Quadratische Funktionen Arbeitsblatt 1, Übungen von Mathematik

Nur auf Docsity: Lade Quadratische Funktionen Arbeitsblatt 1 und mehr Übungen als PDF für Mathematik herunter! Seite 1 Quadratische Funktionen Arbeitsblatt 1 1. Gib zu den Parabeln jeweils eine Funktionsgleichung an Spezielle quadratische Funktion Die Funktionsgleichung einer speziellen quadratischen Funktion hat die Form y = 3 x2. Der dazugehörige Graph heißt Parabel. Bei einer speziellen quadratischen Funktion wird dem 2-, 3- bzw. n-fachen der ersten Größe jeweils das 4-, 9- bzw. n2-fache der zweiten Größe zugeordnet. Die dazugehörige Parabel geht durch den Punkt S (0|0). Dieser Punkt heißt auch Scheitelpunkt oder Scheitel der Parabel. Quadratische Funktion Eine Funktion mit der Gleichung f(x) = ax2 + bx + c heißt quadratische Funktion. Beispiel: y = 0,5 (x – 2)2 + 3 Die Parabel der Funktion mit y = 0,5 (x – 2)2 + 3 ist gegenüber dem Graphen der speziellen quadratischen Funktion mit y = 0,5 x2 um 2 nach rechts und um 3 nach oben verschoben; der Scheitel liegt bei S (2|3) Seite 2 Quadratische Funktionen Arbeitsblatt 2 1. Erstelle eine Wertetabelle für folgende quadratische Funktionsgleichung y = x2 + x + 1 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 y 2. Um eine verschobene Normalparabel zu zeichnen benötigt man den Scheitelpunkt. Beschreibe, wie man die Parabel auch ohne Schablone zeichnen kann. _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ 3. Welche Funktionsgleichung gehört zu welchem Graphen? y1 = x2 ________ y2 = 2x2 ________ y3 = 0,5x2 ________ y4 = -0,5x2 ________ 4. Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel, nenne Form und Öffnung. y = - x2 + 3 y = 2 (x + 1) 2 - 4 y = - 0,5 x2 - 3x - 2,5 y = 0,25 (x - 4) 2 5. Vergleiche Lage und Form des Graphen der vorliegenden Funktion mit der Normal- parabel. Kreuze an oder trage den entsprechen Wert ein. Funktionsgleichung verschoben um ….. nach nach unten geöffnet breiter enger rechts links oben unten y = 2(x-3)2 + 5 3 y = -(x + 6)2 – 2,5 y = -3x2 + 10 y = 0,2x2 - 5 y = − 1 3 (x – 6)2 y = 1 16 (x + 1 2 ) 2 Seite 5 Quadratische Funktionen Arbeitsblatt 5 1. Stelle für jede der drei Funktionen Wertpaare auf und zeichne den Graph der Funktion! a) y = x2 b) y = 3x2 c) y = 1 3 x2 2. Gib zwei mögliche Funktionsgleichungen einer quadratischen Funktion an, die die Bedingung erfüllt. a) Die Funktion hat keine Nullstelle. b) Der Graph berührt die x-Achse nur bei x = 2 c) Der Graph ist nach unten geöffnet und die beiden Nullstellen sind x = -2 und x = 2 d) Die Funktion hat eine Nullstelle bei x = 3 und der Graph geht durch P(2|-2) 3. Stelle für jede der drei Funktionen Wertpaare auf und zeichne den Graph der Funktion! a) y = x2 b) y = x2 + 2 c) y = x2 – 2 4. Zeichne die quadratischen Funktionen ohne Wertetabelle in ein Koordinatensystem. a.) y = (x + 3,5) 2 - 4 b.) y = - x2 - 2 c.) y = x2 - 3x – 4 d.) y = -(x – 4) 2 + 1 e.) Berechne die Nullstellen der Funktion aus d.) f.) Berechne bei a) den Schnittpunkt mit der y-Achse. 5. Ermittle rechnerisch die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel, die durch folgende Gleichung gegeben ist: y = x2 - 2x + 4 y = − 1 2 x2 − x − 3 2 6. Zeichne den Graph der Funktion mit y = (x – 3)2 – 1 y = x2 + 2x + 3 7a. Spiegle die Parabel mit der Gleichung y = (x + 2)2 + 1 an der y-Achse. Die neue Funktionsgleichung lautet: ____________________ b. Spiegle die Parabel mit der Gleichung y = (x + 2)2 + 1 an der x-Achse. Die neue Funktionsgleichung lautet: ____________________ Seite 6 Quadratische Funktionen Lösungen 1 1. Gib zu den Parabeln jeweils eine Funktionsgleichung an y = x2 y = x2 - 2 y = x2 + 1 y = (x – 1)2 y = (x – 1)2 – 3 y = -(x-1) 2 + 4 Quadratische Funktionen Lösungen 2 1. Erstelle eine Wertetabelle für folgende quadratische Funktionsgleichung y = x2 + x + 1 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 y 13 7 3 1 1 3 7 13 2. Um eine verschobene Normalparabel zu zeichnen benötigt man den Scheitelpunkt. Beschreibe, wie man die Parabel auch ohne Schablone zeichnen kann. Bei einer verschobenen Normalparabel geht man vom Scheitelpunkt um eine Einheit nach rechts oder links und dann eine Einheit nach oben und erhält zwei weitere Punkte der Parabel. Anschließend geht man vom Scheitelpunkt zwei Einheiten nach rechts oder links und dann vier Einheiten nach oben und erhält erneut zwei Punkte der Parabel. In gleicher Weise erhält man weitere Punkte. Zum Schluss werden die Punkte zu einer Parabel verbunden. 3. Welche Funktionsgleichung gehört zu welchem Graphen? y1 = x2 gehört zu Graph 2 y2 = 2x2 gehört zu Graph 3 y3 = 0,5x2 gehört zu Graph 1 y4 = -0,5x2 gehört zu Graph 4 4. Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel, nenne Form und Öffnung. Berechnung des Scheitelpunkts: y = - x2 + 3 S(0|3), nach unten geöffnete Normalparabel Seite 7 y = 2 (x + 1) 2 - 4 S(-1|-4), nach oben geöffnete gestreckte Parabel y = - 0,5 x2 - 3x - 2,5 - 0,5 (x² + 6x + 5) = - 0,5 (x² + 6x + 9 - 4) = - 0,5 (x + 3)2 + 2 → S(-3|2), nach unten geöffnete gestauchte Parabel y = 0,25 (x - 4) 2 S(4|0), nach oben geöffnete gestauchte Parabel 5. Vergleiche Lage und Form des Graphen der vorliegenden Funktion mit der Normal- parabel. Kreuze an oder trage den entsprechen Wert ein. Funktionsgleichung verschoben um ….. nach nach unten geöffnet breiter enger rechts links oben unten y = 2(x – 3)2 + 5 3 5 x y = -(x + 6)2 – 2,5 6 2,5 x y = -3x2 + 10 10 x x y = 0,2x2 - 5 5 x y = − 1 3 (x – 6)2 6 x x y = 1 16 (x + 1 2 ) 2 1 2 x Quadratische Funktionen Lösungen 3 1a) Lies die Scheitel ab und gib sie als Koordinatenpaar an (von oben nach unten): f1: S(0|3) f2: S(0|1) f3: S(0|-2) f4: S(0|-5) b) Welche Funktionsgleichung gehört zu welchem Schaubild? f(x) x2 – 2 zu f3 f(x) x2 + 3 zu f1 f(x) x2 – 5 zu f4 f(x) x2 + 1 zu f2 c) Ermittle aus den Funktionsgleichungen den zugehörigen Scheitel. f(x) x2 – 1,5 S (0|-1,5) f(x) x2 + 2,75 S (0|2,75) f(x) x2 S (0|0) d) Wie lautet die zugehörige Funktionsgleichung? S (0|3); y = x² + 3 S (0|-6); y = x² - 6 S (0|-1,25); y = x² - 1,25 S (0|1,75) y = x² + 1,75 2. Eine nach unten geöffnete Normalparabel verläuft durch die Punkte A(-1|4) und B(4|1). Zeichne die Parabel. Berechne ihre Funktionsgleichung. p: y = - x2 + bx + c A(-1|-4)  p → - 4 = - 1 - b + c B(4|1)  p → 1 = - 16 + 4b + c → 5 = - 15 + 5b → b = 4 → c = 1 → p: y = - x2 + 4x + 1 Berechne den Scheitelpunkt. y = - x2 + 4x + 1 y = - [x2 - 4x - 1] Seite 10 4. Zeichne die quadratischen Funktionen ohne Wertetabelle in ein Koordinatensystem. a) y = (x + 3,5)2 - 4 S (-3,5|-4) b ) y = - x2 - 2 S (0|-2) c) y = x2 - 3x – 4 S (1,5|-6,25) d) y = -(x – 4) 2 + 1 S (4|1) e) Berechne die Nullstellen der Funktion d) Nullstellen von d): x1= 5 ; x2=3 Nullstellenberechnung mit der pq-Formel: (y = x2 + px + q) y = -(x – 4) 2 + 1 y = -[x2 – 8x + 16] + 1 y = -x2 + 8x – 15 y = (-1) (x2 - 8x + 15) p = -8; q = 15 x1/2 = − p 2 ± √( p 2 ) 2 − q x1/2 = 8 2 ± √( 8 2 ) 2 − 15 x1/2 = 4 ± √16 − 15 x1/2 = 4 ± √1 x1 = 5; x2 = 3 f) Berechne bei a) den Schnittpunkt mit der y-Achse. y = (0 + 3,5)2 - 4 y = 12,25 – 4 y = 8,25 5. Ermittle rechnerisch die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel, die durch folgende Gleichung gegeben ist: y = x2 - 2x + 4 y = − 1 2 x2 − x − 3 2 y = x2 - 2x + 1 – 1 + 4 y = − 1 2 (x2 + 2x + 3) y = (x – 1)2 + 3 y = − 1 2 (x2 + 2x + 1 − 1 + 3) S = (1|3) y = − 1 2 [(x + 1)2 + 2] y = − 1 2 (x + 1)2 − 1 S = (-1|-1) 6. Zeichne den Graph der Funktion mit y = (x – 3)2 – 1 y = x2 + 2x + 3 y = x2 + 2x + 1 – 1 + 3 y = (x + 1) 2 + 2 Seite 11 7a. Spiegle die Parabel mit der Gleichung y = (x + 2)2 + 1 an der y-Achse. Die neue Funktionsgleichung lautet: y = (x - 2)2 + 1 b. Spiegle die Parabel mit der Gleichung y = (x + 2)2 + 1 an der x-Achse. Die neue Funktionsgleichung lautet: y = -(x + 2)2 - 1