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H. van Hees Sommersemester 2020
Mathematische Methoden der Physik für das Lehramt L3 – Lösungen 11
Aufgabe 1: Drehungen um eine vorgegebene Achse
Zeigen Sie, daß durch
~ x
′
D
n ~
( ϕ ) ~ x = n ~ ( n ~ · x ~ ) + n ~ × (x ~ × n ~ ) cos ϕ + ( n ~ × x ~ ) sin ϕ (1)
eine Drehung des Vektors ~ x um die Drehachse in Richtung von ~ n, wobei | n ~ | = 1, um den Winkel ϕ ∈
[0, π ] im Sinne der Rechte-Hand-Regel gegeben ist.
Anleitung: Im folgenden sei ˆx = ~ x / r mit r = | ~ x| der Einheitsvektor in Richtung von ~ x. Falls n ~ ‖ ˆx ist die
Formel sicher korrekt (warum?). Sei also n ~ × xˆ 6 = 0. Dann beschreiben wir die Drehung am besten in dem
folgenden an ~ x angepaßten kartesischen rechtshändigen Koordinatensystem ~ e
3
= n ~ , ~ e
2
= n ~ × ˆx / |ˆx × n ~ |,
~ e
1
= ~ e
2
× ~ e
3
(a) Drücken Sie ~ e
1
und ~ e
2
so einfach wie möglich mit Hilfe von n ~ und ˆx aus.
Lösung: Zuerst berechnen wir zur Normierung den Betrag des Vektorprodukts
|ˆx × n ~ |
2
= (ˆx × n ~ ) · (ˆx × n ~ ) = [(ˆx × n ~ ) × xˆ] · n ~. (2)
Dabei haben wir im letzten Schritt die allgemein gültige Formel (a ~ ×
b ) · ~ c = ~ a · (
b × ~ c). Für das
Doppelvektorprodukt in der Klammer können wir die Formel
(a ~ ×
b ) × ~ c =
b (a ~ · c ~ ) − a ~ (
b · ~ c) (3)
verwenden, was auf
|xˆ × n ~ |
2
= [ n ~ xˆ
2
− ˆx(ˆx · n ~ )] · n ~ = 1 − (ˆx · n ~ )
2
führt.
Dieser Ausdruck ist offenbar nur dann 0, wenn ˆx ‖ n ~ , und das ist voraussetzungsgemäß nicht der
Fall. Es ist also
~ e
2
n ~ × xˆ
p
1 − (ˆx · ~ n)
2
Die erneute Anwendung von (3) liefert
e
1
e
2
×
e
3
( n ~ × ˆx) × n ~
p
1 − (ˆx · n ~ )
2
ˆx − ( n ~ · ˆx) n ~
p
1 − (ˆx · n ~ )
2
(b) Bestimmen Sie die Komponenten von ~ x bzgl. des kartesischen Koordinatensystems ( ~ e
1
, ~ e
2
, ~ e
3
Lösung: Da die Vektoren
e
1
e
2
und
e
3
eine kartesische Basis bilden, sind die Komponenten des
Vektors durch die Skalarprodukte mit diesen Basisvektoren gegeben. Es gilt also
x
1
e
1
x =
r
p
1 − (xˆ · n ~ )
2
[ 1 − (
x ·
n)
2
] = r
x ·
n)
2
x
2
= ~ e
2
· ~ x = r ~ e
2
· ˆx = 0,
x
3
= ~ e
3
· ~ x = n ~ · ~ x = r n ~ · xˆ.
(c) Bzgl. dieses Koordinatensystems handelt es sich offenbar um eine Drehung um die 3-Achse. Was
sind demnach die Komponenten von
x
′
bzgl. dieses Koordinatensystems?
Hinweis: Zeichen Sie die Projektion ~ x
⊥
von x ~ und ~ x
′
⊥
von x ~
′
auf die 12-Ebene in das oben konstru-
ierte kartesische Koordinatensystem ein und lesen Sie die Komponenten x
′
1
und x
′
2
des gedrehten
Vektors ab. Beachten Sie weiter, daß offenbar x
′
3
= x
3
gilt.
Lösung: Die Projektion des Vektors ~ x auf die 12-Ebene ist gemäß (7) offenbar durch
~ x
⊥
= x
1
~ e
1
gegeben. In der Projektion auf die 12-Ebene sieht die Situation also wie folgt aus:
~ e
3
x
2
x
1
ϕ
~ x
⊥
~ x
′
⊥
Die Orientierung der drei Basisvektoren in dieser Zeichnung ergibt sich daraus, daß die Basis kon-
struktionsgemäß eine rechtshändige Basis ist. Ebenso erfolgt definitionsgemäß die Drehung um die
n ~ = ~ e
3
-Achse im Sinne der Rechte-Hand-Regel, d.h. streckt man den Daumen der rechten Hand
in die Richtung von n ~ (in der Zeichnung also aus der Zeichenebene heraus, angedeutet durch den
Kreis mit Punkt), geben die Finger die Drehrichtung an. Für die Komponenten von ~ x
′
ergibt sich
aus der Zeichnung sofort
x
′
1
= r
⊥
cos ϕ , x
′
2
= r
⊥
sin ϕ , x
′
3
= x
3
= r n ~ · ˆx = n ~ · ~ x. (9)
Dabei ist
r
⊥
x
⊥
| = |x
1
| = r
x ·
n)
2
(d) Drücken Sie zum Schluß
~ x
′
3
j = 1
x
′
j
~ e
j
durch die Vektoren ~ x und n ~ aus und zeigen Sie, daß das Resultat mit (1) übereinstimmt.
Lösung: Man liest die Komponenten des gedrehten Vektors aus der obigen Skizze ab, was auf (9)
führt und drückt schließlich wieder die Basisvektoren mit Hilfe der Formeln (4) und (5) durch n ~
und ˆx aus. Man erhält dann nach einigen einfachen Umformungen
x
′
3
∑
j = 1
x
′
j
e
j
= r
⊥
e
1
cos ϕ +
e
2
sin ϕ ) +
n(
n ·
x) = (
n ·
x)
n + cos ϕ [
n × (
x ×
n)] + sin ϕ (
n ×
x), (11)
und das war zu zeigen.
