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PROBEKLAUSUR Wirtschaftsmathematik, Wintersemester 2018/19 Prof. Wunderlich
Art: Prüfungen
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Lass dir nichts Wichtiges entgehen!
Wirtschaftsmathematik LV-Nr. 200601.03, Wintersemester 2018/ Fabrice Wunderlich
Zugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner (nicht-programmierbar)
Name: Matrikelnummer:
Die Klausur besteht aus 10 Fragen, die alle zu beantworten sind. Die Dauer der Klausur ist 180 Minuten. Die Punktzahl der Klausur ist 60 Punkte. Bitte beachten Sie die folgenden Anforderungen/Regeln:
Viel Erfolg und gutes Gelingen!
Wirtschaftsmathematik LV-Nr. 200601.03, Wintersemester 2018/ Fabrice Wunderlich
Formeln
Exponenten
anam^ = an+m^ (an)m^ = anm an am^ =^ a
n−m an an^ =^ a
(^0) = 1
Logarithmen
logb(xz) = logb x + logb z logb
( (^) x z
) = logb x − logb z logb xa^ = a logb x
Ableitungsregeln
f (x) = g(x)h(x) f ′(x) = g′(x)h(x) + g(x)h′(x) f (x) = g(h(x)) f ′(x) = g′(h(x))h′(x)
f (x) = g h((xx)) f ′(x) = g
′(x)h(x) − g(x)h′(x) (h(x))^2 ln(x) ln′(x) =^1 x exp(x) exp′(x) = exp(x)
Taylorapproximation
f (x) ≈ f (x 0 ) +
∑^ n k=
f (k)(x 0 ) k · (k − 1) · ... · 1 ·^ (x^ −^ x^0 )
k
Bedingungen 2. Ordnung (2-dim.) D = fxx(x∗ 1 , x∗ 2 )fyy (x∗ 1 , x∗ 2 ) − f (^) xy^2 (x∗ 1 , x∗ 2 ). Hesse-Matrix mit Determinante
H∗^ =
f 11 + λ∗g 11 f 12 + λ∗g 12 g 1 f 21 + λ∗g 21 f 22 + λ∗g 22 g 2 g 1 g 2 0
|H∗| = −(f 11 + λ∗g 11 ) · g 22 + 2(f 12 + λ∗g 12 ) · g 2 g 1 − (f 22 + λ∗g 22 )g^21. pq-Formel x = − p 2 ±
√( p 2
) 2 − q
l¨ost x^2 + px + q = 0.
Summenformeln
Geometrische Summe:
∑^ n k=
xk^ = 1 −^ x
n+ 1 − x
Gauß-Summe:
∑^ n k=
k = n(n^2 + 1)
Aufgabe 3 (Folgen, 0 Punkte)
(a) Erl¨autern Sie kurz in Worten (gerne mit Skizze und/oder Formeln), was es heißt, dass eine Folge gegen einen Grenzwert konvergiert. (b) F¨ur jede der Folgen, bestimmen Sie die ersten f¨unf Folgenterme und bestimmen Sie formal, ob die Folge konvergiert oder divergiert:
i. f (n) = 2 n + 1 3 n^5 − n
ii. f (n) = exp
n − 1 n + 1
iii. f (n) = n + 1 √ n^2 + 1
Aufgabe 4 (Summen, 0 Punkte)
(a) Notieren Sie die folgende Summe mithilfe des Summenzeichens in Kurzschreib- weise: 1 2
Was m¨usste man in dieser Kurzdarstellung ver¨andern, damit wir die folgende Summe repr¨asentieren k¨onnen
−
Und was m¨usste man ver¨andern um die nachfolgende Summe in Kurzform darzustellen? 3 2
(b) Es sei n ∈ N, q ∈ R beliebig. Geben Sie die Bezeichnung der folgenden beiden Summen an und notieren Sie die Formel, durch welche man den Wert der Summen in Abh¨angigkeit von n und x direkt bestimmen kann:
(c) Unter Zuhilfenahme der oben aufgef¨uhrten Formeln: Wie l¨asst sich eine Formel f¨ur folgende Summen bestimmen, die nur noch von n und q abh¨angt?
(d) Vereinfachen Sie die folgende Summe so weit wie m¨oglich bis keine Summen- zeichen mehr vorhanden sind. Nutzen Sie dabei die Regeln aus der Vorlesung sowie die Methode, welche Sie bei b) angewendet haben. ∑^ n
k=
(qk^ − 5 k + 2)
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Aufgabe 5 (Stetigkeit von Funktionen, 0 Punkte)
(a) Bestimmen Sie die folgenden Ausdr¨ucke f¨ur f (x) =
e^2 x^ + 10
i. limx↓ 0 f (x) ii. limx↑− 1 f (x) (b) Sei
f (x) =
x − 1 1 + x^2 , f¨ur 0 < x < 1 ,
2 , f¨ur x = 1, x^3 − 1 , f¨ur x > 1. Bestimmen Sie: i. limx↑ 1 f (x) ii. limx↓ 1 f (x). Ist die Funktion stetig oder unstetig an der Stelle x = 1? Geben Sie Rechenschritte an, die Ihre Rechnungen nachvollziehbar machen.
Aufgabe 6 (Differentialrechnung, 0 Punkte)
(a) Erl¨autern Sie kurz in Worten (gerne mit Graph und/oder Formeln), was ei- ne Ableitung ist und wie die Ableitung an einer bestimmten Stelle bestimmt werden kann. (b) Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen. Vereinfachen Sie, falls m¨oglich.
i. f (x) = ln
1 + x^4 6 + x^2
ii. f (x) = (x + 4)^1 /^3 (4 − 2 x)^2 /^3 (c) Bestimmen Sie den das dritte Taylorpolynom (n=3) der Funktion
g(x) =
2 x^2 − 1
an der Entwicklungsstelle x 0 = 1. Ermitteln Sie mithilfe dieses Resultats den Wert von g(2) =
7 n¨aherungsweise.
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Aufgabe 9 (Matrizen, 0 Punkte)
Seien
Bestimmen Sie (a) A + B (b) A · B (c) (AT^ ) · (BT^ )
Aufgabe 10 (Lagrange-Methode, 0 Punkte)
Bestimmen Sie
max x,y 2 x + 4xy − 3 y unter der Nebenbedingung x + y = 8.
Ermitteln Sie hierzu die station¨aren Punkte mit der Lagrange-Methode und ¨uberpr¨ufen Sie das Ergebnis anhand der Bedingung(en) zweiter Ordnung.
Seite 5 von 5 Ende der Klausur.