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1D PHOTONISCHE KRISTALLE
Berechnung der Dispersionsrelation und der Zustandsdichte
elektromagnetischer Wellen
Betrachtet wird die Lichtausbreitung in einem 1D photonischen Kristall. Dieser besteht
aus einer periodischen Anordnung zweier dielektrischer Schichten mit verschiedenen
Lichtgeschwindigkeiten c1 und c2. Schematisch dargestellt ist dies in Abbildung 1.
Die Längen b und a − b bezeichnen die Dicken der einzelnen Schichten, sodass die
Lichtgeschwindigkeit mit der Periode a moduliert ist. Diese stufenartige Modulation der
Lichtgeschwindigkeit ist analog zum periodischen Kristallpotential im KRONIG-
PENNEY Modell, mit ähnlichen Konsequenzen. Gleich wie es bei Elektronen in einem
Festkörper zur Ausbildung einer Bandlücke kommt, weisen auch photonische Kristalle
eine sogenannte photonische Bandlücke auf. Folge davon ist, dass sich keine Lichtwel-
len mit Frequenzen innerhalb der Bandlücke im Kristall ausbreiten können. Der Re-
chenweg zur Ermittlung der Dispersionsrelation ω(k) und der Zustandsdichte D(ω) ent-
spricht dabei weitgehend dem des KRONIG-PENNEY Modells, bloß mit dem Unter-
schied, dass nicht die Schrödingergleichung sondern die Wellengleichung den Aus-
gangspunkt bildet.
Herleitung der Relationen
Gesucht werden Lösungen der 1D Wellengleichung
(1)
wobei c(x) die Periodizität a des photonischen Kristalls aufweist. Analog zur Lösung
der Schrödingergleichung für Elektronen in einem periodischen Potential muss auch
U(x, t) die Form einer Bloch-Funktion haben:
(2)
uk(x) muss wiederum invariant gegenüber Translationen um einen Gittervektor sein:
uk(x + T) = uk(x), mit T = u · a, u ∈ Z.
Fasst man die von x abhängigen Terme in Glg. (2) zu u(x) zusammen, also
