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3.4.2 Strukturfaktoren einiger wichtiger Kristalle
Auslöschungsregeln
Wir berechnen jetzt mal den Strukturfaktor des kubisch raumzentrierten Eisens.
Die notwendigen Basisdaten hatten wir schon notiert; wir können die alte Tabelle jetzt noch um den Atomformfaktor f Fe erweitern und bekommen
Kristall Gittertyp r j Atom f j
Fe bcc r 1 = (0 0 0) r 2 = (½ ½ ½)
Fe Fe
f Fe f Fe
Wie groß auch immer der Atomformfaktor für ein Eisenatom bezüglich eines bestimmten Reflexes G auch sein mag, beide Eisenatome haben denselben Atomformfaktor – in jeder Näherung – da vollständige Symmetrie vorliegt; sie unterscheiden sich in nichts. Wir können gleich noch eine weitergehende Aussage machen. Da der Atomformfaktor im wesentlichen von der Elektronendichte bestimmt wird, werden sich die Atomformfaktoren ähnlicher Elemente – z. B. Fe, Mn, Co – allenfalls ein bißchen unterscheiden können. Einsetzen in die Formel für die Strukturamplitude liefert
F s (Fe) =
Σ j = 1
f j · exp[i · r i · G ] = f Fe · { exp[i · (0 0 0) · G ] + exp[i · (½ ½ ½) · G ] }
Jeder reziproke Gittervektor kann in Komponenten als G = 2 π · (h · g 1 + k · g 2 + l · g 3 ) geschrieben werden.
Setzen wir diese Form für G ein, ergibt sich
F s(Fe) = f Fe · 1 + exp[2iπ · (h k l) · (½ ½ ½)] = f Fe · 1 + exp[iπ · (h + k + l)]
Daraus ergibt sich eine interessante allgemeine Auslöschungsregel die nicht nur für Fe , sondern offensichtlich für alle einatomige bcc -Kristalle gilt Die Strukturamplitude F s(bcc) ist = 0 falls
h + k + l = n ung (ungerade Zahl)
Warum? Weil immer gilt
exp[iπ · n ung] = – 1
Wer das nicht kennt, braucht sich nur die Eulersche Formel hinschreiben:
exp[iπ · n ]
cos ( n · π) + i · sin ( n · π)
Falls n ungerade ist, wird der Sinus = 0 und der Cosinus = – 1 , q.e.d.
Die Auslöschungsregel für bcc -Kristalle sagt im Klartext:
Die Ebenen {100}, {300}, ..., {111}, {333}, ..., {120}, {240}, ... usw. des Kristalls werden eine einfallende Welle nicht beugen, obwohl die Bragg-Bedingung für das Gitter erfüllt ist. Die Intensität im gebeugten Strahl ist immer = 0.
Ein Beugungsbild, z. B. in einem Elektronenmikroskop, wird also so aussehen:
Ein Beugungsbild, z. B. in einem Elektronenmikroskop, wird also so aussehen:
Die feinen Punkte markieren Reflexe, die zwar erlaubt sind, aber per Auslöschungsregel nicht auftreten.
Die roten Kreise vermitteln einen Eindruck der auftretenden Intensität. Die äußert sich zwar nicht im Durchmesser der Beugungspunkte, sondern in ihrer " Lichtstärke " auf dem Leuchtschirm, aber das kann man graphisch nicht leicht wiedergeben.
Die Auslöschungsregel des bcc -Gitters ist auch geometrisch leicht zu verstehen. Wir müssen nur unser ursprüngliches Bild, das wir zur Herleitung der Bragg-Bedingung verwendet haben, für einen bcc - Kristall zeichnen:
Die roten Atome kommen dazu – wir haben einfach doppelt so viele, aus Sicht des Kristalls identische Ebenen, wie im simplen kubischen Gitter. Die an den roten Atomen der zusätzlichen Ebenen reflektierte Welle ist genau in Antiphase zur Welle eins drüber und wird also immer für Auslöschung sorgen. Für die oben betrachteten {100} Ebenen des Gitters wird die Intensität der Reflexe also im bcc Fall = 0 sein – wie berechnet. Für all die anderen Ebenen mit ungerader Indizessumme kann man die Auslöschungsregel ähnlich visualisieren – aber eine Formel ist eben doch viel praktischer.
Falls wir statt eines Eisenatoms jetzt eine beliebig komplizierte Basis auf die Gitterpunkte setzen, erhalten wir dasselbe Ergebnis – geändert hat sich letztlich nur der Vorfaktor; statt f Fe haben wir jetzt einen mehr oder weniger komplizierten Ausdruck.
Die Auslöschungsregel für das bcc -Gitter (und auch für das gleich betrachtete fcc Gitter) gilt also immer.
Wir könnten jetzt andere Gittertypen probieren um zu sehen, ob wir vielleicht ebenfalls simple Auslöschungsregeln finden. Das werden wir jedoch in einer kleinen Übung tun, hier nur einige Ergebnisse
Auslöschungsregel für fcc-Gitter :
F ≠ 0 für {
h, k, l alle gerade
h, k, l alle ungerade
Reflexe von z.B {100} -, {110} -, {120} -, ... oder {110} -, {120} -, ... Ebenen treten demgemäß nicht auf ( 0 zählt als gerade Zahl).
Auslöschungsregel für Diamantgitter (mit lauter identischen Atomen).
F ≠ 0 für
h + k + l = 4n; n = 0, 1, 2, 3, ... und alle Indizes gerade
h, k, l alle ungerade und ≠ 0
Nicht vergessen sollte man in diesem Zusammenhang, daß vor genau 50 Jahren ( 1953 ) Francis Crick und James Watson (und Rosalind Franklin und Maurice Wilkins ) die Struktur der DNA entdeckt haben.
Eigentlich hat Rosalind Franklin die entscheidenden Röntgenbeugungsexperimente gemacht, aber es blieb Watson vorbehalten, durch maßstäblichen Modellbau mit den bekannten Bausteinen der DNA auf die Doppelhelix zu stoßen, die dann in der Rückwärtsrechnung die gemessenen Reflexe ergab; mehr dazu im Link.
Fragebogen / Questionaire Multiple-Choice-Fragen zu 3.4.1 und 3.4.
