinatensystem vorliegt, stellt man sich die Drehung einer einzelnen Koordinatenachse vor. Dreht man beispielsweise die x -Achse um 90 ◦^ gegen den Uhrzeigersinn um die (positive) z -Achse, dann zeigt sie für ein Rechtssystem in die gleiche Richtung wie die y -Achse (in einem Linkssystem in die entgegengesetzte Richtung).

ANS x

y

z

Rechte-Hand-Regel zur Überprüfung eines Rechtssys- tems. Der Daumen zeigt in x -Richtung, Zeigefinder in y -Richtung und Mittelfinger in z -Richtung. Analog wäre für Linkssysteme die linke Hand zu verwenden.

ANS

z

y

QIII

QI

QIV

QII

x

Eine Ebene kann am Koordinatensystem in Quadranten unterteilt werden. Dabei ist der erste Quadrant QI immer dort, wo beide Koordinatenrich- tungen positiv sind. Anschließend wird für die restlichen Quadranten gegen den Uhrzeigersinn durchgezählt.

Sinus und Kosinus

Für Untersuchungen am Kreis oder Projektionen mit Winkeln ist die Ver- wendung der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus elementar. Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, die Kosinusfunk- tion spiegelsymmetrisch zur y-Achse. Beide Funktionen haben verwandte hyperbolische Funktionen.

a) Allgemeine Zusammenhänge

α ′^ = π 180 · α ◦^ (4.1)

Winkel können im Bogenmaß oder in Grad angege- ben werden. Die Umrechnung eines Winkels in Grad ( α ◦) zu einem Winkel im Bogenmaß ( α ′) lautet:

sin ( x ) = − sin (− x ) cos ( x ) = cos (− x ) (4.2)

x

y

− 2 π − π

π (^) 2 π

sin ( x ) cos ( x )

Wie man an den Funktionsverläufen und Gleichungen (4.2) sehen kann, ist der Sinus eine punktsymmetrische und der Kosinus eine spiegelsymmetrische Funktion. Beide Funktionen sind 2 π -periodisch.

ψ r

ψ

P

y

x

Die Kosinusfunktion kann auch als verschobene Sinus- funktion aufgefasst werden. Dieser Zusammenhang ist neben dem Funktionsgraphen auch am Kreis gut zu sehen. Zwischen dem oberen Schnittpunkt des Kreises mit der y - Achse, dem Kreismittelpunkt und dem Punkt P befindet sich der Winkel ψ. Dadurch ist r sin ( ψ ) der x -Anteil von P und r cos ( ψ ) der y -Anteil. Nach ψ = 90◦^ = π 2 wird die Sinusfunktion zu Eins und die Kosinusfunktion zu Null. Der x -Anteil kann also auch als r cos

( ψ − π 2

) und der y -Anteil als − r sin

( ψ − π 2

) geschrieben werden.

cos ( x ) = sin

( x + π 2

) (4.3)

Diese Verschiebung von Sinus und Kosinus kann ganz allgemein, wie beispielsweise in Gleichung (4.3), beschrieben werden.

sin (0◦) = 0 = cos (90◦) sin (30◦) =

√ 1 2 =^12 =^ cos (60◦) sin (45◦) =

√ 2 2 =^ cos (45◦) sin (60◦) =

√ 3 2 =^ cos (30◦) sin (90◦) =

√ 4 2 = 1^ =^ cos (0◦)

Geometrie an Dreiecken

Zusammenhänge von Längen und Winkeln sind am Dreieck leicht zu untersuchen. Das Hauptinteresse liegt neben den Winkelzusammenhängen an der Ermittlung der Anteile von Vektoren, Längen und Kräften in bestimmte Richtungen (Projektion). Dafür müssen spezielle, rechtwinklige Dreiecke betrachtet werden (Zwei Seiten des Dreiecks – die Katheten – stehen senkrecht aufeinander).

a) Winkelerkennung:

Es ist wichtig, Winkel identifizieren und sie „wieder finden“ zu können. Anfangs helfen parallele oder/und orthogonale Linien, später erkennt man vieles von ganz alleine.

ANS

α β (^) α

β

α (^) β

φ

φ

90 ◦− φ

α β (^) α

β

Bei einem Schnitt von zwei Linien sei der Schnittwin- kel von Linie 2 zu Linie 1 (gegen den Uhrzeigersinn) α. Dadurch ergibt sich für den Gegenwinkel β = 180◦^ − α. Aufgrund der (Punkt - )symmetrie müssen die anderen beiden Winkel auch wieder α und β sein (Scheitelwin- kel). Schneidet eine dritte Linie die zweite Linie und ist parallel zur ersten, so sind auch hier auf Grund der Symmetrie die Winkel α und β wieder zu finden (Stufen- und Wechselwinkel). Bei einem Schnitt von Linie 4 mit einem rechtwink- ligen Element 5 werden diese Regeln angewendet. Da der Winkel φ auch an einer Hilfslinie im zwei- ten Schnittpunkt angreift, die orthogonal ist, findet sich der anliegende Winkel 90 ◦^ − φ.

ANS

Mit diesen Winkelbeziehungen lassen sich auch Winkel an komplexeren Gebilden iden- tifizieren. Zuerst zeichnet oder denkt man sich parallele und orthogonale Hilfslinien in der Umgebung der bekannten Winkel. Anschließend können schrittweise alle auftretenden Winkel erkannt werden.

ψ ψ

y

x

ξ ψ

y

x

ξ ψ

y

x

ξ ψ

ψ

ψ + ξ

ψ + ξ

b) Beliebige Dreiecke:

Bei einem beliebigen Dreieck mit den Seitenlängen a , b , c und den dazugehörigen, gegenüber liegenden Winkeln α , β und γ gelten folgende Beziehungen:

α

β

γ

c

a

b

h

Winkelsumme: α + β + γ = 180◦^ (7.1)

Sinussatz^2 : a sin ( α ) =^

b sin ( β ) =^

c sin ( γ ) (7.2)

Kosinussatz^3 : (^) c (^2) = a (^2) + b (^2) − 2 ab cos ( γ ) (7.3)

Da sich jeder n -eckige Körper ( n ≥ 3 ) in n − 2 Dreiecke zerlegen lässt, hat ein n -eckiger Körper eine Innenwinkelsumme von ( n − 2) · 180 ◦^ Dabei dürfen nur die vorhandenen Ecken als Eckpunkte der neuen Dreiecke verwendet werden.

c) Rechtwinklige Dreiecke:

Allgemein kann jedes beliebige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke aufgeteilt werden. Am rechtwinkligen Dreieck kann die längste Seite (Hypotenuse) auf die orthogonalen Richtungen (Katheten) projiziert werden. Die Idee wird für Vektorprojektionen in Abschnitt 1.6 genauer untersucht und für dreidimensionale Stabkräfte in Abschnitt 2.9.

Bei einem rechtwinkligen Dreieck gelten folgende Zusammenhänge:

α

β

c

a

b

Satz des Pythagoras: c^2 = a^2 + b^2 (7.4)

Projektion der Hypotenuse: a = c sin ( α ) = c cos ( β ) b = c sin ( β ) = c cos ( α ) (7.5)

b a

b (^) a b a

c

FD p^ FB h h^ q FR c

p q

Ein kurzer Beweis zum Satz des Pythagoras: Ein Dreieck kann über die Höhe in zwei ähnliche Dreiecke geteilt werden. Da eine Fläche quadratisch zu einer ihrer Längen skaliert, kann man sie mit einer Konstanten^4 k ausdrücken. Es gilt FD = c^2 k, FB = b^2 k und FR = a^2 k. Da sich die Flächen aufaddieren müssen ( FD = FB + FR ) gilt folglich c^2 = b^2 + a^2. (^2) Herleitbar über die Höhen. Beispielsweise gilt am beliebigen Dreieck oben h = sin ( γ ) a = sin ( α ) c. (^3) Kann mit Hilfe des Satzes von Pythagoras und Projektionen gezeigt werden. Zerlege das beliebige Dreieck über die Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke. Es gilt c^2 = c^2 cos^2 ( β ) + h^2 , b^2 = b^2 cos^2 ( γ ) + h^2 4 und^ a^ =^ b^ cos ( γ ) +^ c^ cos ( β ). Daraus folgt unmittelbar der Kosinussatz. Die Konstante muss für die gleiche Seite in ähnlichen Dreiecken gleich sein.

Vektorrechnung

Annahmen nur bis zum R^3 Rechtssystem Vektoren haben einen Betrag und eine Richtung. Sie sind normalerweise mit einem Pfeil über dem Namen gekennzeichnet. Ein Vektor ~r hat den Betrag/die Länge r = | ~r |. Auch wenn die Konzepte auf den R n^ erweiterbar sind, wird im Folgenden nur der R^3 betrachtet. Sofern keine weitere Dimen- sionsangabe vorliegt, werden hier also standardmäßig dreidimensionale Spaltenvektoren in der Form ~r =

( rx ry rz

) T verwendet.

a) Vektoren

x y

z rx

ry

rz ~r

Neben den eindimensionalen Werten (einfache Zahlen/Skalare) gibt es auch mehrdimensionale Werte mit Skalare in jeder Di- mension: Vektoren. Je nach Ausrichtung spricht man entweder von Zeilenvektoren oder Spaltenvektoren.

~r =

  

rx ry rz

   =

( rx ry rz

) T (9.1)

Ein Vektor der Dimension 1 × 3 (Zeilendi- mension × Spaltendimension), wie rechts dargestellt, ist ein Spaltenvektor. Er kann über seine Transponierte als Zeilenvektor (Dimension 3 × 1 ) geschrieben werden.^5

μ~r =

  

μrx μry μrz

   (9.2)

~r + ~s =

  

rx + sx ry + sy rz + sz

   (9.3)

Vektoren können einfach mit einem Skalar μ multi- pliziert werden, indem jede Vektorkomponente mit dem Skalar multipliziert wird (Gleichung (9.2)). Die Addition von zwei Vektoren ist nur möglich, wenn beide die gleiche Dimension m und die glei- che Ausrichtung haben (beide Spaltenvektoren mit Dimension m × 1 oder beide Zeilenvektoren mit Dimension 1 × m ). Dann können die Komponenten in der gleichen Position addiert werden.

< ~r, ~s > = rs cos ( ψ ) (9.4)

~r T^ ~s = rxsx + rysy + rz sz (9.5)

Das Skalarprodukt definiert eine Multi- plikation von zwei Spaltenvektoren ~r , ~s gleicher Dimension. Zwischen den Vekto- ren befindet sich der Winkel ψ. Wenn die Achsen rechtwinklig aufeinander stehen – wie bei kartesischen Koordinaten – dann kann das Skalarprodukt an Hand von Gleichung (9.5) berechnet werden. (^5) Und umgekehrt natürlich auch.

Dabei ist ~r T^ ein Zeilenvektor der Dimension 1 × m und ~s ein Spaltenvektor der Dimension m × 1. Das Ergebnis ist immer ein Skalar.^6

ANS

Das Skalarprodukt ist das Produkt der gleichgerichteten Anteile von zwei Vektoren. ANS

~r ~s ~pr → s

~pr → s = < ~r, ~ | ~s | s > 2 ~s (10.1)

Mit Hilfe des Skalarprodukts kann auch die Projektion von einem Vek- tor ~r auf einen anderen Vektor ~s durchgeführt werden. Zuerst wird aus dem Skalarprodukt der gleichgerich- tete Anteil von ~r in die Richtung von ~s bestimmt ( <~r,~ | ~ss> | ). Anschließend wird er mit der Richtung von ~s multipliziert ( (^) | ~s~s | ), was Gleichung (10.1) ergibt. Schließlich kann aus zwei Vektoren noch das Kreuzprodukt gebildet werden. Es entsteht ein Vektor, der senkrecht auf der aufgespannten Ebene der beiden Ausgangsvektoren steht. Der Betrag des neuen Vektors entspricht der Fläche des Parallelogramms, das von den ersten beiden Vektoren aufgespannt wird.

~r × ~s

x y

z ~r sz ~s

| ~r × ~s | rx

rz ry

sx (^) sy^ ~r^ ×^ ~s^ =

  

rx ry rz

   ×

  

sx sy sz

   =

  

rysz − rz sy − rxsz + rz sx rxsy − rysx

   (10.2)

Beispiel

Berechnung von Kreuzprodukten – z. B. mit der Regel von Sarrus:   

rx ry rz

   ×

  

sx sy sz

   =

rx sx ex rx sx ry sy ey ry sy rz sz ez rz sz

= rxsyez + sxeyrz + exrysz − rz syex − sz eyrx − ez rysx

  

rysz − rz sy − rxsz + rz sx rxsy − rysx

  

Dazu schreibt man die beiden Ausgangsvektoren, einen Achsenvektor ( ex ey ez

) T und nochmal die Ausgangsvektoren nebeneinander. An- schließend werden erst die Terme diagonal von links oben nach rechts unten positiv miteinander multipliziert und dann dann diagonal von links unten nach rechts oben negativ. Der Achsenvektor zeigt an, zu welcher Koordinate der jeweilige Term gehört.

Beispiel

(^6) Die Multiplikation ~s~r T (^) ist auch definiert und ergibt eine m × m Matrix (das dyadische Produkt).

Koordinatentransformation

Annahmen Rechtssystem Als Transformation werden Verschiebungen und Drehungen bezeichnet. In diesem Abschnitt werden nur Drehungen und Spiegelungen des Koordina- tensystems betrachtet. Die dazugehörigen Transformationsmatrizen sind konstant und orthogonal (bzw. die Vektoren der Matrizen orthonormal).

y (^) x

z

y ′^ x ′

z ′

α Da das Koordinatensystem oft frei gewählt werden kann, kann es erforderlich sein, Vektoren von ein Koordinatensystem in ein anderes zu transformieren. Dazu wird ein Vektor r ′ K aus dem mit K ′^ bezeichnetem System an die Drehmatrix vom gestrichenen ins ungestrischene System multipliziert ( CKK ′ ). Der Vektor rK ist das Ergebnis, das mit Koordinaten des K -Systems den gleichen Vektor beschreibt. Mit der allgemeinen Drehmatrix aus Gleichung (12.1) kann jede Verdrehung und Spiegelung dargestellt werden.^8

rK = CKK ′^ r ′ K ⇔

  

rx ry rz

   =

  

cos ( x, x ′) cos ( x, y ′) cos ( x, z ′) cos ( y, x ′) cos ( y, y ′) cos ( y, z ′) cos ( z, x ′) cos ( z, y ′) cos ( z, z ′)

  

  

r ′ x r ′ y r z ′

   (12.1)

CKK ′^ = CKT ′ K (12.2)

Statt der Transformation vom ungestrichenen ins ge- strichene System kann auch der umgekehrte Fall ge- sucht sein. Dazu gilt der rechts aufgezeigte Zusammen- hang, dass die Transponierte der Rücktransformation entspricht. y

x z

y ′

z ′

α^ x ′

CKK ′ =

  

cos ( α ) − sin ( α ) 0 sin ( α ) cos ( α ) 0 0 0 1

  

In allen Fällen, in denen die Drehachse auf einer Ko- ordinatenachse liegt (wie die z -Achse links), kann die Drehmatrix aus Gleichung (12.1) recht einfach bestimmt werden: Auf der Hauptdiagonalen befinden sich posi- tive Kosinusterme und eine Eins in der Koordinate der Drehachse. In der Spalte und Zeile, die kreuzförmig auf die Eins treffen, sind Nullen. Die beiden übrigen Terme sind ein positiver und ein negativer Sinusterm. Wie auch im Bild zu sehen ist, ist ein Winkel zwischen der einen Koordinatenrichtung vor der Drehung und der anderen nach der Drehung größer als 90 ◦^ (hier: x – y ′). In der entsprechenden Position (vgl. Matrix in Gleichung (12.1)) steht der negative Sinusterm.^9

(^8) Es können somit auch Linkssysteme in Rechtssysteme überführt werden und umgekehrt. (^9) Da cos (90◦ (^) + α ) = − sin ( α ) – siehe z. B. Gleichung (8.3).

SYN

Drehung gegen den Uhrzeigersinn ⇔ math. positive Drehung ⇔ Drehung nach rechts SYN

y

x z

y †^ x †

z †

CKK † =

  

  

 

x y z

  (^) =

 

1 0 0 0 0 − 1 0 1 0

 

 

x † y † z †

 

Bei einer Spiegelung an einer Koordinatenachse kann wiederum eine vereinfachte Form von Gleichung (12.1) angewendet werden. Jede der drei neuen Richtungen (†) wird positiv (1) oder negativ (-1) auf eine der Aus- gangsrichtungen gelegt. Die restlichen Einträge der Matrix sind Null. Eine Überprüfung kann beispiels- weise durch Anmultiplizieren eines Koordinatenvektors ( x †^ y †^ z †

) T an die Drehmatrix geschehen, der an- schließend deckungsgleich mit

( x y z

) T sein muss.

Es ist auch möglich, mehrere Teildrehungen zu beschreiben und die einzelnen Drehmatrizen für eine Gesamtdrehmatrix nacheinander aufzumultiplizieren.

Beispiel

y

x z

y ′^ x ′

z ′

α Die Transformationsmatrix vom^ K - ins K ′-System kann mit Hilfe von Gleichung (12.1) bestimmt werden zu:

CKK ′^ =

 ^ cos ( α )^ cos (

◦) cos (90◦ (^) − α ) cos (90◦^ − α ) cos (90◦) cos (180◦^ − α ) cos (90◦) cos (0◦) cos (90◦)

  =

  

cos ( α ) 0 sin ( α ) sin ( α ) 0 − cos ( α ) 0 1 0

  

Es handelt sich hier nicht (nur) um eine reine Drehung. Aber jede Trans- formationsmatrix kann durch eine Spiegelung mit anschließender Drehung beschrieben werden. y

x z

y †^ x †

z †

y ′^ x ′

z ′

α Dabei wird zuerst die Spiegelung ins K †-System betrachtet, dann die Drehung vom K †-System ins K ′- System.

CKK † =

  

   CK † K ′ =

  

cos ( α ) 0 sin ( α ) 0 1 0 − sin ( α ) 0 cos ( α )

  

CKK ′ = CKK † CK † K ′ =

  

  

  

cos ( α ) 0 sin ( α ) 0 1 0 − sin ( α ) 0 cos ( α )

  

  

cos ( α ) 0 sin ( α ) sin ( α ) 0 − cos ( α ) 0 1 0

  

Beispiel

Konventionen

Annahmen starres System statisch bestimmt Es werden nur Rechtssysteme verwendet. Bei einem Schnitt sind an beiden Schnittufern gleichgroße, entgegengesetzte Belastungen anzunehmen.

a) Rechtssystem

y

x z y (^) x

z

Für die Berechnungen werden (hier) nur Rechtssysteme (siehe Abschnitt 1.2) verwendet. Der Grund liegt in der Definition des Kreuzproduktes (siehe Abschnitt 1.6), das für Momentengleichgewichte direkt oder indirekt benutzt wird. Dadurch sind die Ergebnisse unabhängig von der Wahl der Ausrich- tung des Rechtssystems mit anderen Rechnungen in einem Rechtssystem vergleichbar und übertragbar.

b) Masselos, reibungsfrei

Immer wieder werden in der Statik einzelne Bauteile als masselos angesehen, da man sich für spezielle Zusammenhänge unter idealisierten Bedingungen interessiert. In der Regel geht aus der Aufgabenstellung eindeutig hervor, ob/welche Bauteile massebehaftet sind.

Das Gleiche gilt für Reibung (siehe Abschnitt 2.10). Wenn keine Reibkoeffizienten zwischen zwei Berührungspunkten/Flächen angegeben (oder gesucht) sind, werden die Auflageflächen als reibungsfrei angenommen.

c) Entgegengesetzte Schnittufer

System

Rest

Sowohl beim Freischneiden (siehe Abschnitt 2.4), als auch beim allgemeinen Schneiden wird ein System aufgeteilt: Der (heraus-) geschnittene Teil und der „Rest“. An jedem Schnitt entstehen zwei Schnittufer (positives und negatives) mit entgegengesetz- ten Belastungen.^10 Es wird angenommen, dass die Größen am positiven Schnittufer in positive Koordinatenrichtung zeigen.

Im Folgenden werden beim Freischneiden alle am freigeschnittenen System angreifenden Belastungen (v. a. Lagerreaktionen, siehe Abschnitt 2.5) positiv angenommen. Das ist zwar nicht notwendig, hat aber den Effekt, dass alle Schnittgrößen im freigeschnittenen System in positive Koordinatenrichtungen zeigen.

Werden andere Richtungen gewählt, so haben die Belastungen zwar noch den gleichen Betrag, aber möglicherweise ein anderes Vorzeichen (Richtung). Betrachtet man die Belas- tungen entsprechend Ihrer Belastungsrichtung, so müssen alle Ergebnisse gleich sein. (^10) Da die Größen im ungeschnittenen System nicht vorkommen ist es völlig in Ordnung einfach zwei gleich große, entgegengesetzte Belastungen anzunehmen und sie dem jeweiligen Schnittufer zuzuweisen.

Belastungsarten

Die grundlegenden Belastungsarten sind Kräfte, Momente und Strecken- lasten.

a) Kräfte

Kräfte, als zentrale Belastungsart, werden in Newton gemessen [1 N = 1kgs· 2 m ]. Sie haben einen Betrag und eine Richtung und sind deshalb Vektoren.^11 Anschaulich kann man sich eine Kraft F als eine Masse m mit einer Beschleunigung a vorstellen ( F = ma , zweites Newtonsches Gesetz). Alle massebehafteten Teile erfahren somit eine Gewichtskraft mg mit Erdbeschleunigung g ≈ 9_._ 81 ms 2.

F

Ein Kraftvektor kann beliebig auf seiner Wirkungslinie verschoben werden, aber Verschiebungen senkrecht zur Wirkungslinie erzeugen ein Moment. Schneiden sich die Wirkungslinien von (zwei) Kräften in einem Punkt, so können die Kräfte einfach addiert werden. Falls sich die Wirkungslinien nicht (alle) schneiden, so können die Kräfte zwar auch addiert werden, aber es entstehen wiederum Momente, die berücksichtigt werden müssen.

Allgemein werden Kräfte, die auf allgemeine physikalische Gesetze zurückgehen (Gewichts- kraft, Federkraft und Reibkraft) als eingeprägte Kräfte bezeichnet. Eine andere Art der Unterteilung sind konservative Kräfte (keine Dissipation d. h. Energieverluste durch Wärme etc.) und nichtkonservative Kräfte (wie Reibkräfte).

b) Momente

M = r × F (16.1)

Eine weitere Belastungsart sind Momente (bzw. Drehmomen- te), die eine rotatorische Belastung am System beschreiben und in [Nm] angegeben werden. Sie können als freie Momente auftreten oder durch dezentral angreifende Kräfte entstehen (Hebelarm × Kraft).

F

r F^ ′

− r × F

Kräfte können ohne Einschränkung entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden. Möchte man eine Kraft senkrecht zu ihrer Wirkungslinie verschieben, so müssen Maßnahmen getroffen werden, dass sich das System nicht verdreht.

Da die Kraft nach der Verschiebung immer noch den gleichen Betrag und die gleiche Richtung hat ( F = F ′ ), kann das entstehende Ungleichgewicht nicht durch eine weitere Kraft behoben werden.^12 Es wird eine Gegenverdrehung − r × F benötigt, damit das System im Gleichgewicht bleibt (siehe Gleichgewichtsbedingungen, Abschnitt 2.3). (^11) Hier wird auf die typische Kennzeichnung eines Vektors mit Pfeil ( F~ ) verzichtet, da die Richtung immer 12 aus dem Kontext hervorgeht. Als Angabe und Rechengröße wird der Betrag verwendet ( F^ =^ |^ F~^ |). Eine einzelne weitere Kraft würde das Kräftegleichgewicht zerstören.