Vorbereitungsmaterial in den Fachern Mathematik und Informatik, Übungen von Mathematik

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Vorb ereitungsmaterial

f ur ein Studium in den Fachern

Mathematik und Informatik

an der Universitat Leipzig

Herausgegeb en vom Studiendekan der

Fakultat f ur Mathematik und Informatik

1 Warum ein Tutorium Mathematik

In allen von unserer Fakultat angeb otenen Studiengangen ist die Beschaftigung mit mathematischen Sachverhalten selbstverstandlich. Hab en Sie vor, Mathematik o der Wirtschaftsmathematik zu studieren, wird Sie das vielleicht nicht ub erraschen, ab er auch f (^) ur ein Informatik-Studium darf die grundlegende Bedeutung der Mathematik nicht unterschatzt werden. Ein groer Teil der obligatorischen Lehrveranstaltungen f (^) ur Informatikstudenten im Grundstudium b eschaftigt sich mit mathematischen In- halten. Auch b ei den Informatik-Anwendungen werden Sie mathematische Metho- den und Denkmuster b enutzen. Eine wichtige Voraussetzung f ur Ihren Erfolg im Studium ist deshalb das sichere Beherrschen der mathematischen Grundlagen. Leider hab en die Erfahrungen der vergangenen Jahre gezeigt, da die f ur ein Studi- um an unserer Fakultat unab dingbaren mathematischen Vorkenntnisse (obwohl sie nicht ub er den Schulsto hinausgehen) nicht b ei allen Studienb ewerb ern immer in ausreichendem Umfang vorhanden sind. Um zu vermeiden, da ein Student wahrend des laufenden Studiums das nicht vor- handene Grundlagenwissen selbstandig nachholen mu und die zusatzliche Belastung ihn dann ub erfordert o der demotiviert, wird f ur die an der Fakultat neu eingeschrie- b enen Studenten ein Vorb ereitungskurs angeb oten. Dieser Kurs wird vor Beginn des Wintersemesters 2001/2002 statt nden. In diesem Tutorium wird no ch kein Sto gelehrt, der nicht im Leistungskurs des Gymnasiums b ehandelt worden ist. Es ist f (^) ur diejenigen Studenten gedacht, die einen Grundkursabschlu in Mathematik hab en, deren letzter Mathematikunterricht langere Zeit zur uckliegt o der die sicher sein wollen, ihr Studium gr (^) undlich vorb ereitet zu b eginnen. Es ist keine vollstandige Wiederholung des Mathematikunterrichts an der Schule, sondern wird sp eziell das mathematische Wissen festigen, auf das f (^) ur alle Studiengange an unserer Fakultat vom ersten Semester an aufgebaut wird. Damit Sie eine Vorstellung von den vorausgesetzten Mathematikkenntnissen b ekom- men und Ihr eigenes Wissen testen konnen, werden im nachsten Abschnitt einige Aufgab en verschiedenenen Schwierigkeitsgrades angeb oten, die Sie selbstandig losen sollten. Es wurden Aufgab en aus Sto gebieten gewahlt, auf die im Studium standig zur uckgegri en werden mu und die dem Anfanger erfahrungsgema oft Schwierig- keiten b ereiten. Sollten Sie b ei diesem Selbsttest b emerken, da Sie Probleme b eim Verstandnis o der der Losung der Aufgab en hab en, ist Ihnen die Teilnahme am Vorb ereitungskurs zu empfehlen. Zu Beginn dieses Kurses konnen auf Wunsch auch die Losungen der Aufgab en b espro chen werden. Hau g wird die Frage nach vorb ereitender Literatur f ur die Mathematikvorlesungen gestellt. Diese Frage ist schwer allgemeing ultig zu b eantworten. Einmal gibt jeder Ho chschullehrer eigene Literaturhinweise zu seinen Vorlesungen und zum anderen sollte jeder Student wahrend der ersten Wo chen eines Semesters in allen Literatur- hinweisen in der Bibliothek ein wenig Prob elesen und heraus nden, welche Literatur seine Erwartungen erf ullt. Deshalb sei hier zur Wiederholung des Schulsto es auf die Schullehrb (^) ucher und evt. dazu existierende Aufgab ensammlungen verwiesen.

3. • Am Neujahrstag des Jahres 1975 lernten sich A und B kennen. Im Laufe des Gespraches kam man auf das Alter der b eiden. A: " Die Quersumme meines vierstellig geschrieb enen Geburtsjahres ergibt mein Alter.
     Nach einer Weile erwiedert B : "

Herzlichen Gl uckwunsch zum heutigen Ge- burtstag.
Wie kam B zu dieser Feststellung und wie alt wurde A am 1.1.1975?

2.3 Zahlensysteme

1. Stellen Sie die Dezimalzahl 11011 in den Zahlensystemen zu den Basen 2, 5 und 8 dar.
2. Zu welcher Basis b hat die Zahl Einhundert eine Darstellung der Form a 0 a mit a 2 f 1 ; : : : ; b 1 g? Warum ist a = 0 ausgeschlossen?
3. Im Zahlensystem zu welcher Basis gilt die Gleichung 1050 + 152 = 1212?

2.4 Logik

1. In drei Kisten liegen je zwei Kugeln, und zwar einmal zwei weie, einmal zwei schwarze und einmal eine weie und eine schwarze. Auf den Deckeln der Kisten war der Inhalt angegeb en. Die Deckel wurden ab er so vertauscht, da sich jetzt auf keiner der Kisten der richtige Deckel b e ndet. Entscheide durch Ansehen nur einer Kugel aus nur einer Kiste, welcher Deckel auf welche Kiste gehort.
2. Man kann zu einer Aussage A ihre Negation (Verneinung) " nicht A\ bilden. Es ist A genau dann wahr, wenn " nicht A\ falsch ist. Formulieren Sie zu jeder der folgenden Aussagen ihre Negation, ub erpr ufen Sie, ob die Aussagen wahr sind und b egr (^) unden Sie ihre Entscheidung:

(a) 17 < 23 (b) Alle Primzahlen sind gerade. (c) x^2 4 = 0 hat mindestens zwei reelle Losungen. (d) (x 1)(x + 1) = 0 b esitzt hochstens zwei reelle Losungen.

2.5 Kombinatorik

1. Wenn jeder Teilnehmer eines Schachturniers genau eine Partie mit jedem der ubrigen Teilnehmer spielt, so werden insgesamt 231 Partien gespielt. Wieviele Spieler nehmen teil?
2. Wieviele verschiedene Moglichkeiten gibt es, drei nat (^) urliche Zahlen aus der Menge f 1 ; 2 ; : : : ; 100 g ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwahlen, so da

(a) alle Zahlen in der Auswahl verschieden sind? (b) eine Zahl in der Auswahl mehrfach auftreten darf? (c) die Summe der Zahlen in der Auswahl gerade ist?

n 1

k

n 1

k 1

4. • Beweisen Sie die Gleichung

X^ n

i=

i =

n + 1 2

2.6 Gleichungen

1. Geb en Sie die Losungsmengen folgender Gleichungen an

(a)

5 x 7

4 x + 4

x + 3 3 x + 3

= 1 (b)^ a(x^ +^ 2)^

2 x^2 + 5 x 3

(c) x^2 (r + s)x + r s = 0

2. * Bei welchen Werten von p hat die Gleichung x^2 px 28 = 0 Losungen

x 1 ; x 2 , welche die Bedingung x^21 + x^22 = 65 erf (^) ullen?

3. Bestimmen Sie in der Gleichung 4 x^2 k x + 15 = 0 den Parameter k so, da

die Di erenz x 1 x 2 = 1 und mindestens eine Losung p ositiv ist.

4. Losen Sie die folgenden Gleichungen

(a)

 2 x 5

 5 x 9 (b) 5 z 2 = 0 ; 008

(c) *

p

x

p

x

p

x + 3 x > 0

5. Unter welchen Bedingungen f (^) ur die p ositive reelle Zahl a hat die Gleichung

x^2 4 x log 2 a = 0 zwei verschiedene reelle Losungen?

6. Bestimmen Sie die Losungen der Gleichung cos (2x) + sin(x) = 1

2.7 Ungleichungen

1. Man b estimme die Menge aller reellen x, f ur die gilt:

(a) j 2 x + 7 j  2

(b) j 2 x + 7 j = 2

(c) j 2 x + 7 j < 2

(d)

(x 1)(x 2)

x 3

(e) x^2 5 x 7 > 0

2.9 Polynome

1. Geb en Sie eine quadratische Gleichung mit den Losungen

x 1 = 2 und x 2 = 3 an.

2. Welche Losungen hab en die folgenden quadratischen Gleichungen:

(a)

7 y +

y

(b) x^2 + (u + v )x + uv = 0

3. Welches Polynom dritten Grades hat die Nullstellen x 1 = 3,

x 2 = 0, x 3 = 7 und f ur x 4 = 1 den Funktionswert y 4 = 6?

4. Man wahle die Ko eÆzienten des Polynoms

f (x) = x^2 + r x + s

so, da es die Nullstellen x 1 = r und x 2 = s hat.

5. • F ur welchen Wert von t hat das Polynom

f (x) = x^2 tx + 36

(reelle) Nullstellen x 1 ; x 2 , die der Bedingung x^21 + x^22 = 49 gen ugen?

6. * Sei f (x) = (m + 1)x^2 m^2 (m 1)x + (m 1)^3

(m ist eine b eliebige ganze Zahl). Diskutieren Sie die Anzahl der reellen Null- stellen von f in Abhangigkeit von m, dr ucken Sie diese Nullstellen als Funkti- on von m aus und machen Sie Aussagen ub er das Vorzeichen der Nullstellen. Wann sind alle Nullstellen von f ganzzahlig?

2.10 Folgen und Reihen

1. Schreib en Sie mit Hilfe des Summensymb ols

P

(a) 2 + 8 + 18 + 32 + 50 + 72 + 98 + 128

(b)

x^3

2 x^4

3 x^5

4 x^6

5 x^7 (c) c 13

q

b 0 + c 23

q

b 1 + c 33

q

b 2 +


+ c 103

q

b 9

2. Man b erechne

(a)

X^100

n=

7 k + 3 (b)

X^ n

k =

ln k (c) *

X^ n

k =

k (k + 1)

3. • Die Summe s 3 der ersten drei Glieder einer unendlichen geometrischen Folge b etragt 6 und die Summe s aller Glieder dieser Folge b etragt 163. F (^) ur welche nat urlic hen Zahlen n gilt die Ungleichung

jsn sj <

2.11 Vollstandige Induktion

1. • Man b eweise:

(a) F (^) ur b eliebige p ositive Zahlen a 1 ; a 2 ; : : : ; an gilt

(1 + a 1 )(1 + a 2 )


(1 + an ) > 1 + a 1 + a 2 +


+ an

(b) 12 22 + 32 42 +


+ (1)n^1 n^2 = (1)n^1

n(n + 1) 2 (c) Die Zahlenfolge (an ) sei gegeb en durch a 1 = 1, a 2 = 2, an = an 1 + an 2 f ur n > 2. Zeigen Sie durch Induktion nach m die Richtigkeit der Beziehung

an+m = an 1
am + an
am+

2. • Beweisen Sie die G ultigk eit der Gleichung

X^ n

i=

i^3 =

n (n + 1) 2

mit n 2 N ; n  0

2.12 Funktionen

1. Zeigen Sie, da f ur jede Funktion f mit f (x) = m
x + n,

(m; n reell, m 6 = 0) gilt:

Aus x 1 < x 2 folgt

f (x 1 ) < f (x 2 ) falls m > 0 f (x 1 ) > f (x 2 ) falls m < 0

2. Ermitteln Sie die Intervalle, auf denen die folgenden f ur alle reellen Argumente x de nierten Funktionen monoton sind, in Abhangigkeit von den Parametern und geb en Sie das jeweilige Monotonieverhalten an:

(a) f 1 (x) = 3 x^2 + x + 2

(b) f 3 (x) = 2 sin(3x + c) a 6 = 0 ; b 6 = 0

3. Man geb e den De nitionsb ereich folgender Funktionen an:

(a) y =

p

cos x (b) y = ln tan x

4. Man skizziere die Graphen folgender Funktionen

6. Wende Sie die Logarithmengesetze an

(a) b ei der Darstellung von log 12 27 mittels a = log 4 9. (b) b ei der Berechnung von

log 1 =p p logp

p Was ist dab ei ub er p vorauszusetzen?

7. Zeigen Sie, da aus dem Logarithmengesetz

loga (xy ) = loga x + loga y folgt:

(a) loga

x y

= loga x loga y (b)^ loga xp^ =^ p^ loga x f ur rationales p

Dab ei sind x und y b eliebige reelle Zahlen und a ist eine b eliebige zulassige Basis, d. h. a > 0 und a 6 = 1.

2.14 Analytische Geometrie

1. Wie lautet die Gleichung der Geraden in der x-y -Eb ene, die durch den Punkt ( 6 ; 3) geht und parallel ist zur Geraden mit der Gleichung y = 4 x 5?
2. • Gesucht ist die Gleichung des Kreises durch die Punkte (8; 8), (15; 9) und ( 9 ; 1).
3. Einem Kreis vom Radius 2 um den Punkt (3; 7) sei ein gleichseitiges Dreieck einb eschrieb en, dessen eine Seite parallel zur x-Achse ist. Wie gro ist der Flacheninhalt dieses Dreiecks?
4. Wo liegen die Mittelpunkte aller Kreise der Eb ene, die eine gegeb ene Gerade dieser Eb ene in einem gegeb enen Punkt b er (^) uhren?
5. • Man b estimme die Menge aller Punkte der Eb ene mit den Ko ordinaten (x; y ), f ur die gilt:

(a) 3
jxj + 4
jy j < 1 (b) max(3
jxj; 4
jy j)  1

(c) jx y j  2 (d) x
y  1

2.15 Beweise

1. Man zeige, da die Summe der dritten Potenzen von drei aufeinanderfolgenden nat urlic hen Zahlen durch 9 teilbar ist.

2. Beweisen Sie folgende Aussagen ub er nat urliche Zahlen

(a) 8 ist Teiler von 9 n^ 1 f (^) ur alle nat (^) urlichen Zahlen n  0. (b) 2 n^ < n^2 , wenn n 2 N ; n > 4

3. Jede der folgenden Aussagen ist entweder wahr o der falsch. Beweisen Sie die wahren unter ihnen, und widerlegen Sie die falschen Aussagen durch Angab e eines Gegenb eispiels:

(a) n^2 + n + 41 ist f (^) ur jedes nat (^) urliche n eine Primzahl. (b) F ur die Funktion f mit f (x) = ex^ und b eliebige reelle Zahlen x 1 ; x 2 gilt stets f (x 1
x 2 ) = f (x 1 ) + f (x 2 ). (c) Jede Gleichung der Gestalt ax^2 + bx + c = 0 mit reellen Ko eÆzienten a; b; c und b^2 4 ac > 0 hat genau zwei reelle Losungen.

4. • Beweisen Sie (indirekt), da die Zahl 3

p 2 irrational ist.

Letze Ub erarb eitung: 16. Juli 2002