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L1_1 Entwicklung der Zahlensysteme – Aufgaben
Die Verwendung der heutigen Zahlenschrift ist für uns so selbstverständlich, dass wir uns über ihre Bedeutung kaum Gedanken machen. Ein Blick in die Geschichte zeigt jedoch, welche großen Vorteile unser dezimales Zahlensystem gegenüber anderen Zahlensystemen bietet. Hinweis: Beachten Sie zur Bearbeitung der nachfolgenden Aufgabenstellungen das Informationsmaterial L1_1 Information Zahlensysteme.docx. 1 Ein Zahlensystem wird benötigt, um Zahlen schriftlich darstellen zu können. Grundsätzlich unterscheidet man in Additions- und Stellwertsysteme. Ein drittes Zahlensystem, das Hybridsystem spielte in der europäischen Geschichte keine Rolle. Beschreiben Sie die beiden Zahlensysteme Additionssystem und Stellenwertsystem. 2 Erläutern Sie jeweils ein Beispiel eines additiven Zahlensystems und eines Stellenwertsystems. 3 Stellen Sie nachfolgende Zahlen in Römischen Zahlen dar. 12 78 380 1975 4 Stellen Sie nachfolgende Zahlen im Zahlensystem der Maya dar. 12 78 380 1975 5 Stellen Sie nachfolgende Zahlen im Babylonischen Zahlensystem dar.
XII LXXVII^ CCCLXX MDCCCCLAV
↑ 949494444444
12 78 380 1975 L1 1 Aufgabenstellung Entwicklung der Zahlensysteme.docx Seite 1 von 1
Zahlensystem der Maya Das Zahlensystem der Maya ist ein sogenanntes Vigesimalsystem (Zwanzigersystem), das als Basis die Zahl Zwanzig verwendet. Die Maya stellten ihr Zahlensystem in Punkten (1 Punkt = 1) und Strichen ( Strich = 5) dar. Die Zahl Null wurde als Muschel dargestellt. Höhere Zahlen (über 19) wurden in einem Stellenwertsystem ausgedrückt. Zur Darstellung der Zahl 32 wird ein Punkt für die Zahl 20 über die Zeichen für die Zahl 12 gesetzt (20 + 12). Babylonisches Zahlensystem Das babylonische Zahlensystem ist ebenfalls ein Stellenwertsystem zur Basiszahl 60. Zur Darstellung der Zahlen werden zwei Symbole verwendet, der Vertikalkeil und der Winkelkeil Der Vertikalkeil symbolisiert die Zahl 1, der Winkelkeil die Zahl 10. Bis zur Zahl 59 werden die Symbole mehrfach geschrieben. Bei höhere Zahlen (über 59) wird zunächst der Wert für 60 bzw. das Mehrfache von 60 symbolisiert, rechts davon die Wert bis 59. Beispiel: = 34 = 2 x 60 + 34 = 154 = 21 x 60 + 34 = 1294 Indisch-arabische Zahlensystem Das von uns heute verwendete Zahlensystem ist indischen Ursprungs. Es ist ein Stellenwertsystem zur Basiszahl 10 (Dezimalsystem) und verwendet die arabischen Ziffern. Im Dezimalsystem, dem wohl bekanntesten Positionssystem, ergibt sich beispielsweise mit der Ziffernkombination 248, dass die Ziffer '2' zwei Hunderter, die Ziffer '4' vier Zehner und die Ziffer '8' acht Einer darstellen, also die Zahl Zweihundertachtundvierzig. Das Zahlensystem gelangte im Mittelalter von der arabischen Halbinsel durch italienische Kaufleute nach Europa. Anfangs hatten die arabischen Zahlen in Europa einen schweren Stand, da vor allem die Kirche in diesen Zahlen etwas Teuflisches sah. Die Menschen in Europa benutzten bis dahin römischen Zahlen, die aber im Gegensatz zu den arabischen Zahlen keine Null besaßen. Die Null allein gesehen hat keinen Wert, wird sie jedoch an eine Zahl angefügt, so verzehnfacht sich der Wert dieser Zahl. Den kirchlichen Gelehrten erschien dies sehr suspekt, was dazu führte, dass diese „teuflischen“ Zahlen im Mittelalter zeitweise von der
Kirche verboten wurden. Den italienischen Kaufleuten kümmerte dies wenig, weil sie den Nutzen der arabischen Zahlen sehr schnell erkannten. Einer von ihnen war Leonardo da Pisa auch, Fibonacci genannt, der im Jahr 1202 sein Buch „Liber Abaci“ das Buch vom Abakus herausbrachte. Dieses Werk hatte nun wahrlich nichts mit dem Abakus zu tun, sondern es beschreibt, wie man mit arabischen Zahlen rechnen kann, so wie wir es heute machen. Das arabische Zahlensystem nennt man auch Zehnersystem oder Dezimalsystem, weil das Zahlensystem mit zehn Ziffern von 0 bis 9 auskommt. Im deutsch- und angelsächsischen Raum benutzten die Menschen früher ein Zahlensystem zur Basis 12. Man zählt ja eins, zwei,…….., neun, zehn, elf , zwölf und nicht eins, zwei,…, neun, zehn, einzehn , zweizehn. Für zwölf sagt man heute noch ein Dutzend , zu fünf Dutzend sagte man früher Schock (5 x 12 = 60), zwölf Dutzend. (12 x 12 = 144) nannte man ein Gros und zwölf Gros (12 x 144 = 1728) bezeichnete man damals als ein Maß. Die Menschen zählten auch schon zu dieser Zeit mit den Fingern aber nicht so wie wir das heute kennen, sondern mit den Fingergliedern. Der Daumen einer Hand zeigte dann jeweils auf die Fingerglieder der restlichen Hand. Man fängt am unteren Glied des Zeigefingers an und zählt drei nach oben ist man oben angelangt kommt der Mittelfinger ins Spiel und man zählt von vier bis sechs usw. Ist man z. B. am mittleren Glied des Ringfingers angelangt hat man also bis 8 gezählt. So kann man mit einer Hand bis zwölf zählen. Ist das erste Dutzend abgezählt streckt man den Daumen der anderen Hand aus und beginnt wieder mit der ersten Hand. Hat man das zweite Dutzend voll streckt man den Zeigefinger zusätzlich aus. So kann man mit zwei Händen bis 5 x 12 = 60 zählen. Dass die Zahl zwölf in unserem Kulturkreis eine sehr hohe Bedeutung besitzt erkennt man auch daran, dass ein Tag in zweimal zwölf Stunden unterteilt ist, dass das Jahr zwölf Monate besitzt und dass Jesus zwölf Apostel hatte.
Aktuelle Zahlensysteme
Wie lassen sich aber Zahlen in einem Computer darstellen? Ein Computer erkennt nur zwei Zustände. Entweder fließt Strom oder es fließt kein Strom, entweder liegt eine elektrische Spannung an oder es liegt keine elektrische Spannung an oder ist ein Teil der Festplatte magnetisiert oder er ist nicht magnetisiert. Der PC kennt also nur zwei Zustände, ein - aus, oder 0 - 1. Die Informationen, die ein Computer verarbeitet bestehen daher aus einer Kette von Nullen und Einsen. Ein Zahlensystem, welches auf nur zwei Ziffern beruht nennt man Binärsystem oder Dualsystem. Im Weiteren wollen wir den Fokus auf drei Zahlensysteme legen, die in der Informatik von Bedeutung sind. Es sind die Dezimalzahlen , die Binärzahlen und die Hexadezimalzahlen. L1_1 Information Zahlensysteme.docx Seite 3 von 3
Dez ->^ Bin (^6) II 10 10, 234 : 2 =^777 RO 1 17:^2 =^58 R
- 8 : 2 =^29 RO 23: 2:^14 RT ↑ (^) : 2 =^7 Ro 7 : 2 =^3 R
- 2 =^7 Rf 1: 2 =^0 Ry 8. 0 = (^0) Ro Bin ->^ Dez 10 II
- (^56) 1) g 643216842 I (^) O > (^) I o^1 O (^) I I 363
L1_2. 3 Hexadezimalsystem - Information Ein Hexadezimalsystem ist ein Zahlensystem, das als Basis die Zahl 16 verwendet. Das Hexadezimalsystem verwendet 16 Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Weshalb wir mit einem 16er System rechnen, liegt daran, dass in der Informatik oft Binärzahlen der Länge 4, 8 ,12,16 usw. vorkommen. Eine Binärzahl mit 4 Ziffern z.B. 0011 nennt man Nibble oder Halb-Byte. Alle möglichen Nibbles sind unten aufgelistet. Binär-, Dezimal- und Hexadezimalzahlen von 0 – 15 Binär 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 Dezimal 0 1 2 3 4 5 6 7 Hex 0 1 2 3 4 5 6 7 Binär 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 Dezimal 8 9 10 11 12 13 14 15 Hex 8 9 A B C D E F Wie man in der Tabelle erkennen, kann existieren 16 verschieden Nibbles, die man jetzt eindeutig einer Hexziffer zuordnen kann. Wenn nun eine Binärzahl als Folge von Nibbles erzeugt und jedes Nibble durch seine zugehörige Hexziffer ersetzt wird, kann man eine unleserliche Bitfolge wesentlich kürzer schreiben. 0101 1011 1101 1000 1111 0111 0001 1010 = 5 BD8F71A Das Rückübersetzen einer Hexzahl in eine Binärzahl erfolgt indem man jede Hexziffer durch das dazugehörige Nibble ersetzt. F8C =1111 1000 1100 Potenzen zur Basis 16 163 16 x 16 x 16 4096 162 (16 x 16 x 16) : 16 16 x 16 = 256 161 (16 x 16) :16^ =^16
16 -1^ 1 : 16 = 1 / 16^ = 0, 0625
16 --2^ (1 / 16) : 16 1 / 256 = 0,
Umrechnung einer Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl Umrechnung der Zahl A9C 16 zur Basis 16 in eine Dezimalzahl: 162 161 160 A 9 C Dezimal- und Hexadezimalzahlen von 0 – 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F A9C 16 = 10 x 162 + 9 x 161 + 12 x 160 = 10 x 256 + 9 x 16 + 12 x 1 = 2560 + 144 +12 = (^271610) Umrechnung einer Dezimalzahl in eine Hexadezimalzahl mittels Division mit Rest Umrechnung der Zahl 412 10 zur Basis 10 in eine Hexadezimalzahl: Wir teilen die Zahl 412 durch 16 und notieren das Ergebnis 25,75. Danach wird der Teil rechts vom Komma 0,75 mit 16 multipliziert um den Rest zu erhalten. Der Rest 12 wird notiert und in eine Hexadezimalzahl wie unten angegeben umgewandelt, also 12 à C chzahl : 16 chzahl : 16 chzahl : 16 chzahl : 16 chzahl :
L1_ 2 .3 Hexadezimalzahlen - Aufgaben
Aufgabe 1 Rechnen Sie folgende Dezimalzahlen in Hexadezimalzahlen um: ● (^1210) ● (^25510) ● (^53110) ● (^73710) ● (^311410) ● 55,75 10 Aufgabe 2 Rechnen Sie folgende Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen um: ● (^1216) ● 5B1 16 ● CA4 16 ● (^25516) ● (^73716) ● 1AC,E 16 Aufgabe 3 Rechnen Sie folgende Binärzahlen in Hexadezimalzahlen um: C
Rechnen Sie folgende Hexadezimalzahlen in Binärzahlen um:
- ●
- ●
- ●
- ●
- ●
- Aufgabe
- Hexadezimalzahlen.docx Seite 1 von L1_2.3 Aufgabenstellung
grafikkarte.docx 07.02. 1 1 Grafikkarten und ihre Funktionsweise Die Hauptaufgabe einer Grafikkarte ist es ein Bild auf den Monitor entstehen zu lassen. Dabei wandelt der Grafikprozessor die Daten vom Hauptprozessor um und gibt sie an den Monitor weiter. Dieses Prinzip nennt sich EVA-Prinzip. Dieses Prinzip funktioniert so, wenn man zum Beispiel bei der Tastatur den Buchstaben „A“ drückt (Eingabe) werden diese Daten vom Hauptprozessor erfasst und geben diese Daten zur Umwandlung an den Grafikprozessor weiter (Verarbeitung). Es werden die u mgewandelten Daten an den Monitor, die mit der Grafikkarte durch ein DVI- Anschluss (Digital Visual Interface), VGA-Anschluss oder einen HDMI-Anschluss (High Definition Multimedia Interface) verbunden sind, weitergegeben. Nun wird der durch die Grafikkarte gesteuerte Elektronenstrahl auf die Fluoreszenzschicht des Bildschirms geleitet und somit wird ein Bild auf dem Bildschirm erzeugt. Damit auch das Bild flimmerfrei bleibt muss es bei einem Monitor bis zu 85-mal pro Sekunde aktualisiert werden und bei Flachbildschirmen bis zu 60-mal pro Sekunde. Abbildung 1
grafikkarte.docx 07.02. 2 2 Arten 2.1 Onboard - Grafikkarte Eine Onboard – Grafikkarte ist eine Grafikkarte die fest mit dem Mainboard montiert ist. Sie ist in der Regel minimalistisch ausgestattet und bringen wenig Leistung. Heutzutage ist jeder Computer mit einer Onboard – Grafikkarte und einer Haupt - Grafikkarte ausgestattet, damit falls der Treiber der Haupt - Grafikkarte oder die Haupt - Grafikkarte nicht funktionieren sollte dennoch ein Bild auf dem Monitor entsteht. Es gibt auch Onboard
- Grafikkarten die einen eigenen Videospeicher besitzen, somit brauchen sie nicht auf den Speicher des Computers zugreifen. 2.2 Haupt – Grafikkarte (Steckplatz) Eine Haupt – Grafikkarte ist durch einen Steckplatz im Mainboard befestigt. Um sie zu nutzen braucht man einen Treiber. Sie ist in den meisten Fällen Leistungsstärker als die Onboard – Grafikkarte und wird bei Grafikaufwendigen Programmen, wie zum Beispiel Computer Spiele benutzt. Sie besitzt einen eigenen und höheren Videospeicher (RAM). g 2
