Vorlesungsskript Statik und Festigkeitslehre FAU WiSe 20-21, Transkriptionen von Mechanik

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Lehrstuhl für

Technische Dynamik

Statik und Festigkeitslehre

Skript zur Vorlesung

Wintersemester 2020/

Prof. Dr.-Ing. habil. K. Willner Lehrstuhl für Technische Mechanik Universität Erlangen-Nürnberg Egerlandstraÿe 5 D-91058 Erlangen Tel 09131 8528502 Fax 09131 8528503 http://www.ltm.uni-erlangen.de

Editor: Dr.-Ing. G. Possart

Das vorliegende Skript ist zum Gebrauch neben der Vorlesung gedacht; es ist kein

Lehrbuch und es kann den Besuch der Lehrveranstaltung und das selbständige Er-

arbeiten des Vorlesungsinhaltes nicht ersetzen.

Inhaltsverzeichnis

• 1. Statik Inhaltsverzeichnis
  • 1.1. Grundlagen und Grundbegrie
    • 1.1.1. Die Kraft
    • 1.1.2. Einteilung der Kräfte und Schnittprinzip
    • 1.1.3. Die Axiome der Statik
  • 1.2. Zentrale ebene Kräftegruppe
    • 1.2.1. Reduktion der zentralen Kräftegruppe
    • 1.2.2. Zerlegung einer Kraft in zwei Richtungen
    • 1.2.3. Gleichgewicht
  • 1.3. Allgemeine ebene Kräftegruppe
    • 1.3.1. Kräftepaar
    • 1.3.2. Moment einer Kraft
    • 1.3.3. Reduktion der allgemeinen Kräftegruppe
    • 1.3.4. Gleichgewicht
  • 1.4. Räumliche Kräftegruppe
    • 1.4.1. Momentenvektor
    • 1.4.2. Gleichgewichtsbedingungen
  • 1.5. Der Schwerpunkt
    • 1.5.1. Kräfteschwerpunkt von parallelen Kräften
    • 1.5.2. Massenschwerpunkt
    • 1.5.3. Flächen- und Linienschwerpunkt
  • 1.6. Auagerreaktionen ebener Tragwerke
    • 1.6.1. Elemente eines Tragwerks
    • 1.6.2. Belastungs- und Lagerungsarten
    • 1.6.3. Statische Bestimmtheit
    • 1.6.4. Bestimmung der Auagerreaktionen
    • 1.6.5. Mehrgliedrige Tragwerke
  • 1.7. Ebene Fachwerke
    • 1.7.1. Bedingungen für statische Bestimmtheit
    • 1.7.2. Einfache und nichteinfache Fachwerke
    • 1.7.3. Erkennen von Nullstäben
    • 1.7.4. Methoden zur Ermittlung der Stabkräfte
  • 1.8. Schnittreaktionen eines Balkens
    • 1.8.1. Denition der Schnittreaktionen in der Ebene
    • 1.8.2. Gerader Balken
    • 1.8.3. Rahmenträger
    • 1.8.4. Bogenträger
    • 1.8.5. Denition der Schnittreaktionen im Raum
  • 1.9. Reibung
    • 1.9.1. Haftreibung
    • 1.9.2. Gleitreibung
    • 1.9.3. Reibkegel
• 2. Elastostatik und Festigkeitslehre Inhaltsverzeichnis
  • 2.1. Grundlagen und Grundbegrie
    • 2.1.1. Einführende Bemerkungen
    • 2.1.2. Spannungen
    • 2.1.3. Verschiebungen und Verzerrungen
    • 2.1.4. Stogesetz
  • 2.2. Zug- und Druckbeanspruchung von Stäben
    • 2.2.1. Statisch bestimmte Systeme
    • 2.2.2. Statisch unbestimmte Systeme
    • 2.2.3. Mehrbereichsaufgaben
  • 2.3. Biegebeanspruchung gerader Balken
    • 2.3.1. Flächenmomente 2. Ordnung
    • 2.3.2. Spannung bei gerader Biegung
    • 2.3.3. Spannung bei schiefer Biegung
    • 2.3.4. Biegeverformung gerader Balken (elastische Linie)
  • 2.4. Torsion gerader Stäbe
    • 2.4.1. Kreis- und kreisringförmiger Querschnitt
    • 2.4.2. Dünnwandige geschlossene Querschnitte
    • 2.4.3. Dünnwandige oene Querschnitte
  • 2.5. Beurteilung des Beanspruchungszustandes
    • 2.5.1. Materialprüfung und Werkstokennwerte
    • 2.5.2. Spannungstransformation und Hauptspannungen
    • 2.5.3. Spezische Formänderungsenergie
    • 2.5.4. Spezische Volumen- und Gestaltänderungsenergie
    • 2.5.5. Festigkeitshypothesen
  • 2.6. Stabilität
    • 2.6.1. Stabilitätsprobleme
    • 2.6.2. Knicken im elastischen Bereich
    • 2.6.3. Die vier EULERschen Knickfälle
  • 2.7. Empfohlene Literatur
• A. Anhang
  • A.1. Torsionsträgheitsmomente It und TorsionswiderstandsmomenteWt
  • A.2. Flächenträgheitsmomente Iyy, Izz , Iyz

1 Statik

F

P

F

P

F

P

Abbildung 1.2. verschiedene Angrispunkte einer Kraft an einem Klotz mit verschiedener Auswirkung

· F~x, F~y, F~z ∈ R^3 Komponenten der Kraft F~

· Fx, Fy, Fz ∈ R Koordinaten der Kraft F~

Für den Betrag der Kraft gilt

F = | F~ | =

F (^) x^2 + F (^) y^2 + F (^) z^2 (1.2)

Die Richtung der Kraft ist durch die Winkel α, β, γ bestimmt, die der Kraftvektor mit den Koordina- tenachsen einschlieÿt, siehe Abbildung 1.3 (a).

cos α = Fx F

cos β = Fy F

cos γ = Fz F

Gleichung (1.3) eingesetzt in (1.2) liefert die Beziehung zwischen den Winkeln

cos^2 α + cos^2 β + cos^2 γ = 1 (1.4)

x

z

α β γ

F^ ~

Fx

Fy

Fz

~ex ~ez

~ey

y

x

α

β

F^ ~

Fx

Fy

~ex

~ey

y

(a) Kraft im Raum (b) Kraft in der (x, y)-Ebene

Abbildung 1.3. Kraft im Raum und in der (x, y)-Ebene

1.1. Grundlagen und Grundbegrie

Für die Kraft in der Ebene ist aus Abbildung 1.3 (b) abzulesen, dass α + β = π 2 und

Fx = F cos α Fy = F sin α (1.5)

gilt.

1.1.2. Einteilung der Kräfte und Schnittprinzip

Kräfte lassen sich nach verschiedenen Gesichtspunkten einteilen. Die geometrische Einteilung ist in Abbildung 1.4 dargestellt.

dV

d G~

V

~g

(a) Volumenkraft (b) Fl¨achenkraft

(c) Linienkraft^ (d) Punktkraft

Abbildung 1.4. geometrische Einteilung der Kräfte

Kräfte, die über das Volumen verteilt angreifen, nennt man Volumenkräfte. Beispiele hierfür sind die Schwerkraft (Gewichtskraft), magnetische und elektrische Kräfte. Treten Kräfte nur an Oberächen von Körpern oder an Berührungsächen zweier Körper auf, so spricht man von Flächenkräften. Beispiele hierfür sind Kräfte durch Wind- oder Wasserdruck oder auch eine Schneelast. Ist die Berührung zweier Körper nahezu linien- bzw. punktförmig, erhält man Linien- oder Streckenkräfte bzw. Punkt- oder Einzelkräfte. Eine Linienkraft entsteht z.B. zwischen einer ebenen Unterlage und einem Zylinder. Eine Punktkraft liegt näherungsweise vor, wenn eine Last über eine scharfe Kegelspitze aufgebracht wird. Linien- und Punktkräfte sind Idealisierungen, da eine bestimmte, wenn auch sehr kleine Fläche immer zur Übertragung von Kräften notwendig ist. Weiterhin kann man auf Grund des Ursprungs der Kraft unterscheiden zwischen eingeprägten Kräften und Reaktionskräften. Unter eingeprägten Kräften versteht man physikalisch vorgegebene Kräfte wie Gewicht, Schneelast usw. Reaktionskräfte entstehen infolge eingeprägter Kräfte durch die Behinderung der Bewegungsfreiheit des Körpers. Wird ein Balken durch eingeprägte Kräfte belastet, so möchte er sich bewegen (ausweichen). Ein Auager, das diese Bewegung verhindert, übt eine Reaktionskraft auf den Balken aus. Der letzte Satz weist auf das Schnittprinzip hin, denn Reaktionskräfte können erst durch das gedank- liche Lösen des betrachteten Körpers von den geometrischen Bindungen veranschaulicht werden. Das

1.1 Grundlagen und Grundbegrie

2. Linienüchtigkeitsaxiom

Der Angrispunkt einer Kraft kann auf der Wirkungslinie beliebig verschoben werden, ohne dass sich an der Wirkung auf den starren Körper etwas ändert.

F

P 1

P 2

F

P 1

P 2

Abbildung 1.7. Linienüchtigkeit der Kräfte am starren Körper

Die Verschiebung des Angrispunkts ist in Abbildung 1.7 zu sehen. Dieses Axiom gilt nicht beim deformierbaren Körper.

3. Wechselwirkungsgesetz (actio = reactio)

Kräfte, die zwei Körper aufeinander ausüben, sind gleich groÿ, entgegenge- setzt gerichtet und liegen auf einer Wirkungslinie, d.h. Kräfte treten stets paarweise auf.

F F

Abbildung 1.8. Wechselwirkungsgesetz

FG

FG

F 1 F 2

F 1 F 2 F 3

F 4 F 5

F 3

F 4 F 5

(a) Kr¨afte zwischen sich ber¨uhrenden K¨orpern (b) Fernkr¨afte

Abbildung 1.9. Wechselwirkungskräfte

1 Statik

Für sich berührende Körper in Abbildung 1.8 und in Abbildung 1.9 (a) ist dies sehr anschaulich. Es gilt aber auch für Körper in gröÿerer Entfernung, wie das in Abbildung 1.9 (b) für das Beispiel der Anziehungskraft zwischen Erde und Mond gezeigt ist.

4. Axiom vom Kräfteparallelogramm

Zwei an demselben Punkt angreifende Kräfte können zu einer statisch äquiva- lenten resultierenden Kraft zusammengefaÿt werden, indem man die Diagona- le des von den beiden Kraftvektoren aufgespannten Parallelogramms bildet. Dabei genügt es, eines der beiden Kräftedreiecke zu zeichnen.

Für die Kraftvektoren gilt F~R = F~ 1 + F~ 2 , siehe Abbildung 1.10.

FR

FR

F 1

F 2 F 2

FR F 1

F 2

F 1

(a) Kr¨afteparallelogramm (b) Kr¨aftedreiecke

Abbildung 1.10. Kräfteparallelogramm und Kräftedreiecke

1.2. Zentrale ebene Kräftegruppe

Eine ebene Kräftegruppe liegt vor, wenn alle Kräfte in einer Ebene, z.B. in der (x, y)-Ebene, liegen. Zentral ist die ebene Kräftegruppe dann, wenn sich die Wirkungslinien sämtlicher Kräfte in einem Punkt schneiden. Nach dem Linienüchtigkeitsaxiom lassen sich dann alle Kräfte so verschieben, dass sie an einem Punkt angreifen.

1.2.1. Reduktion der zentralen Kräftegruppe

FR F 1

F 2

F 3

~ex

~ey

F 2

F 1

F 3

α 3

α 2 α 1

FR

1 m 1 N

A

E

(a) Lageplan (b) Kr¨afteplan

x

y

Abbildung 1.11. graphische Reduktion

1 Statik

FR

F 1

2

1

F 2

FR

Abbildung 1.13. graphische Zerlegung der Kraft in zwei Richtungen

1.2.3. Gleichgewicht

Zwei Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn sie auf der gleichen Wirkungslinie liegen und entgegengesetzt gleich groÿ sind.

F~ 1 = − F~ 2 F~ 2 = − F~ 1

Abbildung 1.14. Gleichgewicht zweier Kräfte

Für die Resultierende gilt

F^ ~R = F~ 1 + F~ 2 = F~ 1 + (− F~ 1 ) = (− F~ 2 ) + F~ 2 = ~ 0

siehe Abbildung 1.14. Eine zentrale Kräftegruppe ist im Gleichgewicht, wenn die statisch äquivalente Resultierende verschwin- det. Das bedeutet für den graschen Lösungsweg, dass sich der Kräfteplan schlieÿt. Der analytische Lösungsweg führt zur Kräftegleichgewichtsbedingungen (im ebenen Fall für die Kraftkomponenten in x- und y-Richtung).

F^ ~R = ~ 0 ⇒

FRx =

∑^ n

i=

Fix = 0

FRy =

∑^ n

i=

Fiy = 0

1.3. Allgemeine ebene Kräftegruppe

Bei der allgemeinen Kräftegruppe schneiden sich nicht mehr alle Wirkungslinien in einem Punkt. Man spricht in diesem Falle auch von einer nichtzentralen Kräftegruppe. Es ist notwendig, auch die Momentenwirkung der Kräfte zu berücksichtigen.

1.3.1. Kräftepaar

Als Kräftepaar bezeichnet man zwei gleich groÿe, entgegengesetzt gerichtete, aber auf parallel zueinander verlaufenden Wirkungslinien liegende Kräfte.

Man erkennt, dass das Kräftegleichgewicht (1.10) zwar erfüllt ist, dass aber das Kräftepaar eine Dreh- wirkung erzeugt, siehe Abbildung 1.15. Die Drehwirkung ist proportional der Kraft F und dem Ab- stand a. Damit entsteht das Moment des Kräftepaares

1.3. Allgemeine ebene Kräftegruppe

F

F a

Abbildung 1.15. Kräftepaar

M = aF (

x

y − )

Der Drehsinn des Kräftepaares wird im mathematisch positiven Sinn (entgegen dem Uhrzeigersinn)

mit dem positiven Vorzeichen (

x

• ) und im mathematisch negativen Sinn (im Uhrzeigersinn) mit

dem negativen Vorzeichen (

y − ) beschrieben. Ein Kräftepaar ist durch Angabe des Betrages und des Drehsinns des Moments eindeutig bestimmt. Für das Kräftepaar gelten folgende Aussagen:

· Das Moment eines Kräftepaares ist gleich der Summe der Momente der beiden Einzelkräfte bezüglich eines beliebigen Bezugspunktes, siehe hierzu Kapitel 1.3.2.

· Das resultierende Moment mehrerer Kräftepaare folgt aus der algebraischen Summe der Mo- mente der einzelnen Kräftepaare (unter Beachtung des Drehsinns). Ist die Summe Null, herrscht Gleichgewicht.

· Ein Kräftepaar darf in seiner Wirkungsebene beliebig verschoben werden, ohne dass sich seine Wirkung auf den starren Körper ändert.

Dass ein Moment im Raum ein Vektor ist, von dem bei einer ebenen Kräftegruppe nur eine Komponente übrigbleibt, wird im Kapitel 1.4.1 behandelt.

1.3.2. Moment einer Kraft

α

α xF

yF

xF (^) · (^) sin (^) α

yF · cos α

a

x

y

α

F^ ~

F^ ~x

F^ ~y

A

Abbildung 1.16. Abstand der Wirkungslinie einer Kraft vom Bezugspunkt

1.4 Räumliche Kräftegruppe

1.3.4. Gleichgewicht

Die Gleichgewichtsbedingungen der ebenen Statik lauten

F^ ~R = ~ 0 und M (A)^ = 0 (1.15)

wobei der Bezugspunkt A mit Koordinaten (xA, yA) beliebig gewählt werden kann. In Komponenten- darstellung folgt

FRx =

∑^ n

i=

Fix = 0

FRy =

∑^ n

i=

Fiy = 0

M (A)^ =

∑^ n

i=

M (^) i( A)=

∑^ n

i=

((xi − xA)Fiy − (yi − yA)Fix) = 0

Häug ist es vorteilhaft, die beiden Kräftegleichgewichtsbedingungen in x- und y-Richtung durch zwei weitere Momentengleichgewichtsbedingungen um voneinander verschiedene neue Bezugspunkte B und C zu ersetzen. Dabei müssen aber die neu eingeführten Bezugspunkte gewisse Bedingungen erfüllen. Werden beide Kräftegleichgewichtsbedingungen ersetzt, so dürfen z.B. die drei Bezugspunkte nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Wird nur eine Kräftegleichgewichtsbedingung ersetzt, so darf der neue Bezugspunkt nicht auf einer parallel zur ersetzten Kraftrichtung durch den Bezugspunkt A verlaufenden Geraden liegen.

1.4. Räumliche Kräftegruppe

Wir wollen die räumliche Kräftegruppe nur in dem Umfang behandeln, wie es zum Verständnis der in der Festigkeitslehre betrachteten Beanspruchungsarten eines Trägers erforderlich ist.

x

y

z

~r

F^ ~ M^ ~

Fx

Fy

Fz

0

zF

xF

yF

Abbildung 1.18. Kraft im kartesischen Koordinatensystem

1 Statik

1.4.1. Momentenvektor

Bei der ebenen Kräftegruppe treten nur zwei Komponenten des Kraftvektors und eine Komponente des Momentenvektors auf. Bei der räumlichen Kräftegruppe können alle Komponenten sowohl des Kraftvektors als auch des Momentenvektors vorkommen. In einem kartesischen Koordinatensystem bedeutet das F~ = Fx~ex + Fy~ey + Fz~ez M^ ~ = Mx~ex + My~ey + Mz~ez^ (1.17)

Das Moment M~ (0)^ einer Kraft F~ bezüglich eines Punktes 0 , siehe Abbildung 1.18, lautet

M^ ~ (0)^ = ~r × F~ = (xF ~ex + yF ~ey + zF ~ez ) × (Fx~ex + Fy~ey + Fz~ez ) = (yF Fz − zF Fy)~ex + (zF Fx − xF Fz )~ey + (xF Fy − yF Fx)~ez

~ex ~ey ~ez xF yF zF Fx Fy Fz

Man erkennt, dass sich (1.18) mit Fz = 0 und zF = 0 für die ebene Kräftegruppe auf

M^ ~ (0)^ = (xF Fy − yF Fx)~ez

reduziert, was in Übereinstimmung mit (1.12) ist. Vom physikalischen Charakter unterscheiden sich Kraft- und Momentenvektor dadurch, dass

· F~ ein gebundener bzw. ein linienüchtiger Vektor ist, der bezüglich der Wirkung auf einen starren Körper nur entlang seiner Wirkungslinie verschoben werden darf,

· M~ ein freier Vektor ist, der beliebig im Raum parallel verschoben werden darf, ohne seine Wirkung auf einen starren Körper zu ändern.

In der Darstellung wird für den Momentenvektor häug ein Doppelpfeil benutzt.

1.4.2. Gleichgewichtsbedingungen

Ein Körper bendet sich im Gleichgewicht, wenn resultierende Kraft und resultierendes Moment in Bezug auf einen beliebigen Punkt A Null sind. Das bedeutet

F^ ~R = ~ 0 ⇒

∑^ n

i=

F^ ~i = ~ 0 ⇒

M^ ~ (A)

R =^ ~^0 ⇒

∑^ n

i=

M^ ~ (^) i( A)= ~ 0 ⇒

∑^ n

i=

Fix = 0

∑^ n

i=

Fiy = 0

∑^ n

i=

Fiz = 0

∑^ n

i=

M (^) ix(A )= 0

∑^ n

i=

M (^) iy(A )= 0

∑^ n

i=

M (^) iz(A )= 0

1 Statik

In Verallgemeinerung von (1.20) bedeutet das

xS =

FR

∑n

i=

Fixi

yS =

FR

∑n

i=

Fiyi

zS =

FR

∑n

i=

Fizi

bzw. ~rS =

FR

∑n

i=

Fi~ri (1.21)

1.5.2. Massenschwerpunkt

z

x

y

~rS ~r

S dm

Abbildung 1.21. Massenschwerpunkt eines Körpers

Wir denken uns eine über ein bestimmtes Volumen verteilte Masse m in unendlich viele dierentiell kleine Massen dm zerlegt, siehe Abbildung 1.21. Ordnet man diesen dierentiell kleinen Massen die Schwerkräfte dmg zu, erhält man wieder den im vorigen Kapitel behandelten Fall paralleler Kräfte. Allerdings ist jetzt die Summe dierentiell kleiner Gröÿen zu bilden, das bedeutet, die Summen sind durch Integrale zu ersetzen. Bei konstantem Schwerefeld kann dabei noch durch g gekürzt werden, und man erhält

xS =

m

V

x dm

yS =

m

V

y dm

zS =

m

V

z dm

bzw. ~rS =

m

V

~r dm (1.22)

Für homogene Körper mit konstanter Dichte % kann (1.22) durch % gekürzt werden, und man erhält den geometrischen Schwerpunkt

~rS =

V

V

~r dV (1.23)

mit den entsprechenden Komponenten analog (1.22). Läÿt sich die Masse m in Teilmassen mi mit

1.5. Der Schwerpunkt

bekannten Teilschwerpunkten ~rSi aufteilen, so folgt der Schwerpunkt aus

~rS =

m

∑^ n

i=

~rSimi (1.24)

Für die Aufteilung des Gesamtvolumens V in Teilvolumina Vi gilt

~rS =

V

∑^ n

i=

~rSiVi (1.25)

1.5.3. Flächen- und Linienschwerpunkt

z

x

y

~rS

S

dA

h

Abbildung 1.22. Flächenschwerpunkt eines dünnen Bleches

Für einen ächenhaften Körper (z.B. dünnes Blech) mit konstanter Wanddicke h und konstanter Dich- te %, siehe Abbildung 1.22, ist

dm = %h dA

und aus (1.22) wird

xS =

A

A

x dA

yS =

A

A

y dA

zS =

A

A

z dA

bzw. ~rS =

A

A

~r dA (1.26)

In der Festigkeitslehre ist vor allem der Schwerpunkt ebener Flächen (Querschnittsächen) von Bedeu- tung. Dabei bezeichnet man (^) ∫

A

x dA,

A

y dA,

A

z dA

als Flächenmomente 1. Ordnung.

Merke

Die Flächenmomente 1. Ordnung verschwinden in Bezug auf ein im Schwer- punkt verankertes Koordinatensystem.