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Rechnen in der Physik – Selbstlernmaterial
1 Physikalische Größen
„Wie lang ist der Tisch?“ Die Frage kann man auf verschiedene Weisen beantworten:
- „Der Tisch ist halb so lang wie das Bett.“
- „Der Tisch ist so lang wie 3 Lineale.“
- „Der Tisch ist 4 mal so lang wie mein Fuß.“
In allen Fällen wurde dasselbe gemacht: Man vergleicht die Länge des Bettes mit einer anderen (der Einheit) und gibt an, um wie viel (der Zahlenwert) länger oder kürzer das Bett ist. Das gleiche macht man immer, wenn man eine physikalische Größe angibt:
Physikalische Größe = Zahlenwert · Einheit
Man kann also schreiben:
- Länge des Tisches = 12 · Bett
- Länge des Tisches = 3 · Lineale
- Länge des Tisches = 4 · Fuß
Bei den hier verwendeten Vergleichen (den Einheiten) taucht jedoch das Problem auf, dass sie nicht überall gleich sind. Es gibt verschieden lange Betten, Lineale und Füße. Eine solche Längenangabe funktioniert also nur, wenn man sie für sich selbst aufschreibt (dann weiß man ja, welches Bett und welcher Fuß gemeint ist), oder wenn alle wissen, welcher Fuß gemeint ist. Früher hatte man deshalb außen an Rathäusern Metallstangen angebracht, die festlegten, wie lang der „Einheitsfuß“ sei. Allerdings war das oft von Stadt zu Stadt und von Land zu Land unterschiedlich. Ein Fuß in Württemberg war 28,6 cm lang, in Bayern 29,2 mm und in Wien 31,6 cm.
Aufgabe 1: Geben Sie Längen, Flächen, Massen etc. aus Ihrem Alltag in ungewöhnlichen Einheiten an, z.B. Fläche des Tisches = 45 · Physikbuch.
2 SI-Einheiten
Um das Problem unterschiedlicher Einheiten zu lösen, hat man sich auf ein internationales Einheitensystem geeinigt, das Système international d’unités oder kurz SI. Durch das SI werden sieben Basiseinheiten zu physikalischen Basisgrößen festgelegt:
- Meter für die Länge
- Sekunde für die Zeit
- Kilogramm für die Masse
- Kelvin für die Temperatur
- Ampere für die elektrische Stromstärke
- Candela für die Lichtstärke
Alle anderen Einheiten werden daraus abgeleitet, z. B.
- (^) SekundeMeter für Geschwindigkeit
- Kilogramm · SekundeMeter Sekunde für Kraft Bis hierhin ist alles ganz einfach. Aber die Physiker wollen es noch einfacher machen – und dadurch wird es wieder etwas komplizierter. Man versucht nämlich, die physikalischen Größen übersichtlich und kompakt zu schreiben:
- Man kürzt die Größen durch Buchstaben ab: Länge −→ `
- Man kürzt die Einheiten durch Buchstaben ab: Meter −→ m
- Man schreibt die Zahlenwerte wissenschaftlich: 325 000 000 −→ 2 , 25 · 108
- Man verwendet Vorsilben vor den Einheiten: 1 000 m −→ km
Die Buchstaben für Größen und Einheiten sind im Zusatzmaterial „Das ABC der Physik“ näher beschrieben. Die wissenschaftliche Zahlenschreibweise und die Vorsilben müssen wir uns etwas genauer anschauen.
Aufgabe 2: Lesen Sie das Zusatzmaterial „Das ABC der Physik“ und markieren Sie alle Größen und Einheiten, die Ihnen im Unterricht schon begehet sind.
3 Wissenschaftliche Schreibweise
In der Physik sind Messwerte oft sehr klein oder sehr groß, z.B.
- Die Masse eines Elektrons: 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 91 kg
- Geschwindigkeit des Lichts: 299 792 458 ms
- Durchmesser des Weltalls: 880 000 000 000 000 000 000 000 000 m
Damit die Zahlenwerte übersichtlich bleiben, schreibt man sie mit Hilfe von Zehnerpotenzen mit genau einer Ziffer vor dem Komma
x, xxx · 10 yy
Für die Zahlenwerte der vorausgegangenen Beispiele bedeutet das (wir lassen die Einheiten kurz weg – keine Angst, sie kommen bald wieder dazu):
- 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 91 −→ Verschieben des Kommas um 31 Stellen nach rechts (Hochzahl wird negativ) zwischen die 9 und die 1 −→ 9 , 1 · 10 −^31
- 299 800 000 −→ Verschieben des Kommas um 8 Stellen nach links (Hochzahl wird positiv) zwischen die 2 und die 9 −→ 2 , 998 · 108
- 880 000 000 000 000 000 000 000 000 −→ Verschieben des Kommas um 26 Stellen nach rechts (Hochzahl wird negativ) zwischen die 8 und die 8 −→ 8 , 8 · 1026 Aufgabe 3: Schreiben Sie folgende Zahlenwerte in wissenschaftlicher Schreibweise: a) 123 456; 12 345,6; 1 234,56; 123,456; 12,23456; 1,23456; 0,123456; 0,
b) 47 000; 0,001 234; 300 000; 0,000 03; 807 060; 0,000 000 001; 100 000 000
4 Vorsilben der Größen
Oft sind die Zehnerpotenzen in den Vorsilben der Einheiten versteckt. Statt 1 , 3 · 10 −^3 g (Gramm) schreibt man 1 , 3 mg (Milligramm). Im Alltag kennt man dies z.B. von Dezimeter, Milliliter und Kilowatt. Die üblichen Vorsilben, ihre Symbole und die zugehörigen Zehnerpotenzen lauten
Vorsilbe Symbol Faktor Vorsilbe Symbol Faktor Deka da 101 Dezi d 10 −^1 Hekto h 102 Centi c 10 −^2 Kilo k 103 Milli m 10 −^3 Mega M 106 Mikro μ 10 −^6 Giga G 109 Nano n 10 −^9 Tera T 1012 Piko p 10 −^12 Peta P 1015 Femto f 10 −^15 Exa E 1018 Atto d 10 −^18
Wenn wir jetzt die SI-Einheiten, die wissenschaftliche Schreibweise und die Vorsilben kombi- nieren, erhalten wir die typische Schreibweise physikalischer Größen
Physikalische Größe = x, xxx · 10 yy^ Einheit
Liest man also in kompakter Schreibweise^1 z. B. ` = 12 , 34 km oder m = 2 , 345 μg, so muss man im Kopf folgende Ersetzungen denken:
_ = 12 _,_ 34 km _ = 12 , 34 · 103 m ` = 12 340 m Länge = 12 340 Meter Länge = 12 340 · 1 Meter die Länge ist 12 340 mal so lang wie ein Meter
m = 2 , 345 μg m = 2 , 345 · 10 −^6 g m = 2 , 345 · 10 −^9 kg m = 0 , 000000002345 kg Masse = 0 , 000000002345 Kilogramm Masse = 0 , 000000002345 · 1 Kilogramm die Masse ist der 0 , 000000002345 te Teil eines Kilogramms
(^1) Größen werden bei Schreiben mit einer Textverarbeitung üblicherweise kursiv gesetzt, Einheiten und Vorsätze nicht kursiv
Trifft eine Zehnerpotenz auf eine Vorsilbe, so kann man sie zusammenfassen:
3 , 4 · 107 nm (Vorsilbe Nano meint 10 −^9 ) 3 , 4 · 107 · 10 −^9 m 3 , 4 · 10 7+(−9)^ m (Hochzahlen addieren) 3 , 4 · 10 −^2 m 3 , 4 cm
Wenn Einheiten quadriert werden, wirkt sich das auch auf die Vorsilbe aus:
6 , 2 Quadratkilometer 6 , 2 km^2 6 , 2 · (10^3 · m)^2 6 , 2 · (10^3 )^2 · m^2 6 , 2 · 103 ·^2 · m^2 6 , 2 · 106 m^2
Und nun noch eine Umrechnung, in der Einheiten in Brüchen vorkommen:
km min
103 m 60 s
102 m 6 s
m s
m s
Das sollten Sie nun alles gut üben:
Aufgabe 6: Rechnen Sie folgende Zahlenangaben aus dem Alltag in SI-Einheiten in wissen- schaftlicher Schreibweise um: a) Der Burj Khalifa ist mit 828 m das höchste Bauwerk der Welt. b) Der Laerdalstunnel (Norwegen) ist mit 24,5 km Länge der längste Straßentunnel der Welt. c) Die größte Talsperre der Welt, gemessen am gestauten Wasservolumen, ist mit 180 Mil- liarden Kubikmetern die Kariba-Talsperre zwischen Simbabwe und Sambia. d) Volumen einer Getränkeflasche: 1,5 Liter
e) Die größte Talsperre der Welt, gemessen an der Wasserfläche, ist mit 8500 Quadratkilo- metern der Volta-Stausee in Ghana. f) Fläche eines DIN A4-Blattes mit den Maßen 21 cm und 29,7 cm
g) Größtes Passagierflugzeug ist der Airbus A380-800 mit maximaler Startmasse von 590 t. h) Die Weltrekorde im Geschwindigkeitsskifahren liegen bei 251,400 kmh für Männer und 242,590 kmh für Frauen. i) Die Fließgeschwindigkeit eines Gletschers beträgt ca. 20 m pro Tag. j) Dauer einer Unterrichtsstunde: 45 min
k) Dauer der Sommerferien: 6 Wochen
Aufgabe 7: Lösen Sie die folgenden Formeln nach der angegebenen Größe auf. a) F = m · a nach a
b) v = ∆ ∆ st nach ∆ t
c) m · v 2 r =^ q^ ·^ v^ ·^ B^ nach^ r d) m · rv^2 = q · v · B nach v
e)^12 · m · v^2 = m · g · h nach v f) s = 12 · a · t^2 nach t
g)^12 · D · s^2 = 12 · m · v^2 + m · g · h nach m
h) T (^) H^4 = a · R
(^2) Z 4 · r^2 ·^ T^
4 Z nach^ TH
i) T (^) H^4 = a · R
(^2) Z 4 · r^2 ·^ T^ Z^4 nach^ TZ
6 Formeln berechnen
Mit Hilfe der wissenschaftlichen Schreibweise und der SI-Einheiten lassen sich physikalische Formeln systematisch berechnen:
- gegebene Größen in wissenschaftlicher Schreibweise und mit SI-Einheiten schreiben;
- Formel aufschreiben;
- Formel nach der gesuchten Größe umformen und vereinfachen;
- gegebene Größen einsetzen;
- gesuchte Größe ausrechnen.
Übertragen wir diese Vorgehensweise auf folgende Aufgabe: „Wie lange braucht Schall (Ge- schwindigkeit in Luft: 1 224 kmh ) für eine Strecke von 10 cm?“
- gegebene Größen in wissenschaftlicher Schreibweise und mit SI-Einheiten schreiben:
v = 1 224 km h
103 m 3 600 s
m s
m s
m s
∆ s = 10 cm = 10 · 10 −^2 m = 1 · 10 −^1 m
- Formel aufschreiben: v = ∆ s ∆ t
- Formel nach der gesuchten Größe umformen und vereinfachen:
∆ t = ∆ s v
- gegebene Größen einsetzen: ∆ t = 1 · 10 −^1 m 3 , 4 · 102 ms
- gesuchte Größe ausrechnen:
∆ t = 1 · 10 −^1 m 3 , 4 · 102 ms
=
10 −^1
m m s =
· 10 −^1 −^2 · m · s m =
· 10 −^3 · s
=
ms
≈ 0 , 3 ms
Aufgabe 8: Berechnen Sie die folgenden Formeln.
a) a = ∆ ∆ vt ; ∆ v = 12 000kmh ; ∆ t = 300 Tage; a =?
b) v = ∆ ∆ st ; ∆ s = 2500 m; v = 30 kmh ; ∆ t =? c) ∆ s = 12 · a · ∆ t^2 ; ∆ s = 3 , 5 m; ∆ t = 5 s; a =?
d) E = 12 · m · v^2 ; m = 1 500 g; E = 10 J; v =? e) h = v 0 · t + 12 · g · t^2 und v = v 0 + g · t ; h = 35 m; v 0 = 9 kmh ; g = 9 , 8 ms 2 ; v =?
f) F = (^4) · π^1 · ε 0 · e r^22 ; ε 0 = 8 , 8 · 10 −^12 VmAs ; e = 1 , 6 · 10 −^19 C; r = 2 · 10 −^15 m; F =?
Dies kann man nach ∆ tb auflösen:
∆ tb = 2 · ∆ sb ∆ v = 2 · 75 m 25 ms = 6 s
Die Bremszeit beträgt also 6 s. Nun lässt sich die Verzögerung berechnen:
a =
∆ v ∆ tb = − 25 ms 6 s ≈ − 4 m s^2
Die Verzögerung des PKW beträgt also ca. − 4 ms 2.
Lösung b: Die Gesamtzeit ist die Summe aus Schrecksekunde und Bremszeit:
∆ t gesamt = ∆ ts + ∆ tb = 1 s + 6 s = 7 s
Der gesamte Vorgang dauert 7 s.
Lösung c: Eigentlich braucht die Fahrerin 100 m, um zum Stillstand zu kommen. Sie hat jetzt aber nur 80 m Platz. Gesucht ist also die Geschwindigkeit, die sie 20 m vor dem Stillstand noch hat. Man kann sich die Arbeit erleichtern, indem man umgekehrt denkt: Welche Geschwindigkeit hat ein PKW nach 20 m, der aus der Ruhe heraus mit +4 ms 2 beschleunigt. Dazu braucht man erst wieder die Zeit:
∆ s =
· a · (∆ t )^2
(∆ t )^2 =
2 · ∆ s a ∆ t =
√ 2 · ∆ s a
=
√√ √√ 2 · 20 m (^4) sm 2
=
√ 2 · 20 4
√ m m s^2
≈ 3 , 16 ·
√ m · s^2 m = 3 , 16 ·
s^2 = 3 , 16 s
Nun muss die Geschwindigkeit nach 3,16 s berechnet werden:
∆ v = a · ∆ t = 4 m s^2 · 3 , 16 s
≈ 12 , 6 m s ≈ 45 km h
Der PKW fährt mit einer Geschwindigkeit von 45 kmh auf das Hindernis auf!
Lösung d: Man verwendet dieselbe Vorgehensweise wie in Aufgabenteil a – allerdings mit einem kürzeren Bremsweg: 80 m (Abstand zum Hindernis) minus 25 m (Weg in der Schreckse- kunde). Die Fahrerin muss also in 55 m von 25 ms auf 0 ms herunterbremsen. Gesucht ist dafür die Verzögerung a.
∆ v = − 25 m s ∆ s = 55 m
Berechnung der Bremszeit ∆ t (Herleitung der Formel wie in Aufgabenteil a):
∆ t = 2 · ∆ s ∆ v = 2 · 55 m 25 ms = 4 , 4 s
Nun lässt sich die Verzögerung berechnen:
a =
∆ v ∆ t = − 25 ms 4 , 4 s ≈ − 5 , 7 m s^2
Die Verzögerung des PKW hätte also − 5 , 7 ms 2 betragen müssen, um den Zusam- menprall zu verhindern.
Lösung e: Der Anhalteweg setzt sich aus Weg ∆ ss in der Schrecksekunde und Bremsweg ∆ sb zusammen:
∆ s gesamt = ∆ ss + ∆ sb = v · ∆ ts +
· a · (∆ tb )^2
