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Didaktik der Arithmetik Klasse 1- 3 SS 2009 Hans-Dieter Rinkens
Inhalt Lehrplan Mathematik für die Grundschule des Landes NRW Arithmetische Vorkenntnisse am Schulanfang Zahlaspekte, Zählen, Zahlzeichen Zum Gleichheitszeichen Materialien im Anfangsunterricht Addieren und Subtrahieren: Grundvorstellungen und Grundverständnis Beginn der Rechenfertigkeit bei Erstklässlern Addieren und Subtrahieren: Rechen-Strategien Der Zahlenraum bis 100: Aufbau und additives Rechnen Multiplizieren und Dividieren: Grundvorstellungen, Grundverständnis, Einmaleins Prinzipien des Übens Der Zahlenraum bis 1 Million: Stellenwertsystem Halbschriftliches Rechnen Umgang mit Daten und Größen: Sachrechnen Rechenstörung: Prävention und Förderung (Dr. Thomas Rottmann) 2
Aber wie?
Didaktik der Arithmetik Klasse 1- 3 SS 2009 Hans-Dieter Rinkens
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Didaktik der Arithmetik Klasse 1- 3 SS 2009 Hans-Dieter Rinkens
Das Kind als
Konstrukteur
seines
Wissens
Lernen und Lehren Beziehungsreiches Üben dient der Geläufigkeit und der Beweglichkeit sichert, vernetzt und vertieft vorhandenes Wissen und Können fördert die Einsicht in Gesetzmäßigkeiten und Beziehungen, die Phänomene aus der Welt der Zahlen, Formen und Größen strukturieren.
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Lehrplan Mathematik für die Grundschule des Landes NRW
Ergiebige Aufgaben haben eine zentrale Bedeutung für den Unterricht. Sie beinhalten differenzierte Fragestellungen auf unterschiedlichem Niveau, ermöglichen verschiedene Lösungswege und fördern die Entwicklung grundlegender mathematischer Bildung. 7
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Lehrplan Mathematik für die Grundschule des Landes NRW
Lernen und Lehren Übungen sollten möglichst problemorientiert, operativ oder anwendungsbezogen angelegt sein. Die notwendigen automatisierenden Übungen bauen auf einer sicheren Verständnisgrundlage auf. Der Mathematikunterricht trägt dazu bei, dass die Schülerinnen und Schüler in zunehmendem Maße eigenverantwortlich üben. 8
Lernen und Lehren Operative Übungen (Erläuterung Lehrplan) Im Rahmen operativer Übungen werden die Auswirkungen bestimmter Operationen wie Vergrößern, Verkleinern, Vertauschen, gleich- und gegensinnig Verändern bezüglich des Ergebnisses untersucht. Aufgaben werden nicht unsystematisch und isoliert geübt; vielmehr werden in einem strukturierten Aufgabengeflecht aus z. B. Grund-, Tausch-, Umkehr- und Nachbaraufgaben oder aus Grund- und Analogieaufgaben die Zusammenhänge und Beziehungen zwischen den einzelnen Aufgaben herausgearbeitet und zum (vorteilhaften) Rechnen genutzt. Operative Übungen fördern – im Gegensatz zu reinen Routineübungen – die Beweglichkeit des Denkens und Rechnens.
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9 Lernen und Lehren Automatisierendes Üben (Erläuterung Lehrplan) Automatisierende Übungen festigen Grundkenntnisse wie das Einspluseins und das Einmaleins sowie elementare Techniken wie die schriftlichen Rechenverfahren. Als gesichert verfügbare Routinen entlasten sie das Bewusstsein und die Konzentration beim Lösen komplexerer Aufgaben. Automatisierende Übungen sollten jedoch immer erst dann im Unterricht eingesetzt werden, wenn die Schülerinnen und Schüler die entsprechenden Operationen, Rechengesetze, Rechenstrategien und Verfahren verstanden haben. Bei einem verfrühten Übergang zum Auswendiglernen bzw. bei einem verfrühten Einüben von Routinen besteht die Gefahr, dass sich mögliche Fehler oder falsch verstandene Regeln verfestigen. Vergessene Gedächtnisinhalte müssen dann mühsam durch wenig elaborierte Techniken wie zählendes Rechnen oder Aufsagen der Einmaleinsreihen (neu) aufgebaut werden, statt sie z. B. aus bekannten Aufgaben abzuleiten.
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Leistung fördern und bewerten Für eine umfassende Leistungsbewertung, die Ergebnisse und Prozesse gleichermaßen mit einbezieht, sind neben
- punktuellen Leistungsüberprüfungen, z. B. durch schriftliche Übungen oder Klassenarbeiten,
- geeignete Instrumente und Verfahrensweisen der Beobachtung erforderlich, die die individuelle Entwicklung der Kompetenzen über einen längeren Zeitraum erfassen und kontinuierlich dokumentieren. Dazu können Lerndokumentationen der Kinder wie Fachhefte, Lerntagebücher und Portfolios herangezogen werden.
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Lehrplan Mathematik für die Grundschule des Landes NRW
13 „Üben im Mathematikunterricht der Grundschule“ ist ein Thema voller Widersprüche, Probleme und Ungereimtheiten - tatsächlicher und vermeintlicher. (Radatz/Schipper, Handbuch für den MU an GS, 1983 S. 190)
Zum Sinn des Übens
„Vermittlung von Einsicht“ „Förderung des Könnens“ „pauken“ „schlechte Schülerleistungen“ „stupides Üben“ „Funktionslust“ „Problemlösefähigkeit“ „mangelnde Rechenfertigkeit“ „abwechlungsreiches Üben“ „ständiges Springen“ 14
Zum Sinn des Übens
Geläufigkeit Sicherung vorhandenen Wissens und Könnens Vernetzung vorhandenen Wissens und Könnens Vertiefung vorhandenen Wissens und Könnens Förderung von Einsicht in Gesetzmäßigkeiten und Beziehungen verschiedene Lösungswege notwendige automatisierende Übungen 15 Winter, Heinrich (1984): Begriff und Bedeutung des Übens im Mathematikunterricht In: mathematik lehren 2, 1984, S. 4- 16 Auch auf Einsicht beruhende Verfahren können wieder verlernt werden. „Der denkende Mensch vergisst bekanntlich seine eigenen guten Ideen, wenn er sie nicht einprägt.“ (aus Aebli: Denken das Ordnen des Tuns, 1981 S.366) So ist Üben nicht erst zur Steigerung der Geläufigkeit notwendig, sondern schon für die Aufrechterhaltung der Einsicht in die Schematik des Verfahrens. (S. 7) Tatsächlich kann man aber auch Wissen vergessen, das mit Einsicht erworben worden ist, daher benötigen wir Reaktivierung von Wissen, und das ist einprägendes Üben. Vor allem aber ist Einsicht kein globales und endgültiges, sondern ein lokales (auf subjektive Erfahrungsbereiche eingeschränktes) und instabiles Ereignis. Man kann und muss ein Wissen durch beständiges Reaktivieren, Umwälzen, Neuordnen im Wege entdeckenden Lernens ausbauen, festigen, verfeinern, vertiefen, verallgemeinern. (S. 9)
Zum Sinn des Übens
Vorsicht bei naiven Transfer-Theorien!
in der Aufgabe
ist mehr als nur
„Eine moderne Transfer-Theorie als psychologisches
Kernstück der Lehr-Lern-Forschung ist nicht einmal in
Umrissen erkennbar.“
B. Treiber/F.E. Weinert,
Lehr-Lern-Forschung, 1982, S.
Üben und Unterrichtsmodelle
nach H. Winter 19
Vier-Phasen-Modell
Verstehen
Fragen
Vermuten
Benutzen von Material
Ausprobieren, Vereinfachen
Systematisches Testen
Operatives Üben
„Was fällt auf?“
„Was wäre, wenn …?“
Thematisierung von
Heurismen
Ausblick auf neue Fragen
Üben und Unterrichtsmodelle
nach H. Winter 20
Vier-Phasen-Modell
Interesse und Neugier
Selbstvertrauen in die eigenen
mathematischen Kompetenzen
Einbettung in
vorhandene Schemata
Einsicht in den Nutzen
des Gelernten
Üben und Unterrichtsmodelle
nach H. Winter 21 Vorsicht bei naiven konstruktivistischen Theorien! „Da der Radikale Konstruktivismus an Popularität gewinnt, besteht eine Gefahr darin, dass er zu einem übertrieben kindzentrierten, romantischen Fortschrittsglauben führt. ... Dieser Romantizismus als Teil einer progressiven Unterrichtsideologie heißt alles, was das Kind tut, als Ausdruck seiner individuellen Kreativität gut und unterstellt naiv, dass das Kind einen Großteil des konventionellen Schulstoffs von sich aus entdecken kann. Entdeckendes Lernen in den Sechzigern und danach war oft verbunden mit einem Romantizismus, der im Endeffekt nicht ganz ergiebig für die Lernenden war...“ Paul Ernest : Constructivism: Which Form Provides the Most Adequate Theory of Mathematics Learning? In: JMD 1994 S. 337 (Übers.: hdr)
Üben und Unterrichtsmodelle
nach H. Winter 22
Zielkategorien des Mathematikunterrichts:
Kenntnis von
Rechensätzen,
Algorithmen
Wissen über
Zusammenhänge
Komplexe
Könnens-
Schemata
Arbeitshaltung
Emotionale
Einstellung
Steigerung von
Selbstvertrauen, Konzentration,
Ausdauer, Kreativität
Ziel des Übens:
Üben und Zielkategorien des Mathematikunterrichts
nach H. Winter
Geläufigere Ausführung
Klarere Darstellung
Größerer Begriffsumfang
Mehr Sicherheit bei Strategien
Größere Anwendungsbreite
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Zielkategorien des Mathematikunterrichts:
Üben und Zielkategorien des Mathematikunterrichts
nach H. Winter
Trennung
problematisch
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Unterscheide
Hier muss auch die Übungsform
erst gelernt werden.
Übungsformen
Päckchen
„Ergiebige“
Päckchen
_________
_________
27 28
Übungsformen
- sind Übungsformen mit einer
- bestätigen die erreichte
- fördern die des Rechnens
(z.B. indem sie verschiedene Rechenwege zulassen).
- ermöglichen eine in die Rechenoperationen
(z.B. durch Entdeckung von Gesetzmäßigkeiten
während des Lösungsprozesses oder in der
Rückschau).
Übungsformen
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D.h. sie fordern zum Weiterdenken auf
(z.B. durch Variation der Daten oder der Aufgabenstellung)
... auch wenn das selbst gesteckte Ziel nicht immer erreicht werden kann.
„Das Prinzip der produktiven Reste:
Um die Dynamik des Weiterdenkens zu aktivieren,
muss möglichst jeder vollständige Lernprozess mit dem Aufweis eines
geistig noch nicht bewältigten Restes abschließen,
der seinerseits geeignet ist, einen neuen Lernprozess zu motivieren.“
Horst Karaschewski: Wesen und Weg des ganzheitlichen Rechenunterrichts, 1966
Übungsformen
- sind Übungsformen mit einer 32
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Sechser-Pack
Übungsformen
34
Übungsformen
Sechser-Pack
37 Die vier Zahlenkarten sind verschieden. Man kann sie der Größe nach ordnen: 0 a < b < c < d. Kleine Theorie zum Für die sechs Ergebniszahlen gilt: Mindestens 5 Ergebniszahlen sind verschieden. 0 < < < < <
Übungsformen
Sechser-Pack
__ + __ =
__ + __ =
__ + __ =
__ + __ =
__ + __ =
__ + __ =
b d c a a + b = a + c = a + d b + c b + d = c + d = a b c d
38 Gesetzmäßigkeiten , die Kinder im Verlauf der Übung entdecken können, sind folgende: Kleine Summanden kleine Summe, große Summanden große Summe Die kleinste Ergebniszahl ergibt sich aus den kleinsten Zahlenkarten, die größte Ergebniszahl aus den größten Zahlenkarten. Die Summe aus der kleinsten und der größten Ergebniszahl ist gleich der Summe aller Zahlenkarten. (Es gibt drei Paare von Ergebniszahlen mit dieser Summe.) Die Summe aller Ergebniszahlen ist die dreifache Summe aller Zahlenkarten. Kleine Theorie zum
Übungsformen
Sechser-Pack
39 __ + __ = 11 __ + __ = 13 __ + __ = 14 __ + __ = 16 __ + __ = 17 __ + __ = 19 __ + __ = 15 __ + __ = 16 __ + __ = 17 __ + __ = 17 __ + __ = 18 __ + __ = 19 __ + __ = 20 __ + __ = 21 __ + __ = 22 __ + __ = 23 __ + __ = 24 __ + __ = 25
Übungsformen
Sechser-Pack
Ein Sechser-Pack hat zwei Lösungen. Ein Sechser-Pack hat keine Lösung. Ähnlich wie bei Sudoku lassen sich „Sechser-Pack“-Heftchen zum Süchtigwerden herstellen. Das Aufgaben-Format eignet sich auch als interaktives Spiel für die CD einschl. verschiedener Schwierigkeitsgrade.
= Überprüfen/Bestätigen der Richtigkeit des eigenen Ergebnisses
als Einstellung zum Rechnen Überprüfen/Bestätigen durch
• Wiederholen
• Probe
• Überschlag
• anderen Lösungsweg
als methodisches Hilfsmittel,
um individuelles Lerntempo
zu ermöglichen
Bestätigen/Überprüfen durch
• Zugang zum Ergebnis
(direkt oder indirekt)
• Entdecken und Anwenden
von Gesetzmäßigkeiten
Übungsformen
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