12. Tutorium - Quantentheorie I
16.01.2015
1. Ein Spin 𝑠= 1/2befinde sich im Zustand
|𝜒⟩=2
3|+⟩+𝑖√5
3|−⟩,
wobei |+⟩,|−⟩ die Eigenzustände von 𝑆𝑧zu den Eigenwerten ~/2bzw. −~/2sind.
a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Unschärfe von 𝑆𝑦in diesem Zu-
stand.
b) Entlang welcher Raumrichtung müssen Sie den Spin des Zustands |𝜒⟩messen
um mit Wahrscheinlichkeit 1 den Messwert ~/2zu bekommen? Zeichnen Sie
den Zustand in einer Blochkugel ein. (Hinweis: Verwenden Sie Ihre Erkennt-
nisse aus Bsp. 3 des 10. Tutoriums.)
2. a) Nehmen Sie an, dass Sie vor der Aufgabe stehen mit Hilfe von Magnet-
Resonanz-Tomographie (MRT) die Konzentration des Kohlenstoff-Isotops 13C
im Körper eines Patienten zu bestimmen. Durch seine ungerade Nukleonen-
zahl hat 13C einen Kernspin mit Spinquantenzahl 𝑠= 1/2. In einem homoge-
nen Magnetfeld B= (0,0, 𝐵), tritt somit eine Zeeman-Aufspaltung bezüglich
der beiden möglichen Spinausrichtungen 𝑚=±1/2auf.
i. Berechnen Sie die entsprechende Magnetfeldstärke 𝐵, um einen Übergang
zwischen den zwei auftretenden Energieniveaus zu induzieren, wenn die
Übergangsfrequenz 𝑓, wie in der Medizin üblich, im Radiofrequenzbereich
liegt, z.B. 𝑓= 100 MHz.
ii. Wie groß müsste 𝐵sein, um bei gleicher Frequenz eine Resonanz zu indu-
zieren, wenn anstatt eines Atomkerns ein einzelnes Elektron betrachtet
wird.
iii. Begründen Sie aus Ihren Ergebnissen, wieso bei herkömmlichen MRT-
Geräten supraleitende Spulen zum Einsatz kommen.
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