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Institut f¨ur Analysis und Scientific Computing TU Wien Dr. E. Weinm¨uller SS 2018
P R A K T I S C H E M A T H E M A T I K I I F ¨U R T P H, (103.058)
Test 1 Gruppe A (Mo, 23.04.2018) (mit L¨osung ) — Unterlagen: eigenes VO-Skriptum. Taschenrechner ist erlaubt. Arbeitszeit: 90 min. —
↑ FAMILIENNAME ↑ Vorname ↑ Studium / Matr.Nr.
- (^) gesamt
Punkte maximal 18
Tragen Sie bitte oben Ihre pers¨onlichen Daten ein.
Als Grundlage f¨ur die Beurteilung dienen ausschließlich die in die entsprechenden K¨astchen eingetragenen Antworten. Machen Sie sich zun¨achst Notizen , und tragen Sie dann erst Ihre L¨osung samt Zusammenfassung des L¨osungweges ein!
Die Gr¨oße der K¨astchen ist auf die jeweilige Aufgabe abgestimmt. •
- Aufgabe 1. a ) (5 Punkte) Berechnen Sie explizit durch Integration das Flussintegral des Vektorfelds
a(x, y, z) =
x + yz^2 xz 5
durch den Rand von V := {(x, y, z) ∈ R^3 | x^2 + y^2 + z^2 ≤ R^2 , y ≥ 0 }. Hinweis: Uberlegen Sie, welche Teile des Integrals zu 0 werden. Weiters benutzen Sie wenn n¨¨ otig ∫^ π
0
cos^2 (x) dx =
∫^ π
0
sin^2 (x) dx = π 2
∫^ π
0
sin^3 (x) dx =^43
Das Volumen V ist eine Halbkugel im Bereich der positiven y-Achse mit Radius R. Sein Rand besteht aus der Oberfl¨ache der Halbkugel und einem Kreis mit Radius R im Koordinatenursprung der Ebene y = 0. ∫ ∂V
a · dS =
Kugelfl¨ache
a · dSKugelfl¨ache +
Kreis
a · dSKreis
Die Fl¨achenelemente dS ergeben sich durch Parametrisierung in Kugel- bzw. Zylinderkoordinaten:
Kugelf lache¨ =
x y z
R sin θ cos φ R sin θ sin φ R cos θ
(^) , θ = [0, π], φ = [0, π]
n · d(θ, φ) = dSKugelf l¨ache =
R^2 sin^2 θ cos φ R^2 sin^2 θ sin φ R^2 sin θ cos θ
(^) · d(θ, φ)
a(θ, φ) =
R sin θ cos φ + R^3 sin θ cos^2 θ sin φ R^2 sin θ cos θ cos φ 5
Kreisf l¨ache =
x y z
r cos ϕ 0 r sin ϕ
(^) , r = [0, R], ϕ = [0, 2 π]
n · d(r, ϕ) = dSKreis =
−r 0
(^) · d(r, ϕ)
a(r, ϕ) =
r cos ϕ r^2 sin ϕ cos ϕ 5
- Aufgabe 2. Gegeben sei das folgende Vektorfeld
f : R^3 → R^3 , (x, y, z) 7 →
ex^ cos(x) sin(z) xy^2
und die Fl¨ache F = {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 + z = 1, z ≥ 0 }. Berechnen Sie das Integral ∫ F rot(f ) · dS. Gehen Sie dabei in folgenden Teilschritten vor:
a ) (1,5 Punkte) Berechnen Sie die Rotation von f und finden Sie einen Normalvektor auf die gegebene Fl¨ache, der nach außen zeigt.
Bei der gegebenen Fl¨ache handelt es sich um ein nach unten offenes Paraboloid mit Scheitel in (0, 0 , 1). Formt man die Angabe auf z um, so erh¨alt man die Parametrisierung r =
x y 1 − x^2 − y^2
(^). Davon gilt es nun den Normalvektor zu bestimmmen.
Wir leiten r nach den Parametern x und y ab ∂r∂x =
− 2 x
, ∂r∂y =
− 2 y
(^) und bilden das Kreuzprodukt, um den Normalvektor zu erhalten.
n = ∂r∂x × (^) ∂y∂r =
2 x 2 y 1
Man sieht anhand der dritten Komponente, dass der Normalvektor nach oben zeigt. Die Rotation von f lautet rot(f ) =
2 xy − cos(z) −y^2 0
b ) (4,5 Punkte) Berechnen Sie mithilfe der Ergebnisse aus a) das gesuchte Integral
Damit kann nun das gesuchte Integral berechnet werden. Da z ≥ 0 gelten soll, folgt aus der Angabe direkt: x ∈ [−√ 1 − y^2 , √ 1 − y^2 ] und y ∈ [− 1 , 1] bzw. alternativ y ∈ [−√ 1 − x^2 , √ 1 − x^2 ] und x ∈ [− 1 , 1] f¨ur die Grenzen.
∫ F^ rot(f^ )dS^ =
y=− 1
∫ √ 1 −y 2 x=−^ √ 1 −y^2 rot(f^ )(x, y)^ ·^ n(x, y)^ d(x, y) =
y=− 1
∫ √ 1 −y 2 x=−^ √ 1 −y^2
( 4 x (^2) y − 2 x cos(1 − x (^2) − y (^2) ) − 2 y 3 ) (^) d(x, y)
Wir teilen das Integral unter Ausn¨utzung der Linearit¨at auf drei Teile auf und berechnen die sich ergebenden Integrale separat.
I :=
y=− 1
∫ √ 1 −y 2 x=−^ √ 1 −y^2
4 x^2 y dx dy =^83
y=− 1
(1 − y^2 )^32 y dy = − 158 (1 − y^2 )^53 ∣∣^1 − 1 = 0
Dabei wurde im vorletzten Schritt die Substitution u = 1 − y^2 durchgef¨uhrt.
II :=
y=− 1
∫ √ 1 −y 2 x=−^ √ 1 −y^2
(−2)x · cos(1 − x^2 − y^2 ) dx dy =
y=− 1
sin(1 − x^2 − y^2 )∣∣
√ 1 −y 2 −^ √ 1 −y^2 dy =
y=− 1
Hierbei wurde im vorletzten Schritt die Substitution v = 1 − x^2 − y^2 durchgef¨uhrt.
F¨ur die Berechnung des dritten Integrals verwenden wir den Satz von Schwarz, um die Integrationsreihenfolge umzudrehen. Dabei ¨andern sich die Grenzen, wie oben im Alternativvorschlag beschrieben.
III :=
y=− 1
∫ √ 1 −y 2 x=−^ √ 1 −y^2
(− 2 y^3 ) dx dy =
x=− 1
∫ √ 1 −x 2 y=−√ 1 −x^2
(− 2 y^3 ) dy dx
= − 42
x=− 1
y^4 ∣∣
√ 1 −x 2 −√ 1 −x^2 dx^ =
x=− 1
0 dx = 0
Auch das letzte Integral ergibt also Null. Somit lautet die L¨∫ osung des gesuchten Integrals F rot(f^ )dS^ =^ I^ +^ II^ +^ III^ = 0
c ) (3,5 Punkte) Nun sei die Parametrisierung der Kurve C im R^2 , durch
r : [1, 2] → R^2 , t 7 →
(arcosh(t) t
gegeben, wobei r′(t) =
t^2 − 1 1
ist. Setzen Sie a = b = 12 und c = √2 und berechnen Sie mithilfe des Maßtensors die L¨ange der Fl¨achenkurve F (r(t))!
- Hinweis: Sie d¨urfen, wenn n¨otig, ∫^ √ 1 ± z^2 dz = 12 (√ 1 ± z^2 · z + arsinh(z))^ + c verwenden.
- Hinweis: M¨oglicherweise ist die Identit¨at cosh^2 (z) − sinh^2 (z) = 1 n¨utzlich.
Setzt man die Parametrisierung der Kurve und die Konstanten a, b, c gem¨aß der Angabe in den Maßtensor ein, so lautet er
M (r(t)) =
( (^2) · t (^2) · (t (^2) − 1) 0 0 2
Dabei wurde ausgen¨utzt, dass der Areakosinushyperbolicus die Umkehrfunktion des Kosinushyperbolicus ist und die Identit¨at cosh^2 (x) − sinh^2 (x) = 1 verwendet, um den ersten Eintrag mittels sinh^2 (arcosh(t)) = cosh^2 (arcosh(t)) − 1 = t^2 − 1 zu vereinfachen. Damit erh¨alt man (^) √ r′(t)T^ · M (r(t)) · r′(t) = √ 2 √t^2 + 1. Nun kann die L¨ange der Fl¨achenkurve berechnet werden.
L =
1
r′(t)T^ · M (r(t)) · r′(t)dt =
1
t^2 + 1dt
=
t^2 + 1 · t + arsinh(t)
∣^21 =
5 + arsinh(2) −
2 − arsinh(1)
