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Technische Universität Berlin Fakultät V – Institut für Mechanik Fachgebiet für Kontinuumsmechanik und Materialtheorie Sekretariat MS 2, Einsteinufer 5, 10587 Berlin Statik und elementare Festigkeitslehre
14. Übungsblatt-Lösungen WS 2017/
Tutoriumsaufgaben
1. Aufgabe
a) Zur Berechnung der Biegelinie 𝑤 ( 𝑥 ) wenden wir das Superpositionsprinzip an. Auf Grund der Linearität der Biegeliniendifferentialgleichung ist die Summe zweier Lösungen wieder Lösung. Wir teilen also das System wie in Abbildung 1 dargestellt auf, wobei das Torsionsmoment ausgelassen wurde, da es keinen Einfluss auf die Durchbiegung hat.
Abb. 1: Superposition
Wir beginnen mit der Berechnung von 𝑤𝑞 ( 𝑥 ) und setzen die Biegelinien-DGL an:
𝐸𝐼𝑤 IV 𝑞 = 𝑞 ( 𝑥 ) = 𝑞 0_._ (1)
Hierbei ist für Kreisquerschnitte
𝐼 = 𝐼𝑦𝑦 =
Die viermalige Integration der Biegelinien-DGL ergibt
𝐸𝐼𝑤 𝑞 ′′′ = 𝑞 0 𝑥 + 𝐶 1 ,
𝐸𝐼𝑤 ′′ 𝑞 = 𝑞 0
𝑥^2
2 +^ 𝐶^1 𝑥^ +^ 𝐶^2 ,
𝑥^3
6 +^ 𝐶^1
𝑥^2
2 +^ 𝐶^2 𝑥^ +^ 𝐶^3 ,
𝑥^4
24 +^ 𝐶^1
𝑥^3
6 +^ 𝐶^2
𝑥^2
2 +^ 𝐶^3 𝑥^ +^ 𝐶^4.
Zur Bestimmung der Integrationskonstanten werden vier Randbedingungen aufgestellt. In der fes ten Einspannung verschwinden Durchsenkung und Biegewinkel, am freien Ende das Biegemoment und die Querkraft:
𝑤𝑞 (0) = 0 , 𝑤 ′ 𝑞 (0) = 0 , 𝑀 ( 𝐿 ) = − 𝐸𝐼𝑤 𝑞 ′′ ( 𝐿 ) = 0 ⇔ 𝑤 𝑞 ′′ ( 𝐿 ) = 0 , 𝑄 ( 𝐿 ) = − 𝐸𝐼𝑤 ′′′ 𝑞 ( 𝐿 ) = 0 ⇔ 𝑤 ′′′ 𝑞 ( 𝐿 ) = 0_._
Die Auswertung liefert dann
𝐶 3 = 𝐶 4 = 0 , 𝐶 1 = − 𝑞 0 𝐿 , 𝐶 2 =^1 2
𝑞 0 𝐿^2. (5)
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14. Übungsblatt-Lösungen WS 2017/
Damit folgt für die Biegelinie:
[︃
𝑞^0
𝑥^4
24 −^ 𝑞^0 𝐿
𝑥^3
6 +^ 𝑞^0 𝐿
2 𝑥^2
]︃
.^ (6)
Für das nur mit der Punktlast 𝐹 belastete System integrieren wir die Gleichung
𝐸𝐼𝑤 𝐹 IV = 𝑞 ( 𝑥 ) = 0 (7)
wie folgt:
𝐸𝐼𝑤 𝐹 ′′′ = 𝐷 1 , 𝐸𝐼𝑤 ′′ 𝐹 = 𝐷 1 𝑥 + 𝐷 2 ,
𝐸𝐼𝑤 ′ 𝐹 = 𝐷 1^ 𝑥
2 2
𝐸𝐼𝑤𝐹 = 𝐷 1^ 𝑥
3 6 +^ 𝐷^2
𝑥^2
2 +^ 𝐷^3 𝑥^ +^ 𝐷^4.
Wir stellen nun abermals vier Randbedingungen auf. In der festen Einspannung verschwinden abermals Durchsenkung und Biegewinkel. Am rechten Ende ist das Biegemoment Null, die Querkraft entspricht der von Außen aufgeprägten Punktlast:
𝑤𝐹 (0) = 0 , 𝑤 ′ 𝐹 (0) = 0 , 𝑀 ( 𝐿 ) = − 𝐸𝐼𝑤 ′′ 𝐹 ( 𝐿 ) = 0 ⇔ 𝑤 ′′ 𝑞 ( 𝐿 ) = 0 , 𝑄 ( 𝐿 ) = − 𝐸𝐼𝑤 𝑞 ′′′ ( 𝐿 ) = 𝐹.
Die Auswertung der Randbedingungen liefert:
𝐷 4 = 𝐷 3 = 0 , 𝐷 1 = − 𝐹 , 𝐷 2 = 𝐹 𝐿. (10)
Damit folgt für die Biegelinie
𝑥^3
6 +^ 𝐹 𝐿
𝑥^2
2.^ (11)
Für das Gesamtsystem ergibt sich damit
[︃ − 𝐹 𝑥
3 6
2 2
+ 𝑞 0^ 𝑥
4 24
3 6
+ 𝑞 0 𝐿^2 𝑥
2 4
]︃ (12)
Für die Durchbiegung an der Stelle C werten wir die Funktion bei 𝑥 = 𝐿 aus:
𝑤 C = 𝑤 ( 𝑥 = 𝐿 ) = (^) 𝐸𝐼^1
[︂ 𝐹
3 +^1
8 𝑞^0 𝐿
4
]︂
(^). (13)
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14. Übungsblatt-Lösungen WS 2017/
2. Aufgabe
Abb. 2: Unterteilung des Querschnitts
a) Der Schwerpunkt und somit der Ursprung 𝑆 des 𝑦,𝑧 -Koordinatensystems liegt in der Mitte der Verbindungslinie zwischen 𝑆 1 und 𝑆 2. Bestimmung der Flächenträgheitsmomente:
∑︁^2 𝑖 =
[︃ 𝐼𝑦𝑦,𝑖 0 +
(︂ 𝑎 2
)︂ 2 𝑎 (2 𝑎 )
]︃
4 + 𝑎^2
2 +^8
4 + 𝑎^2
2 =^28
4 =^7
∑︁^2 𝑖 =
[︃ 𝐼𝑧𝑧,𝑖 0 +
(︂ −
)︂ 2 𝑎 (2 𝑎 )
]︃
𝑎^4
6 +^
𝑎^2
2 + 𝑎^4
6 +^
𝑎^2
2 =^4
∑︁^2 𝑖 =
[︂ 𝐼𝑦𝑧,𝑖 0 −
(︂ −
)︂ 𝑎 (2 𝑎 )
]︂
⏟ ⏞ ∑︀ ( 𝐼𝑖𝑦𝑧, 0 − 𝑎𝑧 𝑎𝑦 𝐴 ) STEINER für^ 𝐼𝑦𝑧
wobei 𝑦𝑖 0 ,𝑧𝑖 0 die Hauptachsen der 𝑖 -ten Teilfläche sind:
𝐼 𝑦𝑦,^10 = 𝑎 (2 𝑎 )
3 12
𝑎^4 , (25)
𝐼 𝑦𝑦,^20 = 𝑎 (2 𝑎 )
3 12
𝑎^4 , (26)
𝐼 𝑧𝑧,^10 = (2 𝑎 ) 𝑎
3 12 =^
𝑎^4
6 ,^ (27)
𝐼 𝑧𝑧,^10 = (2 𝑎 ) 𝑎
3 12 =^
𝑎^4
6 ,^ (28)
𝐼 𝑦𝑧,^10 = 𝐼 𝑦𝑧,^20 = 0 auf Grund der Symmetrie. (29)
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b) Wie aus der Vorlesung bekannt, gilt für die Hauptachsen 𝜂,𝜁 :
𝐼𝜂𝜂 = cos^2 ( 𝛼 ) 𝐼𝑦𝑦 + sin^2 ( 𝛼 ) 𝐼𝑧𝑧 + 2 sin( 𝛼 ) cos( 𝛼 ) 𝐼𝑦𝑧 , (30) 𝐼𝜁𝜁 = sin^2 ( 𝛼 ) 𝐼𝑦𝑦 + cos^2 ( 𝛼 ) 𝐼𝑧𝑧 − 2 sin( 𝛼 ) cos( 𝛼 ) 𝐼𝑦𝑧 , (31) 𝐼𝜂𝜁 = − sin( 𝛼 ) cos( 𝛼 ) ( 𝐼𝑦𝑦 − 𝐼𝑧𝑧 ) + (cos^2 ( 𝛼 ) − sin^2 ( 𝛼 )) 𝐼𝑦𝑧 = 0 , (32)
wobei Gl. (32) (die Forderung, dass 𝐼𝜂𝜁 = 0) auch aus der Definition des Hauptachsensystems ( 𝐼𝜂𝜂 bzw. 𝐼𝜁𝜁 werden extremal, also d 𝐼𝜂𝜂/𝜁𝜁 d 𝛼 = 0) gewonnen werden kann. Aus Gl. (32):
− sin( 𝛼 ) cos( 𝛼 )
(︁ 𝐼𝑦𝑦 − 𝐼𝑧𝑧 ) + (cos^2 ( 𝛼 ) − sin^2 ( 𝛼 )
)︁ 𝐼𝑦𝑧 = 0 1 2 sin(2 𝛼 )( 𝐼𝑧𝑧^ −^ 𝐼𝑦𝑦 ) +^ 𝐼𝑦𝑧^ cos(2 𝛼 ) = 0^ (33) tan(2 𝛼 ) =
𝐼𝑦𝑦 − 𝐼𝑧𝑧^ =^
2 𝑎^4
7 3 𝑎^4 −^
4 3 𝑎^4
= 2 ⇒ 𝛼 = 31 , 7 ∘^. (34)
Durch die Drehung des 𝑦,𝑧 -Koordinatensystems um 31 , 7 ∘^ im Uhrzeigersinn gelangt man ins Hauptachsensystem. In diesem werden die Trägheitsmomente maximal und lauten:
𝐼𝜂𝜂, max =^7 3
𝑎^4 cos^2 (31 , 7 ∘) +^4 3
𝑎^4 sin^2 (31 , 7 ∘) + 2 sin(31 , 7 ∘) cos(31 , 7 ∘) 𝑎^4 = 2 , 95 𝑎^4 , (35)
𝐼𝜁𝜁, max =
(^4) sin (^2) (31 , 7 ∘) +^4 3 𝑎
(^4) cos (^2) (31 , 7 ∘) − 2 sin(31 , 7 ∘) cos(31 , 7 ∘) 𝑎 (^4) = 0 , 71 𝑎 (^4). (36)
Hausaufgaben
3. Aufgabe
a) Aus Freischnitt und Gleichgewichtsbedingungen erhält man, dass bei C nur das Torsionsmoment 𝑀𝐷 auftritt. Daraus ergibt sich die Torsionsspannung:
𝜏 = 𝑀𝐷 𝐼 p
=^16 𝑀𝐷
𝜋𝑑^3
Eine Normalspannung 𝜎𝑥𝑥 tritt nicht auf, da es weder Biegemoment noch Normalkraft im Querschnitt C gibt.
b)
𝑀𝐷, b = 𝜋𝑑
3 16
𝜏 zul_._ (2)
c) Freischnitt: Aus den Gleichgewichtsbedingungen erhält man, dass bei C das Torsionsmoment 𝑀𝐷 und das Biegemoment 𝑀𝐵 auftreten:
𝑀𝐵 =
2 𝐹𝐵^ =^ 𝑀𝐷^.^ (3)
