Querkraftschub in offenen Profilen: Schubfluss und Schubmittelpunkt, Slides von Geometrie

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1. Querkraftschub in offenen Profilen

1.1 Schubfluss

1.2 Schubmittelpunkt

1.1 Schubfluss

●

Geometrie:

• Die Profilkoordinate s wird entlang

der Profilmittellinie gemessen.

• Das Profil wird durch die Profilmit-

tellinie und die Wandstärke t(s)

beschrieben.

●

Annahme:

• Die Schubspannung τ

sx

ist tan-

gential zur Profilmittellinie und

über die Wandstärke konstant.

s

τ

sx

z

y

S

t(s)

1.1 Schubfluss

●

Berechnung des Schubflusses:

• Betrachtet wird ein Balken mit konstantem Querschnitt.
• Aus dem Balken wird ein Abschnitt zwischen den Koordina-

ten x = x

A

und x = x

B

herausgeschnitten.

• (^) Dieser Abschnitt wird an der Stelle s

0

durch eine senkrecht

auf der Profilmittellinie stehende Ebene geschnitten.

• Betrachtet wird der Balkenausschnitt, der sich auf der Seite

mit den kleineren Werten von s befindet.

1.1 Schubfluss

• Lasten am Balkenausschnitt:

x

z

y

s

x

A

x

B

σ

x

(x

B

, s)

σ

x

(x

A

, s)

q

sx

(x, s

0

)

q

sx

(x

B

, s)

q

sx

(x

A

, s)

Freie Kante

1.1 Schubfluss

• Das Integral ist nur dann für beliebige Intervalle [x

A

, x

B

] null,

wenn der Integrand verschwindet:

• Im Hauptachsensystem gilt:
• Daraus folgt:

q

sx

( x , s

0

∫

A( s 0

)

∂ σ

x

∂ x

( x , y , z) dA= 0

σ

x

( x , y , z)=

M

y

( x)

I

y

z−

M

z

( x)

I

z

y

∂ σ

x

∂ x

dM

y

dx

z

I

y

dM

z

dx

y

I

z

1.1 Schubfluss

• Mit

und s

0

= s gilt für den Schubfluss:

• Dabei sind und

die statischen Momente des Querschnitts bis zur Stelle s.

dM

y

dx

=Q

z

dM

z

dx

=−Q

y

q

sx

( x , s)=−

(

Q

z

( x)

I

y

S

y

(s)+

Q

y

( x)

I

z

S

z

(s )

)

S

y

(s )= ∫

A(s )

z dA S

z

(s)= ∫

A( s)

y dA

1.1 Schubfluss

●

Beispiel: C-Profil

• Die resultierende Querkraft im

abgebildeten dünnwandigen C-

Profil ist Q

z

• Gesucht ist der Schubfluss.
• Flächenträgheitsmoment:

a

a

a

y

z

t

S

s

Q

z

I

y

( 2 a)

3

t

• 2 ⋅a

2

⋅a t =

a

3

t

1.1 Schubfluss

• Oberer Flansch:

a

a

a

y

z

t

S

s

1

S

y

(s 1

)=−a t s 1

q

sx

(s

1

Q

z

a

3

t

a t s

1

Q

z

s

1

a

2

q

sx

( 0 )= 0 , q

sx

(a)=

Q

z

a

S

y

( 0 )=0, S

y

(a)=−a

2

t

1.1 Schubfluss

• Unterer Flansch:

a

a

a

y

z

S

s

3

S

y

(s 3

)=−a

2

t + a t s 3

=−a

2

t

(

s

3

a

)

q

sx

(s

3

Q

z

a

(

s

3

a

)

q

sx

Q

z

a

, q

sx

( a)= 0

S

y

( 0 )=−a

2

t , S

y

(a)= 0

1.1 Schubfluss

• Verlauf des Schubflusses:

●

Der Schubfluss erzeugt

ein resultierendes positi-

ves Moment um die

durch den Schwerpunkt

verlaufende x -Achse.

●

Die Wirkungslinie der

resultierenden Querkraft

Q

z

muss daher links vom

Schwerpunkt liegen.

3 Q

z

/(8a)

3 Q

z

/(8a)

9 Q

z

/(16a)

S

q

sx

1.1 Schubfluss

• Flächenträgheitsmoment:

I

y

0

2 α r

z

2

(s)t ds=r

2

t

0

2 α r

sin

2

α−

s

r

ds=r

3

t

0

2 α

sin

2

α−

s

r

d

s

r

=r

3

t

[

α−

s

r

sin

α−

s

r

]

s /r = 0

s /r = 2 α

=r

3

t

[

α

sin ( 2 α) +

α

sin ( 2 α)

]

r

3

t

( 2 α−sin^ (^2 α))

1.1 Schubfluss

• Statisches Moment:
• Schubfluss:

S

y

(s )= ∫

0

s

z ( ¯

s )t d ¯

s=−r t ∫

0

s

sin

(

α−

s

r

)

d ¯

s =−r

2

t

[

cos

(

α−

s

r

) ]

¯

s = 0

¯s^ =s

=−r

2

t

[

cos

(

α−

s

r

)

−cos(α)

]

q

sx

(s)=−

Q

z

I

y

S

y

(s)=Q

z

2 r

2

t (^) ( cos(α−s /r )−cos(α))

r

3

t (^) ( 2 α−sin ( 2 α))

2 Q

z

( cos(α−s^ /^ r^ )−cos(α))

r (^) ( 2 α−sin( 2 α))

1.1 Schubfluss

●

Maximaler Schubfluss:

• In beiden Beispielen tritt der maximale Schubfluss an der

Stelle z = 0 auf.

• Das gilt allgemein, wenn die resultierende Querkraft in z -

Richtung zeigt:

• Zeigt die resultierende Querkraft in y -Richtung, tritt das Ma-

ximum bei y = 0 auf.

q

sx

(s)=−

Q

z

I

y

S

y

(s)=−

Q

z

I

y

∫

0

s

z t ds

dq

sx

ds

d

ds

∫

0

s

z t ds=z t = 0 → z= 0

1.1 Schubfluss

●

Beispiel: T-Profil

• Die resultierende Querkraft

im abgebildeten dünnwandi-

gen T-Profil ist Q

z

• Gesucht ist der Schubfluss

und die maximale Schub-

spannung.

a a

t

2 a

e

y

2 t

z

y

Q

z

S