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- Mechanik
1.1 Kinematik
1.1.1 Beschreibung von Bewegungen
- In der Physik wird unter einer Bewegung eines Körpers die
Veränderung seines Ortes mit der Zeit relativ zu einem Bezugssystem
(Koordinatensystem) verstanden.
- Zur Beschreibung der Bewegung eines Körpers es genügt in vielen
Fällen, die Ortsangabe auf einen bestimmten Punkt, zum Beispiel den
Schwerpunkt, des Körpers zu beziehen.
- Die Bewegung eines Körpers wird durch die Angabe seines Weges s
als Funktion der Zeit t beschrieben. Die Funktionsgleichung s = s(t)
heißt Zeit-Weg-Gesetzt.
Die Zuordnung von Zeit und Weg kann gegeben sein:
-> durch eine Wertetabelle, die Zeit-Weg-Tabelle.
-> durch ein Diagramm, das Zeit-Weg-Diagramm.
-> durch eine Gleichung, das Zeit-Weg-Gesetz.
t in min
s in NM
0
0
14
78
32
207
46
315
65
418
NM = Nautical miles
= 1,852 Km
s in NM
t in min
300
200
100
15 30
s = (385,8 NM/h) • t [mit s in NM und t in h]
,
1.1.2 Die gradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit
v =
s
t
v =
Δs
Δt
s 2 - s 1
t 2 - t 1
Zeit - Weg - Gesetz: s(t) = v • t
v
t
s
t
v 0
t 0
s 2
s 1
t (^1) t 2
p 2
p 1
p 1 (t 1 /s 1 )
p 2 (t 2 /s 2 )
1.1.3 Durchschnitts -/ Intervallgeschwindigkeit v
s 1
s 2
s
t (^1) t (^2) t
p 2
p 1 p 2 (t 2 /s 2 )
p 1 (t 1 /s 1 )
Δs
Δt
s 2 - s 1
t 2 - t 1
= v
1.1.3 Momentangeschwindigkeit
v = lim Δt -> 0
Δs
Δt
= lim t 2 -> t 1
Δs
Δt
s 2 - s 1
t 2 - t 1
s
t
s 2
s 1
t 1 t 2
p 1
p 2
p 1 (t 1 /s 1 )
p 2 (t 2 /s 2 )
= Tangente
μ μ
so
a
a.
Emaar
(^1) Gr
1.1.5 Der freie Fall
- Die Fallbewegung eines Körpers im luftleeren Raum heißt freier Fall. Alle
Körper fallen im luftleeren Raum gleich schnell.
- Die Fall - oder Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s
-> ist Konstant
2
Die Bewegungsgesetze des freien Falls lauten:
- Beschleunigung = a = g = 9,81 m/s
- Geschwindigkeit = v = g • t
- Strecke = s = • g • t
2
2
Berechnung der Endgeschwindigkeit:
s = • g • t v = g • t
1
2
2
<=> t =
v
g
einsetzen
s = • g •
1
2
v
g 2
2
s = •
1
2
v
g
2
= • • v
1
2
1
g
2
<=> v = 2 • g • s = 2•g•s
2
1.1.6 Allgemeine Bewegungsgesetze
Bewegungen mit konstanter Beschleunigung:
z.B. • Abbremsen eines Fahrzeuges.
a =
Δv v2 - v
Δt t2 - t
Wenn die Anfangsgeschwindigkeit mit vo bezeichnet wird und die Messung
startet beim Beginn der Beschleunigung, so gilt:
a =
Δv v(t) - vo
Δt t
Daraus folgt für die Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz dieser Bewegung die
Gleichung:
v (t) = vo + a • t
Allgemeine Bewegungsgesetze für geradlinige Bewegungen mit
konstanter Beschleunigung:
Zeit-Weg-Gesetz: s = so + vo • t + 0,5 • a • t
Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz: (^) v = vo + a • t
Zeit-Beschleunigung-Gesetz: a = konstant
2
Wenn der Körper sich beim Beginn der Zählung beim Ort so befindet gilt:
s = vo • t + 0,5 • a • t / s = so + vo • t + 0,5 • a • t
2
2
1.1.7 Nicht lineare Bewegungen - Wurfbewegungen
Senkrechter oder Schräger Wurf
y
x
vyo = vo • sin(
α )
vx = vo • cos(α)
sx = vo • t • cos(α)
vy = vo • sin(α)
= g • t
v
vy = 0
vx = vo • cos(α)
sy = vo • t • sin(α) - 0,5 • g • t
vx = vo • cos(α)
Beispiel
gleichmäßig beschleunigte Bewegung:
a (t) = -g = 9,81 m/s
v (t) = vyo - g • t
h (t) = vyo • t - 0,5 • g • t
2
2
gleichförmige Bewegung:
a (t) = 0
v (t) = vxo
s (t) = vxo • t
Berechnung von vyo: Berechnung von vxo: Berechnung von tsteig:
Berechnung von hmax: (^) Berechnung von twurf:
Berechnung der Wurfweite [s]:
a
A A
A (^) A
d
2
A^ μ
A
a
eis
Vyo (^) I. 32°
& ✓✗Op μ
SINK )^
40
V
( 05 (d ) =
" °
v.
Vltsteig)^
tsteig
= V90 =^211197
Vyo
= V0.^ Sin^ ( d^ )^
9 9,
Vyo
= 40. Sin ( 32 )
"° =^ V0 ° S ( t)
tsteig
= 2,16 (^) sek Vxo =^40. COS 132 ) =
Vyo
= (^) 21,197 MIS Vxo = 33, MIS = =
Sltwurf ) = Vxo. twurf
S (^) ( twurf ) = 33,92 • 4,
hmaxltsteig ) = Vyo . tsteig
- }. 9,81. tstwvrf = tsteig - 2 Sltwurf ) = 146,53m
hmax = 21,197.216 - 4,91. 2,162 twurf = 2,16 •^2 =
hma ✗ = 22,88 meter twurf
4,32 (^) sek = =
1.1.7 Nicht lineare Bewegungen - Wurfbewegungen
Senkrechter oder Schräger Wurf
Beispiel 2
gleichmäßig beschleunigte Bewegung:
a (t) = -g = 9,81 m/s
v (t) = vyo - g • t
h (t) = vyo • t - 0,5 • g • t
2
2
gleichförmige Bewegung:
a (t) = 0
v (t) = vxo
s (t) = vxo • t
Berechnung von vyo:
Berechnung von vxo: Berechnung von tsteig:
Berechnung von hmax:
Berechnung von twurf:
Berechnung der Wurfweite [s]:
✗ (^) •
7.20M
"
Vyo
✗ %
GÔ
Vyo
5in (^) (d) = V
Vyo
= V0. (^) Sin ( d (^) )
Vyo
= 20. Sin 160 )
Vyo
= 17,321 MIS =
u s
VXO
( 0512 )^
= V Vltsteig
)
0=
✓ (^) ✗ 0 = V0. COS (t)
Vyo
17,
✓✗ 0
20 . COSIGO) tsteig
=
g
= 9,
=
s
VXO
= (^10) MIS = 7
6
hmaxltsteig)^
= ftp.ts.J.g.tsztwurf-tsteig
(^) 2=1766.2--3,532 (^) s
hma ✗ = 17,321.1766 -491.^
hmax =^ 15,29 m
= Sltwurf )
5=10 • 3,532=35,32 (^) m
1.1.8 Die gleichförmige Kreisbewegung
r
r
α
ry^ δ
rx
az
v
- T = Umlaufdauer für eine Runde
- N = wie viele Runden nach (t)
- f = wie viele Runden nach einer Sekunde in Hrz/1s
-> f und T sind immer Konstant
• T =
- w = Winkelgeschwindigkeit = w = = = 2 • π • f
- s = Länge des Kreisbogens s = 2 • π • r = Δδ
- Δs = Länge vom Stück des Kreisbogens Δs = r • Δδ
- v = Vektorgeschwindigkeit
- v = Bahngeschwindigkeit v = = = 2 • π • r • f = r • w
- r = Radiusvektor
- az = Beschleunigungsvektor
- az = Zentripetalbeschleunigung az = lim = lim v• = v • w
- δ („phi“) = 2 • π • = w • t
N
t
1
T
t
N
1
s
Δδ
Δt
2 π
T
Δs
Δt
2 πr
T
Δv
Δt
Δδ
Δt
a*
360*
Beispiel
2=
÷
t 1 ' T
'
IE
= 30
45° 1
360°
= 8
= II
1 1 1
t
' T
'
.^ = 30 . 8 = 240
5
=
21T
21T
W =
= Jos
= 601T = 188,5 }
s 1m v.Í^ V^
= t
= 240s
= 240
M
=
s
Az = (^) V. (^) W
az =
Az =^ W
? r
a- → (^0) At → 0
1.1.8 Die gleichförmige Kreisbewegung
- Die Kreisbewegung ist ein periodischer Vorgang, da die Bahnkurve stets neu
durchgezogen wird.
- Ist die Geschwindigkeit konstant, dann ist es keine gleichförmige Bewegung.
- Für die Geschwindigkeit gilt:
- Die Winkelgeschwindigkeit w ist die Änderung des Winkels q mit der Zeit t.
- Für die Bahngeschwindigkeit v gilt:
- Damit ein Körper auf der Kreisbahn bleibt, muss ständig eine Kraft auf ihn
wirken. Diese Kraft ist auf den Kreismittelpunkt gerichtet. Die Kraft wird
Zentripetalkraft Fz genannt.
| v | = = =
| s |
ΔT
Kreisumfang
Umlaufdauer
2 • π • r
T
Drehfrequenz = f = n = Anzahl der Umläufe
n
t
| v | = = = 2 • π • r • = 2 • π • r • f
2 • π • r
T
2 • π • r
t/n
w = = = 2 • π • f
Δφ
Δt
2 • π
T
Einheit: 1/s
| v | = w • r =
2 • π • r
T
Radius —> r
Masse —> m
Winkelgeschwindigkeit —> w
Beeinflussen die Kraft
f-
1.2 Dynamik
1.2.1 Das Trägheitsprinzip
Galilei‘sches Trägheitsprinzip:
Ein sich selbst überlassener Körper bewegt sich ohne äußere Einwirkung geradlinig
gleichförmig oder bleibt in Ruhe.
Galilei‘sches Relativitätsgesetz:
Es gibt unendlich viele gleichberechtigte Inertialsysteme. Mit keinem Experiment der
Mechanik lässt sich feststellen, ob ein Inertialsystem in Ruhe oder in Bewegung ist.
Inertialsystem:
Ein Bezugssystem, indem „frei“ bewegliche Körper dem Trägheitsprinzip folgen, heißt
Inertialsystem. (inertia, lat.: Trägheit).
Jeder Körper behält seinen Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung
bei, falls er nicht durch äußere Einwirkungen gezwungen wird, seinen Zustand zu
ändern.
Dies bedeutet: nach dem Trägheitsgesetz bedarf es einer äußeren Einwirkung - einer
Kraft - in Richtung oder Betrag der Geschwindigkeit eines Körpers zu ändern.
Verschiedene Körper reagieren auf die gleiche Krafteinwirkung, allerdings mit
unterschiedlichen Geschwindigkeitsänderungen. Die Eigenschaft der Körper die für
die unterschiedliche Geschwindigkeitsänderung (bei gleich einwirkender
Kraft)verantwortlich ist, heißt träge Masse. Die Masse ist neben dem Weg und der
Zeit die dritte Grundgröße der Mechanik, ihre Einheit ist das Kilogramm: 1 kg.
Werden Körper mit gleicher träge Masse auf einer Waage gewogen, so sind sie
auch gleich schwer. Sie haben die gleiche schwere Masse.
1.2.2 Masse und Impuls
Die Masse
Neben der Zeit und die länger ist die Masse eines Körpers die dritte wichtige
Grundgröße der Physik.
Die Geschwindigkeiten der Gleiter stehen im umgekehrten Verhältnis zu ihren
Massen. m 1 - v 2
m 2 v 1
(- v 2 wegen entgegengesetzter Richtung zu v 1 )
Schwere und Trägheit sind Eigenschaften der Masse eines Körpers. Die Einheit
der Masse ist das Kilogramm: [m] = 1 kg.
Der Impuls
Aus der gewonnene Gleichung über das Verhältnis der Massen und der
Geschwindigkeiten kann so umgeformt werden, dass die Größen, die sich auf den
selben Körper beziehen, einen Term bilden:
m 1 • v 1 = - m 2 • v 2
Der Impuls p eines Körpers ist das Produkt aus seiner Masse m und seiner
Geschwindigkeit v:
p = m • v
Zentral unelastischen Stoß:
v1/2 = m 1 v 1 + m 2 v 2
m1 + m 2
v 1 = v 2 = v1/
E = 1 (v1 - v2) m 1 m 2
2 m1 + m 2
Energieerhaltung:
1 m 1 v1 + 1 m 2 v2 = 1 v1/2 (m1 + m2) + E
2 2 2
Impulserhaltung:
m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2
m 1 v 1 + m 2 v 2 = v1/2 (m 1 + m 2 )
Beide Körper haben die gleiche
Endgeschwindigkeit
also gilt:
m1 m2 m1 (^) m vor Stoß: (^) nach Stoß:
Sonderfall: m1 = m2 und V2 = 0 (vor dem Stoß)
Die Endgeschwindigkeit ist das Doppelte
der Anfangsgeschwindigkeit. (gilt nur
wenn beide Körper die gleiche Masse
haben!)
dann gilt auch:
E = Ekin = 1 Ekin = m V
4
2
V1/2 = V
2
Energieerhaltungssatz (^) 1 m1 v1 + 1 m2 v2 = 1 v1/2 (m1 + m2) + E
2 2 2
1 m1 v1 + 1 m2 v2 - 1 v1/2 (m1 + m2) = E
2 2 2 E = 1 (v1 - v2) m1 m
2 m1 + m
(binomische Formel)
m1 v1 + m2 v2 = m1 v1 + m2 v
m1 (v1 - v1) = m2 (v2 - v2)
m1 v1 + m2 v2 = v1/2 (m1 + m2)
v1/2 = m1 v1 + m2 v
m1 + m
v1 = v2 = v1/
Impulserhaltungssatz P1 + P2 = P1/
1.2.3 Impuls und Impulserhaltung
/ / /
1
/ 12 2 1
/ /
.
.
z.i.i.s.SI
a a • 9
2 2 /^2 ③
(^2 2 )
-. •. g ,
2
/ /
⑧ (^) / / • - (^9) • o ..
.
8 B ✓ / / /
(^2) / ☐.
Zentral elastischer Stoß:
m1 v1 + m2 v2 = m1 v1 + m2 v
m1 (v1 - v1) = m2 (v2 - v2)
Impulserhaltung:
p1 + p2 = p1 + p 2
1 m 1 v1 + 1 m 2 v2 = 1 m 1 v1 + 1 m 2 v 2
2 2 2 2
m 1 v1 + m 2 v2 = m 1 v1 + m 2 v 2
m1 (v1 - v1) = m2 (v2 - v2)
Energieerhaltung:
v1 + v1 = v2 + v 2
2 m2 v2 + v1 (m1 - m2) = v
m1 + m
2 m1 v1 + v2 (m2 - m1) = v
m1 + m
Somit kann man mit Hilfe des Energie - und
Impulserhaltungs, die Endgeschwindigkeiten "V1" und "V2"
berechnen.
m1 m2 m1 m
Der Impuls und die Energie bleiben erhalten.
vor Stoß: nach Stoß:
m1 (v1 - v1) = m2 (v2 - v2)
m1 (v1 - v1) = m2 (v2 - v2)
Energieerhaltungssatz
Impulserhaltungssatz
(v1 -v1)(v1 + v1) = (v2 - v2)(v2 + v2)
v1 - v1 v2 - v
v1 + v1 = v2 + v
(binomische Formel)
Im Impulserhaltungssatz einsetzen.
m1 (v1 - v1) = m2 (v1 + v1 - v2 - v2)
m1 v1 - m1 v1 = m2 v1 + m2 v1 - m2 2 v
m1 v1 - m2 v1 + m2 2 v2 = m2 v1 + m1 v
m1 v1 - m2 v1 + m2 2 v2 = v1 (m1 + m2)
v1 = 2 m2 v2 + v1 (m1 - m2)
m1 + m
v2 = 2 m1 v1 + v2 (m2 - m1)
m1 + m
1.2.3 Impuls und Impulserhaltung
/ (^) , ^ (^2 1 )
om m
2 2
' 2 ' 2 o O o O O O @ , /
/ /
' z (^12) 0 • (^8 ) / /
-. (^2) / 2 '^2 ② 8 / (^) ,
/^ / ② • 0 8 • °
2 Í^ Í^ 12 2 is
'
;
'
.. ÍÏ! -
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/ /^ /^ /
' (^) / / / (^).
- (^) • / ,^ /^ / 5 • o O O ⑨ .....
/ .
/
/ ° a or no •
r ° (^) , •
/ 8 & &
1.2.4 Der Impuls als Vektor
Allgemeine Impulserhaltungssatz:
In einem abgeschlossenen System aus n Körpern ist die (vektorielle) Summe der
Impulse zeitlich konstant:
m 1 • v 1 + m 2 • v 2 + ... + mn • vn = konstant
p 1 + p 2 + ... + pn = konstant
Schiefer elastischer Stoß auf eine Wand:
α β^
ppar
ppar
ppar
psenk
p‘senk
Δpsenk
Δpsenk =^ p‘senk^ - psenk
= 2p‘senk - 2psenk
p
p
Aus dem Impulserhaltungssatz folgt, dass die Komponente des Impulses ppar parallel
zur Wand beim Stoß unverändert bleibt:
ppar = p‘par
Für die senkrechte Impulskomponente gilt: psenk = - p‘senk
Wegen der Impulskomponente gilt das Reflexionsgesetz:
tan (α) =
| ppar |
| psenk |
= tan (β) =
| p‘par |
| p‘senk |
Also gilt: Einfallswinkel α = Ausfallswinkel β
De
te
1.2.4 Der Impuls als Vektor
Schwerpunktsatz:
Der (gemeinsame) Schwerpunkt von Körpern eines abgeschlossenen Systems
bewegt sich unabhängig von den Wechselwirkungen der Körper untereinander mit
(nach Betrag und Richtung) konstanter Geschwindigkeit.
Die Raketengleichung:
Im Bezugsystem, in dem der Schwerpunkt der Rakete ruht, ist der Gesamtimpuls
der Zeit t gleich null. In der Zeit Δt wird die Gasmasse Δm mit der
Relativgeschwindigkeit w < 0 ausgestoßen, wodurch sich die Geschwindigkeit der
Rakete um Δv verändert.
Also gilt mit Δm = m 2 - m 1 < 0 und der Geschwindigkeit der Gasmasse relativ
zum Schwerpunkt Δv + w:
0 = - Δm • (Δv + w) + (m + Δm) • Δv (w < 0, Δv > 0)
Woraus mit einer Umformung: 0 = - Δm • w + m • Δv
Und nach Division durch Δt: m • = • w
Δv
Δt
Δm
Δt
Während des Brennstoffverbrauchs verringert sich die Masse m der Rakete und
die Geschwindigkeitsänderungen Δv werden bei gleicher Ausströmgeschwindigkeit
w immer größer: Δv = w •
Δm
m
Die gesamte Geschwindigkeitsänderung (eine Summation der Änderungen Δv):
Integralrechnung
Zweite Raketengleichung:
v 2 - v 1 = - w • In (w < 0)
m 1
m 2
